正弦函数和余弦函数的图像与性质

时

2
ymax=1
(k Z ) 时
x 2k (k Z ) 时
ymin= 1
ymin= 1
x k
y= 0
x k ( k Z )

2
(k Z )
y=sinx
y
y= cosx
y
1
图 象 周期性 奇偶性
1
2 3 4
-2
-
o
-1
x
-2
-
oFra Baidu bibliotek
-1
10
O 1
-2
3 (0,1), ( , 0), ( , 1), ( , 0), (2 ,1) 五个关键点： 2 2
-4 并注意曲线的“凹凸”变化 .

五 点 作 图 法
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
描点：定出五个关键点．
连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．
二、正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1

2 3
4
x
R [1,1]
x 2k

R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
1
-3

5π 2
-2

3π 2
-

π 2
o
-1
π 2
x

3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
-
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
cox -1
y=cosx (xR)
0
0
增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k，
2
x k
3 8
例 7. 不通过求值，比较下列各对函数值的大小： π π 3π 2π ． (1) sin( ) 和sin( )； (2) sin 和 sin 4 18 3 10 π π π π ＜ ＜ ＜ ， 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y ＝sin x 在[ 2 ，2 ] 上是增函数．
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x 正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3

5π 2
-2

3π 2
-

π 2
o
-1
x
π 2

3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
π 2
…
0 0
…
π 2
…
0
…
3π 2
f ( x) ( x) sin( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
函数的奇偶性
所以函数y=xsin(+x)为偶函数
定义域关于原点对称
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
奇函数
偶函数
1 选择题
① 函数y=4sinx,x [-, ]的单调性（ B ） A 在[-，0]上是增函数，[0，]是减函数； B 在[-/2，/2]上是增函数，在[-，/2]上是减函数； C 在[0，]上是增函数，在[-，0]上是减函数； D 在[/2，]及[-，-/2]上是增函数，在[-/2，/2]上
Q1
M1
-1A
Q2
-
o
-1 -
6

3

2
2 3
5 6

2
x
y
y
1-
o1
M 2 M 1-1
o
-1 -
6


2
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
x
-
-
-
l
正 弦 曲 线
由终边相同的角三角函数值相同，所以 y＝sin x 的图象在 „ ，[-4 ，-2 ] ， [-2 ，0] ， [0，2 ] ， [2 ，4 ] ， „ 与 y＝sin x，x[0，2 ] 的图象相同 ， 于是平移得正弦曲线 .
y 2
1
O 1
-2
2


3 2
5
2
x
10
3 (0, 0), ( ,1), ( , 0), ( , 1), (2 , 0) 五个关键点： 2 2
利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”
-4
4
课
堂
练
习
2.试画出余弦函数在区间 [0, 2 ] 上的图像.
2
y
1
2

5
3 2
2
x
-1
1
-1
π π π π， 2 k π, 2 k π , k Z 上, 是增函数； 2 2 2 2 在闭区间 π 3π3 π π ， 2 k π, 2 k π , k Z 上，是减函数. 在闭区间 2 2 2 y 2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
定义域
xR
(1) 值域 [ －1, 1 ]
π x 2kπ(k Z ) 2
时，取最大值1；
π x 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
y
1-
6π
-
4π
-
2
-
o-1
2π
4
-
6
-
x
-
-
余
弦
y
1
-
曲
线
6
-
4
-
2
-
-1 -
o
2
-
4
-
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k · 2 )＝sin x (kZ) 可知：
正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，„ ，－2 ，
－4 ，„ ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期． 2 是其最小正周期 .
所以 sin( (2) 因为
π 2π 3π ＜ ＜ ＜π ， 2 3 4
π π )＜sin( ) ． 10 18
且 y ＝sin x 在 [ 所以 sin
2π 3
π ，π ] 上是减函数， 2
3π 4
＞ sin
．
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f ( x) x sin( x) x sin x
2
例1. 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图 像。 （1)y=2+sin x; y (2)y=sin x-1 ； y=2+sin x x∈ [0,2 π] (3)y=3sin x. 3
2 1 2． π π ． ． ． ． 0 x
2
3 2
-1
y=sin x -1 x∈[0,2π]
y=sin 3x x∈[0,2π]

2 3
4
x
2 奇函数 单调增区间:
[
2 偶函数
单调增区间:
[ 2k ,2 2k ](k Z )
单调性
2k , 2k ]( k Z ) 2 2
2k , 3 2k ]( k Z ) 2
单调减区间:
[

单调减区间:
[2k , 2k ](k Z )
+2k],kZ上单调递增
k k
(2) y=3sin(2x 解： 2k 2 x 2k
2k

8

2
2
2x

4
4
2k
所以：单调增区间为 单调减区间为
3 7 x k 8 8 3 [k , k ] 8 8 3 7 [k , k ] 8 8 3 2
正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数
函数 函数
函数
一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法) 1、用几何法作正弦函数的图像
利用正弦线作出 y sin x，x 0， 2π 的图象. y
作法: (1) (2) (3) (4)
π 3
π 2


1P 1

6
/ p1
等分; 作正弦线; 平移; 连线.
5π 3 11π 6
求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+ )-1
4
2 y=sin2x-4sinx+5
例6. 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx [ +2k , +2k],kZ 上单调递减 函数在 函数在 [
2 2
2 3 +2k, 2 ) 4
-
五点 作图法
正弦函数、余弦函数的图象
y
1-
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5 3 11 6

-1
o
-1 -
6


2
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
2
(0,0) ( ,0) (2 ,0) x 图象的最低点 3
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
x
单击： 返回
观察 y ＝ sin x ，x[ 0，2 ] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？
y
1-
o
-1 -
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
π 2
x
π 1)； 图象的最高点: ( ， 2
0)，( π，0)，(2 π ，0)； 与 x 轴的交点: (0， 3π 图象的最低点: ( ， 1) ． 2
例3. 当x∈[0，2π ]时，求不等式
1 的解集. cos x ³ y 2
1
y =
O -1
2
π
2
1 2
2π
x
p 5 p 变式问题 :如果 ?p ] [0, ]U [ x∈R ,呢 2 3 3
例4.下列函数的定义域：
1 1 y= 1 sin x
2 y=
2 cos x
例5.
cos515 _ > cos530
sin(54 / 7) < _ sin(63 / 8)
3 判断下列函数的奇偶性：
① f ( x) sin x cos x
1 sin x cos x ② f ( x) 1 sin x cos x
（答案：①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数）
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. 3 2 (1) y 2cos x (2) y (sin x ) 2
解:(1) 当 x 2k , k Z 时， ymax 2
2
ymin 2 当 x 2k , k Z 时，
3 2 (2)视为 y (u ) 2, u sin x 2 17 ymax 当 u 1，即 x 2k , k Z 时， 4 2 7 ymin 当 u 1，即 x 2k , k Z 时， 4 2
-
-
( 2 ,1)
图象的最高点 与x轴的交点
1-
(0,1) (2 ,1)
-1
o
-1 -
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) 图象的最低点 ( ,1)
-
4
课
堂
练
习
1.试画出正弦函数在区间 [0, 2 ]上的图像.
是减函数。
②
函数y=cos(x+/2),xR ( A ) A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： cos15 / 8 > _ cos14 / 9 sin 250 _ sin 260 >
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1

2 3
4
x
R [1,1]
x 2k

R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
o1
M -1 1
A
o
-1 -
π 6
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
π 2
x
-
-
-
正弦函数、余弦函数的图象
2、用几何法作余弦函数的图像 : y
1P 1
/ p1
o1
y
(1) 等分 作法： (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
7 6 4 3 3 2 5 3 11 6
-