一次函数与三角形
第3讲.一次函数与全等三角形综合(答案版)
1初二春季·第3讲·尖子班·教师版函数6级 一次函数的应用函数7级 一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班 第十一讲春季班 第二讲梦游记漫画释义满分晋级阶梯3一次函数与 全等三角形综合2初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片编写思路知识互联网3初二春季·第3讲·尖子班·教师版考查和总结一次函数部分的一道好题．几种全等模型的回顾：AB CE FAB CDEF AB CEABCDEFEDCBA图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）例题精讲思路导航题型一：一次函数与全等三角形综合4初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+04144k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-M NPy x OBA图2xy OA BPM N N MP BAO y x图1 图2【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==∴B 点坐标为()40-，⑵ 由⑴可知DO OC m ==，∴142S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<典题精练(0,4)Oy xE DC BA5初二春季·第3讲·尖子班·教师版【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．（西城期末） 【解析】 ⑴ 4y x =-⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的交点为()10C ，．⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．6初二春季·第3讲·尖子班·教师版图3图2图1【解析】 ⑴ 由题意得()10B -，，BO OC =，又∵AO BC ⊥ ∴AB AC ABC ACB =∠=∠，⑵ 由题意得ABO DFO △≌△，∴1OF BO ==,∴()01F ，∴DE 解析式为113y x =+由11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 解得3434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴3344G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑶ 不变，1OM =如图过P 作PN AB ∥交BC 于N ，可知PN PC BQ ==， 从而PNM QBM △≌△， ∴BM NM =，又NO CO =∴112OM BC ==【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()220a -．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； ⑶过A 点的直线y =kx -2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1-，过N 点的直线22k k y x =-交AP 于点M ，试证明PM PNAM -的值为定值． 【解析】 ⑴y =24x -+7初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑵易证阴影部分三角形全等，得到M （3，3） 故而m =1⑶过N 点做直线垂直于y 轴，交PM 于G 点，另直线NM 与坐标轴交点分别为O 、I （如图所示），连接IG 并做MF ⊥x 轴于F ，易知N 、G 两点横坐标分别为1-和1，将其分别代入MN 、MP 的解析式中，求得两点坐标为N （1-，k -）G （1，k -），易证△NHP ≌△GHP ， ∴NP =GP 易求I （1，0）， ∴IG ⊥x 轴易证△IGA ≌△FMA ， ∴MA =AG ∴2PM PN MGAM AM-==解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有： 1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=ab ch ； 思路导航题型二：一次函数与面积综合h 2h 1P CB A OxyyMO BA I H GA MN PyxO8初二春季·第3讲·尖子班·教师版5. 铅垂线法：如右图所示()1212ABC S AP h h =⋅+△，AP 称为铅垂高， 12h h +称为水平宽． 必要时需分类讨论．【例5】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．（西城期末试题）【解析】 ⑴∵点(24)A -，在直线(0)y mx m ==/上，∴42m =-，2m =-∴2y x =-⑵ 解法一：作AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N （如上图） ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-． ∴点B 的坐标为B （4-，8-） ∵1()2ABNM S AM BN MN =+⋅梯形1(24)(48)362=⨯+⨯+= 1124422AOM S AM MO =⋅=⨯⨯=△ 11481622BON S BN NO =⋅=⨯⨯=△ ∴ABO AOM BON ABNM S S S S =--△△△梯形3641616=--=解法二：设直线(0)y kx b k =+=/与x 轴交于点C （如下图）． ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-．∴点B 的坐标为（4-，8-）∵直线()0y kx b k =+≠经过点A （2-，4）和点B （4-，8-），典题精练y =kx+by =2x y =mxyOABMN C ABOxyy =mxy =2xy =kx+b9初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴4284k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，616k b =⎧⎨=⎩∴616y x =+令y =0．可得83x =-∴点C 的坐标为803C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴181848162323ABO AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．【教师备选】如图所示，直线OP 经过点P （4，43），过x 轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S 、2S 、3S ······n S ，则n S 关于n 的函数关系式是________．【解析】()843n S n =-⨯．