2011苏锡常镇一模数学试题及答案
江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(5)三角函数
江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第5部分:三角函数 一、填空题：3．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ； 3．π【解析】由题知()12sin cos 1sin 2f x x x x=-=-周期T π=.4. (江苏省苏州市2011年1月高三调研) 函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ▲ .4. 4π【解析】()2738,T =-=2,384A ππω===，()3sin4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()13sin 04f πϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，.4πϕ= 8. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈， 则2αβ+= ▲ .8. 4π【解析】()11173tan ,.11236173παβαβ++==<+<-⨯1tan .336πββ=<< ()1123tan 21,2,2.1134123ππαβαβαβ++==+<+=-⨯8. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +=，则角A 的大小为 . 8．3π【解析】由tan 21tan A b B c +=，得sin()2sin cos sin sin A B C A B B +=，即1cos 2A =，故3A π= 13. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 . 135．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+=▲ ．5．3-【解析】由cos 5α=，α为锐角，可得sin 5α=，则tan 2α=，所以1tan tan()341tan πααα++==--9．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin A C ，30B =，2b =，则△ABC 的面积是 ▲ ．9．sin A C =，得a =，由余弦定理得2242cos a c ac B =+-，解得2c =，故a =1sin 2S ac B ==9. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ=▲ ．9．【解析】运用整体思想将π()4θ-看成一个角，则所求角θ可以看作两个角的和π()44πθθ=-+。
数学_2011年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷(1)(含答案)
2011年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答卷的相应位置上.1. 已知集合A ={0, 3, a 2}，B ={1, a}，若A ∪B ={0, 1, 2, 3, 4}，则实数a 的值为________．2. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=3−4i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为________．3. 若关于x 的不等式ax 2−6x +a 2<0的解集为(1, m)，则实数m ＝________．4. 已知角α的终边经过点P(x, −6)，且tanα=−35，则x 的值________．5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20−80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________． 6. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ；②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β； ③若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m // n ，则n // β． 其中正确命题的序号为________．7. 已知函数f(x)=mx 2+lnx −2x 在x =1处的切线与直线x −4y +1=0垂直，则函数f(x)的单调增区间为________．8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的n =________．9. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a →=(m, n)与向量b →=(1, −1)的夹角为θ，则θ∈(0, π2]的概率是________．10. 矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y =asinax(a ∈R, a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．11. 已知D 是由不等式组{x −2y ≥0x +3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2+y 2=4 围成的区域与区域D 的公共部分的面积为________．12.如图，已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．13. 已知f(x)=x 3−3x ，过A(1, m)可作曲线y =f(x)的三条切线，则m 的取值范围是________．14. 已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，对于任意的n ∈N ∗，总存在m ∈N ∗，使得a m +3=b n 成立，则a n =________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边分别为a ，b ，c ．已知m →=(sinC,sinBcosA)，n →=(b,2c)且.m →⋅n →=0 （1）求∠A 大小．（2）若a =2√3，c =2，求△ABC 的面积S 的大小．16. 如图，△ABD 和△BCD 都是等边三角形，E 、F 、O 分别是AD 、BD 、AC 的中点，G 是OC 的中点； （1）求证：BD ⊥FG ；（2）求证：FG // 平面BOE ．17. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2⋅a 4=65，a 1+a 5=18． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 值；（3）是否存在常数k ，使得数列{√S n +kn}为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点M(2, t)(t >0)在椭圆的准线上． （1）求椭圆的标准方程：（2）求以OM 为直径且被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. 某园林公司计划在一块O 为圆心，R （R 为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，△OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD =θ，CMD ̂=l ，分别用θ，l 表示弓形CMDC 的面积S 弓=f(θ)，S 弓=g(l)； （2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？（参考公式：扇形面积公式S =12R 2θ=Rl ）20. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)=12ax 2+bx(a ≠0)(Ⅰ)若a ＝−2时，函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设φ(x)＝e 2x +be x ，x ∈[0, ln2]，求函数φ(x)的最小值；(Ⅲ)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．2011年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷（1）答案1. 22. −323. 24. 10．5. 43206. ①③7. (0,13)8. 100 9. 712 10. 8√π 11. π2 12. √5313. (−3, −2)14. 5n−315. 解：（1）∵ m→⋅n→=0，∴ (sinC, sinBcosA)⋅(b, 2c)=0．∴ bsinC+2csinBcosA=0．根据正弦定理得：bsinB =csinC，∴ bc+2cbcosA=0．∵ b≠0，c≠0，∴ 1+2cosA=0．∴ cosA=−12．∵ 0<A<π，∴ A=2π3．（2）△ABC中，∵ a2=c2+b2−2cbcosA，∴ 12=4+b2−4bcos120∘．∴ b2+2b−8=0．∴ b=−4（舍），b=2．∴ △ABC的面积S=12bcsinA=12×2×2×√32=√3．16. 证明：（1）连接AF和CF，因为F为BD的中点，△ABD和△BCD都是等边三角形，所以BD⊥AF，BD⊥CF，又AF∩CF=F，所以BD⊥平面AFC，又FG⊂平面AFC，所以BD⊥FG．（2）设BE和AF交于点H，连接OH，在等边三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，所以H为重心，AHAF =23，又O为AC中点，G是OC的中点，所以AOAG =23，在三角形AFG中，AHAF =23=AOAG，所以HO // FG，又FG∉平面BOE，HO⊂平面BOE，所以FG // 平面BOE ． 17. 解：（1）解：{a n }为等差数列， ∴ a 1+a 5=a 2+a 4=18，又a 2⋅a 4=65，∴ a 2，a 4是方程x 2−18x +65=0的两个根 又公差d >0，∴ a 2<a 4，∴ a 2=5，a 4=13． ∴ {a 1+d =5a 1+3d =13∴ a 1=1，d =4∴ a n =4n −3．（2）由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴ a 1⋅a 21=a i 2， 即1×81=(4i −3)2， 解得i =3．（3）由（1）知，S n =n +n(n−1)2×4=2n 2−n ，假设存在常数k ，使数列{√S n +kn}为等差数列， 由√S 1+k +√S 3+3k =2√S 2+2K ， 得√1+k +√15+3k =2√6+2k ， 解得k =1．∴ √S n +kn =√2n 2=√2n 此时有√2n −√2(n −1)=√2，数列{√S n +kn}为等差数列． 所以存在常数k 使得数列{√S n +kn}为等差数列． 18. 解：（1）又由点M 在准线上，得a 2c=2故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2所以椭圆方程为x 22+y 2=1；（2）以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0 即(x −1)2+(y −t2)2=t 24+1，其圆心为(1, t2)，半径r =√t 24+1因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5（3）设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1, y 0)，OM →=(2, t)，MN →=(x 0−2, y 0−t)，ON →=(x 0, y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2， 又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2， 所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．19. 解：（1）∵ S 扇=12R 2θ，S △OCD =12R 2sinθ，∴ S弓=f(θ)=12R2(θ−sinθ)．又∵ S扇=12Rl，S△OCD=12R2sin lR，∴ S弓=g(l)=12R(l−Rsin lR)．（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2元，观赏样板地成本为y3元；则y1=3(12πR2−12lR)，y2=12R2sinθ⋅8，y3=12R(l−Rsinθ)⋅2，∴ y=y1+y2−y3=3(12πR2−12R2θ)+12R2sinθ⋅8−12R2(θ−sinθ)⋅2．=12R2[3π−(5θ−10sinθ)]．设g(θ)=5θ−10sinθ，θ∈(0, π)．g′(θ)=5−10cosθ，由g′(θ)<0，cosθ>12，g(θ)在θ∈(0,π3)上为减函数；由g′(θ)>0，cosθ<12，g(θ)在θ∈(π3,π)上为增函数．当θ=π3时，g(θ)取到最小值，此时总利润最大．所以当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润最大．20. （I）依题意：ℎ(x)＝lnx+x2−bx．∵ ℎ(x)在(0, +∞)上是增函数，∴ ℎ(x)=1x+2x−b≥0对x∈(0, +∞)恒成立，∴ b≤1x +2x，∵ x>0，则1x+2x≥2√2．∴ b的取值范围是(−∞,2√2]．(II)设t＝e x，则函数化为y＝t2+bt，t∈[1, 2]．∵ y=(t+b2)2−b24．∴ 当−b2≤1，即−2≤b≤2√2时，函数y在[1, 2]上为增函数，当t＝1时，y min＝b+1；当1<−b2<2，即−4<b<−2时，当t=−b2时，y min=−b24；−b2≥2，即b≤−4时，函数y在[1, 2]上是减函数，当t＝2时，y min＝4+2b．综上所述：φ(x)={b+1−2≤b≤2√2−b24−4<b<−2 4+2b b≤−4(III)设点P、Q的坐标是(x1, y1)，(x2, y2)，且0<x1<x2．则点M、N的横坐标为x=x1+x22．C1在点M处的切线斜率为k1=1x |x=x1+x22=2x1+x2．C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=x1+x22=a(x1+x2)2+b．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2．即2x1+x2=a(x1+x2)2+b．则2(x2−x1)x1+x2=a(x22−x12)2+b(x2−x1)=(a2x22+bx2)−(a2x12+bx1)=y2−y1=lnx2−lnx1=ln x2x1，∴ ln x2x1=2(x2−x1)x1+x2=2(x2x1−1)1+x2x1设u=x2x1>1，则lnu=2(u−1)1+u,u>1，（1）令r(u)=lnu−2(u−1)1+u ,u>1，则r′(u)=1u−4(u+1)2=(u−1)2u(u+1)2，∵ u>1，∴ r′(u)>0，所以r(u)在[1, +∞)上单调递增，故r(u)>r(1)＝0，则lnu>2(u−1)u+1，与（1）矛盾！。
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式：一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p ：2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：//PA BDE 平面； （Ⅱ）证明：AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBP E调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分（满分40分） 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． （1）求证：PM2=PA·PC ；（2）若⊙O 的半径为，求MN 的长．OCM NA PB 考试证号—————————————————————B ．选修4－2：矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．（1）求动点N 的轨迹C 方程；（2）由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解：（1）1cos21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， （3分）则()f x 的最小值是－2，（4分）最小正周期是22T π==π；（6分）（2）()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， （8分）sin 2sin B A =， 由正弦定理，得12a b =，① （10分） 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． （14分） 16．证明：（1）连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 （2）∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由（1）得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解：（1）由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分（2）由（1）可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-（舍去）．…………… (6分)②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-（舍去）．………………………8分③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分（3）∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩，解得：0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．（1）证明：连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分（2）解：OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解：MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为：22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=； --------------------------------------6分（2）由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明：（1）当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++，那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解：（1）设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分（2）设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(不分文理)试题及答案解析
