函数的连续性与函数的导数
函数连续性、导数及其应用
§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00x f x f xx =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件(1) 在x =x 0有定义；(2)存在；(3))(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f xx =→例1.2sin 21,0(),0axx e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(-∞，+ ∞)上连续，求的值a 解：定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.)(lim 0x f xx →)(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f x x ≠→x 1A 2A 0x 0x 1A 2A 0x Ax 1A 2A 0x 1A 0x间断点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：例3.解：三、利用零点定理讨论方程的根.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:a b 3ξ2ξ1ξxyo)(x f y =123()0,()0,()0f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .§2 导数的概念一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度?)(0=t v )(t s s =0s-)(0t t s ∆+tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim limt t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)(0t v v →)(0t s -例2平面曲线的切线斜率x xxo y)(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0→∠→NMT MN ).,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)()(00xx x f x f --=,,0x x M N C→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000()()tan lim .x x f x f x k x x α→-==-αTϕN M二、导数的定义,)()(0);()()(00000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义x x dxdy =,)(0x x dxx df =或xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(limlim 00000即其它形式.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x --='→.)()(lim )(0000hx f h x f x f h -+='→例3.0000()()()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？000()()2lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆解：'02()f x =例4.证明：三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导()()0000lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0000lim[]()lim()x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()0lim x x f x f x →=即.连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！2.左右导数（单侧导数）右导数:左导数:0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等. ★3.利用函数可导或连续解题例5.解：连续可导§3 函数微分的概念一、微分的定义定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是0x 0x 0x xx f dy ∆'=)(0(1) 必要性,)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,)(x x o A xy ∆∆+=∆∆∴xx o A x yx x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f xy 即,)(0可导在点函数x x f ),(lim00x f xyx '=∆∆∴→∆),0(0→∆→αx ),()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).(.0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性()()dy d x x x x'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1处的微分和在求函数312===x x x y 解：处的微分在函数12==x x y 1()2;x dy x x x ='=∆=∆处的微分在3=x xx x dy x ∆=∆'==6)(32例2解：由例2我们把微分常记为0()x x dyf x dx='=()dy f x dx'=二、可微与可导的关系两者是等价的三、微分的几何意义.,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆xyo)(x f y =0x MT）αN xx ∆+0y∆x ∆PQ0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ=dy)(x o ∆§4 导数的计算(1) (C)'=0,(2) (xμ)'=μxμ-1,(3) (sin x)'=cos x,(4) (cos x)'=-sin x,(5) (tan x)'=sec2x,(6) (cot x)'=-csc2x,(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,(9) (a x)'=a x ln a,(10) (e x)'=e x,(11)axx aln1)(log=',(12)xx1)(ln=',(13)211)(arcsinxx-=',(14)211)(arccosxx--=',(15)211)(arctanxx+=',(16)211)cotarc(xx+-='.