正弦函数和余弦函数的图像与性质
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正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦、余弦函数的图像和性质PPT优质课件
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,s正in弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到 直3 角查坐表标y系内s，i从n3而确0.8定对6应6的0点 (x,sinx).
y
描点 (3 ,0.866)0
1-
y
P
-Hale Waihona Puke 023 2
2
x
1 -
3
O M 1x
2020/12/10
9
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
2020/12/10
10
四川省天全中学数学组
2005.03
2020/12/10
11
余弦曲线
-
-
y-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
由于 ycox scosx)(sin [(x) ]sin x()
几何法：作三角函数线得三角函数值，描点(x,sinx),连线
如: x
3
作
3
的正弦线 MP ,
平移定点 (x, MP)
2020/12/10
5
函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
y
作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
1-
P1
p
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11A
o 6
3
正 弦 函 数、余 弦 函数的图象和性质
2020/12/10
1
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
1.4.1-1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像与性质
例 1 求下列函数的周期． (1)y＝sin2x＋π3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)． (2)作出 y＝|sin 2x|的图象．
由图象可知，y＝|sin 2x|的周期为π2. 小结 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0 时的周期求法常直 接利用 T＝|2ωπ|来求解，对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象 法来求解．
1.4.1正弦函数的图象 与性质
第二课时
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 3．掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简
单三角函数的奇偶性．
定义 图
象
sin
cos
tan
单位圆中
y
P(x,y) 。
α
O
A(1,0) x
y
x
y x
温故知新
一般地
解 ∵f(x)的最小正周期是 π， ∴f53π＝f53π－2π＝f－π3. ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π3＝fπ3＝sin π3＝ 23.∴f53π＝ 23.
小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性， 把自变量 x 的值转化到可求值区间内．
练习 若 f(x)是以π2为周期的奇函数，且 f π3＝1， 求 f －56π 的值．
练习 1. 求下列函数的周期． (1)y＝cos 32π－23x； (2)y＝sin－12x＋π3.
解 (1)y＝－sin 23x，T＝22π＝3π. 3
(2)y＝sin12x－3π，T＝21π×12＝2π. 2
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的 最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f53π的值．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
y
1
● ●
o
-1
● 2
●
3 2
●
2
x
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, 2 ] (2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x 0
2
0
1
3 2
2
sinx
1+sinx
y 2 1●
0
1
1
2
-1
0
0
1
y=1+sinx x [0, 2 ]
三、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+ 2
y 1
)= cosx
y=sinx的图象
2
0 2
-1
2
3 2
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
3 (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( 2 , 1) 2 2
●
●
●oຫໍສະໝຸດ 23 2●
2
x
(2)按五个关键点列表
x 0
2
-1
1
3 2
2
cosx
-cosx
y 1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
y=-cosx x [0,2 ]
●
o
-1 ●
2
●
3 2
●
2
●
x
思考：
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
1
● ●
o
-1
● 2
●
3 2
●
2
x
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, 2 ] (2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x 0
2
0
1
3 2
2
sinx
1+sinx
y 2 1●
0
1
1
2
-1
0
0
1
y=1+sinx x [0, 2 ]
三、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+ 2
y 1
)= cosx
y=sinx的图象
2
0 2
-1
2
3 2
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
3 (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( 2 , 1) 2 2
●
●
●oຫໍສະໝຸດ 23 2●
2
x
(2)按五个关键点列表
x 0
2
-1
1
3 2
2
cosx
-cosx
y 1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
y=-cosx x [0,2 ]
●
o
-1 ●
2
●
3 2
●
2
●
x
思考：
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
正弦函数、余弦函数的图像和性质
-
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
正余弦函数图像及性质
函数 y sin x, x R 的图象。
y
1_
4 3 2 o
_
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
例题讲解:
例.用“五点法”作出函数y 1 sin x, x 0,2 的简图。
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
2
3 2
2
sin x 0 1 0 1 0
sin x 1 1 2 1 0 1
(2)描点,连线
2y
1
0
1
2
x 3 2
2巩固Biblioteka 习:1.作函数 y cos x, x 0,2 的简图。
正弦函数、余弦函数的图象和性质 （一）
1. sin a, cos a, tan a 的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
2.如何用描点法作出函数 y x2 2x的图象?
(1)列表
x
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
0
2
1
y
y cos x, x0,2 1
0
1
2
x 3 2
2
x 3 2
2
返回
1
.. 2 1 0 1. 2 x
y
1_
4 3 2 o
_
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
例题讲解:
例.用“五点法”作出函数y 1 sin x, x 0,2 的简图。
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
2
3 2
2
sin x 0 1 0 1 0
sin x 1 1 2 1 0 1
(2)描点,连线
2y
1
0
1
2
x 3 2
2巩固Biblioteka 习:1.作函数 y cos x, x 0,2 的简图。
正弦函数、余弦函数的图象和性质 （一）
1. sin a, cos a, tan a 的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
2.如何用描点法作出函数 y x2 2x的图象?