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A 答案：{}1－，22、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－，）23、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 答案：14、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：35、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案：136、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________2解析：可以先把这组数都减去6再求方差，1657、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________解析：22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________解析：4，设交点为2(,)x x ，2(,)x x --，则4PQ =≥9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f 解析：由图可知：7,2,41234T A πππω==-==2,3k k πϕπϕπ⨯+==10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若，则k 的值为解析：由0=⋅→→b a 得：k=211、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- 12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
江苏省苏北四市2011届高三第一次摸底考试(数学)
F n ,2 (n N ) ，若对 F 2 , n
．
任意正整数 n ，都有 an ak (k N ) 成立，则 ak 的值为
10、在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(a, b) 在函数 y f ( x) 的图象上，那么称 A, B 为 函 数 f ( x ) 的 一 组 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 （ A, B 与 B, A 看 作 一 组 ） . 函 数
▲ ．
x y 3 8、设 x, y 满足约束条件 x y 1 ，若目标函数 z ax bya 0,b 0 的值是最大值为 2 x y 3
10，则
5 4 的最小值为 a b
x
▲
．
9、定义： F( x, y ) y
x 0, y 0 ，已知数列 {an } 满足： a n
2011 届江苏省苏北四市第一次摸底考试数学试题 （必修部分：满分 160 分，答题时间 120 分钟）
一、填空题（每小题 5 分，共 70 分）
1、设复数 z 满足 z(23i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 2、命题“任意偶数是 2 的倍数”的否定是 3 、 已 知 锐 角 ▲ . ▲ ．
BD BC CD ， sin 60 sin sin 120
3 sin 120 sin 120 ∴ BD 2 ， CD .则 AD 1 . „„„„5 分 sin sin sin
16、(14 分)如图边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正 PAD 所在平面互相垂直， M , Q 分 别为 PC, AD 的中点. （1）求四棱锥 P ABCD 的体积； D P M C B
苏锡常镇数学
苏锡常镇四市高三数学试卷 第页(共6页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．03一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合U ＝R ，A ＝{x |x ＋2＞0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩∁U B ＝____________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线8kx 2－ky 2＝8的渐近线方程为__________．3. 函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为__________．4. 已知i 是虚数单位，计算(2＋i )23－4i的结果是__________．5. 已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝__________.6. 已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________．7. 某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5∶2∶3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是__________．8. 右图给出的是计算1＋13＋15＋…＋119的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i ＞______________.(第8题)9. 已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是__________．10. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM＝__________.11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是____________．12. 已知过原点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是__________．13. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．(第13题)14. 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R ， (1) 若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；(2) 若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，证明：a 和b 不可能平行； (3) 若α＝0，求函数f (x )＝a·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 值．(本小题满分14分)在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，线段AB 的中点是E ，现将△ADE 沿DE 折起到△FDE 的位置，使平面FDE 和平面EBCD 垂直，线段FC 的中点是G .(1) 证明：直线BG ∥平面FDE ；(2) 判断平面FEC 和平面EBCD 是否垂直，并证明你的结论．如图，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，底AB 的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2.(1) 若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；(2) 求S 1S 2的最小值．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点P (2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．设函数f (x )＝x (x －1)2，x ＞0. (1) 求f (x )的极值；(2) 设0＜a ≤1，记f (x )在(0，a ]上的最大值为F (a )，求函数G (a )＝F (a )a的最小值；(3) 设函数g (x )＝ln x －2x 2＋4x ＋t (t 为常数)，若使g (x )≤x ＋m ≤f (x )在(0，＋∞)上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．设数列{a n}是一个无穷数列，记T n＝a i＋2a1－a3－2n＋2a n＋1，n∈N*.(1) 若{a n}是等差数列，证明：对任意的n∈N*，T n＝0；(2) 对任意的n∈N*，若T n＝0，证明：{a n}是等差数列；(3) 若T n＝0，且a1＝0，a2＝1，数列{b n}满足b n＝2a n，由{b n}构造一个新数列3，b2，b3，…，设这个新数列的前n项和为S n，若S n可以写成a b(a、b∈N，a＞1，b＞1)，则称S n为“好和”．问S1，S2，S3，…中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由.苏锡常镇四市高三数学附加题试卷 第页(共2页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲过圆O 外一点A 作圆O 的两条切线AT 、AS ，切点分别为T 、S ，过A 作圆O 的割线APN ，证明：AT 2AN 2＝PT ·PSNT ·NS.B. 选修4-2：矩阵与变换已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求线段AB 长的最大值．D. 选修4-5：不等式选讲已知m 、n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别在棱AA 1和CC 1上(含线段端点)．(1) 如果AE ＝C 1F ，试证明B 、E 、D 1、F 四点共面；(2) 在(1)的条件下，是否存在一点E ，使得直线A 1B 和平面BFE 所成角等于π6？如果存在，确定点E 的位置；如果不存在，试说明理由．(1) 当k ∈N *时，求证：(1＋3)k ＋(1－3)k 是正整数；(2) 试证明大于(1＋3)2n 的最小整数能被2n ＋1整除(n ∈N *)．苏锡常镇四市高三数学参考答案 第页(共4页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. (－2,1)2. y ＝±22x3. π4. －725＋2425i5. －26. [3t ，－4t ]7. 1508. 109. 1或－7 10. 3 11. [－12,42] 12. log 32 13. 1214. {0,3,14,30}二、 解答题：本大题共6小题，共90分． 15. (1) 解：若a ⊥c ，则a·c ＝0，(1分)cos x sin α＋sin x cos α＝0，sin(x ＋α)＝0，(2分) 所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1.(4分)(2) 证明：假设a 和b 平行，则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，即23sin x ＝0，sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＞0，矛盾．(6分) 故假设不成立，所以a 和b 不可能平行．(7分) (3) 解：若α＝0，c ＝(0,1)，则f (x )＝a·(b －2c ) ＝(cos x ，sin x )·(cos x ＋23，sin x －2)(9分) ＝cos x (cos x ＋23)＋sin x (sin x －2) ＝1－2sin x ＋23cos x＝1＋4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，(11分) 所以f (x )max ＝5，此时，x ＝2k π－π6，k ∈Z .(14分)16. 证明：(1) 延长DE 、CB 相交于H ，连HF .∵ 菱形ABCD ，且E 为AB 中点，∴ BE ∥CD ，BE ＝12CD ，(2分)∴ B 为HC 中点． ∵ G 为线段FC 中点， ∴ BG ∥HF .(4分)∵ BG ⊄平面FDE ，HF ⊂平面FDE ， ∴ 直线BG ∥平面FDE .(6分) (2) 垂直．(7分)由菱形ABCD 及∠A ＝60°，得△ABD 是正三角形．(8分) ∵ E 为AB 中点，∴ AE ⊥DE ，∴ FE ⊥DE .(10分)∵ 平面FDE 和平面EBCD 垂直，且这两个平面的交线是DE ，FE 在平面FDE 内， ∴ FE ⊥平面EBCD ，(12分)∵ FE ⊂在平面FEC ，∴ 平面FEC 和平面EBCD 垂直．(14分)17. 解：(1) ∵ E 为AC 中点，∴ AE ＝CE ＝32.∵ 32＋3＜32＋4，∴ F 不在BC 上．(2分) 若F 在AB 上，则AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3，∴ AE ＋AF ＝5.∴ AF ＝72＜4.(4分)在△ABC 中，cos A ＝23.(5分)在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos A ＝94＋494－2×32×72×23＝152，∴ EF ＝302.(6分)即小路一端E 为AC 的中点时小路的长度为302(百米)．(7分)(2) 若小道的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF＝y ，则x ＋y ＝5，S 1S 2＝S △CAB －S △CEF S △CEF ＝S △CAB S △CEF－1(8分) ＝12CA ·CB sin C 12CE ·CF sin C －1 ＝9xy －1≥9(x ＋y 2)2－1 ＝1125(当x ＝y ＝52时取等号)；(10分) 若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC )上和底上， 设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5， S 1S 2＝S △ABC －S △AEF S △AEF ＝S △ABC S △AEF－1 ＝12xy －1≥12(x ＋y 2)2－1＝2325(当x ＝y ＝52时取等号)．(13分) 答：最小值是1125.(14分)18. (1) 解：∵ e ＝22即c a ＝22，∴ a ＝2c .∵ a 2＝b 2＋c 2，∴ b ＝c .∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1过点P (2，2)，∴ 4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝c 2＝4.(2分)故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(3分)∵ A (4,0)，B (0,2)，∴ 直线AB 的方程为y ＝－12x ＋2，即x ＋2y －4＝0，则O 到AB 的距离为d ＝45，∴ 圆O 的半径r ＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫12×452＝2，(5分)故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(6分)(2) 证明：椭圆E 的右准线l 的方程为x ＝4.(7分)设l 上取定的点M 为(4，t )，圆O 上的任意的一点N 为(x 0，y 0)，定点Q 为(x ，y )， ∵ NM 与NQ 的比是常数且Q 不同于M ， ∴ NQ 2＝λNM 2，λ是正的常数(λ≠1)，即(x 0－x )2＋(y 0－y )2＝λ(x 0－4)2＋λ(y 0－t )2，(8分)x 20＋y 20－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 20＋y 20＋16＋t 2－8x 0－2ty 0)，将x 20＋y 20＝4代入有－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λty 0＋(20＋t 2)λ，∵ 有无数组(x 0，y 0)，从而⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4λ，①y ＝tλ，②x 2＋y 2＋4＝(20＋t 2)λ，③(10分)将①②代入③得16λ2＋t 2λ2＋4＝(20＋t 2)λ，即(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0，∴ (λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0.∵ λ≠1，∴ λ＝416＋t 2，(12分) 即存在一个定点Q (不同于点M )，使得对于圆O 上的任意一点N ，均有NM NQ为定值．(13分)又16＋t 2＝4λ，代入③得x 2＋y 2＋4＝⎝⎛⎭⎫4λ＋4λ，即x 2＋y 2＝4λ， 于是x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，(15分) 故点Q 在圆心⎝⎛⎭⎫12，0、半径为12的定圆上．(16分) 19. 解：(1) f ′(x )＝(3x －1)(x －1)，(1分)令f ′(x )＝0，得x 1＝13，x 2＝1，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫0，13 13 ⎝⎛⎭⎫13，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 增 极大值 减 极小值 增∴ 当x ＝13时，有极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427；(2分) 当x ＝1时，有极小值f (1)＝0.(3分)(2) 易知f (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上递增，⎝⎛⎦⎤13，1递减，(1，＋∞)递增．(4分) ∴ 当0＜a ≤13时，G (a )＝f (a )a ＝(a －1)2≥49，(5分) 特别当a ＝13时，有G (a )＝49；(6分) 当13＜a ≤1时，F (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13，则G (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13a ＝427a ≥4271＝427.(7分) 故对任意的0＜a ≤1，G (a )的最小值为427.(8分) (3) 由已知得h 1(x )＝x ＋m －g (x )＝2x 2－3x －ln x ＋m －t ≥0在(0，＋∞)上恒成立，由h ′1(x )＝(4x ＋1)(x －1)x(9分) 得x ∈(0,1)时，h ′1(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，h ′1(x )＞0，故x ＝1时，h 1(x )取极小值，也是最小值．从而当且仅当h 1(1)＝m －t －1≥0，m ≥t ＋1时，h 1(x )≥0在(0，＋∞)恒成立．(11分) 同样的，h 2(x )＝f (x )－x －m ＝x 3－2x 2－m ≥0，在(0，＋∞)恒成立．由h ′2(x )＝3x (x －43)得x ∈(0，43)时，h ′2(x )＜0，x ∈(43，＋∞)时，h ′2(x )＞0， 故x ＝43时，h 2(x )取极小值，也是最小值．从而当且仅当h 2(43)＝－3227－m ≥0，m ≤－3227时，h 2(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．(13分) ∴ t ＋1≤m ≤－3227.(14分) 由m 的唯一性知t ＝－5927，此时m ＝－3227.(16分) 20. 证明：(1) 对于任意的正整数n ，∵ T n ＝∑i ＝1n ＋22i －1a i ＋2a 1－a 3－2n ＋2a n ＋1，① ∴ 2T n ＝∑i ＝1n ＋22i a i ＋4a 1－2a 3－2n ＋3a n ＋1，② ①－②得－T n ＝a 3－a 1＋∑i ＝1n ＋12i (a i ＋1－a i )＋2n ＋2(a n ＋1－a n ＋2)．