2020—2021学年黄冈市红安县初二下期中数学试卷含答案解析
2020-2021学年八年级下期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b =2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝04．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)−2=(x+y)2(x−y)2． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x 道题，根据题意，可列出关于x 的不等式为 ． 8．若关于x 的分式方程2x−3+x+m 3−x=2有增根，则m 的值为 ．9．如图所示，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG ＝24cm ，WG ＝8cm ，WC ＝6cm ，求阴影部分的面积为 cm 2．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 个．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 ．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13．（6分）计算题（1）分解因式：2x 2y ﹣8xy +8y （2）解方程：x x−1=3x 2−2x+114．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9x 2−1，其中x ＝2．15．（6分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （0，1），B （3，3），C （1，3）． （1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1． （2）①画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2； ②直接写出点B 2的坐标为 ．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）当x时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．19．（8分）若一多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+2，求此多项式．20．（8分）若3x−5x2−2x−3=ax−3−bx+1（a，b为常数），求（a+2b）b的值．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B （b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：式子“3x ＞y ；4x ﹣3y ≥1；4x ＜0，”属于不等式， 故选：B ．3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b=2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝0 【解答】解：A 、原式=−23，错误； B 、原式=a+bab ，错误； C 、原式=(a+b)(a−b)a−b =a +b ，正确；D 、原式＝1，错误； 故选：C ．4．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB【解答】解：∵AC ＝AD ，BC ＝BD ， ∴AB 是线段CD 的垂直平分线， 故选：C ．5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①(3b 22a )3=27b 68a 3，故选项错误；②(2x x+y )2=4x 2x 2+2xy+y 2，故选项错误；③−a+b −a−b =a−b a+b，故选项错误；④−x+y x−y =−1，故选项正确；⑤x+y x+y=1，故选项错误；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)，故选项正确；所以正确的有2个． 故选：B ．6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∵CE=12BC，F是AC的中点，∴CF＝CE，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正确；②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，∴FG=√3x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3√3x，∴EF＝EG﹣FG﹣3√3x−√3x＝2√3x，∴GF=12EF，故②正确；③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，等边三角形ABC，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分线，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和Rt△NCH中，{MN=NHGN=NC，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正确；④∵MN是BG的垂直平分线，∴BM＝MG=32x，∴AM＝x+32x=52x，等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN=5√3x 6，∴GN=√GM2+MN2=(32x)2+(53x6)2=√39x2≠FG，故④不正确；⑤∵BN＝CN＝NG，∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，∵MG=32x，MN=5√36x，∴MG≠MN，∴∠NGM≠∠MNG，∴∠MNG≠∠ACN，故⑤不正确；其中正确的有：①②③，一共3个，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160．【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160，故答案为：10x﹣5（20﹣x）＞160．8．若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2有增根，则m的值为﹣1．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得2﹣x﹣m＝2（x﹣3）∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，WC＝6cm，求阴影部分的面积为168cm2．【解答】解：∵直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，∴HG＝CD＝24，∴DW＝DC﹣WC＝24﹣6＝18，∵S阴影部分+S梯形EDWF＝S梯形DHGW+S梯形EDWF，∴S阴影部分＝S梯形DHGW=12（DW+HG）×WG=12×（18+24）×8＝168（cm2）．故答案为168．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为23【解答】解：由图知△DEF 是由△ABC 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴a ＝3、b ＝2， 则ba=23，故答案为：23．11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 4 个．【解答】解：在﹣1＜x ＜4范围内的整数只有0，1，2，3， 所以等式﹣1＜x ＜4的整数解有4个， 故答案为4．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 26 ．【解答】解：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠MBO ＝∠CBO ， ∵MN ∥BC ， ∴∠MOB ＝∠CBO ， ∴∠MOB ＝∠MBO ， ∴OM ＝BM ， 同理CN ＝NO ，∴BM+CN＝MN，∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝12+14＝26．故答案为：26．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）计算题（1）分解因式：2x2y﹣8xy+8y（2）解方程：xx−1=3x2−2x+1【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2；（2）去分母得：2x＝﹣3x+2x﹣2，解得：x=−2 3，经检验x=−23是分式方程的解．14．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1，其中x＝2．【解答】解：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1=2(x+1)−(x−1)x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=2x+2−x+1x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x+3 x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1 x+3，当x＝2时，原式=2−12+3=15．15．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为（﹣3，3）．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作； （2）①画如图，△A 2B 2C 2为所作；②点B 2的坐标为（﹣3，3）． 故答案为（﹣3，3）．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．【解答】解：解方程组{x +y =m +22x −y =5m +4得：{x =2m +2y =−m ，根据题意，得：{2m +2≥0−m ＞0，解得：﹣1≤m ＜0， 则整数m ＝﹣1．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．【解答】证明：如图，连接DF，∵D是CB的中点，∴CD＝BD．∵将△ACD沿AD折叠后得到△AED，∴CD＝ED，∠AED＝∠C＝90°，∴BD＝ED，∠DEF＝90°，∵BF∥AC，∠C＝90°，∴∠CBF＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DBF＝∠DEF＝90°，在Rt△DBF和Rt△DEF中，{DF=DFDE=DB，∴Rt△DBF≌Rt△DEF（HL），∴BF＝EF．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：{y=2x−1y=−12x+32的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是x＞3；（3）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【解答】解：（1）把A （0，﹣1），P （1，1）分别代入y ＝mx ﹣n 得{−n =−1m −n =1，解得{m =2n =1，所以直线l 1的解析式为y ＝2x ﹣1，把P （1，1）、B （3，0）分别代入y ＝kx +b 得{k +b =13k +b =0，解得{k =−12b =32， 所以直线l 2的解析式为y =−12x +32，所以交点P 的坐标（1，1）是一元二次方程组{y =2x −1y =−12x +32的解； （2）不等式kx +b ＜0的解集为x ＞3； （3）当x ≤1时，kx +b ≥mx ﹣n ；（4）当y ＝0时，2x ﹣1＝0，解得x =12，则M 点的坐标为（12，0）；当x ＝0时，y =−12x +32=32，则N 点坐标为（0，32），所以四边形OMPN 的面积＝S △ONB ﹣S △PMB =12×3×32−12×（3−12）×1 ＝1．故答案为{y =2x −1y =−12x +32；x ＞3；≤1．19．（8分）若一多项式除以2x 2﹣3，得到的商式为x +4，余式为3x +2，求此多项式． 【解答】解：根据题意得：（2x 2﹣3）（x +4）+3x +2＝2x 3+8x 2﹣10． 20．（8分）若3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1（a ，b 为常数），求（a +2b ）b 的值．【解答】解：a x−3−bx+1=ax+a−bx+3b(x−3)(x+1)=(a−b)x+a+3bx 2−2x−3，∵3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1，∴{a −b =3a +3b =−5， 解得，{a =1b =−2，∴（a +2b ）b ＝[1+2×（﹣2）]﹣2＝（﹣3）﹣2=19．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x ﹣50）元， 由题意得：300x=4003x−50，解得：x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解且符合实际意义， 3x ﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元； （2）设购买甲种品牌的消毒剂y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y ）瓶， 由题意得：30y +40（40﹣y ）＝1400， 解得：y ＝20， ∴40﹣y ＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交y 轴、x 轴于点A （0，a ），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．【解答】解：（1）∵a2−4a+4+√2b+2=0，∴(a−2)2+√2b+2=0，∵（a﹣2）2≥0，√2b+2≥0，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°， ∴AB ＝CB ，过点C 作CG ⊥OA 于G ， ∴∠CAG +∠ACG ＝90°， ∵∠BAO +∠CAG ＝90°， ∴∠BAO ＝∠ACG ， 在△AOB 和△BCP 中， {∠CGA =∠AOB =90°∠ACG =∠BAO AC =AB， ∴△AOB ≌△CGA （AAS ）， ∴CG ＝OA ＝2，AG ＝OB ＝1， ∴OG ＝OA ﹣AG ＝1， ∴C （2，1），Ⅱ、当∠ABC ＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C （1，﹣1）；即：满足条件的点C （2，1）或（1，﹣1） （3）①如图3，由（2）知点C （1，﹣1）， 过点C 作CL ⊥y 轴于点L ，则CL ＝1＝BO ，在△BOE 和△CLE 中， {∠OEB =∠LEC ∠EOB =∠ELC BO =CL， ∴△BOE ≌△CLE （AAS ）， ∴BE ＝CE ， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠BAO +∠BEA ＝90°， ∵∠BOE ＝90°， ∴∠CBF +∠BEA ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△ABE 和△BCF 中， {∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABE =∠BCF， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BE ＝CF ， ∴CF =12BC ；②点C 到DE 的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE=12BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是60°；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝CD+CE．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC=√2AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴√2AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小=12AC＝4．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷附解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝时，分式的值为0．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为cm．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣418．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为，点C2的坐标为．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE ＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，的分母中含有字母，因此是分式．故选：A．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、这50名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项错误；B、近1千名考生的数学成绩是总体，故选项错误；C、每位考生的数学成绩是个体，正确；D、样本容量是：50，故选项错误；故选：C．