一、基本初等函数的导数公式211(17)()x x'=-1(18)()2xx'=二、反函数求导法则)(1])([1y f x f '='-.1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a yy 且)(1)(log '='y a a x a a y ln 1=.ln 1a x = 是y a x =的反函数x y alog =.的导数求xa y =,0ln 1)(log ≠='ay y a 且)(log 1)('='y a a x ay ln 11=.ln a a x= y 是a x log =的反函数xa y =arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =21sec (arctan )x =tan(arctan )x x=22sec (arctan )1tan (arctan )x x =+21x =+21(arctan )1x x'=+三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例1解：例2解：四、隐函数的求导1. 函数的表示法直接表示:解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数2. 隐函数定义极其求解有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
函数可导的充分条件
函数可导的充分条件
首先是连续性。
根据导数的定义，如果在某点某处的导数存在，则函数在该点必须是连续的。
换句话说，如果函数在某点处不连续，则该点一定不可导。
其次是极限存在和极限唯一性。
导数的定义是通过极限来表述的，因此，若导数存在，则必须要求对应的极限存在。
在实数域上，如果在一点某处的左右极限存在且相等，则该点处的导数存在。
接下来是函数导数存在和可加性。
如果函数在某点导数存在，则函数在该点可导。
而如果函数在某点均可导，则函数在该点的和、差、积、商函数也可导。
也就是说，可导函数的四则运算仍然是可导的。
另外，还有Rolle定理和Lagrange中值定理。
Rolle定理表述了若函数在[a, b]区间连续，并且在(a, b)内可导，在[a, b]的两个端点处函数值相等，则存在c属于(a，b)，使得函数在c处的导数为零。
而Lagrange中值定理表述了若函数在[a, b]区间连续，并且在(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均变化率。
需要注意的是，函数在某点处的可导并不意味着函数在该点可导。
可导性是函数在某点局部的性质，而函数在某点可导则涉及到函数在该点以及附近的性质。
总之，函数可导的充分条件包括连续性、极限存在和极限唯一性、函数导数存在和可加性、Rolle定理和Lagrange中值定理等。
这些条件一起确保了函数的光滑性和可导性。
函数可导可微连续之间的关系
函数可导可微连续之间的关系函数可导可微连续之间的关系函数可导性•函数可导是指在某点的导数存在，即函数在该点附近有切线•如果函数在某点的导数存在，那么函数在该点是连续的•可导不一定连续，但连续一定可导函数连续性•函数连续是指在某点的极限存在且等于函数在该点的值•如果函数在某点连续，那么函数在该点有无切线或斜率都无关紧要•连续不一定可导，但可导一定连续函数可导可微的关系•如果函数在某点可导，那么函数在该点必定连续•如果函数在某点可微，那么函数在该点必定可导解释说明函数可导性和函数连续性是微积分中的两个重要概念。
函数可导表示函数在某点存在切线，也就是说函数在该点有斜率，并且函数在该点是连续的。
而函数连续则表示函数在某点的极限存在且等于该点的函数值。
在这两个概念中，可导不一定连续，但连续一定可导；连续不一定可导，但可导一定连续。
这说明了可导性和连续性之间的关系。
函数可导可微的关系比较特殊。
如果函数在某点可微，那么函数在该点必定可导。
可微表示函数在某点附近存在一个线性逼近，也就是存在一个线性函数能够很好地近似该点的函数值。
而可导表示函数在某点存在切线，即函数在该点有斜率。
因为线性逼近和切线都涉及到斜率的概念，因此可微必定可导。
综上所述，函数可导、可微和连续之间存在一定的关系。
函数可导表示函数在某点有切线，连续表示函数在某点的极限存在且等于函数值，可微表示函数在某点附近存在线性逼近。
可导不一定连续，但连续一定可导；可导必定可微。
这些概念的理解对于深入学习微积分和函数分析等数学领域非常重要。
函数可微性•函数可微是指在某点的导数存在且可导，即函数在该点附近有线性逼近•如果函数在某点可微，那么函数在该点必定连续且可导•可微不一定连续，但连续一定可微和可导解释说明函数可微性是对函数在某点的导数存在和可导性进行综合考量的概念。
可微表示函数在某点附近存在一个线性逼近，并且函数在该点存在切线，即函数在该点有斜率。
与可导性和连续性相比，可微性是更加严格的条件。
导数与函数的连续性
导数与函数的连续性函数是数学中一种重要的概念，而导数与函数的连续性是研究函数性质和变化的基本工具之一。
在本文中，我们将探讨导数和函数连续性之间的关系，并且详细说明它们在实际问题中的应用。
1. 导数的概念及其计算方法导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，或者dy/dx，其中dx表示自变量x的微小变化量，dy表示函数值的微小变化量。
要计算一个函数在某一点的导数，我们可以使用不同的方法：- 用极限定义：通过取函数在该点附近的两个点，计算其斜率的极限值，即可得到函数在该点的导数。
- 使用导数公式：对于基本的代数函数，我们可以利用一些导数公式来直接计算导数。
2. 导数与函数的连续性导数与函数的连续性紧密相关。
从定义上看，如果一个函数在某一点的导数存在，那么这个点必然是函数的连续点。