(1分) ∵ 数列{a n }是等差数列，∴ －T n ＝2(a 2－a 1)＋(a 2－a 1)∑i ＝1n ＋12i －2n ＋2(a 2－a 1) ＝(a 2－a 1)(2＋∑i ＝1n ＋12i －2n ＋2)＝0， ∴ T n ＝0.(3分)(2) ∵ 对于任意的正整数n ，T n ＝∑i ＝1n ＋22i －1a i ＋2a 1－a 3－2n ＋2a n ＋1＝0，③ ∴ T n ＋1＝∑i ＝1n ＋32i －1a i ＋2a 1－a 3－2n ＋3a n ＋2＝0，④ ④－③得2n ＋2a n ＋3－2n ＋3a n ＋2＋2n ＋2a n ＋1＝0，即a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0，∴ a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，(5分) 由T 1＝∑i ＝132i －1a i ＋2a 1－a 3－23a 2＝0，即a 3－a 2＝a 2－a 1，(6分) 于是，对一切正整数n 都有a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，故数列{a n }是等差数列．(7分)(3) 由(2)知{a n }是等差数列，其公差是1，所以a n ＝a 1＋(n －1)＝n －1，b n ＝2a n ＝2n －1，(8分)当n ≥2时，S n ＝3＋2＋4＋…＋2n －1＝2n ＋1，(9分)S 1＝3＝2＋1，∴ 对一切正整数n 都有S n ＝2n ＋1.(10分)由a b ＝2n ＋1，a b －1＝2n ，a 、b ∈N ，a ＞1，b ＞1，a 只能是不小于3的奇数．(11分)当b 为偶数时，a b －1＝(a b 2＋1)(a b 2－1)＝2n ， 因为a b 2＋1和a b 2－1都是大于1的正整数， 所以存在正整数t 、s 使得a b 2－1＝2t ，a b 2＋1＝2s ，(12分) 2s －2t ＝2,2t (2s －t －1)＝2,2t ＝2且2s －t －1＝1，t ＝1，s ＝2，相应的n ＝3，即有S 3＝32，S 3为好和；(14分)当b 为奇数时，a b －1＝(a －1)(1＋a ＋a 2＋…＋a b －1)，由于1＋a ＋a 2＋…＋a b －1是b 个奇数之和，仍为奇数，又a －1为正偶数，所以(a －1)(1＋a ＋a 2＋…＋a b －1)＝2n 不成立，这时没有好和．(16分)苏锡常镇四市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：∵ AT 是圆O 的切线，∠ATP ＝∠ANT ，又∠TAP ＝∠NAT ，∴ △ATP ∽△ANT ，(3分)∴ AT AN ＝PT TN，(4分) 同理AS AN ＝PS NS，(6分) 两式相乘AT ·AS AN 2＝PT ·PS NT ·NS.(8分) ∵ AT ＝AS ，∴ AT 2AN 2＝PT ·PS NT ·NS.(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，(2分)其矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (－45°) －sin (－45°)sin (－45°) cos (－45°)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1(6分) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －22－22 －22.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：曲线ρ＝12sin θ的直角坐标系方程为x 2＋(y －6)2＝36，(2分)其圆心为(0,6)，半径为6；(4分)曲线ρ＝12cos(θ－π6)的直角坐标系方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，(6分) 其圆心为(33，3)，半径为6.(8分) ∴ AB 的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.(10分)D. 选修4-5：不等式选讲证明：∵ m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m(2分) ＝(m 3－n 3)(m －n )mn ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn，(6分) 又m 、n 均为正实数，(8分)∴ m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.(10分) 22. (1) 证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,0,0)，D 1(0,1,1)，E (0,0，t )，F (1,1,1－t )，其中0≤t ≤1，则BE →＝FD 1→＝(－1,0，t )，所以BE ∥FD 1，所以B 、E 、D 1、F 四点共面．(5分)(2) 解：BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,0，t )，BF →＝(0,1,1－t )，可求平面BFE 的法向量n ＝(t ，t －1,1)，由已知sin30°＝|BA 1→·n ||BA 1→||n|，所以12＝|－t ＋1|2t 2＋1＋(t －1)2， 平方可求得t ＝0，所以点E 与点A 重合时，直线A 1B 和平面BFE 所成角等于π6.(10分) 23. 证明：(1) (1＋3)k ＝1＋C 1k 3＋C 2k (3)2＋…＋C k k (3)k ，(1－3)k ＝1－C 1k 3＋C 2k (3)2－…＋C k k (－1)k (3)k ， 因此(1＋3)k ＋(1－3)k ＝2[1＋C 2k (3)2＋C 4k (3)4＋…]．∵ 3的偶数次幂均为正整数，∴ (1＋3)k ＋(1－3)k 是正整数．(5分)(2) 证法1：因为0＜(1－3)2n ＜1，由(1)知(1＋3)2n ＋(1－3)2n 为正整数，所以大于(1＋3)2n 的最小整数为(1＋3)2n ＋(1－3)2n .由于(1＋3)2n ＋(1－3)2n ＝[(1＋3)2]n ＋[(1－3)2]n ＝2n [(2＋3)n ＋(2－3)n ]， 由二项式定理知(2＋3)n ＋(2－3)n 是一偶数，所以(1＋3)2n ＋(1－3)2n 能被2n ＋1整除．(10分)证法2：大于(1＋3)2n 的最小整数为(1＋3)2n ＋(1－3)2n ，设a ＝4＋23，b ＝4－23，只要证a n ＋b n 能被2n ＋1整除，由a n ＋1＋b n ＋1＝(a ＋b )(a n ＋b n )－ab (a n －1＋b n －1)及数学归纳法获证．。
苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案(纯)
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题2014．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ▲ ．2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ． 7． 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9．已知2tan()5+=，1tan 3=，则tan +4⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ▲ ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ． 11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ▲．（第5题）12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．111DC B AC BA （第16题）（第12题）ABCDOG（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0) x ya ba b+=>>上不同的三点，A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为S n，已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a的通项公式；θD CBA O（第17题）（第18题）（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x ==成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}1,2,3,4,7 2 3. 4 4.7105．63 6．2 7 8. 23 9． 9810．13 11．9 12．65 13. 27321,{0,22e+⎛⎫-- ⎪⎝⎭14. [3(327,3++--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）1+cos2()622xf x x =⨯=3cos223x x + =)36x ++． …………………3分所以()f x 的最小正周期为22T ==，…………………4分 值域为[3-+． …………………6分 （2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=．B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分∵4cos 5A =，(0,)A ∈，∴3sin 5A ==．…………………10分在△ABC 中，由正弦定理得32sin sin b A a B⨯=== …………………12分∴21sin sin()=sin()sin 322C A B A A A =---=+=． …………………14分 16．（1）证明：∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒，∴△1A AB 为正三角形． …………………2分D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． …………………4分1A D CD D =，∴AB ⊥平面1A DC ． …………………6分∵AB ⊂平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． …………………8分 （2）证明：连结1C A ，设11AC AC E =，连结DE ． ∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． …………………10分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． …………………12分 ∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． …………………14分 17．解：（1）梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S +=⋅=sin cos sin +，(0,)2∈． …………………2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V '=+-=-+． 令()0V '=，得1cos 2=，或cos 1=-（舍）． ∵(0,)2∈，∴3=． …………………5分当(0,)3∈时，1cos 12<<，()0,()V V '>为增函数；当(,)32∈时，10cos 2<<，()0,()V V '<为减函数． …………………7分∴当3=时，体积V 最大． …………………8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin22=，即3=时，()g 最大． …………………12分又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分 （3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ． ∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分∵,,P C N 三点共线，∴022011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 20．解：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e e x x a x x ---+≥恒成立．设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DAAB BE=， AB AD =，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----． 令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分 （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． …………………9分 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。
苏锡常镇数学
苏锡常镇四市高三数学试卷 第页(共6页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011.05一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 的共轭复数为－3＋i ，则|z |＝________.2. 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{1,3,5}，则∁U (A ∩B )＝________.3. 函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈[1,2])的值域为________．4. “x ＞1”是“x 2＞x ”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分又不必要”)．5. 在区间[－1,1]上随机地取一个实数x ，则使得cos πx 2的值介于0到12的概率为________．6. 若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．7. 已知数列{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝6，a 7＋a 8＋a 9＝24，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 8. 阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是________．(第8题)9. 已知方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解x 0∈⎝⎛⎭⎫1n ＋1，1n ，则正整数n ＝________. 10. 如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝(x ＋a )3x －2＋a 2－(x －a )38－x －3a 为偶函数，则所有实数a 的取值构成的集合为________．12. 平面内两个非零向量α、β，满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为135°，则|α|的取值范围是________．13. 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________.14. 已知m 、n ∈R ，且m ＋2n ＝2，则m ·2m ＋n ·22n ＋1的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，AC＝5，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且DC＝42，cos∠DAC＝35.(1)求AD长；(2)求cos B的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；(3)求三棱锥D—AB1F的体积．一条船在如图所示的Y型河流中行驶，从A逆流行驶到B，再从B顺流行驶到C，AB 间航程和BC间航程相等，水流的速度为3 km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度(单位：km/h)的平方成正比．(1)当船在AB段、BC段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？(2)如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A 、C 、T 三点共线；(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．已知函数f (x )＝x ＋a ＋a |x |，a 为实数．(1)当a ＝1，x ∈[－1,1]时，求函数f (x )的值域；(2)设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f (x )的单调减区间为(m ，n )，且n －m ≤3116，求a 的取值范围．已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞2)，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N *. (1)求证：a n ＋1＜a n ；(2)若a ＝322，且数列{b n }满足a n ＝b n ＋1b n，b n ＞1，求证：数列{lg b n }是等比数列；并求数列{a n }的通项公式；(3)若a ＝2 011，求证：当n ≥12时，2＜a n ＜2＋12 011恒成立．(参考数据210＝1 024)苏锡常镇四市高三数学试卷附加题 第页(共2页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(二)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点D 、E ，求∠DAC 的度数与线段AE 的长．B. 选修4-2：矩阵变换 求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001的变换作用下的曲线方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2sin θ，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．D. 选修4-5：不等式选讲已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ＜c.求证：a cos2θ＋b sin2θ＜c.22. 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．随机地将编号为1,2,3的三个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的期望值．23. 当n≥1，n∈N*时，x n－2＝n(1＋x)n－1；(1)求证：C1n＋2C2n x＋3C3n x2＋…＋(n－1)C n－1n(2)求和：12C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋(n－1)2C n－1＋n2C n n.n苏锡常镇四市高三数学参考答案 第页(共4页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(二)数学参考答案及评分标准1. 10 2. {2,4,5,6} 3. [2,5] 4. 