【例6】 已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a += ∴a =﹣4，即A （﹣4，1）． ∴﹣4k =1 解得14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-；⑵如图1，P 1（﹣8，0）或P 2（0，2）；真题赏析1191357Pxy10初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑶依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 以下分两种情况： ①当m ＜﹣4时， 11342BC m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=334m --．AH =4m --．则S △ABC =12BC ∙AH ()133424m m ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∴S=23368m m ++；②当m ＞4-时，11333244BC m m m ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．AH =m +4． 则S △ABC =12BC∙AH =12（334m +）（4+m ） ∴S=23368m m ++；综上所述，()23S 3648m m m =++≠-．【教师备选】已知四条直线3y mx =-，1y =-，y =3，x =1所围成的四边形的面积为12，求m的值．11初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ∵3y mx =-，1y =-，x =1交于ABCDEF∴A （6m ，3），B （2m ,-1），C （1，-1），D （1，3），E （6m ，3），F （2m，-1） ① ()2ABCD CD BC AD S +=2621112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =－2② ()2CFED CD ED CF S +=6221112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =1综上说述，2m =-或m=1．-3y =3x12初二春季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 如图，AOB △为正三角形，点B 的坐标为()20，，过点()20C -，作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且ADE △与DCO △的面积相等，求直线l 的解析式.【解析】 由ADE △与DCO △的面积相等可知，AOB BCE S S =△△.∵(20)C -，,设直线l 的解析式为y kx b =+，∴20k b -+=， ∴2b k =∴直线l 的解析式为：2y kx k =+又AB 的解析式为：323y x =-+，故点E 的坐标满足下式： 2433(2)3y kx kk y y x k =+⎧⎪⇒=⎨=--+⎪⎩， 故143134232273BCE AOB k S S k k =⨯⨯==⨯⨯⇒=+△△故直线l 的解析式为：3(2)7y x =+. 训练2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点()2,0A ，交y 轴于点B .点D 为x 轴上一点，且1ADB S =△.⑴ 求m 的值；⑵ 求线段OD 的长；⑶ 当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且BDO EDA ∠=∠，求点E 的坐标.（备用图）(海淀期末试题) 【解析】 ⑴ ∵直线y x m =-+经过点()2,0A ， 思维拓展训练(选讲)y xl ED C O BA13初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴02m =-+. ∴2m =.⑵ ∵直线2y x =-+交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为()0,2. ∴2OB =. ∵112ADB S AD OB =⋅=△， ∴1AD =.∵点A 的坐标为()2,0， ∴点D 的坐标为()1,0或()3,0. ∴1OD =或3OD =.⑶ ①当点D 的坐标为()1,0时，如图所示.取点()'0,2B -，连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =，'AO BB ⊥于O ， ∴OD 为'BB 的垂直平分线. ∴'DB DB =. ∴12∠=∠. 又∵23∠=∠， ∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为()20y kx k =-≠. ∵直线'B D 经过点()1,0D ， ∴02k =-.14初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-. 解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得 4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭.②当点D 的坐标为()3,0时，如图所示. 取点()'0,2B -，连接'B D ，交直线BA 于点E . 同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式 为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点E 的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.训练3. 已知：直线1l ：1y kx k =+-与直线2l ：(1)y k x k =++（k 是正整数）及x 轴围成的三角形的面积为k S ．⑴ 求证：无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点； ⑵ 求1232008S S S S ++++的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立12l l ，的解析式，求得交点坐标为()11--，，∴交点为定点.⑵ 设直线12l l ，分别与x 轴交于A ，B 两点，则1001k k A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，∴()1111k k AB k k k k --=-=++ ∴ ()11121k S k k =+××15初二春季·第3讲·尖子班·教师版123200*********21223200820092009S S S S ⎛⎫++++=++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭×××训练4. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，点B 在y 轴正半轴上，且AOB △是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点()P x y ，，且点P 在第二象限内. ⑴ 求B 点坐标及直线AB 的解析式；⑵ 设BPD △的面积为S ，试用x 表示BPD △的面积S .（朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵AOB △是等腰直角三角形且()10A ，，∴()01B ，∴过点()10A ，、()01B ，的直线的解析式为1y x =-+ ⑵ ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴()10C -， 又点P 在直线AB 上，则()1P x x -+， 设过P 、C 两点的直线的解析式为y kx b =+ ∵()10C -，在直线y kx b =+上， ∴0k b -+=. ∴k b =,y bx b =+ ∵点()1P x x -+，在直线y bx b =+上， ∴1bx b x +=-+,解得b =11x x -++. ∴点D 的坐标为101x x -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∵点P 在第二象限内，∴0x <①当10x -<<时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21xx x -=⋅⋅-+21x x =+ ②当1x <-时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-+ 综上所述， 22(10),1(1).1x x x S x x x ⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-<-⎪+⎩16初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点 E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴 交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【解析】 如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()10-，、()40，，点D 在y轴上 AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠． ⑴ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．-15142O ED CBA y x D'EDCB A542-11【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在AB 上取点D '，使AD AD '=，连接D E '， 可证ADE AD E '△≌△，∴DE D E '=复习巩固HP (m,m+4)AB C DExy O (0,4)P (m,m+4)(0,4)AO y xE DC B17初二春季·第3讲·尖子班·教师版由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠ 可得90AEB ∠=° 从而可知D EB CEB '∠=∠由此，CEB D EB '△≌△，∴EC ED '= ∴DE EC =⑵ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO ==由⑵可知，2AD AD '==∴523BC BD '==-=．【练习3】如图，已知直线OA 的解析式为y=x ，直线AC 垂直x 轴于点C ，点C 的坐标为()20，， 直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB 交x 轴于点B ．⑴ 写出点A 及点B 的坐标；⑵ 如图，直线AD 交x 轴于点D ，且ADB △的面积为1，求点D 的坐标；⑶ 若点D 为⑵中所求，作OE AD ⊥于点E ，交AC 于点H ，作BF AD ⊥于点F ，求证：OE AF =，并直接写出点H 的坐标．【解析】 ⑴ ()22A ，,()40B ，⑵ ∵AC BD ⊥于点C ，2AC =，1ADBS =△，∴112122ADB S BD AC BD =⋅=⨯=△． ∴1BD =∴413OD OB BD =-=-= ∴()30D ，⑶ 由直线OA 的解析式为y x =，可知OC AC =．又90ACO ∠=°， ∴45OAC AOC ∠=∠=°．∵直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB ， ∴45BAC OAC ∠=∠=°，OA BA =． ∴90OAB ∠=°． ∴90BAF OAE ∠=-∠°． 在AOE △中，90OEA ∠=°， ∴90AOE OAE ∠=-∠°． ∴BAF AOE ∠=∠在AOE △与BAF △中， 90AOE BAF OEA AFB OA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩° ∴AOE BAF △≌△ ∴OE AF =又由OCH ACD △≌△可求得()21H ，18初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】⑴如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图 中阴影部分的面积和是（ ）．A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -⑵ 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积 为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面 积是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ⑵ A ， 由图2可知23BC CD ==，.【练习5】直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若在x 轴上有一点Q ，并且满足:8:3BAQ AOB S S =△△，求Q 点坐标． 【解析】 1393224AOB S =⨯⨯=△，∴98643BAQ S =⨯=△∵3BO =，∴4AQ =，又∵32A x =-∴35422Q x =-+=或311422Q x =--=-∴Q 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1102⎛⎫- ⎪⎝⎭，图1AB D 图2x第十六种品格：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。
期末复习之一次函数与三角形边角关系
辅导讲义
（3）当a〈x〈b时，求y的范围。
求法：直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围。