【点评】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍【分析】把分式中的x和y都扩大3倍，就是用x变成3x，y变成3y，用3x，3y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．【解答】解：分别用3x，3y代替式子中的x、y，得，即分式的值扩大3倍．故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断．【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠BAB′＝32°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B＝∠AB′B＝74°，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C＝180°﹣∠B＝106°．【解答】解：∵▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝32°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣32°）＝74°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣74°＝106°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．【分析】连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM 是矩形，即可得到BC＝MP＝5，ME＝5，依据E＝3，可得AM＝4＝DP，即可得到t的值．【解答】解：如图，连接ME，∵MN垂直平分PE，∴MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，∴BC＝MP＝5，∴ME＝5，又∵AE＝3，∴AM＝4＝DP，∴t＝4÷2＝2（s），故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．【解答】解：由分子x+2＝0，解得x＝﹣2，而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0．所以x＝﹣2．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设一个三角形中至少有两个钝角．【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是0.4．【分析】根据频率＝求解即可．【解答】解：跳绳次数在90～110这一组的同学有4个，则频率＝4÷10＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率＝．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝0．【分析】根据形如y＝（k≠0）是反比例函数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．【解答】解：∵y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，∴m﹣1＝﹣1．解得m＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为16cm．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为8cm，即CD+DE+EC＝8cm，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×8＝16cm．故答案为：16．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是2．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m的取值范围，再确定出m的值即可．【解答】解：由题意得，3m﹣6≥0，解得m≥2，所以，m能取的最小整数值2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 6.5．【分析】首先利用勾股定理计算出AR的长，然后再根据三角形中位线定理计算出EF的长即可．【解答】解：∵∠D＝90°，DR＝5，AD＝12，∴AR＝，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF＝AR＝6.5，故答案为：6.5．【点评】此题主要考查了勾股定理和三角形的中位线，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝1或﹣2．【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），整理得，（a+2）x＝3，当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2，当分式方程无解时：①x＝0时，a无解，②x＝1时，a＝1，所以a＝1或﹣2时，原方程无解．故答案为：1或﹣2．【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是0＜x≤4．【分析】根据反比例函数的性质，结合“y≥1”，得到x＞0，列出关于x的分式不等式，解之即可．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，∵y≥1，∴x＞0，，解得：x≤4，综上可知：0＜x≤4，故答案为：0＜x≤4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣4【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）（）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2）+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解；（2）∵x+y＝3，xy＝1，∴原式＝＝＝．【点评】此题考查了解分式方程，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式＝（﹣）×＝×﹣×＝﹣＝，∵m≠±2，0，∴当m＝3时，原式＝3【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为（﹣2，﹣3），点C2的坐标为（2，﹣2）．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）B1（﹣2，﹣3），C2（2，﹣2）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是144度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比，再用A的百分比乘以360度可得答案；（2）先求出调查的总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图；（3）用该校学生总数乘以D项目所占百分比可得答案．【解答】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%＝144°，故答案为：40%，144；（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%＝50（人），则喜欢A项目的人数是：50×40%＝20（人），作图如下：（3）1000×20%＝200（人），答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是200人．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，根据直角三角形的性质得到FD ＝AC，等量代换即可；（2）根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC ＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝AB，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AC，∵AB＝AC，∴FE＝FD；（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝24°，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AF．∴∠ADF＝∠DAF＝24°，∴∠DFC＝48°，∴∠EFD＝72°，∵FE＝FD，∴∠FED＝∠EDF＝54°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．又∵DE＝AC，∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，AO＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k2再求n；（2）先设出函数表达式，再代入B、C两点，根据待定系数法即可得直线BC的表达式；（3）过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线构造矩形，△ABC的面积＝矩形面积﹣3个直角三角形的面积．【解答】解：（1）因为点A、点B在函数y＝（x＞0）图象上，∴k1＝1×4＝4，∴m×4＝k1＝4，∴m＝1，∵点C（﹣2，n）关于y轴的对称点在y＝（x＞0）图象上．∴对称点为（2，n），∴2×n＝4，∴n＝2；（2）设直线BC所在的直线表达式为y＝kx+b把B（4，1），C（﹣2，2）代入，得，解得，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+；（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是E、F、B、G．∴四边形EFBG是矩形．则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3∴S△ABC ＝S矩形EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG＝BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG＝18﹣﹣3﹣3＝．【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及三角形的面积．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S △AOB ＝S △ABA ′＝8∵点A 、B 在双曲线上∴S △AOC ＝S △BOD∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，） ∴解得k ＝6（3）由已知A （a ，），则A ′为（﹣a ，﹣）把A ′代入到y ＝﹣∴n ＝∴A ′D 解析式为y ＝当x ＝a 时，点D 纵坐标为∴AD ＝∵AD ＝AF ，∴点F 和点P 横坐标为∴点P 纵坐标为∴点P 在y 1═（x ＞0）的图象上【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。
2021年黄冈市八年级数学下期中试卷带答案
C、 ，故该选项正确；
D、 ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键；
6．C
解析：C
【分析】
过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，即可得出CE=DE-CD= x，进而得到AE= CE，再根据EF= CE，CF=2CE，得到AF=AE-EF=2CE=CF，即可得到∠ACE的度数，从而得到结果．
∴∠FAC=∠FCA= ∠CFE=15°，
∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°，
∴∠ACB=105°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
7．A
解析：A
【分析】
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE= BC，求得DF= AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
∴AC2=64, BC2=36, AB2=100,
∴AC2+BC2=AB2
∴ 一定是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．
二、填空题
13．【分析】设BD=x正方形ODCE的边长为1则CD=CE=1根据全等三角形的性质得到AF=AEBF=BD根据勾股定理即可得到结论【详解】解：设正方形ODCE的边长为1则CD=CE=1设BD=x∵△AF
2020-2021学年湖北省黄冈市八年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省黄冈市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．在下列代数式中，不是二次根式的是（）A．3B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，则不能构成直角三角形的是（）A．，2，B．6，8，10C．3，4，5D．5，12，134．如图是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，孪师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；⑧号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（）A．①号B．②号C．③号D．均不能通过5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB 的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．45°C．55°D．60°8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点o，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC 于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共24分）9．当x时，二次根式有意义．10．若，则m﹣n的值为．11．直角三角形斜边长是6，直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AB＝10，BC＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若BF ＝5，则DE＝．14．在ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．16．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B﹣→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m．三、解答题（共72分）17．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．18．已知，，试求代数式3 x2﹣5xy+3 y2的值．19．若实数x，y满足，求的值．20．已知a，b，c满足．（1）求a，b，c的值；（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．21．如图所示，四边形ABCD是矩形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E．若AD＝4，DC＝3，求BE的长．22．如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．23．如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB＝CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？并说明理由．24．如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．25．以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD的度数是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．。
湖北省黄冈市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求 的值．
22．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧的墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧的墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，点B到地面的垂直距离BC＝5 米，DE＝6米．
（1）求梯子的长度；
（2）求两面墙之间的距离CE．
19．如图，在四边形 中，已知 ， .
（1）求 的度数；
（2）求四边形 的面积.
20．如果实数a，b满足a2﹣4a+4+ ＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b恰为等腰△ABC的两边长，求这个等腰三角形的面积．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于E，AE＝CE，当DE＝5，BE＝12时，AD的长是_____．
14．如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径，一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程是______.