反之亦然，如果一个函数在某一点连续，那么它在该点必然存在导数。
这是因为导数的存在要求函数在某一点处具有足够的光滑性和连续性。
在导数的定义中，要使极限存在，函数值必须在该点左右两侧都能逐渐接近。
而函数的连续性则要求函数在某一点附近的值都趋近于该点，这两个条件是相互关联的。
3. 导数与函数的连续性的应用导数与函数的连续性有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个重要方面。
3.1 函数的可导性导数的存在与函数的可导性密切相关。
一个函数在某一点处可导，意味着它在该点的导数存在，也就是说函数在该点处的瞬时变化率是有定义的。
这在实际问题中具有重要意义。
举例来说，对于物理中的速度与位移关系，我们可以利用导数的概念来定义瞬时速度，而速度函数的导数则表示加速度。
这使得我们能够在任意时刻计算出物体的瞬时速度和加速度，进而研究其运动规律。
3.2 连续函数的导数性质连续函数的导数性质是研究函数变化过程中的重要工具。
对于一个连续函数，其导数在整个定义域上都是有定义的，这使得我们能够揭示函数在各个点上的变化趋势。
可导和导函数连续的关系
可导和导函数连续的关系在微积分中，可导和导函数连续是两个重要的概念。
它们描述了函数在某一点的平滑性和连续性，对于理解函数的性质和求解问题非常有帮助。
我们来看可导性的定义。
如果函数f(x)在某一点x=a处可导，意味着该点的导数存在。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么它在该点是可导的。
可导性和导函数的连续性有着密切的关系。
根据微积分的基本理论，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点也是连续的。
这意味着函数在该点处的极限存在且等于函数在该点的函数值。
换句话说，如果函数在某一点可导，那么它在该点的函数值和导数的极限是相等的。
反过来，如果函数在某一点连续，未必就可导。
连续性只是函数在某一点的性质，而可导性要求函数在该点的切线斜率存在。
举个例子来说，函数f(x) = |x|在x=0处是连续的，但在该点不可导。
因为在x=0处，函数的左导数和右导数分别为-1和1，不存在唯一的导数。
然而，连续函数的可导性在大多数情况下是成立的。
如果一个函数在某一区间内是连续的，并且在该区间内每一个点都可导，那么该函数在该区间内是可导的。
这个结论被称为连续函数的可导定理，它是微积分中的一个重要结论，为我们求解函数的导数提供了便利。
不仅如此，导函数的连续性也与可导性密切相关。
根据微积分的基本理论，如果一个函数在某一点可导，那么它的导函数在该点也是连续的。
导函数表示了原函数的变化率，它是原函数在每个点的导数。
如果原函数在某一点的导数存在，那么它的导函数在该点也是连续的。
这一性质被称为可导函数的导函数连续定理。
可导函数和导函数的连续性为我们解决各种数学问题提供了有力的工具。
通过求解导函数的连续性，我们可以确定函数的可导性，并求解函数在某一点的导数。
这对于求解最值问题、优化问题、曲线的切线问题等都非常有帮助。
同时，可导函数和导函数的连续性也为我们研究函数的性质和行为提供了基础，例如函数的单调性、凸凹性、拐点等。
可导与连续的关系及四则运算法则
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
一元函数可导、可微、连续的关系
一元函数可导、可微、连续的关系一元函数是指只有一个自变量的函数，例如f(x)。
可导性是指函数在某一点处存在导数，也就是函数的变化率。
可微性是指函数在某一点处存在微分，也就是函数的线性近似。
连续性是指函数在定义域内的每一点处都存在有限的极限，也就是函数的无间断性。
我们来讨论可导性。
函数在某一点处可导的条件是函数在该点处的导数存在且有限。
导数表示了函数在该点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，它在任意一点处的导数为2x，表示了函数在该点处的变化率是2倍的x。
可导性在微积分中是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的变化规律。
接下来，我们来讨论可微性。
函数在某一点处可微的条件是函数在该点处的微分存在且有限。
微分是函数在某一点处的线性近似，可以用来描述函数在该点附近的变化情况。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它在任意一点处的微分为cos(x)，表示了函数在该点处的变化情况可以用cos(x)来近似。
可微性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够用简单的线性近似来研究函数的性质。
我们来讨论连续性。
函数在某一点处连续的条件是函数在该点处的极限存在且有限。
连续性表示了函数在定义域内的每一点处都没有突变或断裂，函数曲线是一条连续的曲线。
例如，对于函数f(x) =1/x，它在定义域内的每一点处都存在有限的极限，表示了函数曲线没有突变或断裂。
连续性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的整体性质。
通过以上的讨论，我们可以看出一元函数的可导性、可微性和连续性之间存在着紧密的关系。
可导性是可微性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可导，则它在该点处可微。
可微性是连续性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可微，则它在该点处连续。
但是反过来并不成立，也就是说，函数在某一点处连续并不意味着它在该点处可微，函数在某一点处可微并不意味着它在该点处可导。
导数和连续的关系
导数和连续的关系导数和连续是微积分中两个非常重要的概念，它们之间密不可分。
在微积分学中，导数是用来描述函数的变化率，而连续是用来描述函数的无间断性质。
本文将深入探讨导数和连续的关系。
一、导数的定义在微积分中，导数是用来描述函数在某一点的斜率或者速率，它是函数的一种重要性质。
我们用f(x)表示一个函数，其导数f'(x)（也称为斜率）在点x处的定义如下：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h （在h趋近于0时）其中，h是表示x点后移的一个小量。
上述公式表示的是求函数f(x)在x点的切线斜率。
