第4章 物流节点选址其他模型
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5 4 3 2 1
需求点 1 2 3 4 5
6 5 4 3 2 1 0 0 1
x 坐标
3 5 4 2 1
y 坐标
1 2 3 4 5
权重i 1 7 3 3 6
y，千米
2
3
x，千米
4
5
6
3 3
解答：
首先，需要确定中值：
W
1 n i 2 i 1
从表中，我们可以轻易地得到中值 W (3 7 1 3 6) / 2 10 。 为了找到 x 方向上的中值点 xs ，从左到右将所有的 i 加起来，按照升序排列到中值点，见表 8-2 所示。然 后重新再由右到左将所有的 i 加起来，按照升序排列到中值点。可以看到，从左边开始到需求点 1 就；刚好达
12 12
(2)最大覆盖模型
min
结束条件为：
jN iA( j )
d y
i
ij
jA( j )
d y
i
j M
jB ( j )
y
ij
ij
1, i N
Cjxj, j M
p, j M
x
j
x j 0,1, j M
yij 0, i N , j M
yij C j di , yi yi yi j , C j 0
第四步：若 N 或 M 为空，停止；否则，更新集合 A( j ) 和集合 B(i ) ，转第二步。
9 9
离散点选址模型
例 在某区域需规划建设若干个农贸市场为将来该区9个 主要居民点提供服务。除第6居民点外，其他各点均有 建设市场的条件，如图所示。已知市场的最大服务半径 为3km，为保护该区域的环境，希望尽可少地建造农 贸市场。问应如何规划？
表 候选点服务范围 居民点号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4， 6， 7， 8 6， 7， 8， 9 8， 9
A( j )
1， 2， 3， 4 1， 2， 3 l， 2，3， 4，5 1， 3， 4， 5， 6， 7 3， 4， 5， 6
B(i)
1， 2， 3， 4 l， 2，3 1， 2， 3， 4， 5 1， 3， 4， 5， 7 3， 4， 5 4， 5， 7， 8 4， 7， 8 7， 8， 9 8， 9
9 2 4 7 3 2 1 4 1 5 4 3 2 3 6 1 4 2 3 3 8
2
1
3
10 10
解答：
解： N {1，2，3，4，5，6，7，8，9}， M {1，2，3，4，5，7，8，9}，由图 8-14 求两点间的短距离，根 据最大服务半径为 3km 的约束及第 6 居民点不适合建市场的要求，可确定集 A( j ) 和集 B(i ) 。如下表所示，值得 指出的是本问题没有需求量和容量，故无需考虑约束(8-19)。
x y 1
6 6
离散点选址模型
1.覆盖模型 (1)集合覆盖模型，用最小数量的设施去覆盖所有 的需求点。
(2)最大覆盖模型，在给定数量的设施下，覆盖尽可 能多的需求点。
7 7
离散点选址模型
结束条件为：
(1)集合覆盖模型
y
1, i N
ij
min x j
jN
jB ( i )
ij
选址问题中的距离计算
1.直线距离
y
E ij 2 2
终点
d ( xi x j ) ( y i y j )
yj
d 直线距离（ij）
2.折线距离
d xi x j y i y j
R ij
yi
d 折线距离（ij）
O
xi
xj
x
1 1
连续点选址模型
1.交叉中值模型(Cross Median)
因为 A(4) ={1，3，4，5，6，7}， | A(4) | =6 为最大，故首先选取 j =4。由于无容量约束，故依次指派 5， 7，1，6，3，4 点归节点 4 服务。
11 11
解答：
此时， N {2，8，9}， M {1，2，3，5，7，8，9}，更新集合 A( j ) 和合集 B(i ) 后如下表所示。
x j —— x j
； 0，其他的情形 ，假如客户i N，由设施j M来提供服务 1 ； y ij ___ y ij 0，其他的情形
，假如在j M建立设施 1
15 15
2.P—中值模型
