1.2二次函数的图像(2)
二次函数知总结识点
第二十六章 二次函数
1 二次函数及其图像
1.1二次函数 引例中知识点：多边形的对角线总数)3(21-=
n n d 一般地，形如c bx ax y ++=2（a ,b ,c 是常数，0≠a ）的函数，叫做二次函数。
1.2 二次函数2
ax y =的图像
二次函数的图像叫做抛物线c bx ax y ++=2。
1.3 二次函数k h x a y +-=2)(的图像
图像特点：
（1） 当0>a 时，开口向上，当0<a 时，开口向下。
（2） 对称轴是直线h x =。
（3） 顶点坐标是（k h ,）。
1.4 二次函数c bx ax y ++=2的图象
一般地，我们用配方求抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）的顶点与对称轴。
a b ac a b x a c bx ax y 44)2(2
22
-++=++= 因此，抛物线对称轴是a
b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b a
c a b -- 1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
已知图像上的三点待入求得函数解析式。
平移问题：左加右减，上加下减。
二次函数的图象
知识回顾:
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
（4）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （5）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （6）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （7）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
a>0
h>0
a<0 y
O
h<0
y
O
x
x 向下 (h ,0) x=h的直线
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
开口方向 顶点坐标
对称轴 增 减 性 极值
向上 (h ,0) x=h的直线
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
x=h时,y最小=0
x=h时,y最大=0
【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2．(3分)对于抛物线y＝－ ①抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(－1，3)； 其中正确的结论有( C ) A．1个
轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，一次函数的表达式为y＝x－1. (2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：1≤，两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y＝ (x－4) －1 个二函数的表达式为___ ．
2
1 4
9．(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y＝ax2(a≠0)，经过怎样的平移得到？ (1)y＝－
(2)y＝－(x＋ 3)2－5； (3)y＝3(x－ 1 )2＋ 3
2
1 (x－4)2； 3
4
.
1 1 解：(1)y＝－ (x－4)2 可由抛物线 y＝－ x2 向右平移 4 个单位得到． 3 3 (2)y＝－(x＋ 3)2 －5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个单位，再向下平移 5 个单位 得到． 1 2 3 1 3 2 (3)y＝3(x－ ) ＋ 可由抛物线 y＝3x 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 2 4 2 4
y＝－8(x－ )2＋3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使 △PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角 形．若H(0，－2)是抛物线y＝x2＋n的T型点，则n的取值范围是
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数的图像
3 x+1 .
解： （1） y=3x2 –6x=3(x –1)2 –3
所以图象的对称轴为：x=1
顶点坐标为：（1， –3） ∵ a=3 > 0 ∴ 当x=1时，函数有最小值, y最小值= – 3
(2) y= – 3 x2 – 4 3 x+1
解：∵
23
a = - 2,
b = -4
,3 c = 1
∴
对称轴：x b 2a
例1:根据公式求二次函数的顶点坐标和对称轴
(1) y 2x2 12x 13
(2) y 3(x 3)(x 9)
练习:求二次函数的顶点坐标和对称轴
(3) y 3x2 6x 2
(4) y 2(x 1)(x 2) 2
例2下列函数何时有最大或最小值，最值是 多少?
当x=h时,最小值为k.
y=a(x-h)2+k (a<0)
（h，k）
直线x=h
向下
当x<h时,y随着x增大而增大 当x>h时,y随着x增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象和性质?
y=3x2-6x+5 =3(x2-2x+1) -3+5 =3(x-1)2+2
- b =-
2a
-4 3 3
2(- )
=-4
3
3
2
4ac - b2
4a =
3 4(- ) - (-4
3)2
2
3 4(- )
=9
2
所以图象的对称轴为：x=
-
4
26.1.2二次函数y=a2的图像
直线 双曲线 (1) 一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.
(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论 性质是数形结合 的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
1、函数y=2x2的图象的开口 (0,0) ,顶点是 ; y轴
向上 ,对称轴
2、函数y=－3x2的图象的开口 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;
向下 ,对称
已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开 口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
－0.5 －2 －4.5 －8
你画出的图象与图中相同吗？ 请找出相同点与不同点：
－4
－2 －2 －4 －6 －8
2
4
1 y x2 2
y x2
y 2 x 2
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小 ;
y
抛物线y x 2与y -x 2关于x轴对称
y=x2
抛物线y ax 与抛物线y -ax 关于x轴对称
2 2
o
x
y x2
九年级数学下二次函数1.2二次函数的图像与性质第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
x 的增大而增大，则 m 的值为( B )
A. 5
B．－ 5
C．± 5
D．－2
12．已知点 A(－1，y1)，B(－ 2，y2)，C(－2，y3)在二次函
数 y＝－x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( A )
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
15．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值． 解：根据题意，得mm2＋＋33≠m0，－2＝2， 解得mm＝≠－－34. 或m＝1， ∴m＝－4 或 m＝1.
17 见习题
18 见习题
答案显示
1．二次函数 y＝2πx2 的图象沿 x 轴翻折后的图象的表达式为
( C) A．y＝21πx2
B．y＝2xπ2
C．y＝－2πx2
D．y＝πx2
2．已知二次函数y＝－2x2，当x>0时，其图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
湘教版九年级数学下册 1.2：二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)
题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.
