函数的连续性与函数的导数

函数的连续性与函数的导数

函数的连续性是函数的重要性质。常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。

连续函数具有下面两条重要性质：

1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。

2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)

函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。

例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。

解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b

+=,

图形面积为22

002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。

此时y 0

。故所求点为P 时，所围面积最小。

评注：题中所给曲线实际上是椭圆22

221x y a b

+=在第一象限的部分。求圆锥曲线的切线的传统方法是利

用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。这种方法计算量较大

而且不能推广到其它曲线的切线的求法。而利用导数求切线斜率是通法。如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。

例2（Ⅰ）已知0

)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：

22211127

10

111a b c ++≤

+++。 解：（Ⅰ）对函数f(x)=(1+x 2

)(2-x)求导数，得2()2(2)1(1)(31)f x x x x x x '=---=--，由()0f x '=，得13

x =. 当0

3，函数f(x)是递增函数。

∴当x=13时，函数f(x)=(1+x 2

)(2-x)取得最小值5027

。

（Ⅱ）显然a ，b ，c ∈（0，1），由（Ⅰ）的结论，得(1+x 2

)(2-x)5027≥， 2127

(1)50

1x x ≤-+。（*） 在（*）里，取x 为a ，b ，c ，得三个不等式，2127(2)501a a ≤-+，2127(2)501b b ≤-+，2127

(2)501c c

≤-+， 叠加，得

2221112727[6()]50

10111a b c a b c ++≤-++=+++。 例3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x ，g(x)=xlnx 。

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0

)2

a b

+<(b-a)ln2。

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（-1，+∞）。1

()11f x x

'=

-+。令()0f x '=，解得x=0。当-10，当x>0时，f '(x)<0，又f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0。

（Ⅱ）g(x)=xlnx ，g '(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g ()2

a x

+, 则()()2[(

)]ln ln 22

a x a x

F x g x g x ++'''=-=-. 当0a 时，F '(x)>0，因此F(x)在

（a ，+∞）上为增函数。从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)。因为F(a)=0，b>a ，所以F(b)>0，即0

)2

a b

+。 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则()ln ln

ln 2ln ln()2

a x

G x x x a x +'=--=-+ 当x>0时，()0C x '<。因此G(x)在（0，+∞）上为减函数。因为G(a)=0，b>a ，所以G(b)<0，即g(a)+g(b)-2g (

)2

a b

+<(b-a)ln2。 例4 （2006年土耳其国家队选拔考试）已知正数x 、y 、z 满足xy+yz+zx=1，证明：

227

()()()4

x y y z z x +++≥≥证：设tanA=x ，tanB=y ，tanC=z ，其中，∠A、∠B、∠C∈(0,)2

π

，则tanA·tanB+tanB·tanC+tanC·tanA=1

⇔1-tanA·tanB=tanC(tanA+tanB)⇔cotC=

tan tan 1tan tan A B

A B

+-⋅=tan(A+B)。∴∠A+∠B+∠C=2π。

故22()2x y z =+++

=2tan 22(tan sec )A A A ++∑∑∑。又因y=tanx 的二阶导数y ''=

32sin 0cos x

x

>，y=secx 的二阶

导数23

1sin 0cos x y x +''=>，所以，26(tan sec )33

A B C A B C

++++≥+=。

注意到

227()()()4x y y z z x +++≥⇔27sec 2(tan sec )4

A A A ≥+∑∑∏ ⇔

278

≥cos cos sin cos cos A B C A B ⋅⋅+⋅∑∑=1

cos sin()cos cos 2A B C A B ⋅++⋅∑∑

=

21cos cos cos 2A A B +⋅∑∑=21(cos )2A ∑,又因y=cosx 在[0,]2

π

上为凸函数，所以，

cosA+cosB+cosC 3cos

3A B C ++≤=

（cosA+cosB+cosC ）2

274≤,因此，原不等式成立。 评注：此例证明用到函数的凸凹性。

例5 射线OA ，OB 构成的角的内部存在点P ，在OA 上寻找点X ，在OB 上寻找点Y ，使点P 在线段XY 上，并且|PX|·|PY|最小。

解：如图：以角γ为自变量,在ΔOXP 和ΔOPY 中使用正弦定理sin sin sin sin()

PX OP PY OP

αγβπαβγ---==

和，于是 F （γ）=|PX|·|PY|=sin sin (

)||()||sin sin()

OP OP αβ

γπαβγ⋅⋅⋅--- =(csc )(csc()),0C γπαβγγπ---<<，其中C=sin αsin β|OP|2

是常数。