球体内任何点的稳定温度分布

球体内任何点的稳定温度分布

林 的

（物理与电信工程学院 08物理学3班 20082301065）

引言： 物体的温度分布规律是热学中经常研究的问题之一，而在热学中，当一个球体表面处在温度保持在一定规律时，其各个部分温度按一定规律分布，但是该球体内部的温度分布通常不可直接测量，而我们需要掌握导体内部温度变化规律。在数学物理方法课程中，我们可通过分离变量法用于处理这种球体内稳定温度分布的问题。本文就此通过分离变量法对该问题进行了探究，同时做出导球体内部任何点的稳定温度分布变化图形，将该模型完好的表达了出来。

模型：设有半径为1的球体，其整个表面上的温度分布保持为θ2cos 12=u 。求在球内任何点的稳定温度分布u 。

解：上述问题可归纳为下列定解问题： 0=∆u ，10<

θ21cos 12==r u 。 球坐标下的拉普拉斯方程为

()

()0sin 1sin sin 11222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂∂+∂∂=∆u r r r r

u r r φθθθθθ 由于方程的自由项及定解条件中的均与变量φ无关，所以可假设所求的解函

数只有r 、θ两个变量有关，而与变量φ无关，因此，02

=∂φ。则定解问题可化

为

()

()0sin

sin 11222=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∆u r r r u r r θθθθ，10<

θ21cos 12==r u 。 ② 利用分离变量法求解：令

()()()θθΦ=r R r u ,

代入方程①，得

()()()[]()

()()[]

0cot 121''''''2=Φ+ΦΦ++θθθθr rR r R r r R 则

()()()()()()

k r R r rR r R r =ΦΦ+Φ-=+θθθθ''''''2cot 2 ③

取)1(+=n n k ，则③可分解为

()()()0)1(2'''2=+-+r R n n r rR r R r ④ ()()()0)1(cot '''=Φ++Φ+Φθθθθn n ⑤

由勒让德方程的定义可得⑤是勒让德方程，其通解为

())(cos )(cos 21θθθn n Q D P D +=Φ ⑥

由问题的物理意义，函数()θ,r u 应是有界的，于是()θΦ也应有界。因此，只有当n 为整数时，方程⑤在区间[0，π]内才有有界解())(cos θθn n P =Φ，其中)(cos θn P （n=0,1,2，…）就是方程⑤在自然边界条件+∞<Φ+∞<Φ)(,)0(π下的固有函数系。

而方程④是欧拉方程，其通解为

)1()(+-+=n n n n n r D r C r R

因为u 有界，所以)(r R n 也应有界，故0=n D ，即

n n n r C r R =)(

运用叠加原理，设原问题的解为

())(cos ,0

θθn n n n P r C r u =∑= ⑦

由边界条件②得

)(cos cos 120

21θθn n n r P C u ==∑== ⑧

令x =θcos ，则⑧可化为

)(120

2x P C x n n n =∑= ⑨

于是，有

⎰-+=

11

2

)(12212dx x P x n C n n ⑩ 当n 为奇数时，因被积函数为奇函数，则

0)(121

1

2=⎰

-dx x P x n

当n 为偶数时：

0=n 时，

812)(121

1

21

1

02

==⎰⎰

--dx x dx x P x

2=n 时，()

5

16132112)(1211

221

1

22

=-⋅

=⎰⎰--dx x x dx x P x

2>n 时，()

⎰⎰---⋅⋅=112

21

12

1!212)(12dx x dx

d x n dx x P x n n n n n

()()

⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅=⎰------112111

12112121!212dx x dx d x x dx d x n n n n n n n n ()()

01!2361!2361

1

2

3311222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-⋅=------⎰n n n n n n n n x dx d n dx x dx d n

将上述结果代入⑩，则得

41221112

0==

⎰-dx x C , 85

16252=⋅=C , 0=n C ()2,0≠n 将上面算得的系数值代入⑦，则得所求定解问题的解为

())(cos 8)(cos 4,220θθθP r P r u +=

)4cos 12(42

2

-+=θr

)cos 31(4222θr r +-=。

该球体内任何点的稳定温度分布的解的图像如下所示：

结论：球体内部的稳定温度分布呈现出椭球形状，具有高度对称性，并且其

内部有部分点没有温度分布，即为零。