（4）当a<y<b时，求x的范围.
求法：直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。
例：
由图象确定两个一次函数函数值的大小
三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类:
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°.
3、三角形的外角性质
(1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
命题。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
在微积分计算中，我们更了解到运用三角形面积公式可以解决许多分段运算的
面积问题，而一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式便是利用这种方法的一个用例。
一次函数与坐标轴围成的三角形的面积公式为：S＝y（x2-x1）/2 。
公式中，
S表示面积，y为所求三角形的另外两个顶点与y轴之间的距离或高度，x2表示该
三角形另外两个顶点的横坐标，x1表示该三角形最低点的横坐标。
因此，我们可以利用一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式来解决各种被一
次函数围成的三角形的面积问题。
特别是在微积分课程中，大学生们可以利用这个公式来解决许多常见的分段积分问题，事半功倍。
此外，这个公式也可以解决高校考试中经常出现的“求某一段函数的积分面积”类型的试题，从而帮助考生了解到其可视化后图像所围成的三角形的线性特性，让考生更清晰地理解它们之间的联系以达成有效的求解。
总之，通过掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式，大学生们可以更加
熟练地解决分段函数的面积问题，且可以更进一步地加深理解这些函数间的关系，从而更好地应对学业中各种考据。
一次函数和全等三角形
一次函数和全等三角形一次函数是指函数的最高次数为1的函数，即表达式为y = ax + b的函数形式，其中a和b为常数。
一次函数在代数学中有着重要的应用，也是数学中最基础的函数类型之一全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。
全等三角形是几何学中的重要概念之一，它可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。
在很多数学问题中，我们可以运用一次函数和全等三角形的概念来求解。
下面将结合具体的例子来说明一次函数和全等三角形的应用。
首先，我们来看一个关于一次函数的问题：假设一个人的学费每年增加1000元，第一年学费为5000元，问经过n年后，这个人的学费是多少？这个问题可以用一次函数来解决。
设第n年的学费为f(n)，由题意可知f(1)=5000，且每年增加1000元，即f(n)=1000n+b。
我们只需要找出b的值即可。
将已知条件带入到一次函数的表达式中，可以得到5000=1000×1+b，从而得出b=4000。
所以，经过n年后的学费可以表示为f(n)=1000n+4000。
接下来，我们来看一个关于全等三角形的问题：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,6)，C(8,4)，求与三角形ABC全等的三角形的顶点坐标。
要求与三角形ABC全等的三角形，意味着对应的边长和角度都相等。
所以我们可以将两个三角形的对应边长和角度进行比较来求解。
首先，我们可以计算出三角形ABC的边长和角度。
由于ABC是直角三角形，我们可以通过勾股定理求得三条边的长度。
AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5BC=√((8-4)²+(4-6)²)=√(16+4)=√20=2√5AC=√((8-1)²+(4-2)²)=√(49+4)=√53接下来，我们需要找到与ABC的对应边长相等的三条边，同时保持相应的位置关系不变。
一次函数与相似三角形
图３
图４
分析 ： 在 图４ 中， 图象 由两段 组成 ， 右 面 一段 反 映 的是 水 面 高 于铁 块
后， ｈ Ｎｔ 变 化 的情况 ． 它 所在 的直 线 与纵轴 交 点的纵 坐标 ， 是在没 有铁 块 的
情况 下 ， 同样 多 的水在容 器 中 的高度 ．
解： 设注满 水 后将铁 块 取 出 （ 水无 溢 出） ， 水 的高 度将下 降 至ｙ ｃ ｍ ， 则有
图５
直线Ａ Ｂ 与 纵轴 的交 点． 以上两题 的解 法都 比较 多 ， 上面 利用 三角 形相 似 的解法 都 是 比较简 捷 的．
图 ２
！ 勰 只要 想 到这些 ， 完 全可 以不 画 出图２ 而列出（ ） 式． 例２ 在 一个 圆柱形 容器 中， 放 入 了一个 长 方体 的铁块 如 图３ ． 现 在 以
一
定 的速度 往 容器 中注 水 ， 图４是容器 的最 高处到 水 面 的深度 ｈ （ 厘米 ） 随
时间ｔ （ 分） 变 化 的图象 ， 试求 长方 体 的体积 为此 容器 容积 的几分 之 几．
５ －３
ｔ －３
解得ｔ ＝ ９ ．
答： 完 成装 修共 需９ 天． 这个解 法 的产 生 ，是利 用 了图２
中 ＡＡ Ｎ Ｂ ＡＡ ＭＣ ，且 Ⅳ： 一 ，
２ ４
（ 天）
Ｂ Ｎ ＝ ５ —ຫໍສະໝຸດ ３ ， Ａ Ｍ＝ Ｉ 一 ， Ｃ Ｍ＝ ｔ 一 ３ ，其 实 ，
—
２０ ３ ０－ ２ ０ ｙ－ ： ＿
—
．
由此 得ｙ ： ３ ５ ．
５ ０－３ ５ ３
『 『 Ｉ 】 — — ＝—— ． ５ Ｕ ｌ 【 Ｊ
・ ． ．
一次函数与三角形
【说明】
①若为顶角，则点在以点【说明】
①若为直角，则点在经过点18/06/12
∠A P ∠A P
【说明】
①若为直角，则点在经过点垂直于线段的直线上，且；
②若为直角，则点在经过点垂直于线段的直线上，且；
③若为直角，则点在线段的垂直平分线上，且．
【方法】
①在平面直角坐标系中需要计算线段长度时，通常作轴或轴的平行线（或垂线），目的是实现坐标与线段长度之
间的相互转换．
②等腰直角三角形中通常通过构造“一线三垂直”模型来解题．
爱
智
康
2
1
8
/
6
/
1
2
∠A P A AB AP=AB
∠B P B AB AP=AB
∠P P AB∠AP B=90∘
x y
已知点和点，点在轴上，若以，，三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点
的坐标．
A(0 , 1)B(1 , 3)P y A B P
P。
一次函数与三角形面积问题教学设计
一次函数与三角形面积问题教学设计本教学设计旨在介绍一次函数与三角形面积问题的重要性和应用背景。
一次函数与三角形面积问题是数学中重要的概念，其应用广泛，能够帮助学生理解和应用数学知识。
一次函数是数学中最简单的一种函数，它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
一次函数可以描述线性关系，如直线的斜率和截距。
三角形面积问题是几何学中的经典问题，涉及到三角形的面积计算与相关性质。
通过解决三角形面积问题，学生不仅能够掌握计算面积的方法，还能加深对三角形的认识和理解。
