必修四-任意角与弧度制--知识点汇总(教师版)

美博教育任意角与弧度制

知识梳理:

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：

（1）“旋转”形成角，突出“旋转”

（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴

（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若οο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270）

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、

零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是

（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ．

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30︒ ；390︒ ；-330︒是第 象限角 300︒ ； -60︒是第 象限角

585︒ ； 1180︒是第 象限角 -2000︒是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.

①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角} ④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）

A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C

例3、写出各个象限角的集合：

α的终边所在位置.

例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,

2

解∵α是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z），

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

α＜k·180°+90°（k∈Z），

（2）∵k·180°+45°＜

2

当k=2n（n∈Z）时，

α＜n·360°+90°；

n·360°+45°＜

2

当k=2n+1（n∈Z）时，

α＜n·360°+270°.

n·360°+225°＜

2

α是第一或第三象限的角.

∴

2

α是哪个象限的角？

拓展：已知α是第三象限角，问

3

∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z），

α＜90°+k·120°.

60°+k·120°＜

3

①当k=3m(m∈Z)时，可得

α＜90°+m·360°（m∈Z）.

60°+m·360°＜

3

α的终边在第一象限.

故

3

②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得

α＜210°+m·360°（m∈Z).

180°+m·360°＜

3

α的终边在第三象限.

故

3

③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得

α＜330°+m·360°（m∈Z）.

300°+m·360°＜

3

故3

α的终边在第四象限. 综上可知，3

α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法

1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合

{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和

注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角

有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4

θ的角终边相同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同

则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)

所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5

当：0≤kπ/2+2π/5≤2π

有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角

k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角

（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：

（1）ο210-； （2）731484'-ο．

例3、求θ，使θ与ο900-角的终边相同，且[]

οο1260180，-∈θ．

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|οββ

终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|οββ

3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ

终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ

4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360

若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180

角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk

例1、若θα+⋅=ο360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称

例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式

（1） π3

19 （2）ο315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|οοοο,

{}

Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|οοο,求B A I ,B A Y . 二、弧度与弧度制

1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

o r

C 2rad 1rad

r l=2r o A

A B