充分不必要 5. 136. 47. 15 8. 5 049 9. 2 10. ⎝⎛⎭⎫－65，0 11. {－5,2} 12. (0，2) 13. 3214. 415. 解：(1)设AD ＝x ，则32＝x 2＋25－2×x ×5×35，(3分)即x 2－6x －7＝0.(4分) 解得：x ＝7或x ＝－1. 则AD ＝7.(6分)(2)在△ADC 中，由cos ∠DAC ＝35，得sin ∠DAC ＝sin ∠DAB ＝45.(8分)5sin ∠ADC＝4245，sin ∠ADC ＝22，(10分)∵ AD ＞AC ，∴ ∠ADC 为锐角，∠ADC ＝π4，∠ADB ＝3π4.(11分)∴ cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－3π4－∠BAD ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－∠BAD (12分) ＝22·35＋22·45＝7210.(14分)16. (1)证明：∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，又E 为AB 的中点，连结CE 交AD 于O ，连结FO ，易知CO CE ＝CF CC 1＝23，故FO ∥C 1E .(2分)又FO ⊂平面AFD ，C 1E ⊄平面AFD ，(4分) 故C 1E ∥平面AFD .(5分)(2)解：在平面C 1CBB 1内，过C 作CG ⊥DF ，交B 1B 于G ， 在Rt △FCD 和Rt △CBG 中， FC ＝CB ，∠CFD ＝∠BCG ， 故Rt △FCD ≌Rt △CBG .(6分)而AD ⊥BC ，CC 1⊥AD 且CC 1∩CB ＝C ， 故AD ⊥平面C 1CBB 1.(8分)而CG ⊂平面C 1CBB 1，故AD ⊥CG . 又CG ⊥DF ，AD ∩FD ＝D ，故CG ⊥平面ADF .此时BG ＝CD ＝a .(10分) (3)解：∵ AD ⊥平面BCC 1B 1，∴ VD —AB 1F ＝VA －B 1DF ＝13·S △B 1DF ·AD (12分)＝13×12B 1F ·FD ·AD ＝52a 33.(14分) 17. 解：设AB ＝BC ＝l km ，船在AB 段、BC 段静水中的速度分别为v 1 km /h 、v 2 km/h ，所用时间分别为t 1 h 、t 2 h ，比例系数为k ，耗油量分别为S 1、S 2，总耗油量为S ，其中k 、l 为常数，v 1＞3，v 2≥0.(1)t 1＝l v 1－3，t 2＝lv 2＋3，则S 1＝k v 21t 1＝k v 21l v 1－3＝kl v 21v 1－3，(1分)S 2＝k v 22t 2＝k v 22l v 2＋3＝kl v 22v 2＋3，(2分)显然S 2≥0，当v 2＝0时，(S 2)min ＝0；(3分)S 1＝kl v 21v 1－3＝kl (v 1－3)2＋6(v 1－3)＋9v 1－3＝kl ⎣⎡⎦⎤(v 1－3)＋9v 1－3＋6(4分)≥kl [29＋6]＝12kl .(5分)当且仅当v 1－3＝9v 1－3，v 1＝6时，(S 1)min ＝12kl .此时S 最小．(6分)答：AB 段的静水船速为6 km /h ，BC 段的静水船速为0 km/h 时，总耗油量最小．(7分) (2)如果船的静水速度保持不变，设v 1＝v 2＝v ＞3，S (v )＝S 1＋S 2＝k v 2t 1＋k v 2t 2＝k v 2l v －3＋k v 2l v ＋3＝2kl v 3v 2－9，(10分)∴ S ′(v )＝2kl 3v 2(v 2－9)－v 3·2v (v 2－9)2＝2kl v 2(v ＋33)(v －33)(v 2－9)2.(12分) 当3＜v ＜33时，S ′(v )＜0；当v ＞33时，S ′(v )＞0. 当v ＝33时，S (v )取得最小值．(13分)答：船静水速度为3 3 km/h 时，总耗油量最小．(14分)18. (1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)①，则A (0，b )，B (0，－b )，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1，② BF ：x c ＋y－b ＝1，③(3分)解得：交点C ⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分) ⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1，(5分) 满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2)解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，△OBF ∽△ECF .∵ BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得(7分) ⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设P (x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2，(9分) 直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c .(10分) 只需求x 0＋2y 0的最大值，[方法1]∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c .(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c .(13分) [方法2]令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t )2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c .(12分)当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c .(13分) ∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1.P 点坐标为⎝⎛⎭⎫63，63.(16分) 19. 解：设y ＝f (x )，(1)a ＝1时，f (x )＝x ＋1＋|x |，(1分)当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]．(2分)当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t ≤1，(3分)则x ＝t 2－1，y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，0≤t ≤1，(5分) y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，54. ∵ 54＜1＋2，(7分) ∴ x ∈[1,1]时，函数f (x )的值域为[1,1＋2]．(8分)(2)令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t ≥0，y ＝g (t )＝t ＋a |t 2－a |.(9分)①a ＝0时，f (x )＝x 无单调减区间；(10分)②a ＜0时，y ＝g (t )＝at 2＋t －a 2，t 在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上g (t )是减函数，则x 在⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，＋∞上f (x )是减函数． ∴ a ＜0不成立．(11分)③a ＞0时，y ＝g (t )＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t ≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞a .(12分) 仅当12a ＜a 时，即a ＞2－23时， 在t ∈⎝⎛⎭⎫12a ，a 时，g (t )是减函数，即x ∈⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，0时，f (x )是减函数．(13分) ∴ n －m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0.∴ a ≤2.(15分) 故a 的取值范围是(2－23，2]．(16分) 20. 证明：(1)a n ＋1－a n ＝2＋a n －2＋a n －1＝a n －a n －12＋a n ＋2＋a n －1(n ≥2)．(1分) 上式表明，a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号，(2分)∴a n ＋1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a a －2，…，a 2－a 1同号，(3分) ∵a 2－a －2＝(a －2)(a ＋1)＞0，∴ a 2＞a ＋2， ∴a 2＝a ＋2＜a ，a 2－a 1＜0.(4分)∴ a n ＋1－a n ＜0，a n ＋1＜a n .(5分)(2)a n ＋1＝b n ＋1＋1b n ＋1＝2＋a n ＝2＋b n ＋1b n ，(6分) b 2n ＋1＋1b 2n ＋1＝b n ＋1b n ，b 4n ＋1－⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n b 2n ＋1＋1＝0，注意到b n ＞1，(7分) [方法1]∴ b 2n ＋1＝b n ＋1b n ＋⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n 2－42＝b n ＋1b n ＋⎪⎪⎪⎪b n －1b n 2＝2b n 2＝b n ； 或b 2n ＋1＝b n ＋1b n －⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n 2－42＝b n ＋1b n －⎪⎪⎪⎪b n －1b n 2＝2b n 2＝1b n＜1(舍去)．(8分) [方法2]b 2n ＋1－b n ＋1b 2n ＋1－1b n ＝0，则b 2n ＋1－b n ＋b n －b 2n ＋1b 2n ＋1b n＝0.(7分) ∴ (b 2n ＋1－b n )⎝⎛⎭⎫1－1b 2n ＋1b n ＝0.∵ b n ＞1，∴ b 2n ＋1＝b n .(8分) [方法3]f (x )＝x ＋1x (x ＞1)，f ′(x )＝1－1x 2＞0.(7分) ∴ f (x )在x ＞1时为增函数，而f (b 2n ＋1)＝f (b n)． ∴ b 2n ＋1＝b n .(8分)∴ 2lg b n ＋1＝lg b n ，∴ lg b n ＋1lg b n ＝12， ∴ 数列{lg b n }是等比数列．(9分)当a 1＝b 1＋1b 1＝322，b 1＝2，lg b 1＝lg 2， lg b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1lg 2＝⎝⎛⎭⎫12n lg2. b n ＝2⎝⎛⎭⎫12n ，(10分)a n ＝b n ＋1b n ＝2⎝⎛⎭⎫12n ＋2－⎝⎛⎭⎫12n .(11分) (3)∵ 当n ≥2时，a n －2＝2＋a n －1－2＝a n －1－22＋a n －1＋2. 上式表明：a n －2与a n －1－2同号对一切n ≥2成立，∴ a n －2，a n －1－2，a n －2－2，…，a 2－2，a 1－2同号．而a 1－2＞0，∴ a n －2＞0，∴ a n ＞2.(12分) ∴ n ≥2时，a n －2＝a n －1－22＋a n －1＋2＜a n －1－22＋2＋2＝a n －1－24， ∴a n －2a n －1－2＜14.(13分) 则a n －2a n －1－2·a n －1－2a n －2－2·…·a 3－2a 2－2·a 2－2a 1－2＜⎝⎛⎭⎫14n －1. ∴ a n －2＜(a 1－2)⎝⎛⎭⎫14n －1.(14分)当a 1＝2 011，n ＝12时，a 12－2＜2 009222＜211222＝1211＜12 011，(15分) ∴ a 12＜2＋12 011，又a n ＞2，且a n ＞a n ＋1.1∴当n≥12时，2＜a n＜2＋2 011恒成立．(16分)苏锡常镇四市高三数学附加题参考答案 第页(共1页)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(二)数学附加题参考答案及评分标准21A ：解：如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ，因此∠ABC＝60°，(2分)由于l 为过C 的切线，∠DCA ＝∠CBA ，(4分)所以∠DCA ＝60°.(5分)又AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°.(6分)那么在△AOE 中，从而∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，OE ＝OA ，(8分)于是AE ＝AO ＝12AB ＝2.(10分) B ：解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点，设P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，(3分) 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′2，y ＝y ′.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′2，y ＝y ′代入x 2＋y 2＝4，得x ′24＋y ′2＝4，(8分) 故曲线方程为x 216＋y 24＝1.(10分) C ：解：[方法1]由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.(2分)又ρ＝2sin θ，∴ ρ2＝2ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2y ＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，(8分) 则AB ＝ 3.(10分)[方法2]由ρ＝1，ρ＝2sin θ得2sin θ＝1，(3分)θ＝π6或θ＝56π.(5分) ∴ A ，B 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫1，π6，B ⎝⎛⎭⎫1，56π.(7分) 在△AOB 中，OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝23π，(8分) ∴ AB ＝ 3.(10分)D ：证明：由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12(6分) ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12＜c .(10分) 22：解：(1)ξ的分布列如下所示：(5分)(2)Eξ＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝1.(10分) 23：(1)证明：设f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，①(2分)①式两边求导得n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2n x＋3C3n x2＋…＋(n－1)C n－1x n－2＋n C n n x n－1.②(4分)n(2)解：②两边同乘x得nx(1＋x)n－1＝C1n x＋2C2n x2＋3C3n x3＋…＋(n－1)C n－1x n－1＋n C n n x n.③(6分)n③式两边求导得：n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝C1n＋22C2n x＋32C3n x2＋…＋(n－1)2C n－1x n－2＋n2C n n x n－1.④(8分)n＋n2C n n＝n·2n－1＋n(n－1)2n－2＝2n 在④中令x＝1，则12C1n＋22C2n＋32C n3＋…＋(n－1)2C n－1n－2(2n＋n2－n)＝2n－2·n(n＋1)．(10分)。
2011无锡锡山区一模数学试卷
A B C D EF A O BCD E 2011学年第二学期初三数学考试卷(2012.3)一、选择题（每小题3分，共30分） 1．-3的绝对值是 （ ★ ） A ．-3 B ．31 C ． 3 D ．-31 2．下列运算正确的是 （ ★ ）A ．a ＋b ―(a ―b )＝0B ．52－32＝ 2C ．(m ―1)(m ＋2)＝m 2－m ＋2D ．(―1)2009―1＝20083．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ★ ）4．下列说法正确的是 （ ★ ）A ．6的平方根是 6B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线垂直的梯形一定是等腰梯形D ．四舍五入得到的近似数0.270有3个有效数字5．一元二次方程042=-x 的解是（ ★ ）A ．21=x ，22-=xB ．2-=xC ．2=xD ．21=x ，02=x 6．在2，3，4，5，x 五个数据中，平均数是4，那么这组数据的方差是 （ ★ ） A ．10 B ．2 C ．2 D ．10 7．已知a b <，下列四个不等式中，不正确．．．的是 （ ★ ） A ．22a b < B ．22a b -<- C ．22a b +<+ D ．22a b -<- 8．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 （ ★ ）A ．B ．C ．D ． 9．如图，在□ABCD 中，E 为AD 的中点，△DEF 的面积为1，则△BCF 的面积为 （ ★ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是 （ ★ ）①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 12AC ，④DE 是⊙O 的切线．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11、如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内A ．B ．C ．D ．切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是 （ ★ ）A ．11()2n R -B ．1()2n RC ．2()2n R D ．12()2n R - 12. 如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动点，M N ， 分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ ★ ）A ．2B ．23+C ．4D ．423+二、认真填一填(本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13 一天有86400秒，用科学记数法表示为____★____ 秒； 14．因式分解：3x 2-6xy+3y 2=_____★____。
(解析版)2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏卷)-推荐下载
1 2
(e
答案： 1 (e e1) 2
x0 )ex0
e x0
1) 。 e
ex0
)(1
x0 )
x0e x0 ]
，所以，t
e x0
1 2
在 (0,1)
x0 (e x0
从而 f (0) 2 sin(2k 1 ) 6
x
e1
，若
1
ex0
)
6
1
答案：
3
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s 2 =
▲.