在日常生活和实际工作中，一次函数与三角形面积问题有着重要的应用。
例如，建筑师需要计算房屋的地板面积；经济学家需要分析市场的需求曲线；物理学家需要测量三角形形状的物体的面积等等。
因此，通过研究一次函数和三角形面积问题，学生能够培养数学思维和解决实际问题的能力。
接下来，我们将介绍一次函数和三角形面积问题的基本概念，并设计教学活动帮助学生理解和应用这些概念。
教学目标明确学生在研究过程中应达到的目标，例如掌握一次函数与三角形面积问题的基本概念和计算方法。
本教学设计将详细列举教学内容和分步骤的教学方法，包括一次函数的定义、性质和常见例题，以及三角形面积计算公式和实际问题的解决方法。
一次函数的定义和性质一次函数的定义：介绍一次函数的定义，即形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数。
一次函数的性质：讲解一次函数的性质，如斜率 k 的含义、截距 b 的含义、函数图像的倾斜方向等。
一次函数的例题演练一次函数的图像绘制：给出几个一次函数的表达式，要求学生绘制出相应的函数图像，并分析图像的特征。
一次函数的斜率计算：给出一些一次函数的表达式，要求学生计算出相应函数的斜率，并解释其意义。
一次函数的解方程：提供一些一次函数的方程，要求学生解出方程的根，并用图像验证结果。
三角形面积的计算三角形面积的计算公式：介绍三角形面积的计算公式，即面积等于底边长乘以高的一半。
一次函数与等腰三角形的多解问题
一次函数与等腰三角形的多解问题
【例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是()
，，若点P在x轴上，且APO
22
△是等腰三角形，求点P的坐标。
【例2】直线1
=-与坐标轴交于A B
y x
△为等腰三角形，
、两点，点C在坐标轴上，若ABC
求点C的坐标。
练习：已知一次函数1
、两点，点P在坐标轴上，若
y+与x轴、y轴分别交于A B
△是等腰三角形，则满足条件的点P共有几个，求出点P的坐标。
ABP
【例3】 点A B C 、、的坐标分别是
)0、()01，、()41，，点P 在线段BC 上运动，当OAP △为等腰三角形时，求点P 的坐标。
练习：一次函数y=3
3x+2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C （23，0），在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由。
拓展：如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线()0x t t =>，使它与直线y x
=和直线122
y x =-+分别交于点D E 、（点E 在点D 上方），且PDE △是等腰直角三角形。
若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形面积要计算一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，我们首先需要明确一次函数的图像和坐标轴之间的关系。
一次函数的图像是一条直线，而坐标轴是由两条垂直于彼此的直线组成的。
当一次函数与x轴相交时，我们可以找到与x轴相交的两个点，然后通过这两个点和与它们连结的线段来计算三角形的面积。
我们用y = mx + b来表示一次函数的一般形式。
其中，m是斜率，b是y轴截距。
当这个函数与x轴相交时，我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标。
假设我们找到了两个相交点(x1, 0)和(x2, 0)。
接下来，我们可以计算通过这两个点的线段的长度。
线段的长度可以通过两点之间的距离公式来计算，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在我们的情况下，y1和y2都是零，所以这个式子简化为：d=√((x2-x1)²)这个线段的长度就是一次函数与x轴相交的两点之间的水平距离。
现在，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的形式是：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三条边的长度，而s是半周长，s=(a+b+c)/2在我们的情况下，三角形的两条边就是x轴和一次函数的图像，而我们已经计算出了这两条边的长度，记为d。
所以我们可以将这些值代入到海伦公式中来计算三角形的面积：A=√(s(s-d)(s-d)(s-d))由于两边的长度都是d，我们可以简化公式为：A=√((3d/2)(d/2)(d/2)(d/2))A=√((3d/2)(d/2)³)A=√((3d/2)*(d²/4)²)A=√((3d²/8)*d²)A=(d/2)*√(3d²/2)A=(d/2)*√(3)d因此，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是(d/2)*√(3)d。
让我们通过一个具体的例子来计算一下，假设一次函数是y=2x+3、我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标：0=2x+32x=-3x=-3/2所以，我们找到了与x轴相交的两个点(-3/2,0)和(0,0)。
一次函数与三角形存在性问题
一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。
（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。
第四章一次函数-一次函数与等腰三角形(教案)
（3）培养学生的空间想象力和几何直观。
举例：在教学过程中，通过画图、举例子等方式，帮助学生建立空间观念，提高对等腰三角形和一次函数图像的理解。
（4）指导学生掌握合作交流、自主探究的学习方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.在实践活动和小组讨论中，关注学生的个体差异，给予他们更多的指导和鼓励，使每个学生都能参与到课堂讨论中来。
3.课后及时进行教学反思，调整教学策略，以提高教学效果。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对一次函数与等腰三角形的联系表现出浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过提问方式引起学生的好奇心，他们能够积极参与课堂讨论，这是一个很好的开始。
在讲授新课内容时，我尽量用简单明了的语言解释一次函数与等腰三角形的内在联系，让学生们能够更好地理解这两个概念。同时，通过案例分析，让学生们看到一次函数在解决实际问题时的重要作用。在此过程中，我发现有些学生对一次函数图像的对称性质掌握不够牢固，需要我在课堂上进一步强调和解释。
举例：讲解一次函数y=kx+b（k≠0）的图像在坐标系中的对称性，引导学生发现等腰三角形的轴对称性质。
（2）运用一次函数解决与等腰三角形相关的实际问题，如求解等腰三角形的面积、周长等。
初中数学课件一次函数中三角形的存在性问题
求出的值，并求此时点的坐标；若不能，请说明理由.
