自动控制根轨迹课程设计精髓版
自动控制原理之根轨迹
2 G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)
写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。
k(2s +1)
1+
= 0,
s(s + 5)
系统2： 零点：-0.5 极点为0, -5 Kg=2k
1+ 2k(s + 0.5) = 0 s(s + 5)
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
【 根轨迹性质 1】 根轨迹是连续的 【 根轨迹性质 2】 根轨迹关于实轴是对称的
4
将特征根画在 s平面上
s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87
s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87
将特征根随增益的变化在s平 面上轨迹称为根轨迹
K=2 K=0.1 k=1
-2j
j k=0.1
-2
-1
0
-j
-2j
第四章 线性系统的根轨迹法
2个无穷远的零点
同理，对于 G(s)H (s) = k(s +1)(s + 2) s
1个无穷远的极点
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则一】根轨迹的渐近线
根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨 迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远
处的开环零点。
与正实轴的夹角记为 φa
2k +1 φa = n − m π (k = 0,1,..., n − m −1)
3
d1,2 =
2×3
= −1± 3
d1,2=-1.577,-0.422
d1 d2 是否均为分离点吗？
自动控制原理简明版根轨迹法ppt课件
n1
i1 s zi j1 s pi
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
n
pi / n
j1
18
当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡
“重心”的位置，当一部分根 轨
迹随着的增加向左方移动时，
另一部分根轨迹将向右方移动.
例
G(s)H(s)
K1
s(s P2 )( s P3 )( s P4 )
Im p4
p2 p3
0 p1 Re
19
10. 根轨迹上K1值的计算
（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
9 走向
当 n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
7
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
d[G1(s)H1(s)] 0或 dK1 0
ds
ds
7 出射角
入射角
复极点处的出射角：
m
n
a 180 (2k 1) i j
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
根轨迹法的课程设计
根轨迹法的课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握根轨迹法的概念、原理和应用范围；2. 使学生理解根轨迹法在系统稳定性分析中的重要性；3. 引导学生运用根轨迹法分析控制系统性能，并能绘制根轨迹图；4. 帮助学生掌握根据根轨迹图判断系统稳定性的方法。
技能目标：1. 培养学生运用根轨迹法分析实际控制系统的能力；2. 提高学生绘制根轨迹图、判断系统稳定性的技巧；3. 培养学生运用数学软件（如MATLAB）辅助根轨迹分析的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制理论的学习兴趣，激发学生探索科学问题的热情；2. 培养学生团队合作精神，学会倾听他人意见，尊重他人成果；3. 增强学生面对复杂问题时的分析、解决问题的信心，培养勇于克服困难的品质。
课程性质：本课程为自动控制理论课程的一部分，旨在帮助学生掌握根轨迹法这一重要的稳定性分析方法。
学生特点：学生已具备一定的控制系统基础知识，具有一定的数学基础和分析能力。
教学要求：结合学生特点和课程性质，将课程目标分解为具体的学习成果，通过理论讲解、案例分析、上机实践等教学手段，使学生在理解根轨迹法的基础上，能够将其应用于实际控制系统的分析。
同时，注重培养学生的实际操作能力和团队合作精神，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 引入根轨迹法的基本概念，阐述其在控制系统稳定性分析中的作用；2. 讲解根轨迹法的原理，包括根轨迹的定义、绘制方法及其与系统稳定性的关系；3. 介绍根轨迹图的绘制步骤，结合教材实例进行分析；- 确定系统的开环传递函数；- 求解开环极点、零点；- 应用根轨迹规则，绘制根轨迹图；- 分析根轨迹图与系统稳定性的关系。
4. 分析不同控制系统参数变化对根轨迹的影响，探讨参数变化对系统稳定性的影响；5. 介绍利用根轨迹法进行控制系统性能优化，包括调整系统参数以改善稳定性；6. 结合实际案例，运用根轨迹法进行控制系统分析，提高学生解决实际问题的能力；7. 使用数学软件（如MATLAB）辅助根轨迹分析，让学生掌握相关软件操作技巧。
自动控制 根轨迹
【如何绘制根轨迹】首先写出开环根轨迹传递函数标准型：1.在复平面上标注开环极点和零点：n=？m=？2.确定实轴上根轨迹：右侧-奇数3.定分离点或汇合点d ：实轴上根轨迹如果在两极点间有分离点；如果在两零点间有汇合点。