当函数f(x)在某一点x处存在导数时，说明函数在该点是连续的。
二、连续的定义连续的概念是微积分中另一个非常重要的概念。
简单的说，连续指的是函数的无间断性质。
在函数中，如果两个点a和b很接近，并且函数在这两个点的值也很接近，那么我们可以说函数在a和b之间是连续的。
连续的定义可以用极限的概念来表述。
如果一个函数f在x=c的右侧和左侧的极限都存在且相等，那么我们可以说函数在x=c处是连续的。
这里要特别注意，这里的极限不是导数f'(x)的极限，而是x趋近于c时f(x)的极限。
三、导数和连续的关系在微积分中，导数和连续是密切相关的。
事实上，函数在某一点处连续与该点处的导数是否存在是等价的。
也就是说，如果一个函数在某一点处连续，那么该点处的导数必然存在；反之亦然。
因此，导数和连续经常被用来作为函数的性质之一。
在数学上，这个定理的证明可以使用两个极限的定义。
首先，我们用f(x+h)和f(x)之差除以h来表示函数在点x处的变化率。
然后，我们令h趋近于0，得到该点处的导数f'(x)的极限。
接着，我们用该点的左极限和右极限来表示函数的连续性。
最后，我们比较函数在左极限和右极限处的导数是否相同，如果相同就证明了该函数在x点处是连续的，反之不连续。
具体的说，对于一个函数f(x)来说，如果它在x点处连续，那么我们有以下定理：1. 若f(x)在x点处连续，则f'(x)存在；2. 若f(x)在x点处连续且f'(x)存在，则f(x)在x 点处可导。
实变函数的连续性与可导性证明和应用
实变函数的连续性与可导性证明和应用连续性与可导性是实变函数中两个重要的概念。
在数学中，连续性是指函数在某一点附近的取值变化不会出现突变或断裂；可导性则是指函数在某一点处存在切线，即函数在该点的导数存在。
本文将探讨实变函数的连续性与可导性的证明和应用。
首先，我们来讨论实变函数的连续性。
对于实变函数f(x)，我们希望证明函数在某一点a处连续。
根据函数连续性的定义，我们需要证明以下三个条件成立：极限存在、极限值等于函数值、极限变化不超过给定的ε。
首先，我们需要证明函数在点a的左极限和右极限都存在。
假设f(x)在点a的左侧取值，我们将极限记为lim_(x→a⁻) f(x)。
根据这个定义，我们需要证明对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-lim_(x→a⁻) f(x)|<ε成立。
为了证明这个不等式，我们可以利用函数的定义、极限的基本性质和eps-δ语言进行推导。
通过仔细的计算和分析，我们可以得出结论：当函数无突变、无间断，并且满足特定的条件时，左极限存在。
同样地，我们可以证明函数在点a的右极限存在，记为lim_(x→a⁺) f(x)。
通过类似的推导过程，我们可以得出结论：当函数无突变、无间断，并且满足特定的条件时，右极限存在。
接下来，我们需要证明函数在点a处的极限值等于函数值。
即证明lim_(x→a)f(x) = f(a)。
通过应用数学分析和函数的定义，我们可以推导出这个等式成立的条件。
最后，我们需要证明函数在点a处的极限变化不超过给定的ε。
即对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立。
这个条件可以通过选择适当的δ来满足。
综上所述，我们完成了实变函数连续性的证明。
这个证明过程需要深入理解函数的定义、极限的基本性质和eps-δ语言，并且仔细计算和分析不等式，确保每一步的推理都严谨正确。
函数可导性与连续性
函数可导性与连续性
函数可导性与连续性是数学中重要的概念，也是重要的数学工具，
它们被用来描述、研究以及解决各种问题。
函数的可导性是指对一个变量有非零的导数。
函数是可导的，如果存
在一个有限和连续的曲线，在该曲线上，每个点都可以根据相应的变
量计算函数值。
可导性是在函数值上定义的，这也是我们在求导和积
分研究中所考虑的现象。
连续性是指一个函数在无穷小范围内一致连续函数。
连续性被认为是
函数计算的基础，它可以帮助我们判断函数的值在极限状态以及变化
非常小的情况下是否可以接近或保持一致。
连续性的关键是概念上的，这能体现在一些特殊的情况，比如零点、极大值和极小值，这些情况
需要另外推理。
函数可导性与连续性有重要意义，在这两个概念的帮助下，可以在分
析问题和求解问题方面取得很大的帮助，比如求取极限值、求解最值、计算积分等。
此外，函数可导性与连续性在微分方程中也扮演着重要
的角色，它们能够有助于我们解决复杂的微分方程问题。
函数可导性与连续性有效的使用对分析求解数学问题和研究、编程有
重要意义。
了解函数可导性与连续性的概念，能够更好地求解各种问题，提升个人算法水平。
可微可导和连续的关系
可微可导和连续的关系
可微、可导和连续的关系如下：
1. 可导与连续：
如果一个函数在某一点可导，那么它在该点必然连续。
这是因为可导意味着函数在该点处的极限存在且左导数等于右导数，这正是连续性的定义之一。
然而，逆命题并不成立，即连续不一定可导。
也就是说，一个函数在某点连续并不意味着它在该点可导。
例如，函数f(x) = |x|在x=0处连续但不可导。
2. 可微与可导：
对于一元函数，可微和可导是等价的概念，通常可以互换使用。
如果一个函数在某点可微，那么它在该点必然可导，反之亦然。
可微意味着函数在该点的切线斜率存在且唯一，这也对应着导数的存在和唯一性。
3. 可微（可导）与连续：
结合上述两点，我们可以得出：可微（可导）是连续的充分条件，而连续是可微（可导）的必要条件。
换句话说，如果一个函数在某点可微（可导），那么它在该点一定连续；但如果一个函数在某点连续，它不一定在该点可微（可导）。
第二讲：连续,导数、微分
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 . 处的左、
处的左、 3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、 第二类间断点 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) = x , x > 0,在x = 0处的连续性 . x , x ≤ 0, y
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点 x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如, 例如 有理函数在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 .