P—中值模型贪婪取走算法： 第一步：令当前选中设施点数 k m ，即将所有 m 个候选位置都选中。 第二步：将每个客户指派给 k 个设施点中距离最近的一个设施点。求出总运输费用 Z 。 第三步：若 k p ，输出设施点及各客户的指派结果，停止；否则，转第四步。 第四步：从 k 个设施候选点中确定一个取走点，满足：假如将它取走并将它的客户指派给其他的 最近设施点后，总费用增加量最小。 第五步：从候选点集合中删去取走点，令 k k 1 ，转第二步。
x2 y2 R2 x y 1
因此得有约束的非线性规划模型为： 目标函数：
(x1,y1) (x2,y2)
河流
(x,y)
(x3,y3)
水库
(x4,y4)
minC wi d i
i
约束条件：①配送中心不能建在水库上：
x2 y 2 R2
②配送中心不能建在河流中：
(x5,y5)
8 8
离散点选址模型
最少点覆盖启发式算法： 第一步： 初始化。 令所有的 yij 0 ，x j 0 ，yi
y
jM
ij
并确定集 A( j ) 和集合 B(i ) ； 0 (已分配的需求)，
A( j ) max A( j ) ，令 x j 1 ，并在 M 集合中剔除节点 j ，即 M M \ { j } ；
为 C j 0 或 A( j ) 为空。其中，对于 i A( j ) 且 yi 1 ，将 i 指派给 j 的方法为：若 d i (1 yi ) C j ，则令
yij 1 yi ， C j C j di (1 yi ) ， yi 1 ，在 A( j ) 和 N 中剔除需求点 i 。若 d i (1 yi ) C j ，则令
表 候选点服务范围 居民点号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 8， 9 8， 9 8， 9 8， 9
A( j )
2 2 2
B(i)
2
因为 A(8) ={8，9}， | A(8) | =2 为最大，故首先选取 j =8，并且 8，9 两点归节点 8 服务。 同理，再迭代一次，得 j =2，居民点 2 归节点 2 服务。 因此，计算结果为(4，8，2)。 近似算法一般不能求得问题的最优解，如本例的最优解为(3，8)。
jA( j )
d y
i
Cjxj, j M
x j 0,1, j M yij 0, i N , j M
式中 N ——在研究对象中的 n 个需求点， N (1,
2, , n) ； M (1, 2, , m) ； M ——在研究对象中的 m 个节点候选点， d i ——第 i 个节点的需求量；
x j 0,1, j M
N ——在研究对象中的 n 个客户(需求点)， N (1, 2, , n) ； di i
——第 个客户的需求量；
M ——在研究对象中的 m 个候选地点， M (1, 2, , m) ; cij ——从地点 i 到 j 的单位运输费用； p ——可以建立的设施总数( p m )；
j x i —— xi 1, 假如该设施位于节点; jM iN i 0, 假如该设施位于节点; yij ——节点 i 需求中被分配给节点 j 的部分。
C j ——设施节点 j 的容量；
13 13
2.P—中值模型
指在一个给定数量和位置的需求集合和一个候选设施位 置的集合下，分别为p个设施找到合适的位置并指派每 个需求点到一个特定的设施，使之达到在工厂和需求点 之间的运输费用最低
需求点 设施候选点 P=3
14 14
2.P—中值模型
P—中值问题的目标函数是：
min d i cij yij
iN jM
y
jM
约束条件为：
ij
1, i N
j
x
jM
p
yij x j ， i N ， j M
yij 0,1, i N , Baidu Nhomakorabea M
式中
Z i xi x s y i y s
n i 1
式中
i ——与第 i 个点对应的权重(例如需求)；
x i ， yi ——第 i 个需求点的坐标； xs ， y s ——服务设施点的坐标； n ——需求点的总数目。
2 2
连续点选址模型
例 一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个新的报刊零售点，主要的服 务对象是附近的5个住宿小区的居民，他们是新开设报刊零售点的主要 顾客源。图的笛卡儿坐标系确切地表达了这些需求点的位置，表是各个 需求点对值的权重。这里，权重代表每个月潜在的顾客需求总量，基本 可以用每个小区中的总的居民数量来近似。经理希望通过这些信息来确 定一个合适的报刊零售点的位置，要求每个月顾客到报刊零售点所行走 的距离总和为最小。