要取舍））（对多个无零点时等号右边d 0(11=-=-∑∑jiZd P d4.定渐近线：πϕσm-n 12k m -n Z -P a jia +±==∑∑与水平线夹角：与实轴交点：根不存在。
极点-出射角：11(21)()()k mnp kj kij i j kk pz pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑ 零点-入射角：11(21)()()k n mz ki kj i j j kk zp zz θπ==≠=++∠--∠-∑∑6.与虚轴交点处的ω及K*令闭环特征方程中的s j ω=，令其实部为零、虚部为零；联立解方程求出*K 值和ω值 7.以极点为起点、零点为终点绘制8.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称例题【2010.10】36)1)(1()2(15.0)15.0()()(2j s j s s K s s s K s H s G -++++=+++=1.在复平面上标注开环极点和零点：n=2、m=1 P 1= -1+j 、P 2= -1-j 、Z 1= -22.确定实轴上根轨迹：3.定汇合点d ：实轴上根轨迹在两零点间有汇合点。
舍弃）、解得：即(586.0-414.3-1)1()1(22111-1111212==+++=+=++++-=-∑∑d d d d d jd jd Zd Pd ji4.定渐近线：︒=+±===∑∑-180m-n 12k 0m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：5.定出射角：有共轭复根时需计算极点-出射角：11(21)()()k mnp kj ki j i j kk pz pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑︒=︒=︒-︒+︒=-∠--∠+︒=-1171179045180180p221111θθ，所以因为关于实轴的对称性p p z p p6.以极点为起点、零点为终点绘制7.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称【2011.1】36)21)(21()2()32()2()()(2j s j s s s K s s s s K s H s G -++++=+++=1.在复平面上标注开环极点和零点：n=3、m=1 P 1= -1+j √2、P 2= -1-j √2、P 3=0、Z 1= -2 2.确定实轴上根轨迹： 3.定渐近线：︒±=+±===∑∑90m-n 12k 0m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：4.定出射角：有共轭复根时需计算极点-出射角：11(21)()()k m np k j ki j i j kk p z pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑︒=︒=-︒-︒-+︒=-∠--∠--∠+︒=-20202180(902180180p23121111θθ，所以因为关于实轴的对称性arctg arctg p p p p z p p 5.以极点为起点、零点为终点绘制6.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称【2012.1】36.)2)(1()()(++=s s s K s H s G1.在复平面上标注开环极点和零点：n=3、m=0 P 1= -1、P 2= -2、P 3=0 2.确定实轴上根轨迹：3.定分离点d ：实轴上根轨迹在两极点间有分离点舍弃）、解得：即-1.577(-0.420121111121===++++-=-∑∑d d dd d ZdP dji+1+14.定渐近线：︒±︒=+±===∑∑60/-180m-n 12k -1m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：5.与虚轴交点处的ω及K*令闭环特征方程中的s j ω=，令其实部为零、虚部为零；联立解方程求出*K 值和ω值6/223K 0-2j 3-K 220)2)(1(323223=⇒±=⇒===+=+++==+++K s rad j s K s s s K s s s ωωωωωωωω、）（）即（令6.以极点为起点、零点为终点绘制7.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称+1。
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
根轨迹法校正课程设计
根轨迹法校正 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解根轨迹法的概念，掌握根轨迹的基本绘制方法。
2. 学生能够运用根轨迹法分析控制系统的稳定性，并识别系统的性能指标。
3. 学生能够掌握通过根轨迹法进行控制系统校正的基本原理和步骤。
技能目标：1. 学生能够独立绘制根轨迹图，并分析控制系统的稳定性。
2. 学生能够运用根轨迹法设计简单的控制系统校正方案，提高系统性能。
3. 学生能够通过实际案例，运用所学知识解决控制系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制系统的兴趣，激发他们的探究欲望。
2. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的重要性。
3. 培养学生的团队协作意识，使他们能够在小组合作中发挥自己的专长，共同解决问题。
课程性质：本课程为自动控制系统相关内容的深化学习，旨在帮助学生掌握根轨迹法校正的基本原理和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的自动控制理论知识，具有一定的数学基础和动手能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生能够将所学知识应用于控制系统设计和分析中。