(1)列表
x
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
0
2
1
y
y cos x, x0,2 1
0
1
2
x 3 2
2
x 3 2
2
返回
1
.. 2 1 0 1. 2 x
6.1(3)正弦函数和余弦函数的图像和性质
2、一般地，函数 y=asinx+bcosx可以 化简为:
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
《正余弦函数图像》课件
余弦函数基本概念介绍
定义与特点
余弦函数是周期性变化的函数，描述了单位圆上一个点的横坐标随角度变化而变化的规律。
公式
余弦函数公式为y = A * cos(B * (x - C)) + D，其中A、B、C、D分别影响振幅、周期、相位 和纵坐标偏移。
图像特征
余弦函数图像呈现周期性的波浪曲线，对称于x轴和y轴，振幅与A值相关。
《正余弦函数图像》PPT 课件
本课程将介绍正弦函数和余弦函数的基本概念，探索它们的图像及性质，比 较分析两者的图像，并以小测验来巩固所学知识。最后给出结论和参考资料。
正弦函数基本概念介绍
1 定义与特点
正弦函数是周期性变化的函数，描述了单位圆上一个点的纵坐标随角度变化而变化的规 律。
2 公式
正弦函数公式为y = A * sin(B * (x - C)) + D，其中A、B、C、D分别影响振幅、周期、相 位和纵坐标偏移。
相似性
正弦函数和余弦函数都是周 期性的函数，呈现波动或波 浪形状的图像。
差异性
相位差：正弦函数和余弦函 数的图像相位差90度。
振幅：正弦函数图像纵向的 上下震动幅度，而余弦函数 图像横向的左右震动幅度。
应用
正弦函数常用于描述周期性 变化的现象，如音波、电流 等；余弦函数通常用于描述 旋转变化的现象，如天体运 动等。
余弦函数图像及性质
1
调节振幅
2
余弦函数图像的振幅可以通过改变A
的值来调节，振幅表示纵向的上下震
动幅度。
3
波动与震动
余弦函数图像呈现连续的波动曲线， 每个周期具有相同的形状，与正弦函 数的图像相位差90度。
平移与初始位置
改变C的值可以使整个图像左右平移， 影响图像的起始位置。
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y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k · 2 )＝sin x (kZ) 可知：
正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，„ ，－2 ，
－4 ，„ ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期． 2 是其最小正周期 .
时
2
ymax=1
(k Z ) 时
x 2k (k Z ) 时
ymin= 1
ymin= 1
x k
y= 0
x k ( k Z )
2
(k Z )
y=sinx
y
y= cosx
y
1
图 象 周期性 奇偶性
1
2 3 4
-2
-
o
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
-2
-
o
-1
cos515 _ > cos530
sin(54 / 7) < _ sin(63 / 8)
3 判断下列函数的奇偶性：
① f ( x) sin x cos x
1 sin x cos x ② f ( x) 1 sin x cos x
（答案：①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数）
是减函数。
②
函数y=cos(x+/2),xR ( A ) A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： cos15 / 8 > _ cos14 / 9 sin 250 _ sin 260 >
2
例1. 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图 像。 （1)y=2+sin x; y (2)y=sin x-1 ； y=2+sin x x∈ [0,2 π] (3)y=3sin x. 3
2 1 2． π π ． ． ． ． 0 x
2
3 2
-1
y=sin x -1 x∈[0,2π]
y=sin 3x x∈[0,2π]
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. 3 2 (1) y 2cos x (2) y (sin x ) 2
解:(1) 当 x 2k , k Z 时， ymax 2
2
ymin 2 当 x 2k , k Z 时，
3 2 (2)视为 y (u ) 2, u sin x 2 17 ymax 当 u 1，即 x 2k , k Z 时， 4 2 7 ymin 当 u 1，即 x 2k , k Z 时， 4 2
-1
1
-1
π π π π， 2 k π, 2 k π , k Z 上, 是增函数； 2 2 2 2 在闭区间 π 3π3 π π ， 2 k π, 2 k π , k Z 上，是减函数. 在闭区间 2 2 2 y 2
-
五点 作图法
正弦函数、余弦函数的图象
y
1-
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5 3 11 6
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
2
(0,0) ( ,0) (2 ,0) x 图象的最低点 3
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1
-3
5π 2
-2
3π 2
-
π 2
o
-1
π 2
x
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
-
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
cox -1
y=cosx (xR)
0
0
增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k，
求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+ )-1
4
2 y=sin2x-4sinx+5
例6. 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx [ +2k , +2k],kZ 上单调递减 函数在 函数在 [
2 2
2 3 +2k, 2 ) 4
-
x
单击： 返回
观察 y ＝ sin x ，x[ 0，2 ] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？
y
1-
o
-1 -
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
π 2
x
π 1)； 图象的最高点: ( ， 2
0)，( π，0)，(2 π ，0)； 与 x 轴的交点: (0， 3π 图象的最低点: ( ， 1) ． 2
f ( x) ( x) sin( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
函数的奇偶性
所以函数y=xsin(+x)为偶函数
定义域关于原点对称
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
奇函数
偶函数
1 选择题
① 函数y=4sinx,x [-, ]的单调性（ B ） A 在[-，0]上是增函数，[0，]是减函数； B 在[-/2，/2]上是增函数，在[-，/2]上是减函数； C 在[0，]上是增函数，在[-，0]上是减函数； D 在[/2，]及[-，-/2]上是增函数，在[-/2，/2]上
10
O 1
-2
3 (0,1), ( , 0), ( , 1), ( , 0), (2 ,1) 五个关键点： 2 2
-4 并注意曲线的“凹凸”变化 .
五 点 作 图 法
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
描点：定出五个关键点．
连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．
二、正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
2 3
4
x
2 奇函数 单调增区间:
[
2 偶函数
单调增区间:
[ 2k ,2 2k ](k Z )
单调性
2k , 2k ]( k Z ) 2 2
2k , 3 2k ]( k Z ) 2
单调减区间:
[
单调减区间:
[2k , 2k ](k Z )
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x 正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3
5π 2
-2
3π 2
-
π 2
o
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
π 2
…
0 0
…
π 2
…
0
…
3π 2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
定义域
xR
(1) 值域 [ －1, 1 ]
π x 2kπ(k Z ) 2
时，取最大值1；
π x 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
-