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 函数在一点连续必须满足的三个条件; 函数在一点连续必须满足的三个条件 2.区间上的连续函数 区间上的连续函数; 区间上的连续函数 3.间断点的分类与判别 间断点的分类与判别; 间断点的分类与判别
第一类间断点:可去型 跳跃型 第一类间断点 可去型,跳跃型 可去型 跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型 振荡型 第二类间断点 无穷型,振荡型 无穷型 振荡型.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个 条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
( 2) lim f ( x )存在;
x → x0
( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).
x → x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断 ), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
导数与函数的连续性分析
导数与函数的连续性分析在微积分中，导数和函数的连续性是重要的概念，它们能够帮助我们分析函数的性质和行为。
导数描述了函数在某一点的变化率，而函数的连续性则表示函数在某一点附近没有突变或跳跃。
本文将从导数和函数的连续性的定义与性质出发，探讨它们之间的关系，并介绍一些相关的定理和应用。
一、导数的定义和性质导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它在x点处的导数可以记作f'(x)或df/dx。
导数的定义是：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx〗.导数具有以下性质：1. 导数存在性：若函数在某一点处可导，则在该点导数存在。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在该点处切线的斜率。
3. 导数与函数的单调性：若函数在某一区间内导数恒大于零，则函数在该区间内单调递增；若导数恒小于零，则函数在该区间内单调递减。
4. 导数与函数的极值：若函数在某一点处导数为零或导数不存在，则该点可能是函数的极值点。
二、函数的连续性函数的连续性描述了函数在某一点附近的平滑性和无间断性。
函数f(x)在x点处连续的定义是：1. f(x)在x点处存在；2. lim┬(t→x)f(t) = f(x).函数的连续性可分为三种类型：1. 左连续：f(x)在x点的左侧存在并且lim┬(t→x^(-) )f(t) = f(x).2. 右连续：f(x)在x点的右侧存在并且lim┬(t→x^(+) )f(t) = f(x).3. 绝对连续：f(x)在x点处连续。
三、导数与函数的连续性的关系导数与函数的连续性之间有一定的联系。
根据导数的定义，如果函数在某一点可导，则函数在该点处连续。
然而，函数在某一点处连续并不一定意味着函数在该点可导。
例如，绝对值函数f(x) = |x|在x = 0处连续，但在该点导数不存在。
进一步地，如果函数在某一开区间内导数存在，则函数在该区间内连续。
简述函数可导性和连续性的关系
简述函数可导性和连续性的关系
函数可导性和连续性之间具有密切联系，它们在很多数学应用中有性质的定义，对于高等教育来说，可导性和连续性是十分重要的内容。
首先，可导性是指一个函数是否可以用一阶可有限值的导数去描述它的变化。
换句话说，可导性是指一个函数的一阶导数是否存在，斜率的变化是规律而且有上下界的，在实际生活中，可导性有着重要的用处。
举个例子，如果对应商品的供求表建立一个函数的话，因为可导性，可以知道它的瞬间变化率，以此来判断买进卖出的时机。
连续性是指函数的变化连贯不断，也就是说数学上描述如果一个函数在某一点
是连续的，那么它在范围内它的函数值是连续不断的。
连续性研究的目的就是为了寻求形式更加简洁，模型更加准确的求解方法，在高等教育中，连续性也是非常重要的内容。
比如，研究函数的极值问题，使用泰勒展开，利用先验梯度的结果，进行极值的求解，而泰勒展开和先验梯度的计算都依赖函数的连续性。
总而言之，可导性和连续性是数学上的重要性质，具有着许多实际应用，它们
也是高等教育中重要的研究内容，可以用来推导和验证诸如函数极值问题等多种数学问题。
一元函数可导和连续的关系
一元函数可导和连续的关系
一元函数可导和连续的关系
一元函数可导和连续是数学中最为重要的概念之一，它在各种数学理论中有着重要的作用，如积分、微积分、函数等。
在数学中定义，一元函数可导即其求导数存在，而一元函数连续即其值随着变量所变化的无限连续，没有跳变的地方。
同时，由于发展的历史和视角的不同，这两个概念也有着不同的定义。
首先来看一元函数可导的定义，即满足以下条件的函数的一阶导数存在：
（1）在函数定义域内，没有垂直于X轴的切线或切线长度等于零；
（2）函数图像不是自变量变化时分段连接（要么不连续，要么无限趋近零）；（3）函数没有非常大的跳变或极大值；
（4）任意取一个点，函数值随着变量误差范围内有限变化时，函数值上下界之差小于极限值。
接着来看一元函数连续的定义，即满足下列条件的函数具有连续性：
（1）函数定义域内的自变量改变，函数的值应是连续变化，无限接近；
（2）在函数定义域内，没有垂直于X轴的切线或切线长度等于零；
（3）函数图像没有非常大的跳变或极大值；
（4）任意取一个点，函数值随着变量误差范围内有限变化时，函数值上下界之差小于极限值；
（5）函数在变量取值范围旧时，连续函数的导数存在。