15．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于E，F两点，AE＝4，CF＝2，则EF的长为_____．
2020-2021学年度八年级数学下册期中考试试卷(含答案)
八年级数学下册期中考试试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m22.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.3.以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A. a=9，b=40，c=41B. a=b=5，c=5√2C. a:b:c=3:4:5D. a=11，b=12，c=154.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线．若AB=13，AD=12，则BC的长为()A. 5B. 10C. 20D. 245.如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE=()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.不等式组{x−1>0,5−x≥1的整数解共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列说法不一定成立的是()A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11.已知关于x的不等式组{2x−a<1,x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a+1)(b−1)的值为()A. 6B. −6C. 3D. −312.如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是()A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB=4√3，点C的坐标为(2,0).P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为()A. √13B. 2√13C. 4√13D. 1214.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是()①这次比赛的全程是500米②乙队先到达终点③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队A. ①③④B. ①②⑤C. ①②④D. ①②③④⑤15. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 的边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A. 3B. 2√3C. √13D. √15 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16. 根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．17. 已知x −y =3，若y <1，则x 的取值范围是 ．18. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ℎ=6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．19. 当k 时，代数式23(k −1)的值不小于代数式1−5k−16的值．20. 如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称．若∠B =40°，则∠D 的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21. （8分）(1)解不等式0.2x 0.3−6−7x 3≤1(2) 解不等式组{12x >13x x+43>3x−72−122. （8分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．(1)求证：AD=BE；(2)若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长．23.（10分）如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．(1)若∠B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD．24.（12分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．25.（12分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？26.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF=2CD．27.（16分）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)求证：∠OMP=∠OPN；(2)当OP=2时，点M关于点H的对称点为Q，连接QP．①用量角器和直尺以图1中OP的长为2，画出一个尽可能准确的图形。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1 2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6 3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√124．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125 5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 27．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤08．已知x−1x=2，则x2+1x2的值为（）A．2B．4C．6D．89．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．21．阅读下列材料，并解决相应问题：√5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3用上述类似的方法解答问题：若a是√5的小数部分，求√5a的值．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP ⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．（1）若AP=√5，AB=13BC，求矩形ABCD的面积；（2）若CD＝PM，求证：AC＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒．（直接写出答案）2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1【解答】解：∵√x−1有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故选：D．2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√12【解答】解：A、2√3与3√2不能合并，所以A选项错误；B、原式=√8÷2=2，所以B选项正确；C、原式＝25√3×2=25√6，所以C选项错误；D、原式=√92=3√22，所以D选项错误．故选：B．4．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125【解答】解：（A）原式＝2√2，故A与√2是同类二次根式；（B）原式＝2√6，故B与√2不是同类二次根式；（C）原式＝3√3，故C与√2不是同类二次根式；（D）原式＝5√5，故D与√2不是同类二次根式；故选：A．5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 【解答】解：∵√−a3b有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴3b=−a√−ab．故选：A．6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2【解答】解：A、√8含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、√x2+1符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、√y2含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、√12被开方数含分母，故本选项错误；故选：B．7．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤0【解答】解：∵代数式√2x+6有意义，∴2x+6＞0，∴x＞﹣3，故选：C．8．已知x−1x=2，则x2+12的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：原式＝（x−1x）2+2＝22+2＝6，故选：C．9．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选：B．10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程AB=√(2+2)2+(22)2=√17，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．√（判断对错）【解答】解：∵√12x=2√3x，∴若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3，故答案为：√．12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是2．【解答】解：由最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，得7﹣2a＝3．解得a＝2，故答案为：2．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为5或√7．【解答】解：∵|x−4|≥0，√y−3≥0，|=0，√y−3=0，∴|x−4即x＝4，y＝3，在直角三角形中，（1）边长为4的边是斜边，则第三边的长为√42−32=√7；（2）边长为4的边是直角边，则第三边即斜边的长为√32+42=5，故答案为5或√7．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是132+842＝852．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；第二个等式是52+122＝132；第三个等式是72+242＝252；第四个等式是92+402＝412；第五个等式是112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，故答案为：132+842＝852．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4√5．【解答】解：（i）如图1所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE ＝90°．当B′C＝B′D时，AG＝DH=12DC＝8．由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G=√B′E2−EG2=√132−52=12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′=√B′H2+DH2=√42+82=4√5（ii）如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B 重合）．（iii）当CB′＝CD时，∵EB＝EB′，CB＝CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4√5．故答案为：16或4√5．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．【解答】解：（1）原式=√6×3−2√15×3−3√2＝3√2−6√5−3√2＝﹣6√5；（2）原式＝2+2√2+1−√32×508＝3+2√2−10√2＝3﹣8√2．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．【解答】解：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3) (x−1)2=x−11⋅2(x−1)2=2x−1，当x=√2+1时，原式=2+1−1=√2．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？【解答】解：BM＝8×2＝16海里，BP＝15×2＝30海里，在△BMP中，BM2+BP2＝256+900＝1156，PM2＝1156，BM2+BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°﹣90°﹣60°＝30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC 为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l ，b ．h 的长方体纸箱装满了一层高为h 的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【解答】解：（1）由题意，⊙O 是△ABC 内接圆，D 为切点，如图1，连结OD ，OC ．设⊙O 半径为r ，纸盒长度为h '，则CD =√3r ，BC ＝2√3r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：2√34(2√3r)2ℎ′#/DEL/#=√39π#/DEL/#（若设△ABC 的边长为a 112πa 2√34a =√39π） （2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l 2r ⋅b 2r ⋅πr 2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1 ∴第二种包装的空间利用率大．20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：如图2，由折叠得：∠CHP＝∠EHP，∵EG∥BC，∴∠EPH＝∠CHP，∴∠EHP＝∠EPH，∴EP＝EH；（2）解：∵EF＝6，EH＝8，FH＝10，∴∠FEH＝90°，∴S△EFH=12EF×EH＝24，由折叠得：BF＝EF＝6，CH＝EH＝8，∴BC＝BF+FH+HC＝6+10+8＝24，过E作EM⊥BC于M，∴S△EFH=12FH×EM＝24，∴FH×EM＝48，∵FH＝10，∴EM＝4.8，∴S矩形ABCD＝BC×EM＝115.2．21．阅读下列材料，并解决相应问题： √5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3 用上述类似的方法解答问题：若a 是√5的小数部分，求√5a 的值． 【解答】解：∵2＜√5＜3，a 是√5的小数部分，∴a =√5−2， ∴√5a =√5√5−2=√5(√5+2)(√5−2)(√5+2)=5+2√5． 22．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP ＝PC ，AP⊥PC ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．（1）若AP =√5，AB =13BC ，求矩形ABCD 的面积；（2）若CD ＝PM ，求证：AC ＝AP +PN ．【解答】（1）解：∵AP ⊥CP 且AP ＝CP ，∴△APC 为等腰直角三角形，∵AP =√5，∴AC =√10，∵AB =13BC ，∴设AB ＝x ，BC ＝3x ，∴在Rt △ABC 中， x 2+（3x ）2＝10，10x 2＝10，x＝1，∴S ABCD＝AB•BC＝1×3＝3；（2）解：延长AP，CD交于Q，∵∠1+∠CND＝∠2+∠PNA＝90°，且∠CND＝∠ANP，∴∠1＝∠2，又∠3+∠5＝∠4+∠5＝90°，∴∠3＝∠4，在△APM和△CPD中∵{∠1=∠2 AP=CP ∠3=∠4，∴△APM≌△CPD（ASA），∴DP＝PM，又∵CD＝PM，∴CD＝PD，∴∠1＝∠4＝∠3，∵∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°∴∠Q＝∠6∴DQ＝DP＝CD∴D为CQ中点，又∵AD⊥CQ∴AC＝AQ＝AP+PQ，在△APN和△CPQ中∵{∠1=∠2AP=CP∠APC=∠CPQ，∴△APN≌△CPQ（ASA），∴PQ＝PN∴AC＝AP+PQ＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 3.8或2.6厘米/秒．（直接写出答案）【解答】解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：…（1分）∵V N＝V M＝3厘米/秒，且t＝2秒，∴CM＝2×3＝6（cm）BN＝2×3＝6（cm）BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4（cm）∴BN＝CM…（1分）∵CD＝4（cm）∴BM＝CD…（1分）∵∠B＝∠C＝60°，∴△BMN≌△CDM．（SAS）…（1分）②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：Ⅰ．当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BN＝2BM，…（1分）∴3t＝2×（10﹣3t）∴t=209（秒）；…（1分）Ⅱ．当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BM＝2BN，…（1分）．∴10﹣3t＝2×3t∴t=109（秒）．…（1分）∴当t=209秒或t=109秒时，△BMN是直角三角形；（2）分两种情况讨论：I．若点M运动速度快，则3×25﹣10＝25V N，解得V N＝2.6；Ⅱ．若点N运动速度快，则25V N﹣20＝3×25，解得V N＝3.8．故答案是3.8或2.6．…（2分）。