课堂小结
等腰三角形的存在性：两圆加一中垂线，记得去掉共线点.
知识讲解
直角三角形的存在性
关联知识点
1
尺规作图：作弧
2
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
知识讲解
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
△ 为直角三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
课堂小结
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
原题证明
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
△ 为等腰三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
原题证明
如图，点坐标为（4,0），点在第一象限，且在直线 = − + 5上，
此时，2 = = 4 − (−3) = 7，点2 在第一象限，离轴的距离为7，离
轴的距离为4，∴ 2 (4, 7)；
③当∠3 是直角时，∵∠ = 45∘
∴此情况不存在，应舍去
综上所述，当取0.5或4时，△ 是直角三角形．
应用练习
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
当 = 时，3 点的坐标为(2, 0)，
当 = 时，4 点的坐标为(0, 0)，
综上所述，点的坐标为(2 2 − 2, 0)，(−2 2 − 2, 0)，(2, 0)，(0, 0)．
应用练习
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与轴交于点
(−3, 0)，与 轴交于点 ，且与正比例函数 = 的图象交点为(3, 4)．求：
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题1一次函数y=kx+b与y=3x-5平行，且过点（-1,5）求一次函数表达式？
2.求直线y=3x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积
3.将直线y=- 3
4
x+3平移，使其经过（4,3)
（1)、求平移后的函数解析式
（2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积
4.已知直线l经过点（-2，4），且与坐标轴围成一个等腰三角形，
（1）求直线的函数的解析式
（2）求所得三角形的周长及面积
5.在直角坐标系中，一次函数的图像与直线y=2x-3平行，且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的解析式。
6.已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=1
2
OB.求（1）正比例函数和
一次函数解析式（2）三角形AOB的面积。
7.如图所示：直线y=kx+b经过点B (0, 3
2
)与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线与
OC平行，并且与直线y=kx+b交与点D, (1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；
（3）求四边形CDEO的面积。
x
x
如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴交于点A、B，与函数y=2x的图象交于点M，OB=6，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a〉2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b 和函数y=2x于点C、D。
（1）求点M的坐标
（2）求直线AB的表达式．
（3）求△OAM的面积
（4）若OB=CD求a的值
P C
B
D。
一次函数与三角形共舞
一次函数与三角形共舞首先，让我们来介绍一下一次函数。
一次函数又称为线性函数，是指形如 y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 分别表示斜率和截距。
一次函数是数学中的基础概念，具有许多重要的性质和特征。
例如，当 a>0 时，函数是增函数；当 a<0 时，函数是减函数。
我们可以用一次函数来描述许多实际问题，比如速度和时间的关系、价格和数量的关系等等。
而三角形则是数学中的一个基本图形，具有许多独特的性质。
三角形的三个内角之和恒为180度，三边满足不等式关系：任意两边之和大于第三边。
此外，三角形还可以按照边的长度和角的大小进行分类，常见的有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
一次函数与三角形的关联可以从多个角度来阐述。
首先，我们来看一次函数与三角形的斜率之间的关系。
在一次函数中，斜率a是表示函数在一单位水平位移上的垂直变化的程度。
斜率可以用来描述一次函数的增长或减少的速度。
在三角形中，斜率的概念可以从不同的角度去理解。
例如，斜率也可以反映三角形的变化率，当斜率为正时，表示三角形的其中一边在向右延伸时，高度随之增加，即三角形变得越来越高；当斜率为负时，表示三角形的其中一边在向右延伸时，高度随之减小，即三角形变得越来越低。
因此，一次函数中的斜率与三角形中的斜率之间存在着密切的关联。
其次，我们可以将一次函数的图像与三角形的形状进行比较。
一次函数的图像是一条直线，而三角形的形状则是由三个线段组成的闭合图形。
然而，如果我们将一次函数的图像在坐标平面上延伸成一个闭合图形，我们会发现它与三角形的形状非常相似。
特别是当斜率为正时，一次函数的图像会呈现出逐渐上升的模样，类似于一个锐角三角形；而当斜率为负时，一次函数的图像则会呈现出逐渐下降的模样，类似于一个钝角三角形。
这种现象也说明了一次函数与三角形之间的关联。
最后，我们可以用一次函数来解决与三角形相关的实际问题。
例如，如果已知一个三角形的底边长度和高度，那么我们可以使用一次函数来计算斜边的长度。
专题 一次函数与三角形的综合应用(原卷版)
八年级下册数学《第十九章 一次函数》 专题 一次函数与三角形的综合应用问题【例题1】（2022春•芝罘区期末）如图，一次函数y 1＝kx +b 的图象与坐标轴交于A ，B 两点，与正比例函数y 2＝﹣2x 交于点C （m ，4），OA ＝6． （1）求一次函数的表达式； （2）求△BOC 的面积；（3）在线段AB 上是否存在点P ，使△OAP 是以OA 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-1】（2022秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022秋•烟台期末）如图，一次函数y=−34x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段CD的长；（3）在x轴上是否存在点P，使△P AB为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式1-3】（2021秋•驿城区校级期末）直线y ＝kx ﹣8与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且OC OB=43．（1）求OB 的长和k 的值；（2）若点A 是第一象限内直线y ＝kx ﹣8上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB 的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）【变式1-4】（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB ：y =34x +32与坐标轴交于A 、B 两点，点C 与点A 关于y轴对称．CD ⊥x 轴与直线AB 交于点D ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）点P 在直线CD 上运动，且始终在直线AB 下方，当△ABP 的面积为92时，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q 为直线CD 上一动点，直接写出所有使△APQ 是以AP 为腰的等腰三角形的点Q 的坐标．