同时，注重培养学生的团队合作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学方法和节奏，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 根轨迹基本概念：根轨迹的定义、意义及其在控制系统中的应用。
- 教材章节：第三章第二节- 内容：根轨迹图的绘制方法、关键点和关键轨迹的特点。
2. 控制系统稳定性分析：利用根轨迹分析系统稳定性，判断系统性能。
- 教材章节：第三章第三节- 内容：稳定性的判定条件、稳定性分析步骤。
3. 根轨迹校正原理：介绍根轨迹法校正控制系统的基础知识。
- 教材章节：第三章第四节- 内容：校正的基本原理、常用校正方法及效果分析。
4. 校正方案设计：结合实际案例，设计控制系统校正方案。
- 教材章节：第三章第五节- 内容：校正方案的设计步骤、参数计算方法、系统性能优化。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
《自动控制》根轨迹校正法 ppt课件
校正后的系统稳态误差小
PPT课件
22
作业6-3：单位反馈系统开环传递函数为
G0 (s)
80 s(s
4)
要求性能指标： 0.707, n 10
试用根轨迹法确定串联超前校正装置
【可用手工计算，也可用Matlab辅助计算】
PPT课件
23
6.4.3 滞后校正装置的根轨迹设计
滞后校正引入一对靠近原点的开环负实数偶 极子，使根轨迹形状基本不改变，但大幅提高系 统开环放大倍数，从而改善系统稳态性能
num=[1,2.9]; den=conv([1,2,0],[1,5.4]); sys2=tf(num,den);
rlocus(sys1,sys2); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
Conv用于两个多项式相乘
Tf用于定义传函系统
滞后校正主要用于系统根轨迹已通过期望的 闭环主导极点，但不能满足稳态要求的场合
设计步骤：
1）绘制原系统的根轨迹，根据动态性能要求确 定期望主导极点（A点）
2）用幅值条件求出A点的根轨迹增益Kg及其对应 的开环放大倍数K
PPT课件
24
3）根据静态指标要求，确定所需放大倍数D 4）选择滞后校正网络的零点-zc和极点-pc,使
以增大系统的阻尼比 和自然振荡频率n
设计步骤： 1）做出原系统的根轨迹，分析性能，确定校正形式 2）根据性能指标要求，确定期望闭环主导极点位置s1 3）若原系统根轨迹不通过s1，说明单靠调整放大系数 无法获得期望的闭环主导极点，必须引入超前校正。
PPT课件
7
4）计算超前网络需要提供的相角 c
自动控制原理第四章根轨迹法.完整版ppt资料
。
辅助轨迹的入射角为 18 0 22 120 38
例4.2 系统的开环传递函数为
G(s)H(s)K(1Tas) s(1T)s
1 系统的开环传递函数为
?自动控制原理?国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所
MATLAB中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。
根轨迹应满足的条件 1G (s)H(s)0
G(s)H(s)1
相角条件 G (s)H (s)(2 l 1 ) l0,1,2,
幅值条件 G(s)H(s) 1
〔常义〕根轨迹 G (s )H (s ) k1 ( G s )H 1 (s )
A (s)5 s45s3 2 1s 6 2 2 1s 64
B(s) 1
代入方程 A (s )B (s ) A (s )B (s ) 0 并整理得：
s 5 1 . 5 s 4 3 6 s 3 6 1 s 2 4 1 s 2 2 4 0 3 5
•由于分合点只能在极点-5与-6之间，所以，用试探法解得上 述方程的一个根为-5.52。5，即为分合点坐标。
m
n
m
n
pi
zj pi
pj pi
zi
zjzi
pjzi
j1
j1
j1
j1
辅助根轨迹的出射角j和i 入射角分别和主要j根i 轨迹的出射角和入
射角相差180。
规那么7 根轨迹的分合点通过解方程A (s )B (s ) A (s )B (s ) 0得到，
将它的解代入特征方程，如果对应的 k 0 那么为主要根轨
用系劳统思稳判定据的求充根分轨必迹要与条虚件轴为的0交点k 坐，3标因.5 ：此用，劳当思判时据，可k系得统该3处5.5
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西安石油大学
课程设计
电子工程学院自动化专业 1203班题目根轨迹法校正的设计
学生郭新兴
指导老师陈延军
二○一四年十二月
目录
1. 任务书．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2．设计思想及内容．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3．编制的程序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3.1运用MATLAB编程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2
3.2由期望极点位置确定校正器传递函数．．．．．．．．．．．4
3.3 校正后的系统传递函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 4．结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 5．设计总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 6．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