[解析]考查统计中样本数据的方差的计算。先把这组数都减去 7 以后分别为 3，-1，1，-
2，-1，从而求得平均数为 7，再求方差 s2 1 [32 (1)2 12 (2)2 (1)2 ] 16 ，
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学 I
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分，考试
时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
x
当 a 0 时， f (1 a) 2 2a a 1 a 2a f (1 a), a 3 ，（舍去） 2
2a,
当 a 0 时， f (1 a) 1 a 2a 2 2a a f (1 a), a 3 。 答案： 3 。
江苏省无锡市锡山区2011年中考数学一模试卷 人教新课标版
无锡市锡山区2011年中考一模数学试卷本测试分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上．考试时间为120分钟，试卷满分为130分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 1. 计算－2＋6的结果是( ▲ )A ．－8B ．8C ．－4D ．4 2. 下列运算正确的是( ▲ )A ．2x ＋3y ＝5xyB ．a 3－a 2＝aC ．a －(a －b)＝－bD ．(a －1)(a ＋2)＝a 2＋a －23. 若3x －6 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ▲ ) A ．x ≥－2 B ．x ≠－2 C ．x ≥2 D ．x ≠24. 已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则该三角形的第三边的长可能是( ▲ ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．11cm5. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( ▲ ) A ．5 B ．10 C ．20 D ． 146. 若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为( ▲ ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切7. 下列图形中，中心对称图形有( ▲)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是( ▲ ) A ．23cm B ．3cm C ．233cm D ．1cm 9. 下列说法中正确的是( ▲ )A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件；B ．某次抽奖活动中奖的概率为1100，说明每买100张奖券，一定有一次中奖；C ．数据1，1，2，2，3的众数是3；D ．想了解无锡市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查．10. 如图，A 、B 是双曲线 y ＝kx(k ＞0) 上的点， A 、B 两点的横坐 标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k 的值为( ▲ )A.1B.2C.4D.无法确定 二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把结果直接填在答题卷上相应的位置．．．．．．．．．）（第8题）11. －6的相反数是 ▲ .12. 据报道，2010年无锡市政府有关部门在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作，130万平方米这个数用科学记数法可表示为 ▲ 万平方米．13. 分解因式：m 2—2m ＝ ▲ ．14. 方程x 2－4＝0的解为 ▲ ．15. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，若∠OBA ＝25°，则∠BOC ＝ ▲ °．（第15题）A BCD EFP（第16题） （第17题）（第18题）16. 如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF ＝3，则梯形ABCD 的周长为 ▲ ． 17. 一次函数y ＝kx ＋b （k 为常数且k ≠0）的图象如图所示，则使y ＜0成立的x 的取值范围为 ▲ ． 18. 水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ，其中AB 为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为2，水管直径为2，则α的余弦值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.） 19. （本题满分8分）计算：（1）8＋(2011－3)0－(12)－1； （2）(a 2－1)÷(1－1a)20. （本题满分8分）(1)解方程：2x －2 － 3x ＝0； （2）解不等式组：⎩⎨⎧2(x ＋5)≥6 ①3－2x ＞1＋2x ②21. （本题满分8分）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC＝EF ，AB ∥DE ，∠A＝∠D．求证AC ＝DF ．22. （本题满分6分）2011年3月10日，云南省发生了5.8级地震，我区某中学开展了“情系云南，大爱无疆”爱心捐款活动．团干部对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个不完全的频数分布直方图和扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元．（1）请补全频数分布直方图；（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是＿＿＿＿；（3）九（1）班学生小明捐款24元，班主任拟在捐款最多的20－25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是＿＿＿＿．23. （本题满分8分）小莉的爸爸买了去看中国篮球职业联赛总决赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用列表的方法求小莉去看中国篮球职业联赛总决赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．24. （本题满分8分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知安装集热管的支架AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，支架BF的长度为0.9m，且与屋面AB 垂直，支架AE的长度为1.7m，且与铅垂线OD的夹角为35°，支架的支撑点A、B在屋面上的距离为1.6m.（1）求⊙O的半径；（2）求屋面AB与水平线AD的夹角（精确到1°）.25. （本题满分10分）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D．（1）请直接写出用m表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝1．求∠BPC 的度数和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连结PP′． 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝＿＿＿＿°，等边△ABC 的边长为＿＿＿＿． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA＝5，BP ＝2，PC ＝1．求∠BPC 的度数和正方形ABCD 的边长．图 3图127. （本题满分10分）某地为促进特种水产养殖业的发展，•决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，•因资金有限，投入不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：（1（2）应怎样安排养殖，可获得最大收益？（收益＝毛利润－成本＋政府补贴）（3）据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m 万元．问该农户又该如何安排养殖，才可获得最大收益？28. （本题满分10分）如图1，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA ＝123cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB ＝12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以23cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数.（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？（3）是否存在△RPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由.图1 备用图参考答案本测试分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上．考试时间为120分钟，试卷满分为130分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．）1. D2. D3. C4. C5. A6. B7. C8. A9. D10. C二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把结果直接填在答题卷上相应的位置．．．．．．．．．）11. 612. 1.3×10213. m（m－2）14. ±2（或x1＝2，x2＝－2）15. 5016. 1217. x＞－218. 1π三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）19. （1）原式＝22＋1－2 …………3分＝22－1； …………4分（2）原式＝(a ＋1)(a －1)÷a －1a …………2分＝(a ＋1)(a －1)·aa －1…………3分＝a 2＋a …………4分20. （1）解：去分母，得2x －3(x －2)＝0 …………2分解得x ＝6 …………3分经检验，x ＝6是原方程的根. …………4分∴原方程的根为x ＝6.（2）解不等式①，得x ≥－2 …………1分解不等式②，得x ＜12…………2分∴原不等式组的解集为－2≤x ＜12. …………4分21. 证明：∵AB∥DE，∴ ∠B ＝∠DEF ． …………2分在△A BC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠DEF∠A ＝∠D BC ＝EF …………5分∴ △ABC≌△DEF …………7分∴AC ＝DF …………8分22. 解：（1）补图正确. …………2分（2）15－20； …………4分（3）110． …………6分23. (1)列表如下：…………2分所有等可能的结果共有16种，其中和为偶数的有6种，∴和为偶数的概率为616＝38即小莉去看中国篮球职业联赛总决赛的概率为38…………4分(2)由（1）可知：小莉去的概率为38，哥哥去的概率为38，∴游戏不公平，且对哥哥有利． …………6分游戏规则改为：若和为偶数，则小莉得5分；若和为奇数，则哥哥得3分. 此时游戏是公平的． …………8分说明：修改规则的答案不惟一，可根据实际情况评分.24. 解：（1）设⊙O 的半径为rm ，则AO 为（1.7＋r ）m ，BO 为（0.9＋r ）m ，在Rt △ABO 中，AO 2＝BO 2＋AB 2，∴（1.7＋r ）2＝（0.9＋r ）2＋1.62， …………2分 解得r ＝0.3 …………4分 答：⊙O 的半径为0.3m.（2）由（1）可知，BO ＝0.9＋0.3＝1.2m.∵∠ADO ＝90°，∠AOD ＝35°，∴∠OAD ＝55°. …………5分 在Rt △ABO 中，tan ∠OAB ＝BO AB ＝1.21.6，∴∠OAB ≈37°， …………7分∴∠BAD ＝∠OAD －∠OAB ≈55°－37°＝18°. …………8分 答：屋面AB 与水平线AD 的夹角约为18°.25. 解：（1）A(3－m ，0)，D(0，m －3 ) …………2分（2）设以P （1，0）为顶点的抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2(a ≠0) ∵抛物线过点B 、D ，∴⎩⎨⎧m ＝a(3－1)2m －3＝a(0－1)2 解得⎩⎨⎧m ＝4a ＝1 …………4分 所以二次函数的解析式为y ＝(x －1)2，即：y ＝x 2－2x ＋1 …………5分（3）设点Q 的坐标为(x ，x 2－2 x ＋1)，显然1＜x ＜3 …6分连结BP ，过点Q 作QH ⊥x 轴，交BP 于点H. ∵A （－1，0），P （1，0），B （3，4） ∴AP ＝2，BC ＝3，PC ＝2 由P （1，0），B （3，4）求得直线BP 的解析式为y ＝2x －2∵QH ⊥x 轴，点Q 的坐标为(x ，x 2－2 x ＋1)∴点H 的横坐标为x ，∴点H 的坐标为(x ，2x －2)∴QH ＝2x －2－(x 2－2x ＋1)＝－x 2＋４x －3 …………7分 ∴四边形ABQP 面积S ＝S △APB ＋S △QPB ＝12×AP ×BC ＋12×QH ×PC＝12×2×4＋12×(－x 2＋４x －３)×2＝－x 2＋４x ＋1＝－(x －2)2＋5 …………9分 ∵1＜x ＜3∴当x ＝2时，S 取得最大值为5， …………10分即当点Q 的坐标为(2，1)时，四边形ABQP 面积的最大值为5.说明：用平行于PB 的直线与抛物线相切于点Q 的方法而得出准确结果不给全分（注：初中阶段没有解题依据），可统一扣1分. 26. （1）150°，7． …………2分（2）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC ≌△BP′A． ……3分∴AP′＝PC ＝1，BP ＝BP′＝2．连结PP′，在Rt△BP′P 中，∵ BP ＝BP′＝2，∠PBP′＝90°， ∴ PP′＝2，∠BP′P＝45°． …………4分在△AP′P 中， AP′＝PC ＝1，PP′＝2，AP ＝5，∵ 12＋22＝(5)2，即AP′2＋PP′ 2＝AP 2．∴ △AP′P 是直角三角形，即∠AP′P＝90°． …………5分 ∴∠AP′B＝∠AP′P＋∠BP′P＝135°． ∴ ∠BPC＝∠AP′B＝135°． …………6分 过点B 作BE ⊥AP′交AP′的延长线于点E ． 则∠E P′B ＝45°，∴ E P′＝BE ＝22BP′＝1，∴AE ＝2. ∴在Rt△AB E 中，由勾股定理，得AB ＝5． …………8分∴∠BPC ＝135°，正方形边长为5．27. （1）设安排x 个水池养甲鱼，则安排(10－x)个水池养黄鳝.根据题意，得⎩⎨⎧ 1.5x ＋1×(10－x)≤14(2.5－1.5＋0.2)x ＋(1.8－1＋0.1)(10－x)≥10.8， …………2分解这个不等式组，得6≤x≤8. …………3分 ∵x 是整数，∴x ＝6，7，8 ∴该农户可以有三种安排养殖方案，即方案一：安排6个水池养甲鱼，4个水池养黄鳝； 方案二：安排7个水池养甲鱼，3个水池养黄鳝；方案三：安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝. …………4分 （2）解法一：方案一的收益为1.2×6＋0.9×4＝10.8(万元)； 方案二的收益为1.2×7＋0.9×3＝11.1(万元)； 方案三的收益为1.2×8＋0.9×2＝11.4(万元).∴安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝获得最大收益. …………6分解法二：设安排x 个水池养甲鱼，(10－x)个水池养黄鳝时获得收益为w 万元. 则w ＝(2.5－1.5＋0.2)x ＋(1.8－1＋0.1)(10－x)＝0.3x ＋9 ∴当x ＝8时，w 取得最大值为11.4即安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝获得最大收益.（3）由题意知w ＝(2.5－m －1.5＋0.2)x ＋(1.8－m －1＋0.1)(10－x)＝(0.3－m)x ＋9 ……7分①当m ＝0.3时，（1）中的方案一、二、三收益相同； …………8分 ②当m ＜0.3时，安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝； …………9分 ③当m ＞0.3时，安排6个水池养甲鱼，4个水池养黄鳝； …………10分28. 解：（1）在Rt△AOB 中，tan∠OAB＝OB OA ＝12123＝33，∴∠OAB＝30° …2分（2）如图，连结O′P，O′M.当PM 与⊙O′相切时，有∠PMO′＝∠POO′＝90°，△PMO′≌△POO′ …………3分 由（1）知∠OBA＝60°∵O′M＝ O′B，∴△O′BM 是等边三角形，∴∠B O′M＝60° 可得∠OO′P＝∠MO′P＝60° ∴OP＝OO′·tan∠O O′P＝6×tan60°＝63 …………5分 又∵OP＝23t ，∴23t ＝63，t ＝3即：t ＝3时，PM 与⊙O′相切. …………6分（3）PR 2＝16t 2－48t ＋144，PQ 2＝52t 2－288t ＋432，RQ 2＝28t 2－240t ＋576.当PR ＝RQ 时，可得t ＝8－27（t ＝8＋27舍去）； 当PR ＝PQ 时，可得t ＝10±273；当PQ ＝RQ 时，可得t ＝1＋7（t ＝1－7舍去）. 综上，当t 为8－27，10±273，1＋7时，△RPQ 为等腰三角形. ……10分（注：4个结果每个1分）。