2020-2021学年八年级下学期期中数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）以长度分别为下列各组数的线段为边，构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．7，24，25C ．√5，√3，√2D ．1.5，2，33．（3分）已知函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)，当y ＝6时，x 的值是（ ） A ．−√5 B ．53 C ．−√5或√5 D ．√5或53 4．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y ＝ax ②y ＝bx ③y ＝cx ，将a ，b ，c 从小到大排列为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a5．（3分）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，若△CDE 的周长为10，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．14B ．16C ．20D ．186．（3分）用“配方法”解一元二次方程x 2﹣16x +24＝0，下列变形结果，正确的是（ ）A ．（x ﹣4）2＝8B ．（x ﹣4）2＝40C ．（x ﹣8）2＝8D ．（x ﹣8）2＝407．（3分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 边上的中点，若OE ＝2，AD ＝5，则▱ABCD 的周长为（ ）A．9B．16C．18D．208．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6009．（3分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，F A，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE＝AF10．（3分）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（）A．B．C ．D ．11．（3分）若关于x 的方程kx 2﹣x +3＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≤12B ．k ≤112C ．k ≤12且k ≠0D ．k ≤112且k ≠0 12．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =√2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ， 其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若√1−x x有意义，则自变量x 的取值范围是 ． 14．（3分）若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，则代数式4m ﹣2m 2+2的值是 ．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE＝ °．16．（3分）已知正比例函数y ＝kx 的图象经过点A （﹣4，3），则函数图象经过 象限．17．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16，AD ＝12，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝ ．18．（3分）如图，已知点A坐标为（√3，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为，在点B运动的过程中AB+12OB的最小值为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4 （2x+3）．20．（6分）已知正比例函数的图象过点P（3，﹣3）．（1）求这个正比例函数的表达式；（2）已知点A（a2，﹣4）在这个正比例函数的图象上，求a的值．21．（8分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．23．（9分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM 于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．25．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．26．（10分）[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C ．2．（3分）以长度分别为下列各组数的线段为边，构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．7，24，25C ．√5，√3，√2D ．1.5，2，3【解答】解：A 、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵（√2）2+（√3）2＝（√5）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、∵1.52+22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D ．3．（3分）已知函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)，当y ＝6时，x 的值是（ ） A ．−√5 B ．53 C ．−√5或√5 D ．√5或53 【解答】解：∵函数y ={x 2+1(x ＜2)10x(x ≥2)， ∴当x ＜2时，x 2+1＝6，得x 1=−√5，x 2=√5（不合题意，舍去），当x ≥2时，10x =6，得x =53（不合题意，舍去）， 故当y ＝6时，x 的值是−√5，故选：A ．4．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y ＝ax ②y ＝bx ③y ＝cx ，将a ，b，c从小到大排列为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则a＜c＜b，故选：B．5．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A．14B．16C．20D．18【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．6．（3分）用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8B．（x﹣4）2＝40C．（x﹣8）2＝8D．（x﹣8）2＝40【解答】解：x2﹣16x+24＝0x2﹣16x+64＝﹣24+64（x﹣8）2＝40故选：D．7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝2，AD＝5，则▱ABCD的周长为（）A．9B．16C．18D．20【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∵E是BC边上的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝4，∵AD＝5，∴▱ABCD的周长＝2×（4+5）＝18，故选：C．8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．9．（3分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，F A，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE＝AF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO=12AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．10．（3分）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵小刘家距学校3千米，∴离校的距离随着时间的增大而增大，∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．综合以上C符合，故选：C．11．（3分）若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12B．k≤112C．k≤12且k≠0D．k≤112且k≠0【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，解得k≤112，k≠0，综上k≤1 12，故选：B．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=√2AB，∵AD=√2AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，{∠BAE =∠DAE ∠ABE =∠AHD =90°AE =AD，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵AB ＝AH ，∵∠AHB =12（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE ＝67.5°＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DHO ＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DHO ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故②正确；∵∠EBH ＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，在△BEH 和△HDF 中，{∠EBH =∠OHD =22.5°BE =DH ∠AEB =∠HDF =45°，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确；∵HE ＝AE ﹣AH ＝BC ﹣CD ，∴BC ﹣CF ＝BC ﹣（CD ﹣DF ）＝BC ﹣（CD ﹣HE ）＝（BC ﹣CD ）+HE ＝HE +HE ＝2HE ．故④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若√1−x x有意义，则自变量x 的取值范围是 x ≤1且x ≠0 ． 【解答】解：由题意得，1﹣x ≥0，x ≠0，解得，x ≤1且x ≠0，故答案为：x ≤1且x ≠0．14．（3分）若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，则代数式4m ﹣2m 2+2的值是 ﹣4 ．【解答】解：∵m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3＝0的解，∴m 2﹣2m ﹣3＝0，∴m 2﹣2m ＝3，∴4m ﹣2m 2+2＝﹣2（m 2﹣2m ）+2＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝50°，点E 在CD 上，若AE ＝AC ，则∠BAE ＝115 °．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CA 平分∠BCD ，AB ∥CD ，∴∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE=12∠BCD＝65°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；故答案为：115．16．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，3），则函数图象经过第二、四象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，3），∴3＝﹣4k，∴k=−34＜0，∴正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限．故答案为：第二、四．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝6或12．【解答】解：如图，若∠AEF＝90°，∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，∴四边形BCFE是矩形，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF，∴四边形BCFE是正方形，∴BE＝BC＝AD＝12；如图，若∠AFE＝90°，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF＝12，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴点A，点F，点C三点共线，∴AC=√AB2+BC2=√144+256=20，∴AF＝AC﹣CF＝8，∵AE2＝AF2+EF2，∴（16﹣BE）2＝64+BE2，∴BE＝6，（3）若∠EAF＝90°，∵CD＝16＞CF＝BC＝12，∴点F不可能落在直线AD上，∴不存在∠EAF＝90°，综上所述：BE＝6或12．故答案为：6或12．18．（3分）如图，已知点A坐标为（√3，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为30°，在点B运动的过程中AB+12OB的最小值为√3．【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，延长AC到点D，使AC＝CD，过D作DE⊥OA 于点E，与x轴交于点F，∵点A坐标为（√3，1），∴AC＝CD＝1，OC=√3，∴tan∠AOB=ACOC=1√3=√33，∴∠AOB＝30°，∴∠DAE＝60°，EF=12OF，∴DE＝AD•sin60°=√3，当点B与点F重合时，AB+12OB＝AF+12OF＝DF+EF＝DE=√3，根据垂线段最短定理知，此时AB+12OB=√3为最小值．故答案为30°；√3．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4 （2x+3）．【解答】解（1）∵a＝2，b＝5，c＝2，∵b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9＞0，∴x=−5±√92×2=−5±34，∴x1=−12，x2＝﹣2．（2）∵（2x+3）2＝4（2x+3），∴（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，∴（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，则2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，解得x1=−32，x2=12．20．（6分）已知正比例函数的图象过点P（3，﹣3）．（1）求这个正比例函数的表达式；（2）已知点A（a2，﹣4）在这个正比例函数的图象上，求a的值．【解答】解：（1）把P（3，﹣3）代入正比例函数y＝kx，得3k＝﹣3，k＝﹣1，所以正比例函数的解析式为y＝﹣x；（2）把点A（a2，﹣4）代入y＝﹣x得，﹣4＝﹣a2，解得a＝±2．21．（8分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？【解答】解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD＝MN＝1.6米，AB＝2米，由作法得，CE＝DE＝0.8米，又∵OC＝OA＝1米，在Rt△OCE中，OE=√OC2−CE2≈0.6（米），∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．（2）如图：根据题意可知：CG＝BE＝2.8米，BG＝OF＝1.2米，EF＝AD＝2.3米，∴BF＝0.5米∴根据勾股定理有：OA2＝OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32（米），∴OA＝1.3米，∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6（米）．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，解得：m≤4．故m的取值范围是m≤4；（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，∴2（2m+1）+6≥8，解得m≥0，由（1）可得m≤4，∴m的取值范围是0≤m≤4．23．（9分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．24．（9分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM 于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABN，∴AO＝CO．∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB．在△ADO和△CBD中，{∠DAO=∠BCD，AO=CO，∠AOD=∠COB，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBD．∴AD＝CB．又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OB＝OD．又∵DE⊥BD，∴AC∥DE．又∵AM∥BN，∴四边形ACED平行四边形．∴AC＝DE＝2．∴AO＝1．在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=√AB2−AO2=√22−12=√3，∴BD＝2BO＝2√3．∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×2×2√3=2√3．25．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B （0，8）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；（Ⅲ）当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（I ）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，如图①所示：∵点A （6，0），点B （0，8）．