jM
第 二 步 ： 选 择 下 一 个 设 施 点 。 在 M 中 选 择 x j 0 且 A( j ) 的 模 为 最 大 的 点 j 为 设 施 点 即 第三步：确定节点 j 的覆盖范围。将 A( j ) 中的元素按 B(i ) 的模从小到大的顺序指派给 j ，直至 j 的容量
C j ——设施节点 j 的容量； A( j ) ——设施节点 j 所覆盖的需求节点的集合； B(i) —— B(i) j i A( j) 可覆盖需求节点 i 的设施节点 j 的集合；
j x i —— xi 1, 假如该设施位于节点; jM iN i 0, 假如该设施位于节点; yij ——节点 i 需求中被分配给节点 j 的部分。
式中 N ——在研究对象中的 n 个需求点， N (1,
2, , n) ； M ——在研究对象中的 m 个节点候选点， M (1, 2, , m) ； d i ——第 i 个节点的需求量；
p ——允许建设的设施节点数目； A( j ) ——设施节点 j 所覆盖的需求节点的集合； B(i) —— B(i) j i A( j) 可覆盖需求节点 i 的设施节点 j 的集合；
位置 A(3，3) 需求点 距离 1 2 2 3 3 1 4 2 5 4 权重 1 7 3 3 6 总和 2 21 3 6 24 56 位置 B(4，3) 需求点 距离 1 3 2 2 3 0 4 3 5 5 权重 1 7 3 3 6 总和 3 14 0 9 30 56
5 5
连续点选址模型
(3)非线性系统最优化模型
到了中值点，而从右边开始则是到需求点 3 达到中值点。回到图 8-6，发现在需求点 1、3 之间 1000m 的范围内 对于 x 轴方向都是一样的，也就是说， xs 3 ~ 4 km。
表 8-2 x 轴方向的中值计算 需求点 5 4 1 3 2 2 3 1 4 5 沿 x 轴的位置 从左到右 1 2 3 4 5 从右到左 5 4 3 2 1 7=7 7+3=10 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6=6 6+3=9 6+3+1=10 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 从下到上 1=1 1+7=8 1+7+3=11 表 8-3 y 轴方向的中值计算
x，千米 图 8-7 可能的方案
y，千米
2
4
5
6
综合考虑 x 、 y 方向的影响，于是最后可能的地址为 A、B 之间的一条线段(见图 8-7)。表 8-4 对 A、B 两个位 置的加权距离进行了比较。从比较的结果可以看到，它们直接的加权距离是完全相等的。也就是说，可以根据实 际情况，选址 A、B 之间的任何一点。
i
需求点
沿 y 轴的位置 从上到下
i
6=6 6+3=9 6+3+3=12
4 4
接着寻找在 y 方向上的中值点 y 。从上到下，逐个叠加各个需求点的权重 。在考虑 5、4 两个需求点时，
s i
权重和为 9，仍没有达到中值点 10，但是加上第三个需求点后，权重和将达到 12，超过中值点 10，见表 8-3 所 示。所以从上向下的方向考虑，报刊亭零售点应该设置在 3 点或 3 点以上的位置。然后从下往上，在第 1 和第 2 个需求点之后，权重总和达到 8，仍旧不到 10，当加入第三个需求点 3 后，权重总和达到 11。这个说明，报刊 零售点应该在需求点 3 或者它下面的位置。结合 2 个方面的限制和图 8-7 的相对位置，在 y 方向，只能选择一个 有效的中值点： y s 3 km。 6 5 4 3 2 1 0 0 1 5 4 B 3 A 1 2 3
需求点 1 2 3 4 5
6 5 4 3 2 1 0 0 1
x 坐标
3 5 4 2 1
y 坐标
1 2 3 4 5
权重i 1 7 3 3 6
y，千米
2
3
x，千米
4
5
6
3 3
解答：
首先，需要确定中值：
W
1 n i 2 i 1