高三数学第一次模拟考试试卷分析
溧阳市高三数学第一次模拟考试试卷分析苏锡常镇第一次模拟考试是高考的预演, 既可检测教与学的基本状况, 也能为后续复习教学有效展开提供必要的参考依据。
今年的模拟试题延续了期末考试命题的基本思路, 也与2011年高考命题的指导思想大致吻合。
一、抽样数据分析表1（各题的难度与均分）表2（大题与总体的难度与均分）从抽样情况看, 1-9题的难度基本适中；10-12题偏难；13-14属难题, 正常； 15-16题的难度适当；17-18题第⑴问属常规题型, 第⑵问难度过大, 许多学生在此消耗的时间和精力过多；19题属常规题型, 但到此许多学生不是时间不够, 就是运算不过关或精力不集中等等原因, 致使得分仍不理想；20题主要是时间问题或试题的呈现方式等因素, 学生读题、审题和寻找解决问题的方法和途径等各个环节都没有处理好, 得分不理想, 但难度是恰当的。
由此可以看出: 填空题稍有失控, 解答题基本恰当, 整体的难度尚能够接受。
二、各题简要分析第2题, 学生对渐近线的理解和求解不到位,靠死记硬背而出错的情况比较多。
第5题, 抽样函数的性质应用不熟练, 转化的能力尚存在不足, 数形结合的意识不强。
第6题学生对含参变量 的不等式的解法不习惯, 或者由于区间端点不注意造成错误。
第7题, 读题、审题, 并从中提取有效信息的能力还有待进一步提高。
第10题, 本身不是难题, 但学生类比推理能力不够, 尤其从二维拓展为三维时不能把握数据的变化。
事实上, 考试说明的没有相关运算的要求, 学生又不会也在情理之中。
第11题, 线性规划和数列相结合, 由于 表示的平面区域图比较难画, 再加上坐标系的选取不同, 计算的失误也是失分的主要因素第12题, 学生不能把相关条件转化为图形, 再从图象上寻找等量关系；再加上审题不过关和对数的运算能力比较差而造成出错。
第13题, 学生很难寻找到问题解决的方法和途径, 平面向量和函数最值本身就是难点。
2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答
2011年填空题压轴题常见题型复习指导1题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ． 2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ． 3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n，则数列{c n }的通项公式是 ▲ ． 1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则m = ▲ ．(用θ表示)m =sin θ．A BC OE FD 图1图4题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC ⋅ = ▲ ．2224(1)144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．值为4题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ． 9．题10(南通市一模) 是 ▲ ．2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2maxmax 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．3223(1)(2)l k k -+．注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2012届填空题压轴题常见题型复习指导2题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 83≥-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ． {83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n ==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ． 5．题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122mn m n +⋅+⋅的最小值为▲ ． 4．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．(2,)+∞．x图10λ+图12题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ． 故第13行第10个数为 111216142922⨯+⨯=．题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．c =2或c =1．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．116-．题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．171．2012届填空题压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ． 解 当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ． 若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点． 若m ≠0，则令f (x )=0，得m∈N ．注意到-5≤x ≤10N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．解 依题设，有b n +1-b n =a 2-a 1=1，从而数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列． 同理可得，{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以，数列{a n +b n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以，201111()2011i i i a b =+∑=120112010(201132)20112⋅⨯+⨯=2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ．略解 依题设，有a i -b j =a j -b i ，于是a i +b i =a j +b j ，所以a n +b n =3，11()ni i i a b n =+∑=3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a ib j =a k b l ，记c n{c n }的通项公式是 ▲ ． 略解 由a 2b n =a 1b n +1，得1212n n b a b a +==，故b n =2n ．同理，a n =12n -，通项公式为1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 解 依题意，有0≤(k -1)x -1≤(x +1)ln x 在x ∈[1，2e]上恒成立．当x ∈[1，2e]时，函数f (x )=(k -1)x -1的图象为一条线段，于是(1)0,(2e)0,f f ≥⎧⎨≥⎩解得k ≥2．另一方面，k -1≤(1)ln 1x x x++在x ∈[1，2e]上恒成立．令m (x )=(1)ln 1x x x ++=ln 1ln x x x x ++，则2ln ()x xm x x -'=．因1≤x ≤2e ，故1(ln )1x x x'-=-≥0，于是函数ln x x -为增函数．所以ln x x -≥1ln1->0，()m x '≥0，m (x )为[1，2e]上的增函数． 所以k -1≤[m (x )]min =m (1)=1，k ≤2．综上，k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则m = ▲ ．(用θ表示)解法1 如图1，作OE ∥AC 交AB 于E ，作OF ∥AB 交AC 于F ． 由正弦定理，得s i n s i n s i n A EA OA OA O EA E OA==． 又∠AOE =∠OAF =2ADC π-∠=2B π-∠，所以cos sin AO B AE A=，所以cos sin AO B AB AE A AB =⋅． 同理，cos sin AO C ACAF A AC=⋅． 因AE AF AO += ，故cos cos sin sin AO B AB AO C AC AO A AB A AC⋅+⋅=．因2sin sin AB AC AO C B ==，故上式可化为cos cos 2sin sin 2sin sin B CAB AC AO A C A B+= ， 即cos cos 2sin sin sin B C AB AC A AO C B+=⋅，所以m =sin θ．解法2 将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=两边同乘以2AO ，得222cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B+=，即2222cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO =⋅+⋅． 由正弦定理，得m =22cos cos sin sin sin sin B C C B C B+=cos B sin C +cos C sin B =sin(B +C )=sin A =sin θ． 解法3 将已知等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=两边平方，得22222222cos cos cos cos 2cos 4sin sin sin sin B C B C AB AC AB AC A m AO C B C B++⋅=． 由正弦定理，得m 2=22cos cos 2cos cos cos B C B C A ++ =222cos sin (cos cos cos )B A B A C ++ =222cos sin (cos cos cos())B A B A A B +-+ =222cos sin (sin sin )B A B A + =sin 2A =2sin θ．注意到m >0，故m =sin θ．注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC 为正三角形，ABC OE F D 图1即得m ，于是猜测m =sin θ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示AO；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的．题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．解 设x <0，则问题化归为关于x 的方程22(241)0e xx x -+++=，即21e 22xx x =---(0x <)有几个负数解问题．记1=e x y ，221(1)2y x =-++，当1x =-时，11e 2<，所以函数1y 的图象与2y 的图象有两个交点(如图2)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B AB C ⋅=▲ ．解 如图3，(1)P π2, 为极值点，2OP k =π．设点A (x 0，sin x 0)，则过点A 的切线l 的斜率为02cos x =π．于是，直线l 的方程为002sin ()y x x x -=-π． 令y =0，得00sin 2x x x π-=，从而BC =00sin 2x x x π-=． BA BC ⋅= cos BA BC ABC ⋅⋅=BC 2=20(sin )2x π2224(1144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．解 令由22()323()03a f x x ax x x '=-=-=，得x =0或23ax =． 于是，f (x )的单调增区间为(,0)-∞和2(,)3a+∞． 所以220033a <≤，即0<a ≤10． 因f (x )的极大值为f (0)=0，故f (x )=1000的整数解只能在2(,)3a+∞上取得． 令x 3-ax 2=1000，则a =21000x x -．图4令g (x )=21000x x -，则32000()1g x x '=+>0，故g (x )在2(,)3a+∞为增函数．因g (10)=0，g (15)=510109+>，故方程f (x )=1000的整数解集为{11，12，13，14}． 从而对应的实数a 亦有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．解 设P (a ，-a 3+1)，0<a <1，则切线方程为y = -3a 2x +2a 3+1．于是，两交点分别为(0，2a 3+1)，(32213a a +，0)，322(21)()6AOB a S S a a ∆+==．令333(21)(41)()3a a S a a+-'==0，得a ，且可判断此时S 题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ．解 23420092()1f x x x x x x x '=-+-+-⋅⋅⋅-+=20111,1,12011, 1.x x xx ⎧+≠-⎪+⎨⎪=-⎩当x ≥0时，()0f x '>；当-1<x <0时，()0f x '>；当x <-1时，()0f x '>，故函数f (x )为R 上的增函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点．因f (0)=1>0，f (-1)=111111(11)(()()234520102011-+-++-++⋅⋅⋅+-+<0，故f (0)f (-1)<0，因而f (x )在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f (x +3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．同理可得，函数g (x )为R 上的减函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点． 又g (1)=111111(11)()((234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+->0，g (2)=242010121212(12)2(2(2()234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+-<0，于是g (1)g (2)<0，因而g (x )在R 上唯一零点在区间(1，2)上，于是g (x -3)的唯一零点在区间(4，5)上． 所以，F (x )的两零点落在区间[-4，5]上，b -a的最小值为9．注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低．导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具．题10(南通市一模) 是 ▲ ． 解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图4，△ABC 中，E ，F 分别为底BC 与腰AC 的中点，BF 与AE 交于点G ，则G 为△ABC 的重心，于是BG =CG =23BF =AE =3GE ．所以，21333sin 222ABC BGCS S GB GC BGC ∆∆==⋅⋅≤⨯=，当且仅当∠BGC =2π，即BG ⊥GC 时，△ABC 的面积取最大值2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．略解 如图5，以B 为原点，BD为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0． 因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)． 所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．略解 如图6，因PE =kPD ，故EG =kOD ． 因AO =2OD ，故2OF AO FG GE k ==，于是22OF GO k =+． 因PG PE k PO PD ==，故1GO k PO=-， 从而OF OF GO PO GO PO =⋅=2(1)2k k-+． 所以，22(1)P ABC F ABC kV V k --+=-．因2AF AO FE GE k ==，故AF =2222AE lk k =++． 于是，F ABC V -≤316FA =3343(2)l k +(当且仅当F A ，FB ，FC 两两垂直时，“≤”中取“=”)，所以，22(1)P ABCF ABC kV V k --+=-≤3223(1)(2)l k k -+，于是所求的最大值为3223(1)(2)l k k -+． 注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．解 易知f (x )在上为减函数，在)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在)+∞上． 