∴OA ＝6，OB ＝8，∵以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，∴AD ＝AO ＝6，α＝∠OAD ＝30°，DE ＝OB ＝8，在Rt △ADG 中，DG =12AD ＝3，AG =√3DG ＝3√3，∴OG ＝OA ﹣AG ＝6﹣3√3，∴点D 的坐标为（6﹣3√3，3）；（Ⅱ）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，DH ⊥AE 于H ，如图②所示：则GA ＝DH ，HA ＝DG ，∵DE ＝OB ＝8，∠ADE ＝∠AOB ＝90°，∴AE =√AD 2+DE 2=√62+82=10，∵12AE ×DH =12AD ×DE ， ∴DH =AD×DE AE=6×810=245， ∴OG ＝OA ﹣GA ＝OA ﹣DH ＝6−245=65，DG =2−AG 2=√62−(245)2=185，∴点D 的坐标为（65，185）；（Ⅲ）连接AE ，作EG ⊥x 轴于G ，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE ＝∠AOC ，AD ＝AO ，∴∠AOC ＝∠ADO ，∴∠DAE ＝∠ADO ，∴AE ∥OC ，∴∠GAE ＝∠AOD ，∴∠DAE ＝∠GAE ，在△AEG 和△AED 中，{∠AGE =∠ADE =90°∠GAE =∠DAE AE =AE，∴△AEG ≌△AED （AAS ），∴AG ＝AD ＝6，EG ＝ED ＝8，∴OG ＝OA +AG ＝12，∴点E 的坐标为（12，8）．26．（10分）[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．【解答】（1）证明：如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD +∠BEC ＝90°，又∵∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△BEC 和△CDA 中，∵{∠CEB =∠ADC∠ECB =∠DAC BC =AC，∴△BEC ≌△CDA （AAS ）；（2）解：如图2，在l 2上取D 点，使AD ＝AB ，过D 点作DE ⊥OA ，垂足为E ，∵直线y =43x +4与坐标轴交于点A 、B ，∴A （﹣3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4，由（1）同理得△BOA ≌△AED （AAS ），∴DE ＝OA ＝3，AE ＝OB ＝4，∴OE ＝7，∴D （﹣7，3），设l 2的解析式为y ＝kx +b ，∴{−7k +b =3−3k +b =0，解得：{k =−34b =−94， ∴直线l 2的函数表达式为：y =−34x −94；（3）解：分三种情况：①如图3，∠CPD ＝90°时，过P 作MH ∥x 轴，过D 作DH ∥y 轴，MH 和DH 交于H ，∵△CPD 是等腰直角三角形，∠CPD ＝90°，∴CP ＝PD ，同理得△CMP ≌△PHD （AAS ），∴DH ＝PM ＝6，PH ＝CM ，设PH ＝a ，则D （6+a ，a ﹣8﹣6），∵点D 是直线y ＝﹣2x +2上的动点且在第四象限内．∴a ﹣8﹣6＝﹣2（6+a ）+2，解得：a =43，∴D （223，−383）； ②如图4，∠PCD ＝90°，此时P 与A 重合，过D 作DE ⊥y 轴于E ，∵△CPD 是等腰直角三角形，同理得△AOC ≌△CED ，∴OA ＝CE ＝6，OC ＝DE ＝8，∴D （8，﹣14）；③如图5，∠CDP ＝90°，过点D 作MQ ∥x 轴，延长AB 交MQ 于Q ，则∠Q ＝∠DMC ＝90°，∵△CDP 是等腰直角三角形，同理得△PQD ≌△DMC ，∴PQ ＝DM ，DQ ＝CM ，设CM ＝b ，则DM ＝6﹣b ，AQ ＝8+b ，∴D （6﹣b ，﹣8﹣b ），∵点D 是直线y ＝﹣2x +2上的动点且在第四象限内，∴﹣8﹣b ＝﹣2（6﹣b ）+2，解得：b =23，∴D （163，−263）； 综上，点D 的坐标为(223，−383)或（8，﹣14）或(163，−263)．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷附解析版
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）为了了解某区2万名学生参加中考的情况，有关部门从中抽取了500名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中正确的是（）A．2万名考生是总体B．每名考生是个体C．500名考生是总体的一个样本D．样本容量是5003．（3分）“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上都不是4．（3分）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）A．100°B．60°C．80°D．160°5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE 的长等于（）A．2B．3C．4D．57．（3分）如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若PD+PE的最小值为5，则正方形的面积为（）A．16B．6.25C．9D．258．（3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2照此规律作下去，则C2019等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）掷一枚硬币，正面朝上的概率是．10．（3分）某校对八年级1600名男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.58～1.65这一小组的频率为0.4，则该组的人数为人．11．（3分）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数100400800 1 000 2 000 4 000发芽的频数853******** 1 6043204发芽的频率0.8500.7500.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为（精确到0.1）．12．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为cm．13．（3分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE＝6，则BC＝．14．（3分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为cm2．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD＝4cm，AB ＝7cm，则EC的长为cm．16．（3分）如图，在周长为40cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为．17．（3分）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．18．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．三．解答题（本大题共7题，共66分．）19．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C （﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．20．（8分）某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如下两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种型号）根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生．（2）在条形统计图中，请把空缺的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，185型校服所对应扇形圆心角＝（4）若全校九年级共有学生800名，请估计穿170型校服的学生有多少名？21．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．22．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．23．（10分）如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．25．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM＝，AP＝．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC＝．参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）为了了解某区2万名学生参加中考的情况，有关部门从中抽取了500名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中正确的是（）A．2万名考生是总体B．每名考生是个体C．500名考生是总体的一个样本D．样本容量是500【分析】本题的考查的对象是：某区2万名学生参加中考的成绩，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．【解答】解：A、2万名考生的成绩是总体，错误；B、每名考生的成绩是个体，错误；C、500名考生的成绩是总体的一个样本，错误；D、样本容量是500，正确．故选：D．【点评】正确理解总体，个体，样本、样本容量的含义是解决本题的关键．3．（3分）“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上都不是【分析】根据勾股定理的逆定理、必然事件的概念解答．【解答】解：52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形是必然事件，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）A．100°B．60°C．80°D．160°【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B＝180°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝240°，∴∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形【分析】利用矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不是矩形，故错误，是假命题；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故错误，是假命题；D、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，正确，是真命题，故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形的性质，难度不大．6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据菱形的性质得出OD＝OB，根据三角形的中位线性质得出OE＝AB，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝OB，∵E是BC的中点，∴OE＝AB，∵AB＝8，∴OE＝4．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE＝AB，此题比较简单．7．（3分）如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若PD+PE的最小值为5，则正方形的面积为（）A．16B．6.25C．9D．25【分析】由于点D与点B关于AC对称，所以BE与AC的交点即为点P，此时PD+PE ＝PB+PE＝BE，和最小．又△ABE是等边三角形，从而得出AB＝BE＝5．【解答】解：设BE与AC的交点为点P．如图，连接PD，则此时PD+PE的和最小．∵四边形ABCD是正方形，∴点D与点B关于AC对称，∴PD+PE＝PB+PE＝BE＝5．又∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝5．∴正方形的面积为25，故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．8．（3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2照此规律作下去，则C2019等于（）A．B．C．D．【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2019的值【解答】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四边形EDAF是菱形，∴C1＝4×；同理求得：C2＝4×；…∁n＝4×，∴C2019＝4×＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）掷一枚硬币，正面朝上的概率是．【分析】掷一枚硬币有2种情况，满足条件的有一种，用1除以2即可得出概率的值．【解答】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，∴正面朝上的概率是P＝；故本题答案为：．【点评】此题考查了概率公式，考查等可能条件下的概率计算．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（3分）某校对八年级1600名男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.58～1.65这一小组的频率为0.4，则该组的人数为640人．【分析】根据“频率＝频数÷总数”计算可得．【解答】解：根据题意知该组的人数为1600×0.4＝640（人），故答案为：640．【点评】本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数．11．（3分）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数100400800 1 000 2 000 4 000发芽的频数853******** 1 6043204发芽的频率0.8500.7500.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为0.8（精确到0.1）．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，∴该玉米种子发芽的概率为0.8，故答案为：0.8．【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．12．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为3cm．【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长．【解答】解：如图∵平行四边形的周长为24cm∴AB+BC＝24÷2＝12∵BC：AB＝3：1∴AB＝3cm故答案为3．【点评】本题利用了平行四边形的对边相等的性质，设适当的参数建立方程求解．13．（3分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE＝6，则BC＝12．【分析】由于D、E分别为AB、AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求BC．【解答】解：如图所示，∵D、E分别为AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∴BC＝12．故答案是12．【点评】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．14．（3分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为24 cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：24．【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD＝4cm，AB ＝7cm，则EC的长为3cm．【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD＝7cm，∴∠2＝∠3，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE＝AD＝4cm，∴CE＝CD﹣DE＝7cm﹣4cm＝3cm，故答案为：3．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．16．（3分）如图，在周长为40cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为20cm．【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，再由平行四边形的周长为40cm，即可得出答案．【解答】解：∵点O是BD中点，EO⊥BD，∴EO是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，∴△ABE的周长＝AB+AD，又∵平行四边形的周长为40cm，∴AB+AD＝20cm．故答案为20cm．【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，属于基础题，解答本题的关键是判断出EO是线段BD的中垂线．17．（3分）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A＝90°，则证明四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，则EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP⊥BC时，AP的值最，然后利用面积法计算此时AP的长即可．【解答】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．