从表中，我们可以轻易地得到中值 W (3 7 1 3 6) / 2 10 。 为了找到 x 方向上的中值点 xs ，从左到右将所有的 i 加起来，按照升序排列到中值点，见表 8-2 所示。然 后重新再由右到左将所有的 i 加起来，按照升序排列到中值点。可以看到，从左边开始到需求点 1 就；刚好达
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(2)最大覆盖模型
min
结束条件为：
jN iA( j )
d y
i
ij
jA( j )
d y
i
j M
jB ( j )
y
ij
ij
1, i N
Cjxj, j M
p, j M
x
j
x j 0,1, j M
yij 0, i N , j M
yij C j di , yi yi yi j , C j 0
第四步：若 N 或 M 为空，停止；否则，更新集合 A( j ) 和集合 B(i ) ，转第二步。
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离散点选址模型
例 在某区域需规划建设若干个农贸市场为将来该区9个 主要居民点提供服务。除第6居民点外，其他各点均有 建设市场的条件，如图所示。已知市场的最大服务半径 为3km，为保护该区域的环境，希望尽可少地建造农 贸市场。问应如何规划？
表 候选点服务范围 居民点号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4， 6， 7， 8 6， 7， 8， 9 8， 9
A( j )
1， 2， 3， 4 1， 2， 3 l， 2，3， 4，5 1， 3， 4， 5， 6， 7 3， 4， 5， 6
B(i)
1， 2， 3， 4 l， 2，3 1， 2， 3， 4， 5 1， 3， 4， 5， 7 3， 4， 5 4， 5， 7， 8 4， 7， 8 7， 8， 9 8， 9
9 2 4 7 3 2 1 4 1 5 4 3 2 3 6 1 4 2 3 3 8
2
1
3
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解答：
解： N {1，2，3，4，5，6，7，8，9}， M {1，2，3，4，5，7，8，9}，由图 8-14 求两点间的短距离，根 据最大服务半径为 3km 的约束及第 6 居民点不适合建市场的要求，可确定集 A( j ) 和集 B(i ) 。如下表所示，值得 指出的是本问题没有需求量和容量，故无需考虑约束(8-19)。
x y 1
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离散点选址模型
1.覆盖模型 (1)集合覆盖模型，用最小数量的设施去覆盖所有 的需求点。
(2)最大覆盖模型，在给定数量的设施下，覆盖尽可 能多的需求点。
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离散点选址模型
结束条件为：
(1)集合覆盖模型
y
1, i N
ij
min x j
jN
jB ( i )
ij
选址问题中的距离计算
1.直线距离
y
E ij 2 2
终点
d ( xi x j ) ( y i y j )
yj
d 直线距离（ij）
2.折线距离
d xi x j y i y j
R ij
yi
d 折线距离（ij）
O
xi
xj
x
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连续点选址模型
1.交叉中值模型(Cross Median)
因为 A(4) ={1，3，4，5，6，7}， | A(4) | =6 为最大，故首先选取 j =4。由于无容量约束，故依次指派 5， 7，1，6，3，4 点归节点 4 服务。
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解答：
此时， N {2，8，9}， M {1，2，3，5，7，8，9}，更新集合 A( j ) 和合集 B(i ) 后如下表所示。
x j —— x j
； 0，其他的情形 ，假如客户i N，由设施j M来提供服务 1 ； y ij ___ y ij 0，其他的情形
，假如在j M建立设施 1
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2.P—中值模型