若0≤a ≤b 2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①； 若0≤a b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．解 依题意，画出示意图如图8所示．于是，3(,2)2απ∈π，且A (α，-sin α)为直线y =kx 与函数y = -sin x (3(,2)2x π∈π)图象的切点． 在A 点处的切线斜率为sin cos ααα--=，故α=tan α．所以，2(1)sin 2ααα+=2(1tan )sin 2tan ααα+=sin 2cos sin ααα=2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ． 解 因f (-x )=f (x )，故f (x )为偶函数．记g (x )=|1||2||2011|x x x ++++++ ，h (x )=|1||2||2011|x x x -+-++- ． 当x ≥0时，g (x +1)-g (x )=|x +2012|-|x +1|=2011， h (x +1)-h (x )=|x |-|x -2011|=22011,02011,2011,2011.x x x -≤<⎧⎨≥⎩所以，f (x +1)-f (x )=2,02011,4022,2011.x x x ≤<⎧⎨≥⎩所以，f (0)=f (1)<f (2)<f (3)<…． 又当0≤x ≤1时，f (x )=(1)(2)(2011)(1)(2)(2011)x x x x x x +++++++-+-++- =20112012⨯， 故2|32||1|a a a -+=-或21132111a a a ⎧--+⎨--⎩≤≤≤≤,, 且a ∈N *，解得a =1，2，3，所以结果为6．注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始．先研究函数1()|1||1|f x x x =++-与函数2()|1||2||1||2|f x x x x x =++++-+-的图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数()f x 的图象与性质，并最终得以解决问题．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 解 因x ∈N *，故由f (x )≥3恒成立，得a ≥8()3x x -++，故a ≥max 8[()3]x x -++．当x取最接近于x =3时，8()3x x -++取最大值83-，于是a ≥83-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ．略解 首先a ≥83-．另一方面，∃x ∈N *，使f (x )≤3能成立，即a ≤8()3x x -++能成立，于是a ≤max 8[()3]x x -++=83-．所以，a 的取值集合是{83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记 S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ． 若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ．解21(1)()2nk k f n=-π∑ =(21)(1)cos0[coscos ][cos cos ]cos22222n n n n n n n n nπ-π(-1)π+ππ++++++ =1． 21(1)()2nk k n g n=--π∑ =1(1)sin[sin sin ][sin sin ]sin 022222n n n n n n n n-π(-)π-π-ππ++++++ = -1． 所以，S n =122n+，T m =1212m m +-． 令T m <11，则正整数m 的最大值为5．注 本题的难点在于复杂的S n 的表达式．去掉求和符号∑，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目． 题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122m n m n +⋅+⋅的最小值 为 ▲ ． 解法1 设x =m ，y =2n ，则问题等价于：已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值． 令S =22x y x y ⋅+⋅，T =22y x x y ⋅+⋅，则S -T =()(22)x y x y --≥0，即S ≥T ．另一方面，S +T =()(22)x y x y ++≥2⨯，故S ≥4，当且仅当x =y =1时取等号． 所以2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4．解法2 考虑到对称性，不妨取m ≥1．令g (m )=22(2)2m m m m -⋅+-⋅，m ≥1． 则22()(22)(2(2)2)ln 2m m m m g m m m --'=-+⋅--⋅≥0． 所以函数g (m )(m ≥1)为增函数，故min ()(1)4g m g ==．注 这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高．究其原因大致为：当考生经过变元后，得问题为“已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值”，它具有某种对称性，凭直观猜测：让x =y =1，一举得到所求结果．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．解法1 如图9，作1OA OA λ= ，1OB OB μ=，连B 1C ，A 1C ，则1||OA λ= ，1||OB μ= ，||1OC =．因三点A ，B ，C 互异，且11OC OA OB =+ ，故O ，C ，B 1构成三角形的三1,|| 1.λμλμ+>⎧⎨-<⎩个顶点，且11||||B C OA λ== ，于是由三角形的边与边之间的关系有（☆）如图10的阴影部分表示不等式组（☆）所表示的区域，P (λ，μ)为阴影部分内的动点，定点A (0，3)，则λ2+(μ-3)2=AP 2．点A (0，3)到直线μ-λ=1的距离d=，AP >d=，故λ2+(μ-3)2>2，从而λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．解法2 依题意，B ，O ，C 三点不可能在同一条直线上．所以OC OB ⋅ =||||cos OC OB BOC ⋅=cos BOC ∈(-1，1)．又由OC OA OB λμ=+ ，得OA OC OB λμ=- ，于是2212OB OC λμμ=+-⋅ ．图10λ+图12记f (μ)=λ2+(μ-3)2=2212(3)OB OC μμμ+-⋅+- =226210OB OC μμμ--⋅+ ．于是，f (μ)>2228102(2)2μμμ-+=-+≥2， 且f (μ)<22410μμ-+=22(1)8μ-+，无最大值．故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．解法1 记第n 行第m 个数为a n ，m ．为了得到a 13，10，则第1行必须写满22个数． 观察可得：a 13，1+a 13，10=2(a 12，1+a 12，11)=22(a 11，1+a 11，12)=…=212(a 1，1+a 1，22)=23×212． 所以，a 13，1+a 13，10=23×212． 另一方面，a 13，10=a 13，1+9×212． 联立解得 a 13，10=216．解法2 记第n 行的第1个数为a n ．于是，猜测(1)2n a n =+⋅．因第n 行的数从左到右排列成公差为12n -的等差数列，故第13行第10个数为111216142922⨯+⨯=．解法3 记第n 行的第1个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则12n n n a S +-=． 所以，S n +1-2S n =2n ，111222n n n n S S ++-=．又11122S =，故22n n S n =，S n =12n n -⋅．所以，2(1)2n n a n -=+⋅．下同解法2． 题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ． 解法1 设CN =x ∈1[,1]2，则BM =DN =1-x ．作MP ⊥DC 交DC 于点P ，则PN =2x -1． 所以，MN 2=1+(2x -1)2=4x 2-4x +2，BN 2=x 2+1，22MN BN=224421x xx -++=24241x x +-+ =2441()12t t --+=44514t t -+-(其中t =12x +)，当且仅当54tt=，即t ，x 时，22MN BN 取最小值，所以CN解法2 设∠CBN =θ(θ∈[0,]4π)，则BN =1cos θ，DN =1-tan θ，MN1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 …48 64 80 … … … …图11所以，MNBN=cos其中cos ϕsin ϕ=．当sin(2)1θϕ+=时，MN BN 取最小值，此时tan 2tan()2θϕπ=-=1tan ϕ=2．解22tan 21tan θθ=-，得tan θ为所求(另一解为负，舍去)．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．解 可求得，当12n -≤x ≤2n (n ∈N *)时， f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----．记函数f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----(12n -≤x ≤2n ，n ∈N *)图象上极大值的点为P n (x n ，y n )．令2302nn x --=，即x n =232n -⋅时，y n =2n c -，故P n (232n -⋅，2n c -)． 分别令n =1，2，3，得 P 1(32，1c)，P 2(3，1)，P 3(6，c )． 由2123P P P P k k =(k 表示直线的斜率)得，c =2或c =1． 当c =2时，所有极大值的点均在直线13y x =上；当c =1时，y n =1对n ∈N *恒成立，此时极大值的点均在直线y =1上．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x 2=py (p ≠0)或y 2=qx (q ≠0)． 若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线x 2=py (p ≠0)上，则(232n -⋅)2=2n pc -，即29()4n cp -=对n ∈N *恒成立，从而c =4；若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则(2n c -)2=232n q -⋅，即23n q -=对n ∈N *恒成立，从而c综上，c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增函数，故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成立．若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k个单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时0<a <20116．综上，实数a 的取值范围是a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 解法1 因x ≠0，故将方程两边同除以x 3，并变形得211()()2x a x a x x++++-=0．令g (t )=22t at a ++-，t =1x x+∈(,2][2,)-∞-+∞ ． 原方程有实数根，等价于函数g (t )有零点．因g (-1)= -1，故函数g (t )有零点，只须g (-2)≤0或g (2)≤0． 解g (-2)≤0，得a ≥2；解g (2)≤0，得a ≤23-．所以，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．解法2 易知x =0不是方程的根，故x 3+x 2+x =213(())24x x ++≠0．所以，a =4321x x x x +-++=2111x x x x +-++=212()11x x x x-+++=12t t -+∈2(,][2,)3-∞-+∞ ，其中t =11x x ++∈(,1][3,)-∞-+∞ ．解法3 接解法2，a =4321x x x x+-++，于是2432322(1)(2421)()x x x x x a x x x -++++'=++． 因4322421x x x x ++++=x 2(x +1)2+(x +1)2+2x 2>0，故由0a '=可解得x =1或-1． 当x >0时，a <0，且当x =1时，a 取极大值23-，故此时a ≤23-；当x <0时，a >0，且当x = -1时，a 取极小值2，故此时a ≥2． 综上，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．解法1 当x ≠0，±1时，f (x )=2212x xx x-++=21()4x xx x--+=114()x x x x-+-．当1x >x 时，f (x )≤14，且当1x x -=2时，取“=”，故f (x )的最大值为14． 又因为f (x )为奇函数，故f (x )的最小值为14-．所以所求的乘积为116-． 解法2 令422361()(1)x x f x x -+'=+=0，得x 2=21)． 函数f (x )的最大值应在x -x 3>0，即0<x <1或x <-1时取得． 所以[f (x )]max =max{f1)，f(1)}=14，下同解法1．解法3 令x =tan θ，则g (θ)=f (x )=222tan (1tan )(1tan )θθθ-+=1sin 44θ∈11[,]44-，所求乘积为116-．注 题23与题24有异曲同工之妙，它们都出现了x ，x 2，x 3，x 4，经换元后，分别得到了只关于整体变量1x x +及1x x-的表达式，进而一举解决了问题． 题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．解 f (x )=123100111111|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++- 项项项项， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1||71x -．x =171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为171． 注 1．一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |．若n 为奇数，则当x =12n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈122[,]n n a a +时，f (x )取最小值．2．本题似于2011年北大自主招生题：“求|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|2011x -1|的最小值”相关联．。
江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(13)复数、推理与证明
江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第13部分:复数、推理与证明一、填空题：4．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)已知i 是虚数单位，计算2(2i)34i 的结果是；4．724i 2525【解析】22234347243434343425ii i i i i i i.10．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)已知结论：“在三边长都相等的ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是ABC 外接圆的圆心，则2AGGD ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM”．10．3【解析】等积法，连接球心与四面体各个顶点，得到四个相同的三棱锥，于是可以得到1114333BCD BCD BCD S AM S OM S AO OM 即3AO OM . 1.(江苏省苏州市2011年1月高三调研)复数212i 的共轭复数是▲ . 1. 34i 【解析】2121443 4.i i i2.(江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)已知复数z 满足(2)1z i i （i 为虚数单位），则z 的模为.2．10【解析】由(2)1z i i ，得123iz i i ，所以||10z .1．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)复数z (13i)i (i 是虚数单位)，则z 的实部是▲．1．3【解析】(13)3zi i i ，故z 的实部为31.(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)若复数11i z ，224i z ，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是▲. 1．【解析】212(1)(24)242462z z i i i i i i ，则复数12z z 的虚部是 2. 3. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)设i 是虚数单位，若ai i z 11是实数，则实数a。