【点评】此题考查了矩形的判定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．18．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为或9．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：有两种情形：①如图1中，当∠EFC＝90°时，A，F，C共线，设BE＝EF＝x，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝9，BC＝AD＝12，∴AC＝＝15，在Rt△EFC中，∵EC2＝EF2+CF2，∴（12﹣x）2＝x2+62，∴x＝，②如图2中，当∠FEC＝90°时，四边形ABEF是正方形，BE＝AB＝9，综上所述，BE的值为或9．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三．解答题（本大题共7题，共66分．）19．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C （﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【分析】（1）关于y轴的轴对称问题，对称点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等．（2）坐标系里旋转90°，充分运用两条坐标轴互相垂直的关系画图．（3）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线，考虑第四个顶点D的坐标，有三种可能结果．【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．【点评】本题要充分运用形数结合的思想解题，考查了轴对称、旋转和平行四边形的知识的运用．20．（8分）某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如下两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种型号）根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有50名学生．（2）在条形统计图中，请把空缺的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，185型校服所对应扇形圆心角＝14.4°（4）若全校九年级共有学生800名，请估计穿170型校服的学生有多少名？【分析】（1）根据穿165型的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数即可；（2）用总人数乘以175型所占的百分比求出穿175型的人数，再用总人数减去其它型的人数，求出185型的人数，然后补全统计图即可；（3）用185型所占的百分比乘以360°计算即可得解；（4）用总人数乘以穿170型校服的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）该班共有学生数：15÷30%＝50（名），故答案为：50；（2）穿175型校服的学生有：50×20%＝10名；穿185型校服的学生有：50﹣3﹣15﹣15﹣10﹣5＝2名；补图如下：（3）185型校服所对应的扇形圆心角为：×360°＝14.4°；故答案为：14.4°；（4）根据题意得：800×＝240（名），答：穿170型校服的学生有240名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．22．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得结论．【解答】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AE＝CF，OA﹣AE＝OC﹣CF，∴OE＝OF．∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．23．（10分）如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．【分析】（1）如图，连接DE、DF．欲证明AD与EF互相平分，只需证得四边形AEDF 是平行四边形即可；（2）由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形ADEF为矩形．【解答】（1）证明：如图，连接DE、DF．∵D、F分别是BC，AC的中点，∴DF∥AB，同理，DE∥AC∴四边形AEDF是平行四边形．∴AD与EF互相平分；（2）由（1）得四边形AEDF为平行四边形．∵∠BAC＝90°∴四边形ADEF为矩形．【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定等．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝5+5+8＝18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．25．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM＝8﹣2t，AP＝2+t．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC＝8．【分析】（1）由DM＝2t，根据AM＝AD﹣DM即可求出AM＝8﹣2t；先证明四边形CNPD 为矩形，得出DP＝CN＝6﹣t，则AP＝AD﹣DP＝2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t＝8﹣（6﹣t），解方程即可；（3））①由NP⊥AD，QP＝PK，可得当PM＝PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t＝8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC＝90°，可得∠CAD＝45°，所以四边形AQMK 为正方形，则CD＝AD，由AD＝8，可得CD＝8，利用勾股定理求得AC即可．【解答】解：（1）如图1．∵DM＝2t，∴AM＝AD﹣DM＝8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP＝CN＝BC﹣BN＝6﹣t，∴AP＝AD﹣DP＝8﹣（6﹣t）＝2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．（2）∵四边形ANCP为平行四边形时，CN＝AP，∴6﹣t＝8﹣（6﹣t），解得t＝2，（3）①存在时刻t＝1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP＝PK，∴当PM＝PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t＝8﹣（6﹣t），解得t＝1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC＝90°，∴∠CAD＝45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD＝AD，∵AD＝8，∴CD＝8，∴AC＝8．故答案为：8．【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷( 附解析版)
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分）1、(3分) 下列图形是中心对称，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、(3分) 分式16x2y 和12xyz最简公分母是（）A.6x2yzB.6xyzC.12x2yzD.12xyz3、(3分) 若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为（）A.0B.1C.-1D.±14、(3分) 下列事件是必然事件的是（）A.小红经过十字路口，遇到红灯B.打开数学书课本时刚好翻到第60页C.火车开到月球上D.在十三名中国学生中，必有属相相同的5、(3分) 蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（）A.折线统计图B.频数分布直方图C.条形统计图D.扇形统计图6、(3分) 菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形7、(3分) 如图所示转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的机会与停在偶数号扇形的机会相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．其中，你认为正确的见解有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、(3分) 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共 10 小题，共 30 分）9、(3分) 要使分式21−x有意义，则x应满足的条件是______．10、(3分) 化简1x−1−xx−1的结果是______．11、(3分) 为了了解某校八年级420名学生的视力情况，从中抽查60人的视力，在这个问题中个体是______．12、(3分) 某单位有职工100名，按他们的年龄分成8组，在40～42（岁）组内有职工32名，那么这个小组的频率是______．13、(3分) 一只不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出______球的可能性最小．14、(3分) 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是______m2．15、(3分) 如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______．16、(3分) 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是______．17、(3分) 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE⊥BC 于点E ，则AE 的长是______．18、(3分) 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AQ ，连接BQ ，若PA=3，PB=4，PC=5，则四边形APBQ 的面积为______三、计算题（本大题共 2 小题，共 18 分）19、(8分) 约分： （1）2xy 2z4xyz ； （2）xy+2y x 2−4．20、(10分) 计算（1）2a−1a+3-a−4a+3； （2）1x+2-1x+3．四、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分）21、(9分) 如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．22、(12分) 某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽查的样本容量是______；（2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为______度；（3）将条形统计图补充完整；（4）如果该地区初中学生共有60000名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？23、(10分) 下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题：投篮次数（n）50 100 150 209 250 300 500投中次数（m）28 60 78 104 124 153 252投中频率（mn ）0.56 0.60 0.52 0.52 0.49______ ______（1）将表格补充完成；（精确到0.01）（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？（3）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？24、(9分) 如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．25、(12分) 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△AFE≌△CFD；（2）若AB=3，BC=6，求图中阴影部分的面积．26、(12分) 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．其中点B落在点E处，定C落在点F处，点D落在点G处．（1）如图1，当点E在BD上时，求证：EF平分∠DEG；（2）在（1）的条件下，如图2，分别延长ED、EF，相交于点H，求证：DH=BE；（3）当α=______时，GC=GB？（直接填空，不必说理）．27、(14分) 如图1，已知正方形ABCD，点E是边BA边上一动点（不与点A、B重合），连接CE．将三角形CBE沿着BA方向平移，使得BC边与AD边重合，得到三角形DAF．（1）四边形CEFD能否是一个菱形？说明理由；（2）在图1的基础上，连接AC，过点E作EG垂直AC于点G，如图2．①若已知∠BEC=70°，求∠CEG的度数；②如图3，连接GD、GF．求证：GD=GF；③若三角形CGD为等腰三角形，求∠C EG的度数．参考答案：【第 1 题】【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【第 2 题】【答案】A【解析】解：分式16x2y 和12xyz最简公分母是6x2yz，故选：A．确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．本题考查了最简公分母，关键是确定最简公分母的方法一定要掌握．【第 3 题】【答案】C【解析】解：∵分式x 2−1x−1的值为0，∴x2-1=0，且x-1≠0，解得：x=-1．故选：C．直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．【第 4 题】【答案】D【解析】解：A、小红经过十字路口，遇到红灯是随机事件，故A错误；B、打开数学书课本时刚好翻到第60页是随机事件，故B错误；C、火车开到月球上是不可能事件，故C错误；D、在十三名中国学生中，必有属相相同的是必然事件，故D正确．故选：D．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【第 5 题】【答案】A【解析】解：这七天空气质量变化情况最适合用折线统计图，故选：A．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．【第 6 题】【答案】B【解析】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．根据菱形的性质即可判断；本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．【第 7 题】【答案】A【解析】解：A、错误，是随机事件，不能确定；B、错误，是随机事件，不能确定；C、正确，由于奇数号扇形和偶数号扇形数目相同，指针停在奇数号扇形的机会等于停在偶数号扇形的机会；D、错误，随机事件，不受意识控制．故选：A．随机事件发生的可能性大小在0至1之间，可能性大的也不是肯定会发生，可能性小的也不是肯定不会发生，所以只有丁的说法是对的．本题考查的是随机事件发生的可能性大小的理解，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，随机事件发生的可能性只是一种推测，并不是一定发生或不发生的．【第 8 题】【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中{AB=DA∠BAD=∠ADEAF=DE，∴△ABF≌△DAE，∴AE=BF，所以（1）正确；∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连结BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：B．根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．【第 9 题】【答案】x≠1【解析】解：由题意得1-x≠0，则x≠1，故答案为：x≠1．根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【第 10 题】【答案】-1【解析】解：原式=1−xx−1=-x−1x−1=-1．故答案为：-1．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【第 11 题】【答案】该校八年级每一名学生的视力【解析】解：该校八年级每一名学生的视力．故答案为：该校八年级每一名学生的视力．根据个体的意义，每一个被考查的对象，在这个问题中，该校八年级每一个学生的视力是个体．考查总体、个体的意义，以及在具体问题中总体、个体的甄别．【第 12 题】【答案】0.32【解析】解：某单位有职工100名，按他们的年龄分成8组，在40～42（岁）组内有职工32名，那么这个小组的频率是32÷100=0.32，故答案为：0.32．根据频数与总数的比是频率，可得答案．本题考查了频数与频率，频数与总数的比是频率．【 第 13 题 】【 答 案 】红【 解析 】解：∵袋子中共有3+4+5=12个球，其中红球个数最少，∴从中任意摸出1个球，则摸出红球的可能性最小，故答案为：红．根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大；首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可．本题主要考查可能性的大小，某种颜色球的个数多，摸出的可能性就大，反之，摸出的可能就是小，只要有某种颜色的，都有可能摸出．【 第 14 题 】【 答 案 】1【 解析 】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，∵正方形的边长为2m ，∴面积为4m 2，设不规则部分的面积为s m 2， 则s 4=0.25，解得：s=1，故答案为：1．首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．【 第 15 题 】【 答 案 】3【 解析 】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=6，∵点E 、F 分别是BD 、CD 的中点， ∴EF=12BC=12×6=3．