换句话说，一元函数可导是指在变量的变化范围内，该函数的一阶导数是存在的，而一元函数连续则指在函数定义域内，该函数的取值过程是一致的，而不会出现跳变、极大值、分段连接等情况。
总之，一元函数可导和连续是数学中重要的概念，是有序思维和数学思维能力的体现。
函数导数的存在与连续性对其他数学理论和方法有着重要的作用，且与数学分析、几何学、动力学等多种学科有着密切的联系。
微积分中的连续性与可导性
微积分中的连续性与可导性微积分是数学中的一门基础课程，是研究函数的变化规律的重要工具。
有两个最重要的概念是“连续性”和“可导性”。
连续性是指函数在某一点处的极限和函数值相等，而可导性是指函数在某一点处存在导数。
本文将从宏观层面和微观层面两个角度来讲解微积分中的连续性与可导性。
一、连续性连续性是函数最基本的性质之一，它描述了函数在某一点或整个定义域内的连续程度。
当一个函数在特定点处连续时，它的值不会发生突然的跳跃。
我们可以从以下三个层面来理解函数的连续性。
1. 宏观层面在宏观层面，我们可以将函数与一条实线相比较。
如果函数的图像在整个定义域内都可以画成一条连续的曲线，那么就可以说这个函数是连续的。
否则，如果在某个点上存在一个间断点，那么该函数就不是连续的。
例如，一个抛物线函数在整个定义域内都是连续的。
但是，如果我们在其中加入一个垂直于x轴的直线，那么在这个直线上就会出现一个间断点，这个点下方的左导数和上方的右导数不相等，因此这个函数在这个点处不是连续的。
2. 中观层面在中观层面上，我们考虑函数在一个局部区间上的连续性。
例如，如果一个函数在某个区间[a,b]上连续，则函数从a到b的每个值都可以通过数列逐渐逼近。
如果一个函数的图像在某个区间内存在折线，那么这个函数就是不连续的。
然而，如果该函数在这个区间内有一个可削去的间断点，则可以被认为是连续的。
3. 微观层面在微观层面上，我们考虑函数在某个点处的连续性。
具体地说，在某个点上，如果一个函数的极限值等于该点处的函数值，则这个函数在该点上是连续的。
例如，函数f(x) = x^2在x=0处连续，因为当x趋于0时f(x)的极限等于0，而f(x)在x=0处的函数值也等于0。
二、可导性可导性是指函数在某一点处存在导数。
导数是函数变化率的一种体现，它描述了函数在某一点处的变化情况。
1. 中心差商在微积分中，我们常常用中心差商来定义导数。
中心差商是一种计算函数在某一点处的变化率的方法。
为什么分段函数导函数连续
为什么分段函数导函数连续在高等数学中，分段函数的导数和连续性是重要的概念。
理解这些概念对于深入研究数学分析和解决实际问题具有重要意义。
本文将讨论分段函数导数的连续性，分析其重要性，并提出计算方法和判断条件。
首先，分段函数的导数连续性在数学分析中的重要性不言而喻。
它能帮助我们更好地理解函数的变化规律，判断函数的性质，以及解决实际问题。
例如，在物理、工程等领域，导数的连续性有助于分析系统的稳定性和动态性能。
其次，计算分段函数的导数需要遵循一定的规则。
一般来说，我们可以先将分段函数分解为几个简单函数，然后分别求导。
求导时，要注意处理不同区间上的导数变化。
具体步骤如下：1.确定分段函数的定义域，分析函数在不同区间上的表达式。
2.对每个区间上的函数求导，注意导数的符号和变化趋势。
3.整合各个区间的导数，得出分段函数的导数表达式。
接下来，我们来讨论导数连续性的判断条件。
在数学上，一个函数在某个点的导数存在且有限，则称该函数在该点连续。
对于分段函数，判断导数连续性需要满足以下条件：1.各个区间上的导数存在且有限。
2.分段函数在区间交界处的导数连续，即过渡点处的导数不存在突变。
最后，通过实际应用案例分析，我们可以进一步了解分段函数导数的连续性。
以一个简单的例子说明：假设我们有一个分段函数f(x) = x^2，在区间[0, 1] 上。
求该函数在区间端点和交界处的导数。
根据求导法则，我们可以得到：f"(x) = 2x在区间[0, 1] 上，f"(x) 的值域为[0, 2]。
因此，函数在区间端点和交界处的导数都存在且有限。
同时，我们可以发现，在区间交界处（如x=0 和x=1 处），导数连续，没有突变。
所以，这个分段函数在区间[0, 1] 上的导数是连续的。
总之，分段函数导数的连续性在数学分析和实际应用中具有重要意义。
通过掌握计算方法和判断条件，我们可以更好地分析分段函数的性质和解决实际问题。
导数存在推出函数连续
导数存在推出函数连续当一个函数在其中一点的导数存在时，这意味着这个函数在该点的变化率有定义。
也就是说，它的图像在该点是光滑的，没有突变或断裂的情况。
我们可以通过使用极限的概念来证明这个观点。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数存在。
这意味着f(x)在x=a处的导数，也可以记为f'(a)，有一个确切的值。
我们可以将导数的定义写为：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h) - f(a))/h〗这表示当h趋近于0时，(f(a+h)-f(a))/h的极限等于f'(a)。
那么我们可以使用这个定义来证明函数f(x)在x=a处连续。
理论上，我们需要证明以下两点：1.f(a)存在2. lim┬(x→a)f(x) = f(a)让我们来看看如何证明这两点：首先，我们已知在x=a处导数存在。
这意味着当h趋近于0时，(f(a+h)-f(a))/h的极限等于f'(a)。
其中h为任意小的非零数。
我们可以使用这个定义来证明f(a)存在。
考虑当h接近于0时，(f(a+h)-f(a))/h的极限值存在。
这也意味着f(a+h)-f(a)的极限存在。
我们可以将其写为：lim┬(h→0)(f(a+h) - f(a)) = L这表示当h趋近于0时，f(a+h)-f(a)的极限为L。
