第11章典型例题分析2号

典型例题分析例11-1已知三个码组为（001010）, (101101), (010001). 若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错和纠错，各能纠、检几位错码？解：根据三个码组可知码的最小码距为04d =。

当用于检错和纠错时，由d 0≥t+e+1可得t=1, e=2, 即检测出3位错码，纠正1位错码，。

★例11-2 设线性码的生成矩阵为 001011100101010110G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 求监督矩阵H, 确定（n, k ）码组中的n, k;(2) 写出监督码位的关系式及该(n, k)码的所有码字；(3) 确定最小码距d 0.解：(1)将生成矩阵G 变成典型形式的生成矩阵，即初等行变换将G 化为典型阵：001011100110010101010101100010G ⎡⎤⎡⎢⎥⎢=→⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣ 可得矩阵为101110011Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 对应的P矩阵为 110011101T P Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得监督矩阵H 为[]⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦r １１０１００H ＝ＰI 0１１０１０１０１００１，由生成矩阵可得n=6, k=3(2)由于0T TH A ⋅= ,即 543210000a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦１１０１０００１１０１０１０１００１由此可得监督关系式为 23130000a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩５４４５设A 为许用码组，则[][]543543100010001A a a a G a a a ⎡⎢=⋅=⎢⎢⎣可计算得该(n, k)码的所有码字如表11-3所示。

（3）由上得出的许用码组可知，该线性码的最小码重d 0=3 (全0码除外).例11-2已知(7, 3)码的生成矩阵G 如下，列出所有许用码组并求监督矩阵10011101001100111G ⎡⎢=⎢⎢⎣解：(1) ⋅A =M G ，用所有可能的M 计算后得到：系统码生成矩阵是100111001001110011100G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此得监督矩阵：1011000111010011000100110001H ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例11-4 已知某线性码监督矩阵如下，列出所有许用码组。

111010011010101011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦分析：考察信息码元。

监督码元，监督矩阵，生成矩阵，许用码组等基本概念及相互之间的关系。

对于（n ，k ）分组码，r=n-k 。

监督矩阵H 与生成矩阵G 为典型阵，即可写成G=[I k Q]的形式，则令P=Q T ，有监督矩阵H=[P I r ]. 反过来，也可由监督矩阵H 求出生成矩阵G 。

若生成矩阵不是典型阵，则应先通过初等变换，将其化成典型矩阵，再求监督矩阵。

生成矩阵Ｇ，许用码组Ａ和信息码元（行向量）Ｍ之间的关系为：A=Ｍ⋅Ｇ。

解：本题中ｎ＝７，ｒ＝３，ｋ＝４，Ｈ为典型阵，有：1110P 11011011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，111110Q 101011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦生成矩阵k 10001110100110G [I Q]00101010001011⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦许用码组 A=Ｍ⋅Ｇ＝a ⋅6543（a a a ）G 。

或者由G 可得全部许用码组：1000111， 0100110， 0010101， 0001011，1100001， 0011110，1010010，10011001110100， 1011001， 0111000, 1101010, 0110011，11011010，1111111，0000000例11-5设某线性码的生成矩阵为110011011101100101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦G （1）确定（n ，k ）码中n ，k 值； （2）求典型生成矩阵G ；（3）求典型监督矩阵H ；（4）列出全部码组；（5）求d 0；（5）列出错误图样表。

解：（1）由于生成矩阵为k 行，n 列，因此k=3，n=6，r=3. 本码组为（6，3）码。

（2）对原矩阵作线性变换：①原矩阵第1行与第3行交换②原矩阵的第1行+第3行作为新矩阵的第2行③原矩阵的第1、2、3行之和作为新矩阵的第3行，得典型生成矩阵100101G 010*********⎡⎤⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且101Q 110011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）T 101110100p Q 110,H 011010011101001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（4）把生成矩阵取各行相加，可得例11-5表1中码组。

（5）由例11-5表可得d 0=3.（6）错误图样见例11-5表2. 校正子有r bit ，这里r=3，因而标以S 1S 2S 3。

而S 1S 2S 3下面的内容即为典型监督矩阵的转置H T （错码位置按高位到低位排列）。

例11-5表1 例11-5表2说明：①本题为（6，3）码，属线性分组码，是系统码, 编码效率R=1/2.②d0=3,可纠错一位。

纠错时，先由接收码B 计算出校正子S=BH T，后再查表例11-5表2改错。

由于n=6，故表中S的比特图案少了一种（111），它对应于错多位的情况。

例11-6已知（7，3）循环码的全部码组为（0000000），（0011101），（0111010），（1110100），（1101001），（1010011），（0100111），（1001110）。

试求： （1）生成多项式g(x); ( 2 )典型生成矩阵G ；（3）典型监督矩阵H ； （4）列出错码图样表. 解：（1）根据生成多项式含义找到题中第2码组：（0011101），对应有432g(x)=x +x +x +1（2）26542543432x g(x)x +x +x +x G(x)=xg(x)x +x +x +x g(x)x +x +x +1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即1110100G 01110100011101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，典型阵k 1001110G 0100111[I Q]0011101⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）由G 知，T1110Q=P 01111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，r 10110001110100H [P I ]11000100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）d 0=4，所以t=1. 列出错码图样如例11-6表所示。

例11-6表例11-7 设一线性分组码的信息位与监督位之间的关系为：653264316540a a a a a a a a a a a a ⊕⊕=⎛ ⊕⊕=⊕⊕=⎝（1）求典型阵H ，G ； （2）列出全部许用码组；（3）说明其纠、检错能力； （4）列出纠错一位时的错码图样表；（5）若编码器输出码元速率为350Bd ，求其输入码元速率。

解：由原式可写得：653264316540a a a a 0a a a a 0a a a a 0⊕⊕⊕=⎛ ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⎝，即6543210a a 01101100a 01011010a 01110001a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦1101100H 10110101110001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，并得：1101P 10111110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Tk 10001110100101G [I P ]00100110001110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）利用G 矩阵各行相加即可得到全部码组，如例11-7表所示。

例11-7表1（3）由表可见，d 0=3，于是：t=1或e=2.（4）由S=EH T, 得：1236543210111101011(S S S )(e e e e e e e )110100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可列出错一位时的错误图样，如例11-7表2所示，表中内容恰为H T （除无错时应全为全为0码外）。

（5）编码效率R=k/n=4/7于是，输入码元速率=R 输出码元速率=4/7 ⨯350=200（Bd ）例11-7表2附录：矩阵乘法m n m j j n C A B ⨯⨯⨯=⋅例1211121322212213313211122122b a a a b a a a b b c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯⨯⎛=⨯⨯⨯⨯⎝⎛⎫= ⎪⎝⎭11211111122113311112121112221233121112b b a b +a b +a b a b +a a b +a b +a b a b +a[][[][54354310010101011001001011[010110]100101010110001001011[001011]....⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=a a a a a a。