故答案为：3．由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【 第 16 题 】【 答 案 】150°【 解析 】解：∵直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一条直线上，∴旋转角是∠CAC′=180°-30°=150°．故答案为：150°．根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．【 第 17 题 】【 答 案 】245cm【 解析 】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=12AC=3cm ，BO=12BD=4cm ，AO⊥BO ，∴BC=√AO 2+BO 2=5cm ， ∴S 菱形ABCD =BD.AC 2=12×6×8=24cm 2，∵S 菱形ABCD =BC×AE ，∴BC×AE=24， ∴AE=24BC =245cm ．故答案为：245cm ．根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在Rt△BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE ，可得出AE 的长度．此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．【 第 18 题 】【 答 案 】6+9√34 【 解析 】解：连结PQ ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC ，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，∴AP=AQ=3，∠PAQ=60°，∴△APQ 为等边三角形，∴PQ=AP=3，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ ，且AC=AB ，AP=AQ∴△APC≌△ABQ （SAS ），∴PC=QB=5，在△BPQ 中，∵PB 2=42=16，PQ 2=32=9，BQ 2=52=25，∴PB 2+PQ 2=BQ 2，∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ=90°， ∴S 四边形APBQ =S △BPQ +S △APQ =12BP×PQ+√34×PQ 2=6+9√34 故答案为：6+9√34 连结PQ ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC ，再根据旋转的性质得AP=AQ=3，∠PAQ=60°，则可判断△APQ 为等边三角形，所以PQ=AP=3，接着证明△APC≌△ABQ 得到PC=QB=5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ 为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S 四边形APBQ =S △BPQ +S △APQ 进行计算．本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ 为等边三角形是本题的关键．【 第 19 题 】【 答 案 】解：（1）原式=y 2；（2）原式=y x−2．【 解析 】（1）约去分式的分子与分母的公因式2xyz ；（2）约去分式的分子与分母的公因式（x+2）．本题考查了分式的约分，解决此题的关键是找出分子与分母的最大公因数或式．【 第 20 题 】【 答 案 】解：（1）原式=2a−1−(a−4)a+3=a+3a+3 =1； （2）原式=x+3(x+2)(x+3)-x+2(x+2)(x+3)=1(x+2)(x+3)；【 解析 】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．【 第 21 题 】【 答 案 】解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作【解析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；（2）根据轴对称的性质即可作出图形；（3）根据旋转的性质即可求出图形．本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型．【第 22 题】【答案】解：（1）本次调查的样本容量为224÷40%=560（人），故答案为：560；（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360°×84=54°，560故答案为：54；（3）“讲解题目”的人数是：560-84-168-224=84（人）．=18000（人），（4）60000×168560答：在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有18000人．【解析】（1）根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；（4）利用60000乘以对应的比例即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【第 23 题】【答案】解：（1）153÷300=0.51，252÷500≈0.50；故答案为：0.51，0.50；（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是0.5；（3）622×0.5=311（次）．所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次【解析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．（3）用总投篮次数乘以其概率即可求得投中次数．此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．【 第 24 题 】【 答 案 】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ，且AD=BC ，∴AF∥EC ，∵BE=DF ，∴AF=EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．【 解析 】根据平行四边形性质得出AD∥BC ，且AD=BC ，推出AF∥EC ，AF=EC ，根据平行四边形的判定推出即可．本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【 第 25 题 】【 答 案 】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，∠B=∠D=90°．∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折∴AB=AF ，∠B=∠E ．∴AE=CD ，∠E=∠D ，在△AFE 和△CFD 中，{∠E =∠D ∠AFE =∠DFC AE =CD ，∴△AFE≌△CFD （AAS ）；（2）证明：由折叠得AF=AB=3．∵△AFE≌△CDE ，∴EF=ED ．设AE=x ，则ED=6-x ，EF=6-x ．在Rt△AEF 中，由勾股定理得AE 2=AF 2+EF 2．∴32+（6-x ）2=x 2．解得x=154，即AE=154．∴S △AEC =12AE•AB=12×154×3=458．【 解析 】（1）由矩形的性质得出AB=CD ，∠B=∠D=90°．由折叠的性质得出AB=AF ，∠B=∠E ．得出AE=CD ，∠E=∠D ，即可得出结论；（2）由折叠得AF=AB=3．由全等三角形的性质得出EF=ED．设AE=x，则ED=6-x，EF=6-x．在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，得出x=154，即AE=154．即可得出结果．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．【第 26 题】【答案】（1）证明：如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°．由旋转的性质得：AE=AB，∠ABD=∠AEG，∴∠ABD=∠AEB．∴∠AEG=∠AEB．由旋转的性质得：∠AEF=∠ABC=90°．∴∠AEG+∠FEG=90°，∠AEB+∠FED=90°．∴∠FED=∠FEG．∴EF平分∠DEG；（2）证明：由旋转的性质得：∠EFG=∠C=90°．∴∠EFH=∠EFG=90°．在△FEH和△FEG中，{∠FED=∠FEGEF=EF∠EFH=∠EFG，∴△FEH≌△FEG（ASA）．∴EG=EH．由旋转的性质得：EG=BD，∴EH=BD，∴DH=BE；（3）解：当α为60°或300°时，GC=GB．理由如下：①当G在AD的右边时，连接DG，如图3所示：∵GC=GB，∴点G在BC的垂直平分线上，∵四边形ABCD是矩形，∴点G也在AD的垂直平分线上，∴DG=AG，由旋转的性质得：AG=AD，∴DG=AG=AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，即α=60°；②当G在AD的左边时，连接DG，如图4所示：∵GC=GB，∴点G在BC的垂直平分线上，∵四边形ABCD是矩形，∴点G也在AD的垂直平分线上，∴DG=AG，由旋转的性质得：AG=AD，∴DG=AG=AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴α=360°-60°=300°；综上所述，当α为60°或300°时，GC=GB；故答案为：60°或300°．【解析】（1）由正方形的性质得出∠C=∠ABC=90°．由旋转的性质得：AE=AB，∠ABD=∠AEG，得出∠ABD=∠AEB．因此∠AEG=∠AEB．由旋转的性质得：∠AEF=∠ABC=90°．得出∠AEG+∠FEG=90°，∠AEB+∠FED=90°．证出∠FED=∠FEG即可；（2）证明△FEH≌△FEG得出EG=EH．由旋转的性质得：EG=BD，得出EH=BD，即可得出结论；（3）①当G在AD的右边时，由GC=GB，得出点G在BC的垂直平分线上，由矩形的性质得出点G也在AD的垂直平分线上，得出DG=AG，由旋转的性质得：AG=AD，得出DG=AG=AD，证出△ADG是等边三角形，得出∠DAG=60°，即α=60°；②当G在AD的左边时，同①得出∠DAG=60°，得出α=360°-60°=300°即可．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和旋转变换的性质是解题的关键．【第 27 题】【答案】（1）解：四边形CEFD不能是一个菱形．理由如下：由平移的性质得：AF=BE．∴AB=EF．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC，CD∥AB．∴CD=EF，CD∥EF．∴四边形CEFD是平行四边形．∵点E不与点A、B重合，∴在直角三角形BCE中，CE＞BC．∴CE≠EF．∴四边形CEFD不能是菱形．（2）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∠GAE=45°．∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．∴∠BEG=90°+45°=135°．∵∠BEC=70°，∴∠CEG=135°-70°=65°．②证明：由①得：∠GEA=45°=∠GAE．∴GA=GE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=AB=EF，∠GAD=∠GCD=∠ACB=45°．在△DGA和△FGE中，{GA=GE∠DAG=∠FEGAD=EF，∴△DGA≌△FGE（SAS），∴GD=GF．③解：∵点E不与点A、B重合，∠GCD=45°，∴点G不与AC的中点和点A重合．∴当且仅当GC=DC时，△CGD为等腰三角形．∴∠GDC=∠CGD=67.5°．∵△DGA≌△FGE，∴∠DGA=∠FGE．∴∠DGF=∠AGE=90°．∵GD=GF，∴∠GDF=45°．∴∠CDF=67.5°+45°=112.5°．∴∠DAF=180°-112.5°=67.5°．∴∠CEB=67.5°．∴∠CEG=135°-67.5°=67.5°．【解析】（1）由平移的性质得：AF=BE．得出AB=EF．由正方形的性质得出CD=AB=BC，CD∥AB．得出CD=EF，CD∥EF．证出四边形CEFD是平行四边形．由直角三角形的性质得出CE≠EF．即可得出结论；（2）①由正方形的性质得出AB=BC，∠B=90°，∠GAE=45°，由三角形的外角性质得出∠BEG=90°+45°=135°．即可得出结果；②由①得：∠GEA=45°=∠GAE．得出GA=GE，由正方形的性质得出CD=AD=AB=EF，∠GAD=∠GCD=∠ACB=45°，证明△DGA≌△FGE，即可得出结论；③证出当且仅当GC=DC时，△CGD为等腰三角形．由等腰三角形的性质得出∠GDC=∠CGD=67.5°．由全等三角形的性质得出∠DGA=∠FGE．得出∠DGF=∠AGE=90°．由GD=GF得出∠GDF=45°．求出∠CDF=112.5°．得出∠DAF=180°-112.5°=67.5°．得出∠CEB=67.5°，即可得出结果．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度．。
2020-2021学年八年级下期中考试数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列调查适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．翠湖的水质情况B ．某品牌节能灯的使用寿命C ．乘坐动车时对乘客的安检D ．端午节期间市场上粽子质量情况 2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 3．分式2−x x−3有意义的x 的取值范围为（ ）A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ＝2D ．x ＝34．下列各式中，正确的是（ ） A ．ab =a 2b2 B ．2(x−1)1−x 2=−21+xC ．ab+1a=b +1D ．a 2+b 2a+b=a +b5．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（ ）小时 A ．1a+1bB ．1abC ．1a+bD ．aba+b7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝AD C．AB＝BC D．OD＝AC8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=√2DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是．10．为了了解某市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说法正确的有（填序号）．11．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于12019，则密码的位数至少要设置位．12．下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有（填序号）．13．计算2m−2+m2−m的结果是．14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014＝．15．菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝2，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为．16．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．17．若关于x的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx无解，则k的值为．18．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF．连结DF并延长交BC于点G，且点C与AB 的中点E恰好关于直线DG对称．若AD＝9，则AB的长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）先化简，再求值：(2x2x+1−14x2+2x)÷(1−4x2+14x)，其中x＝3．20．（8分）解方程：xx−3+6x+3=121．（8分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．22．（8分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．组别频数统计A（t＜20）8B（20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有人，a＝，b＝，m＝；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为．24．（10分）如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：AB−√2BE＝CF．25．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？26．（10分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ．当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．27．（12分）阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如4x−1，x+1x 2当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1，x 2+1x+1假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．解决问题：（1）下列分式中属于真分式的是（ ） A ．x 2x−1B ．x−1x+1C ．32x−1D ．x 2+1x 2−1（2）将假分式3x+1x−1、x 2+1x+1分别化为带分式；（3）若假分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x 的值．28．