【变式1-5】（2022春•珠晖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC 在x轴上，A，C，B三点的坐标分别为A（0，4），C（3，0），B（﹣5，0），点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求直线AC的解析式和△ABC的AC边上的高线长；（2）连接P A，写出△POA的面积S与t的函数表达式；（3）是否存在一点P，使△P AC是等腰三角形？若存在，请直接写出P点满足条件时，所有t的值；若不存在，请说明理由．【变式1-6】（2022春•明溪县月考）阅读下列材料：课本的定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．该定理的逆命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”也是真命题．请依据上面定理与真命题，解答下面问题．如图，在直角坐标系xOy中，点A（m，2√3）在正比例函数y=√3x图象上，将y轴沿着x轴正半轴平移m个单位得到直线AB，再将直线AB绕着点A逆时针旋转n°，分别交y轴，x轴于点C，点D．（1）求m的值；（2）如图1，若n＝60，求直线AD的表达式；（3）若点C在y轴正半轴上，且△OAC是等腰三角形，求点C的坐标．【例题2】（2022秋•莲湖区期末）如图，直线l：y=12x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上．（1）求m，n的值；（2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标．【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点Q（6，8），点A在线段OQ上，点B在x轴的正半轴上，且OA+OB＝10，点B关于点P（4，0）的对称点为点C，连结AB，AC，设点A的横坐标为t．（1）求k的值，并写出当0＜y＜6时x的取值范围．（2）当点A在线段OQ上运动时，设OB的长为S．①求S关于t的函数表达式．②当S＝5时，求P A的长．（3）当△ABC为直角三角形时，求t的值．【变式2-2】（2022秋•万柏林区校级月考）如图，平面直角坐标系中直线AB与x轴交于点A（﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D．（1）求点C的坐标及线段AB的长；（2）已知点P是直线CD上一点．请作答．①若△POC的面积为4，求点P的坐标；②若△POC为直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．【变式2-3】（2022秋•济南期末）如图，已知直线l1经过点（5，6），交x轴于点A（﹣3，0），直线l2：y＝3x交直线l1于点B．（1）求直线l1的函数表达式和点B的坐标；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-4】（2021春•和平区校级期中）如图，点M（2，m）在直线y1＝2x上点A，B的坐标分别是（4，0），（0，2），连接AB，将△AOB沿射线OM方向平移，使点O移动到点M，得到△CMD（点A，B 分别对应点C，D）．（1）填空：m＝，点C的坐标是；（2）连接AD求直线AD的表达式y2＝kx+b；（3）当y2≥y1时，请直接写出x的取值范围；（4）点P是直线OM上的一点，请直接写出使△ADP是以AD为直角边的直角三角形时点P的坐标．【变式2-5】（2022秋•海曙区校级期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+b与直线AC：y＝kx+3相交于点A（m，4），与x轴交于点B（﹣4，0），直线AC与x轴交于点C．（1）填空：b＝，m＝，k＝；（2）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，线段AE交x轴于点F．①当点E落在y轴上时，求点E的坐标；②若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．【例题3】如图，一次函数y=−23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B、C两点直线的解析式．【变式3-1】（2023春•崇川区校级月考）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB ＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：已知直线l1：y=−43x﹣4与y轴交于A点．将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．【变式3-2】（2022春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．（1）求k的值以及直线BC的解析式；（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；（3）已知点P是线段BC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，当以点D、P、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点P的坐标．【变式3-3】（2022秋•和平区校级期末）如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），（1）求直线l1的表达式；（2）当t＝时，BC＝BD；（3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；（4）在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-4】（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中．直线l 1：y ＝kx +3与直线l 2：y ＝﹣x ﹣6交于点A ，已知点A 的横坐标为−185，直线l 1与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，直线l 2与x 轴交于点F ，与y 轴交于点D ．（1）求直线l 1的解析式；（2）将直线l 2向上平移92个单位得到直线l 3，直线l 3与y 轴交于点E ．过点E 作y 轴的垂线l 4，若点M 为垂线l 4上的一个动点，点N 为l 2上的一个动点，求DM +MN 的最小值；（3）已知点P 、Q 分别是直线l 1，l 2上的两个动点，连接EP 、EQ 、PQ ，是否存在点P 、Q ，使得△EPQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例题4】（2022秋•蚌山区月考）如图，直线l1：y＝ax+b（常数a＜0，b＞0）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝cx+d（常数c＞0，d＞0）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线l1与直线l2交于点E，且△AOB≌△COD．（1）求证：AB⊥CD；（2）若a＝﹣2，b＝4，求△ADE的面积．【变式4-1】如图，平面直角坐标系xOy中，l1：y1＝﹣2x+4交x轴于A，交y轴于B．另一直线l2：y2＝kx+b交x轴于C，交y轴于D，交l1于E．已知△COD≌△BOA．（1）求l2解析式．（2）P，Q分别在线段AB和CD上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，PQ∥x轴？【变式4-2】如图，直线y=−12x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，设动点M的移动时间为t秒．（1）求A，B两点的坐标；（2）求当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．【变式4-3】如图，直线：y=−12x+b与x轴分别交于A（4，0）、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点B的坐标为；（2）求△MNO的面积S与移动时间t之间的函数关系式；（3）当t＝时，△NOM≌△AOB；（4）若M在x轴正半轴上，且△NOM≌△AOB，G是线段ON上一点，连接MG，将△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的H处，求G点的坐标．