P—中值模型贪婪取走算法： 第一步：令当前选中设施点数 k m ，即将所有 m 个候选位置都选中。 第二步：将每个客户指派给 k 个设施点中距离最近的一个设施点。求出总运输费用 Z 。 第三步：若 k p ，输出设施点及各客户的指派结果，停止；否则，转第四步。 第四步：从 k 个设施候选点中确定一个取走点，满足：假如将它取走并将它的客户指派给其他的 最近设施点后，总费用增加量最小。 第五步：从候选点集合中删去取走点，令 k k 1 ，转第二步。
x2 y2 R2 x y 1
因此得有约束的非线性规划模型为： 目标函数：
(x1,y1) (x2,y2)
河流
(x,y)
(x3,y3)
水库
(x4,y4)
minC wi d i
i
约束条件：①配送中心不能建在水库上：
x2 y 2 R2
②配送中心不能建在河流中：
(x5,y5)
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离散点选址模型
最少点覆盖启发式算法： 第一步： 初始化。 令所有的 yij 0 ，x j 0 ，yi
y
jM
ij
并确定集 A( j ) 和集合 B(i ) ； 0 (已分配的需求)，
A( j ) max A( j ) ，令 x j 1 ，并在 M 集合中剔除节点 j ，即 M M \ { j } ；
为 C j 0 或 A( j ) 为空。其中，对于 i A( j ) 且 yi 1 ，将 i 指派给 j 的方法为：若 d i (1 yi ) C j ，则令
yij 1 yi ， C j C j di (1 yi ) ， yi 1 ，在 A( j ) 和 N 中剔除需求点 i 。若 d i (1 yi ) C j ，则令
表 候选点服务范围 居民点号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 8， 9 8， 9 8， 9 8， 9
A( j )
2 2 2
B(i)
2
因为 A(8) ={8，9}， | A(8) | =2 为最大，故首先选取 j =8，并且 8，9 两点归节点 8 服务。 同理，再迭代一次，得 j =2，居民点 2 归节点 2 服务。 因此，计算结果为(4，8，2)。 近似算法一般不能求得问题的最优解，如本例的最优解为(3，8)。
jA( j )
d y
i
Cjxj, j M
x j 0,1, j M yij 0, i N , j M
式中 N ——在研究对象中的 n 个需求点， N (1,
2, , n) ； M (1, 2, , m) ； M ——在研究对象中的 m 个节点候选点， d i ——第 i 个节点的需求量；
x j 0,1, j M
N ——在研究对象中的 n 个客户(需求点)， N (1, 2, , n) ； di i
——第 个客户的需求量；
M ——在研究对象中的 m 个候选地点， M (1, 2, , m) ; cij ——从地点 i 到 j 的单位运输费用； p ——可以建立的设施总数( p m )；
j x i —— xi 1, 假如该设施位于节点; jM iN i 0, 假如该设施位于节点; yij ——节点 i 需求中被分配给节点 j 的部分。
C j ——设施节点 j 的容量；
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2.P—中值模型
指在一个给定数量和位置的需求集合和一个候选设施位 置的集合下，分别为p个设施找到合适的位置并指派每 个需求点到一个特定的设施，使之达到在工厂和需求点 之间的运输费用最低
需求点 设施候选点 P=3
14 14
2.P—中值模型
P—中值问题的目标函数是：
min d i cij yij
iN jM
y
jM
约束条件为：
ij
1, i N
j
x
jM
p
yij x j ， i N ， j M
yij 0,1, i N , Baidu Nhomakorabea M
式中
Z i xi x s y i y s
n i 1
式中
i ——与第 i 个点对应的权重(例如需求)；
x i ， yi ——第 i 个需求点的坐标； xs ， y s ——服务设施点的坐标； n ——需求点的总数目。