我们可以将这个极限写为：f(a+h)-f(a)=L接下来，我们将h取为0，并得到：f(a)-f(a)=L由于f(a)-f(a)为0，我们有：0=L这反映出在x=a处的导数的极限为0，即f(a+h)-f(a)的极限为0。
这证明了f(a)存在。
这是因为f(a+h)-f(a)的极限存在，并且等于零。
从而可以得出f(a)的值必然存在。
现在，让我们来看看第二个要证明的条件，即lim┬(x→a)f(x) = f(a)。
也就是说，当x趋近于a时，f(x)的极限等于f(a)。
根据导数的定义，我们有：lim┬(h→0)〖(f(a+h) - f(a))/h〗= f'(a)如果我们让h变为x-a，那么我们可以将导数的定义写为：lim┬(x→a)〖(f(x) - f(a))/(x-a)〗= f'(a)这表示当x趋近于a时，(f(x)-f(a))/(x-a)的极限等于f'(a)。
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函数的连续性与函数的导数函数的连续性是函数的重要性质。
常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。
连续函数具有下面两条重要性质：1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。
（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。
2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)<y<f(b)（或f(b)<y<f(a)），则在（a ，b ）中存在c ，满足f(c)=y 。
函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。
例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。
解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b+=,图形面积为22002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。
设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。
此时y 0。
故所求点为P 时，所围面积最小。
评注：题中所给曲线实际上是椭圆22221x y a b+=在第一象限的部分。
求圆锥曲线的切线的传统方法是利用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。
这种方法计算量较大而且不能推广到其它曲线的切线的求法。
而利用导数求切线斜率是通法。
如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。
例2（Ⅰ）已知0<x<1，试求函数f(x)=(1+x 2)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：2221112710111a b c ++≤+++。
解：（Ⅰ）对函数f(x)=(1+x 2)(2-x)求导数，得2()2(2)1(1)(31)f x x x x x x '=---=--，由()0f x '=，得13x =. 当0<x<13时，()0f x '<，函数f(x)是递减函数；当13<x<1时，()0f x '>，函数f(x)是递增函数。
∴当x=13时，函数f(x)=(1+x 2)(2-x)取得最小值5027。
（Ⅱ）显然a ，b ，c ∈（0，1），由（Ⅰ）的结论，得(1+x 2)(2-x)5027≥， 2127(1)501x x ≤-+。
（*） 在（*）里，取x 为a ，b ，c ，得三个不等式，2127(2)501a a ≤-+，2127(2)501b b ≤-+，2127(2)501c c≤-+， 叠加，得2221112727[6()]5010111a b c a b c ++≤-++=+++。
例3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x ，g(x)=xlnx 。
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0<a<b ，证明0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（-1，+∞）。
1()11f x x'=-+。
令()0f x '=，解得x=0。
当-1<x<0时，f '(x)>0，当x>0时，f '(x)<0，又f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0。
（Ⅱ）g(x)=xlnx ，g '(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g ()2a x+, 则()()2[()]ln ln 22a x a xF x g x g x ++'''=-=-. 当0<x<a 时，F '(x)<0，因此F(x)在（0，a ）内为减函数。
当x>a 时，F '(x)>0，因此F(x)在（a ，+∞）上为增函数。
从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)。
因为F(a)=0，b>a ，所以F(b)>0，即0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+。
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则()ln lnln 2ln ln()2a xG x x x a x +'=--=-+ 当x>0时，()0C x '<。
因此G(x)在（0，+∞）上为减函数。