【初中数学】江苏省无锡市锡山区2011年中考一模数学试卷 人教版
无锡市锡山区2011年中考一模数学试卷本测试分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上．考试时间为120分钟，试卷满分为130分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 1. 计算－2＋6的结果是( ▲ )A ．－8B ．8C ．－4D ．4 2. 下列运算正确的是( ▲ )A ．2x ＋3y ＝5xyB ．a 3－a 2＝aC ．a －(a －b)＝－bD ．(a －1)(a ＋2)＝a 2＋a －23. 若3x －6 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ▲ ) A ．x ≥－2 B ．x ≠－2 C ．x ≥2 D ．x ≠24. 已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则该三角形的第三边的长可能是( ▲ ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．11cm5. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( ▲ ) A ．5 B ．10 C ．20 D ． 146. 若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为( ▲ ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切7. 下列图形中，中心对称图形有( ▲)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是( ▲ ) A ．23cm B ．3cm C ．233cm D ．1cm 9. 下列说法中正确的是( ▲ )A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件；B ．某次抽奖活动中奖的概率为1100，说明每买100张奖券，一定有一次中奖；C ．数据1，1，2，2，3的众数是3；D ．想了解无锡市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查．10. 如图，A 、B 是双曲线 y ＝kx(k ＞0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k 的值为( ▲ )A.1B.2C.4D.无法确定 二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把结果直接填在答题卷上相应的位置．．．．．．．．．）（第8题）11. －6的相反数是 ▲ .12. 据报道，2010年无锡市政府有关部门在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作，130万平方米这个数用科学记数法可表示为 ▲ 万平方米．13. 分解因式：m 2—2m ＝ ▲ ．14. 方程x 2－4＝0的解为 ▲ ．15. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，若∠OBA ＝25°，则∠BOC ＝ ▲ °．（第15题）A BCD EFP（第16题） （第17题）（第18题）16. 如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF ＝3，则梯形ABCD 的周长为 ▲ ． 17. 一次函数y ＝kx ＋b （k 为常数且k ≠0）的图象如图所示，则使y ＜0成立的x 的取值范围为 ▲ ． 18. 水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ，其中AB 为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为2，水管直径为2，则α的余弦值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.） 19. （本题满分8分）计算：（1）8＋(2011－3)0－(12)－1； （2）(a 2－1)÷(1－1a)20. （本题满分8分）(1)解方程：2x －2 － 3x ＝0； （2）解不等式组：⎩⎨⎧2(x ＋5)≥6 ①3－2x ＞1＋2x ②21. （本题满分8分）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC＝EF ，AB ∥DE ，∠A＝∠D．求证AC ＝DF ．22. （本题满分6分）2011年3月10日，云南省发生了5.8级地震，我区某中学开展了“情系云南，大爱无疆”爱心捐款活动．团干部对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个不完全的频数分布直方图和扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元．（1）请补全频数分布直方图；（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是＿＿＿＿；（3）九（1）班学生小明捐款24元，班主任拟在捐款最多的20－25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是＿＿＿＿．23. （本题满分8分）小莉的爸爸买了去看中国篮球职业联赛总决赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用列表的方法求小莉去看中国篮球职业联赛总决赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．24. （本题满分8分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知安装集热管的支架AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，支架BF的长度为0.9m，且与屋面AB 垂直，支架AE的长度为1.7m，且与铅垂线OD的夹角为35°，支架的支撑点A、B在屋面上的距离为1.6m.（1）求⊙O的半径；（2）求屋面AB与水平线AD的夹角（精确到1°）.25. （本题满分10分）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D．（1）请直接写出用m表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝1．求∠BPC 的度数和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连结PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC ＝＿＿＿＿°，等边△ABC 的边长为＿＿＿＿． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA＝5，BP ＝2，PC ＝1．求∠BPC 的度数和正方形ABCD 的边长．图3图127. （本题满分10分）某地为促进特种水产养殖业的发展，•决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，•因资金有限，投入不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：（1（2）应怎样安排养殖，可获得最大收益？（收益＝毛利润－成本＋政府补贴）（3）据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m 万元．问该农户又该如何安排养殖，才可获得最大收益？28. （本题满分10分）如图1，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA ＝123cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB ＝12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以23cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数.（2）以OB 为直径的⊙O′与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O′相切？（3）是否存在△RPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由.图1 备用图参考答案本测试分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上．考试时间为120分钟，试卷满分为130分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．）1. D2. D3. C4. C5. A6. B7. C8. A9. D10. C二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把结果直接填在答题卷上相应的位置．．．．．．．．．）11. 612. 1.3×10213. m（m－2）14. ±2（或x1＝2，x2＝－2）15. 5016. 1217. x＞－218. 1π三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.） 19. （1）原式＝22＋1－2 …………3分＝22－1； …………4分（2）原式＝(a ＋1)(a －1)÷a －1a …………2分＝(a ＋1)(a －1)·aa －1…………3分＝a 2＋a …………4分20. （1）解：去分母，得2x －3(x －2)＝0 …………2分解得x ＝6 …………3分经检验，x ＝6是原方程的根. …………4分∴原方程的根为x ＝6.（2）解不等式①，得x ≥－2 …………1分解不等式②，得x ＜12…………2分∴原不等式组的解集为－2≤x ＜12. …………4分21. 证明：∵AB∥DE，∴ ∠B ＝∠DEF ． …………2分在△A BC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠DEF∠A ＝∠D BC ＝EF…………5分∴ △ABC≌△DEF …………7分∴AC ＝DF …………8分22. 解：（1）补图正确. …………2分（2）15－20； …………4分（3）110． …………6分23. (1)列表如下：…………2分所有等可能的结果共有16种，其中和为偶数的有6种，∴和为偶数的概率为616＝38即小莉去看中国篮球职业联赛总决赛的概率为38…………4分(2)由（1）可知：小莉去的概率为38，哥哥去的概率为38，∴游戏不公平，且对哥哥有利． …………6分游戏规则改为：若和为偶数，则小莉得5分；若和为奇数，则哥哥得3分. 此时游戏是公平的． …………8分说明：修改规则的答案不惟一，可根据实际情况评分.24. 解：（1）设⊙O 的半径为rm ，则AO 为（1.7＋r ）m ，BO 为（0.9＋r ）m ，在Rt △ABO 中，AO 2＝BO 2＋AB 2，∴（1.7＋r ）2＝（0.9＋r ）2＋1.62， …………2分 解得r ＝0.3 …………4分 答：⊙O 的半径为0.3m.（2）由（1）可知，BO ＝0.9＋0.3＝1.2m.∵∠ADO ＝90°，∠AOD ＝35°，∴∠OAD ＝55°. …………5分 在Rt △ABO 中，tan ∠OAB ＝BO AB ＝1.21.6，∴∠OAB ≈37°， …………7分∴∠BAD ＝∠OAD －∠OAB ≈55°－37°＝18°. …………8分 答：屋面AB 与水平线AD 的夹角约为18°.25. 解：（1）A(3－m ，0)，D(0，m －3 ) …………2分（2）设以P （1，0）为顶点的抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2(a ≠0) ∵抛物线过点B 、D ，∴⎩⎨⎧m ＝a(3－1)2m －3＝a(0－1)2 解得⎩⎨⎧m ＝4a ＝1 …………4分 所以二次函数的解析式为y ＝(x －1)2，即：y ＝x 2－2x ＋1 …………5分（3）设点Q 的坐标为(x ，x 2－2 x ＋1)，显然1＜x ＜3 …6分连结BP ，过点Q 作QH ⊥x 轴，交BP 于点H. ∵A （－1，0），P （1，0），B （3，4） ∴AP ＝2，BC ＝3，PC ＝2 由P （1，0），B （3，4）求得直线BP 的解析式为y ＝2x －2∵QH ⊥x 轴，点Q 的坐标为(x ，x 2－2 x ＋1)∴点H 的横坐标为x ，∴点H 的坐标为(x ，2x －2)∴QH ＝2x －2－(x 2－2x ＋1)＝－x 2＋４x －3 …………7分 ∴四边形ABQP 面积S ＝S △APB ＋S △QPB ＝12×AP ×BC ＋12×QH ×PC＝12×2×4＋12×(－x 2＋４x －３)×2 ＝－x 2＋４x ＋1＝－(x －2)2＋5 …………9分 ∵1＜x ＜3∴当x ＝2时，S 取得最大值为5， …………10分即当点Q 的坐标为(2，1)时，四边形ABQP 面积的最大值为5.说明：用平行于PB 的直线与抛物线相切于点Q 的方法而得出准确结果不给全分（注：初中阶段没有解题依据），可统一扣1分. 26. （1）150°，7． …………2分（2）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP ′A ，则△BPC ≌△BP ′A ． ……3分∴AP ′＝PC ＝1，BP ＝BP ′＝2．连结PP ′，在Rt△BP ′P 中，∵ BP ＝BP ′＝2，∠PBP ′＝90°， ∴ PP ′＝2，∠BP ′P ＝45°． …………4分在△AP ′P 中， AP ′＝PC ＝1，PP ′＝2，AP ＝5，∵ 12＋22＝(5)2，即AP ′ 2＋PP ′ 2＝AP 2．∴ △AP ′P 是直角三角形，即∠AP ′P ＝90°． …………5分 ∴∠AP ′B ＝∠AP ′P ＋∠BP ′P ＝135°． ∴ ∠BPC＝∠AP ′B ＝135°． …………6分 过点B 作BE ⊥AP ′交AP ′的延长线于点E ． 则∠EP ′B ＝45°，∴ EP ′＝BE ＝22BP ′＝1，∴AE ＝2. ∴在Rt△AB E 中，由勾股定理，得AB ＝5． …………8分∴∠BPC ＝135°，正方形边长为5．27. （1）设安排x 个水池养甲鱼，则安排(10－x)个水池养黄鳝.根据题意，得⎩⎨⎧ 1.5x ＋1×(10－x)≤14(2.5－1.5＋0.2)x ＋(1.8－1＋0.1)(10－x)≥10.8， …………2分解这个不等式组，得6≤x≤8. …………3分 ∵x 是整数，∴x ＝6，7，8 ∴该农户可以有三种安排养殖方案，即方案一：安排6个水池养甲鱼，4个水池养黄鳝； 方案二：安排7个水池养甲鱼，3个水池养黄鳝；方案三：安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝. …………4分 （2）解法一：方案一的收益为1.2×6＋0.9×4＝10.8(万元)； 方案二的收益为1.2×7＋0.9×3＝11.1(万元)； 方案三的收益为1.2×8＋0.9×2＝11.4(万元).∴安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝获得最大收益. …………6分解法二：设安排x 个水池养甲鱼，(10－x)个水池养黄鳝时获得收益为w 万元. 则w ＝(2.5－1.5＋0.2)x ＋(1.8－1＋0.1)(10－x)＝0.3x ＋9 ∴当x ＝8时，w 取得最大值为11.4即安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝获得最大收益.（3）由题意知w ＝(2.5－m －1.5＋0.2)x ＋(1.8－m －1＋0.1)(10－x)＝(0.3－m)x ＋9 ……7分①当m ＝0.3时，（1）中的方案一、二、三收益相同； …………8分 ②当m ＜0.3时，安排8个水池养甲鱼，2个水池养黄鳝； …………9分 ③当m ＞0.3时，安排6个水池养甲鱼，4个水池养黄鳝； …………10分28. 解：（1）在Rt△AOB 中，tan∠OAB＝OB OA ＝12123＝33，∴∠OAB＝30° …2分（2）如图，连结O′P，O′M.当PM 与⊙O′相切时，有∠PMO′＝∠POO′＝90°，△PMO′≌△POO′ …………3分 由（1）知∠OBA＝60°∵O′M＝ O′B，∴△O′BM 是等边三角形，∴∠B O′M ＝60° 可得∠OO′P＝∠MO′P＝60° ∴OP＝OO′·tan∠O O′P＝6×tan60°＝63 …………5分 又∵OP＝23t ，∴23t ＝63，t ＝3即：t ＝3时，PM 与⊙O′相切. …………6分（3）PR 2＝16t 2－48t ＋144，PQ 2＝52t 2－288t ＋432，RQ 2＝28t 2－240t ＋576. 当PR ＝RQ 时，可得t ＝8－27（t ＝8＋27舍去）； 当PR ＝PQ 时，可得t ＝10±273；当PQ ＝RQ 时，可得t ＝1＋7（t ＝1－7舍去）.综上，当t 为8－27，10±273，1＋7时，△RPQ 为等腰三角形. ……10分（注：4个结果每个1分）。