2 2
连续点选址模型
例 一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个新的报刊零售点，主要的服 务对象是附近的5个住宿小区的居民，他们是新开设报刊零售点的主要 顾客源。图的笛卡儿坐标系确切地表达了这些需求点的位置，表是各个 需求点对值的权重。这里，权重代表每个月潜在的顾客需求总量，基本 可以用每个小区中的总的居民数量来近似。经理希望通过这些信息来确 定一个合适的报刊零售点的位置，要求每个月顾客到报刊零售点所行走 的距离总和为最小。
jM
第 二 步 ： 选 择 下 一 个 设 施 点 。 在 M 中 选 择 x j 0 且 A( j ) 的 模 为 最 大 的 点 j 为 设 施 点 即 第三步：确定节点 j 的覆盖范围。将 A( j ) 中的元素按 B(i ) 的模从小到大的顺序指派给 j ，直至 j 的容量
C j ——设施节点 j 的容量； A( j ) ——设施节点 j 所覆盖的需求节点的集合； B(i) —— B(i) j i A( j) 可覆盖需求节点 i 的设施节点 j 的集合；
j x i —— xi 1, 假如该设施位于节点; jM iN i 0, 假如该设施位于节点; yij ——节点 i 需求中被分配给节点 j 的部分。
式中 N ——在研究对象中的 n 个需求点， N (1,
2, , n) ； M ——在研究对象中的 m 个节点候选点， M (1, 2, , m) ； d i ——第 i 个节点的需求量；
p ——允许建设的设施节点数目； A( j ) ——设施节点 j 所覆盖的需求节点的集合； B(i) —— B(i) j i A( j) 可覆盖需求节点 i 的设施节点 j 的集合；
位置 A(3，3) 需求点 距离 1 2 2 3 3 1 4 2 5 4 权重 1 7 3 3 6 总和 2 21 3 6 24 56 位置 B(4，3) 需求点 距离 1 3 2 2 3 0 4 3 5 5 权重 1 7 3 3 6 总和 3 14 0 9 30 56
5 5
连续点选址模型
(3)非线性系统最优化模型
到了中值点，而从右边开始则是到需求点 3 达到中值点。回到图 8-6，发现在需求点 1、3 之间 1000m 的范围内 对于 x 轴方向都是一样的，也就是说， xs 3 ~ 4 km。
表 8-2 x 轴方向的中值计算 需求点 5 4 1 3 2 2 3 1 4 5 沿 x 轴的位置 从左到右 1 2 3 4 5 从右到左 5 4 3 2 1 7=7 7+3=10 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6=6 6+3=9 6+3+1=10 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 从下到上 1=1 1+7=8 1+7+3=11 表 8-3 y 轴方向的中值计算
x，千米 图 8-7 可能的方案
y，千米
2
4
5
6
综合考虑 x 、 y 方向的影响，于是最后可能的地址为 A、B 之间的一条线段(见图 8-7)。表 8-4 对 A、B 两个位 置的加权距离进行了比较。从比较的结果可以看到，它们直接的加权距离是完全相等的。也就是说，可以根据实 际情况，选址 A、B 之间的任何一点。
i
需求点
沿 y 轴的位置 从上到下
i
6=6 6+3=9 6+3+3=12
4 4
接着寻找在 y 方向上的中值点 y 。从上到下，逐个叠加各个需求点的权重 。在考虑 5、4 两个需求点时，
s i
权重和为 9，仍没有达到中值点 10，但是加上第三个需求点后，权重和将达到 12，超过中值点 10，见表 8-3 所 示。所以从上向下的方向考虑，报刊亭零售点应该设置在 3 点或 3 点以上的位置。然后从下往上，在第 1 和第 2 个需求点之后，权重总和达到 8，仍旧不到 10，当加入第三个需求点 3 后，权重总和达到 11。这个说明，报刊 零售点应该在需求点 3 或者它下面的位置。结合 2 个方面的限制和图 8-7 的相对位置，在 y 方向，只能选择一个 有效的中值点： y s 3 km。 6 5 4 3 2 1 0 0 1 5 4 B 3 A 1 2 3