因为G(a)=0，b>a ，所以G(b)<0，即g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。
例4 （2006年土耳其国家队选拔考试）已知正数x 、y 、z 满足xy+yz+zx=1，证明：227()()()4x y y z z x +++≥≥证：设tanA=x ，tanB=y ，tanC=z ，其中，∠A、∠B、∠C∈(0,)2π，则tanA·tanB+tanB·tanC+tanC·tanA=1⇔1-tanA·tanB=tanC(tanA+tanB)⇔cotC=tan tan 1tan tan A BA B+-⋅=tan(A+B)。
∴∠A+∠B+∠C=2π。
故22()2x y z =+++=2tan 22(tan sec )A A A ++∑∑∑。
又因y=tanx 的二阶导数y ''=32sin 0cos xx>，y=secx 的二阶导数231sin 0cos x y x +''=>，所以，26(tan sec )33A B C A B C++++≥+=。
注意到227()()()4x y y z z x +++≥⇔27sec 2(tan sec )4A A A ≥+∑∑∏ ⇔278≥cos cos sin cos cos A B C A B ⋅⋅+⋅∑∑=1cos sin()cos cos 2A B C A B ⋅++⋅∑∑=21cos cos cos 2A A B +⋅∑∑=21(cos )2A ∑,又因y=cosx 在[0,]2π上为凸函数，所以，cosA+cosB+cosC 3cos3A B C ++≤=（cosA+cosB+cosC ）2274≤,因此，原不等式成立。
评注：此例证明用到函数的凸凹性。
例5 射线OA ，OB 构成的角的内部存在点P ，在OA 上寻找点X ，在OB 上寻找点Y ，使点P 在线段XY 上，并且|PX|·|PY|最小。
解：如图：以角γ为自变量,在ΔOXP 和ΔOPY 中使用正弦定理sin sin sin sin()PX OP PY OPαγβπαβγ---==和，于是 F （γ）=|PX|·|PY|=sin sin ()||()||sin sin()OP OP αβγπαβγ⋅⋅⋅--- =(csc )(csc()),0C γπαβγγπ---<<，其中C=sin αsin β|OP|2是常数。
函数F 在（0，π）连续可导，且当γ→0+，γ→π-时F （γ）→∞。
所以在（0，π）上的某点达到最小值，在该点()F γ'=0，即0=csc γcsc ()παβγ---[cot γ-cot ()παβγ---].因为在（0，π）上csc γ和csc ()παβγ---都不为0，所以当cot γ=cot ()παβγ---时达到最小值。
对于0<γ<π，0<παβγπ---<，仅当γπαβγ=---时上式成立。
于是ΔOXY 为等腰三角形；即OX=OY 。
评注：这是初等微积分的典型的最大—最小问题。
本问题并非提问是否达到最小而是提问在何处达到最小值。
技术上是应用前述的结果：如果最小值在开区间内达到，则在某一点导数为0。
于是我们必须将乘积|PX|·|PY|表示成某个单变量的函数，并求出导数为0的点。
对于每个正数x ，在OA 上存在唯一的点X ，满足x=|OX|。
而该点唯一地决定了OB 上的点Y ，使得X ，P 和Y 共线。
于是|PX|·|PY|是x 的函数。
但是找出其函数表达式很困难，因此寻求其他方法。
因此以γ为自变量构造函数。
例6 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+a （a 为常数），直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1。
（Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值；（Ⅱ）当k∈R 时，试讨论方程f(1+x 2)-g(x)=k 的解的个数。
解：（Ⅰ）1()|x f x ='故直线l 的斜率为1，切点为（1，f(1)），即（1，0），∴直线l 的方程为：y=x+1直线l 与y=g(x)图象相切，等价于方程组2112y x y x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩只有一解，即方程21(1)02x x a -++=有两个相等实根。
∴Δ=1-4·12(1+a)=0，∴a=-12（Ⅱ）令y 1=f(1+x 2)-g(x)=ln(1+x 2)- 12x 2+12，y 2=k,由312222(1)(1)111x x x x x x y x x x x --+'=-==+++，令1y '=0，则x=0，-1，1。
当x 变化时，y '、y 1的变化如下表又因为y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12为偶函数。
据此可画出y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12的示意图如右：当k∈（ln2，+∞）时，方程无解；当k=ln2或k∈（-∞，12）时，方程有两解；当k=12时，方程有三解；当k∈（12，ln2）时，方程有四解。
例7 给定平面上一个三角形，求证在任意方向上都存在一条直线，能将三角形分成面积相等的两份。
解：设已给三角形ABC 的面积为S ，存在矩形ODEF 包含三角形ABC ，且可使其一个边与给定方向e 平行，不妨设OD ∥e ，以OD 为y 轴，OF 为x 轴建立直角坐标系O-xy 。
如图所示，以S(x)表示过x 轴而平行于y 轴的直线截取三角形ABC 所得位于直线左边区域的面积（如所论区域为空集，就记S(x)=0）。
S(x)是连续的。
因为|S(x)-S(x ')≤|x-x '|，所以S(x)连续。