【变式4-4】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4交x轴、y轴分别于点A、点B，直线CD 交x轴、y轴分别于点D、点C，交直线AB于点E（点E不与点B重合），且△AOB≌△COD．（1）求直线CD的函数表达式；（2）如图②，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，①求证：OE＝OF；②直接写出点F的坐标．（3）若点P是直线CD上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△COD全等时，直接写出点P的坐标．【变式4-5】如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y=−73x交于点C（a，7）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=−73x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．①求△CGF的面积；②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）若（2）中的点E 是x 轴上的一个动点，点E 的横坐标为m （m ＜0），点E 在x 轴上运动，当m 取何值时，直线l 上存在点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△AOC 全等？请直接写出相应的m 的值．【例题5】（2022•铜仁市三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为（4，2），求点M 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣4x +4与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【变式5-1】（2022秋•邗江区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．【变式5-2】（2021春•闵行区期中）一次函数y＝kx+√3（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC 分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-3】如图1所示，腰长为3的等腰Rt△AOB的腰与坐标轴重合，直线y=−23x与AB交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如图2，将直线OC沿y轴正方向平移4个单位长度得到直线DE（其中D、E分别为新直线与y轴、x轴的交点），连接DC、CE，求△CDE的面积；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△AOB沿x轴平移得到△NKM，连接DN、DM，当△DMN为等腰三角形时，直接写出M的坐标．【变式5-4】（2021春•梁平区期末）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C 在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于点F，求△ACF的面积；（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．【变式5-5】（2021春•九龙坡区期中）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，OA＝6，AB＝4，点D在BC上，BD＝2，过点A的直线交x轴于点E，连接DE，且DE ⊥AD．（1）△ADE是三角形，直线AE的解析式为；（2）如图2，点F是DE的中点，请在直线AE上找一点G，使得△DFG的周长最小，并求出此时点G 的坐标和△DFG周长的最小值；（3）如图3，将直线AE进行平移，记平移后的直线为l，直线l与直线DE相交于点M，与x轴相交于点N，是否存在这样的点M、N，使得△DMN是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．。
最新一次函数--直角三角形存在性问题
一次函数--直角三角形存在性问题处理方法一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的几何意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的。
斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。
当时，两直线垂直。
两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.练习1、如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为。
2、如图，已知点A（0，1），B（4，3），P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为。
3、如图，一次函数(0)y kx b k=+≠的图像交坐标轴于A，B两点，其中A（-4,0）B（0,3），（1）求直线AB的解析式；（2）点C的坐标为（5,2m），连接AC，BC，若∠ACB=90o，则m的值为___________。
练习21. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB112y x=-+过A点，且与y轴交于D点．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=12x交于点A．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；。
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引例：面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．
⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；
⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+；
⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．
图2
图1 图2
【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作
BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；
⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．
【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，
()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限． ⑴ 求直线AB 的解析式；
⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；
⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．
【例3】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．
⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；
⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．
【例4】 已知：一次函数1
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y x =
+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）
． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；
⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．。