《自动控制理论》课程设计任务书
2.设计内容及思想 ：
1) 内容：已知单位负反馈系统被控对象传递函数为：
)
25(2500
)(0
0+=s s K s G ，试用根轨迹几何设计法对系统进行滞后串联校正
设计，使之满足：
（1）阶跃响应的超调量：σ%≤15%； （2）阶跃响应的调节时间：t s ≤0.3s ； （3）单位斜坡响应稳态误差：e ss ≤0.01。
2）思想： 首先绘出未校正系统得bode 图与频域性能，然后利用MATLAB 的SISOTOOL 软件包得到系统的根轨迹图，对系统进行校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数。
最后观察曲线跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。
3 编制的程序： 3.1运用MATLAB 编程：
根据自动控制理论，对
I
型系统的公式可以求出静态误差系数
K 0=1。
再根据要求编写未校正以前的程序 %MATLAB PROGRAM L1.m
K=1; %由稳态误差求得； n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]); %分母用conv 表示卷积；
s1=tf(K*n1,d1); %生成系统开环传递函数；sisotool(s1); %得到开环根轨迹图和Bode图figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys) %系统阶跃响应图
程序运行后，可得到如图1-1所示由sisotool设计画面得到的未校正的系统的开环根轨迹图和Bode图和如图2未校正的系统的单位阶跃响应曲线。
图1由sisotool得到的未校正的系统的开环根轨迹图和Bode图
图2未校正系统的阶跃响应曲线
阶跃响应的超调量：σ%=44%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.32s；
由以上图像知道不满足题目要求。
3.2由期望极点位置确定校正器传递函数。
求校正需确定闭环主导极点S1的位置。
回执未校正系统的根轨迹，轨迹无零点，有两个极点:P1=0,P2=-25. n1=2500;
d1=conv([1 0],[1 25]);
s1=tf(n1,d1);
rlocus(s1)
用以下程序可以求出校正装置的传递函数： clear
essv=0.01;x=-12.5;z1=0;p1=0;p2=25; zeta=0.54;acos(zeta);ta=tan(acos(zeta)); y1=x*ta;y=abs(y1);s1=x+y*i; Kr=abs(s1+p1)*abs(s1+p2); K=Kr/(p1+p2);K0=1/essv;
beta=K0/K;T=1/((1/20)*abs （x ））； betat=beta*T;
gc=tf((1/beta)*[1 1/T][1 1/betat]) 再次通过sisotool 设计工具
实现对原系统的校正。
使
得本设计的校正装置的开环传递函数为10049.01
02.0)(++=
s s s G c ，满足指标
要求。
3.3校正后的系统传递函数
对校正后系统的稳定的并且包括校正装置的系统传递函数为
1
0049.01
02.0)25(2500)()(0
+++=
s s s s s s c
G G
根据校正后的结构与参数，编写绘制Bode 图的程序L3.m % MATLAB PROGAM L3.m clear
k=1;
n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]);
s1=tf(k*n1,d1); %生成系统开环传递函数；
n2=[0.02 1];d2=[0.0049 1];
s2=tf(n2,d2);
sop=s1*s2;
sisotool(sop); %利用sisotool得到开环根轨迹图和Bode图figure(2);sys=feedback(sop,1);step(sys)
程序运行后，可得到如图3所示由sisotool设计得到的校正的系统的开环根轨迹图和Bode图和如图4校正后的系统的单位阶跃响应曲线。
图3由sisotool得到的校正后的系统的开环根轨迹图和Bode图
图4 校正后的系统的单位阶跃响应曲线
4.结论：
通过用MATLAB对该题进行滞后串联校正的解析,求得校正前各项参数：
阶跃响应的超调量：σ%=44%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.32s；
单位斜坡响应稳态误差：e ss≤0.01；
校正后各项参数：
阶跃响应的超调量：σ%=13%≤15%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.09≤0.3s；
单位斜坡响应稳态误差：e ss≤0.01。
校正前系统不稳定，各参数不符合要求，校正后各参数系统稳定，并且各参数符合题目要求。
校正后系统稳定性提高。
5.设计总结：
本次课程设计的整个过程中有遇到了些许困难。
首先是对课程内容了解不深入，尤其是滞后串联校正。
拿到设计题目后分析不到位，反复几次才找到正确的方法。
另外在对MATLAB运用中遇到许多问题，对该软件并不熟悉程度不够，只能通过摸索学会简单的应用。
同时收获颇多，深刻体会到用MATLAB这个强大的数学工具来解决一些算法和仿真的问题的方便，并精确地反映系统的阶跃响应，还能通过图形和数据一起分析。
与此同时也通过此次设计学习更深入了解了校正的过程，而不在像以前局限于理论计算。
6.参考文献：
[1]《自动控制理论》课程设计指导书薛朝妹霍爱清西安石油大学。
[2]《自动控制理论》教材汤楠霍爱清石油工业出版社。
[3]《MATLAB从入门到精通》周建兴岂兴明等编著人民邮电出版社。
[4]《控制系统MATLAB计算与仿真》黄忠霖黄京编著国防工业出版社。