初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组 对应值：
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接 各点，就得到y = -x2 的图象 图象开口向下，有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= 1 x2， 2
③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.（填序号）
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( C )
1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件
小结 二次函数 ya(xh)2的图象及性质： (1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
探究
三、观察三条抛物线： y
(5)增减性怎么样？
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
归纳
二次函数 ya(xh)2的图象及性质：
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。
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当m>0时,向右平移
y=ax2
y=a(x-
m)2
当k>0时,向上平移
y=a(x-
m)2+k
当m<0时,向左平移
当k<0时,向下平移
(0，0)
(m，0)
(m，k)
直线x=0（y轴） 直线x=m
直线x=m
正向右，负向左；正向上，负向下。
P.15 作业题4、5
y
y 1 x2 2
y 1 ( x 2) 2 2
o
x
y 1 x 2 向右平移2个单位
y 1 (x 2) 2
2
2
顶点坐标：(0,0)
(2,0)
对称轴:直线x=0
直线x=2
y 1 x2 2
向左平移2个单位
y 1 (x 2) 2 2
顶点坐标：(0,0)
(-2,0)
对称轴:直线x=0
直线x=-2
二次函数y=ax²（ a≠0 ）的图象是一条抛物线；
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低
点；抛物线在x轴的上方（除顶点外）。
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高
点;抛物线在x轴的下方（除顶点外）
九年级
上册
课程标准浙教版实验教科书
1.经历二次函数图像平移的过程，理解函数图像平移的意义； 2.掌握y=ax2， y=a(x+m)2， y=a(x+m)2+k三类二次函数图像之间 的关系。 3.会从图像的平移变换的角度认识y=a(x+m)2+k型二次函数的图像 特征。
1.如果抛物线 y 1 (x h)2 k 的顶点坐标是（-1，5）
2
则h和k的值及对称轴？
2.如果一条抛物线的形状与 y 3x2的形状相同，
且顶点坐标是（４，-２）， 则函数关系式？
左加右减 上加下减
y ax 2 当m>0时,向右平移 当m<0时,向左平移
y a(x m)2
当k< ０时 向下 平移
二次函数y=a(a-m)2(a≠0）的性质：
一般地，函数y＝a（x-m）2（a≠0）的图象与函数y＝ax2 的图象只 是位置不同，它可由y＝ax2 的图象向右（当m＞0）或向左（当m
＜0）平移 m个单位得到。函数y＝a（x+m）2的图象的顶点坐标
是（m，0），对称轴是直线x＝m
y a(x m)2的图象由
. . . . . . y 1 x2
y 1 x 22
2
2
. . y 1 x 22 . . . 左加右减 2 .. ... ..
开口方向、抛物线形状不变
对称轴和顶点改变
y 1 x2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
2
. . . .y . .
.. .. . .. ... ..
y 1 ( x 2) 2 2
函数
y
1
(x
3 4)2
的图象。
3
2)说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标 和对称轴。 3
用描点法在同一直角坐标系中画出函数 y 1 x2
2
y 1 (x 2) 2 ，
2
y 1 (x 2)2 3 2
的图象 .
上加下减
一般地，函数y＝a（x-m）2＋k（a≠0）的图象，可以由 函数y=ax2的图象先向右（当m＞0）或向左（当m＜0）平 移 m 个单位，再向上（当k＞0）或向下（当k＜0）平移
y ax2 当m>0时,向右平移 y a( x m) 2 当m<0时,向左平移 对称轴是 __直_线__x_=__m_____， 顶点坐标是 __(_m_,_0_)____。
P.14课内练习1、2、 作业题1、2、3
例2 对于二次函数请 y 1 (x 4)2 回答下列问题：
3
1)把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移变换，就能得到
当二a次>0函时数，y抛=ax物²的线图开象口及向其上特，点？在对称轴的左侧，y 随着1、x顶的点增坐大标而？减（小0，；0在）对称轴右侧，y随着x的增 大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a2<、0对时称，轴抛？物线y轴开口（向直下线，x=在0）对称轴的左侧，y 随3着、x对的称增轴大与而抛物增线大叫的做；交抛在点物对线称的轴顶的点右侧，y随着x增 大4而、减图小象，具有当以x=下0时特点，：函数y的值最大。
当k> ０时 向上 平移
y a(x m)2 kFra bibliotek顶点坐标： （０，０）
（m,0)
(m,k)
y a(x m)2 k的图象：
对称轴是 _直__线__x_=_m ______，
顶点坐标是 __(m __,_k__)___。
1.作业本（2）1.2二次函数的图像（2） 2.课时导航B 1.2二次函数的图像（2） 3.预习1.2二次函数的图像（3）
阅读课本P.11至P.12例2为止，思考并准备交流下列问题： 1.比较图1-5的三个函数图象，它们有什么共同的特征？ 顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关 系？由此，你发现了什么？ 2.理解基础上背诵y=a（x-m）2(a≠0）型二次函数的图像 性质。
用描点法，在同一直角坐标系中作出下列二次函数 的图象
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2 …
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
y 1 x 22
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
注意观察取值
用描点法，在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2
…
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
y 1 x 22
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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