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列调查适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．翠湖的水质情况B ．某品牌节能灯的使用寿命C ．乘坐动车时对乘客的安检D ．端午节期间市场上粽子质量情况【解答】解：A 、调查翠湖的水质情况适合抽样调查； B 、调查某品牌节能灯的使用寿命适合抽样调查； C 、乘坐动车时对乘客的安检必须全面调查；D 、调查端午节期间市场上粽子质量情况适合抽样调查； 故选：C ．2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上【解答】解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意； B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C ． 3．分式2−x x−3有意义的x 的取值范围为（ ）A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ＝2D ．x ＝3【解答】解：由题意得：x ﹣3≠0， 解得：x ≠3， 故选：B ．4．下列各式中，正确的是（ ） A ．ab =a 2b2 B ．2(x−1)1−x 2=−21+xC ．ab+1a=b +1D ．a 2+b 2a+b=a +b【解答】解：ab 与a 2b 在a ＝0或a ＝b 时才成立，故选项A 不正确；2(x−1)1−x =2(x−1)(1+x)(1−x)=−21+x，故选项B 正确；ab+1a =b +1a，故选项C 不正确； a 2+b 2a+b不能化简，故选项D 不正确；故选：B ．5．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不属于中心对称图形； B 、属于中心对称图形； C 、不属于中心对称图形； D 、不属于中心对称图形； 故选：B ．6．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（ ）小时 A ．1a+1bB ．1abC ．1a+bD ．aba+b【解答】解：甲和乙的工作效率分别是1a，1b，合作的工作效率是1a+1b，所以合作完成需要的时间是11a +1b=1b+a ab=ab a+b．故选：D ．7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝AD C．AB＝BC D．OD＝AC【解答】解：A、AO＝BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；B、AC＝AD，不能判断▱ABCD是菱形，错误；C、根据菱形的定义可得，当AB＝BC时▱ABCD是菱形，正确；D、OD＝AC，不能判断▱ABCD是菱形，错误；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=√2DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④【解答】解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD=√2DF．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠P AD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，∵正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是9．【解答】解：∵一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，∴第三组频数是：40﹣10﹣8﹣7﹣6＝9．故答案为：9．10．为了了解某市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说法正确的有①③④（填序号）．【解答】解：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；②每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；④样本容量是200，正确；故答案为：①③④．11．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于12019，则密码的位数至少要设置4位．【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为110；取两位数时一次就拨对密码的概率为1100；取三位数时一次就拨对密码的概率为11000；取四位数时一次就拨对密码的概率为110000．故一次就拨对的概率小于12019，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．12．下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有①、③（填序号）．【解答】解：①在367人中至少有两个人的生日相同，正确；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次不一定会中一次奖，错误；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，正确；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性小于于摸到白球的可能性，错误；故答案为：①、③．13．计算2m−2+m2−m的结果是﹣1．【解答】解：原式=2m−2−mm−2=2−mm−2=−(m−2)m−2＝﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014＝1342+672√2．【解答】解：由题意可得：AP1=√2，AP2＝1+√2，AP3＝2+√2；AP4＝2+2√2；AP5＝3+2√2；AP6＝4+2√2；AP7＝4+3√2；AP8＝5+3√2；AP9＝6+3√2；∵2013＝3×671，∴AP2013＝（2013﹣671）+671√2=1342+671√2，∴AP2014＝1342+671√2+√2=1342+672√2．故答案为：1342+672√2．15．菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝2，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为√29或√13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝2，∴AO=12AC＝2，BO=12BD＝1，①如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交F A的延长线于G，则BG＝AO＝2，AG＝OB＝1，FG＝AF+AG＝4+1＝5，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+52=√29；②如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，则BG＝AO＝2，FG＝AF﹣AG＝4﹣1＝3，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+32=√13，综上所述，BF长为√29或√13．故答案为：√29或√13．16．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是10√33．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，∴sin∠MA′B=BM BA′=12，∴∠MA′B＝30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA ′＝60°，∴∠ABE ＝∠EBA ′＝30°，∴BE =AB cos30°=5√32=10√33． 故答案为：10√33． 17．若关于x 的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx 无解，则k 的值为 ﹣3或﹣5 ． 【解答】解：方程两边同时乘以x （x ﹣1），得6x ＝x +3﹣k （x ﹣1），∴（5+k ）x ＝3+k ，∵方程无解，∴k ＝﹣5，∵x ＝0和x ＝1是方程的增根，∴3+k ＝0，∴k ＝﹣3，故答案为﹣3或﹣5．18．如图，F 是矩形ABCD 内一点，AF ＝BF ．连结DF 并延长交BC 于点G ，且点C 与AB的中点E 恰好关于直线DG 对称．若AD ＝9，则AB 的长为 6√3 ．【解答】解：连接EF 、EG 、EC ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝9，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，∵AF ＝BF ，点E 是AB 的中点，∴EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴EF 是梯形ABGD 的中位线，∠EFG ＝∠CGF ，∴EF =12（AD +BG ），设BG ＝x ，则CG ＝9﹣x ，EF =12（9+x ），∵点C 与AB 的中点E 关于直线DG 对称，∴EG ＝CG ，∠CGF ＝∠EGF ，∴∠EFG ＝∠EGF ，∴EG ＝EF ，∴EF ＝CG ，∴12（9+x ）＝9﹣x ， 解得：x ＝3，∴BG ＝3，EG ＝CG ＝6，∴BE =√EG 2−BG 2=√62−32=3√3，∴AB ＝2BE ＝6√3；故答案为：6√3．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x)÷(1−4x 2+14x )，其中x ＝3． 【解答】解：原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x =(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)•4x −(2x−1)2=−22x−1， 当x ＝3时，原式=−25．20．（8分）解方程：x x−3+6x+3=1【解答】解：方程两边乘 （x ﹣3）（x +3），得 x （x +3）+6 （x ﹣3）＝x 2﹣9，解得：x ＝1，检验：当 x ＝1 时，（x ﹣3）（x +3）≠0，所以，原分式方程的解为x ＝1．21．（8分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A 、B 、C 、D 、E 、F ）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）由题意可得，小球停在黑色小正方形的概率是39=13， 即小球停在黑色小正方形的概率是13； （2）中心对称的情况是：（BE ）、（CD ）、（AF ），（EB ），（DC ），（F A ），则新图案是中心对称图形的概率是：65×6=15， 即新图案是中心对称图形的概率是15．22．（8分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t （分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C 组所在扇形的圆心角为108°．组别频数统计 A （t ＜20） 8B（20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，∵C组所在扇形的圆心角为108°，∴C组的人数a＝60×108360=18（人），b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），故答案为：60，18，7，25；（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×760=42°，答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；（3）每天健身时间不少于1 小时的人数是1200×15+760=440（人），答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为（﹣2，3）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为（﹣2，﹣4）；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，3）．故答案为（﹣2，3）．（2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣2，﹣4）故答案为（﹣2，﹣4）．（3）如图，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．故答案为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．24．（10分）如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：AB−√2BE＝CF．【解答】解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，BC=√10，∴CG=√BC2−BG2=√(√10)2−12=3．∵∠ABF＝45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴EG＝BG＝1，∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=√EC2+CF2=√22+22=2√2；（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=√BE2+EH2=√2BE，BE＝HE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，∴∠BEG＝45°，CE＝CF，∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，∴∠AHE＝∠CEB，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，由（1）知，∠FCE＝90°，∴∠BCD ＝∠FCE +∠BCG ＝90°+∠BCG ，∵在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ，∴90°+∠EAB ＝90°+∠BCG ，∴∠EAB ＝∠BCG ，即∠EAH ＝∠BCE ，在△△EAH 和△BCE 中，{∠EAH =∠BCE ∠EHA =∠BEC EH =BE∴△EAH ≌△BCE （AAS ），∴AH ＝CE ＝CF ，∴AB −√2BE ＝AB ﹣BH ＝AH ＝CF ，即AB −√2BE ＝CF ．25．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x 元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1． 解得，x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的根．所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．在这两笔生意中商场共获得5340元．26．（10分）如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连接AC ，AE ，过点C 作CF ∥AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．（1）求证：四边形ACFE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ．当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，∴AF ⊥CE ，∵CD ＝DE ，∴AE ＝AC ，EF ＝CF ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AE ∥CF ，∴∠EAD ＝∠AFC ，∴∠CAD ＝∠CF A ，∴AC ＝CF ，∴AE ＝EF ＝AC ＝CF ，∴四边形ACFE 是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BCE ＝90°，CD ＝AB ，∵AB ＝2，CD ＝DE ，∴BC ＝2√3，CE ＝4，∴BE =√BC 2+CE 2=2√7，∵AB ＝CD ＝DE ，∠BAE ＝∠EDG ＝90°，∠AGB ＝∠DGE ，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴BG ＝EG ，∴BG =12BE =√7．27．（12分）阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如4x−1，x+1x 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1，x 2+1x+1假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．解决问题：（1）下列分式中属于真分式的是（ ）A ．x 2x−1B ．x−1x+1C ．32x−1 D ．x 2+1x 2−1 （2）将假分式3x+1x−1、x 2+1x+1分别化为带分式； （3）若假分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x 的值．【解答】解：（1）选（C ）；（2）3x+1x−1=3(x−1)+4x−1=3+4x−1； x 2+1x+1=(x 2−1)+2x+1=(x+1)(x−1)+2x+1=x ﹣1+2x+1； （3）原式=(2x−3)(x+3)+3x+3 ＝2x ﹣3+3x+3，由x 是整数，原分式的值也为整数，∴x +3＝±1或±3，∴x ＝﹣6、﹣4、﹣2、0．28．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．【解答】解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，{AB =AD ∠BAE =∠DAG AE =AG，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG =1 2，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE ⊥DG ；（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET ＝x ，AT ＝y ．∵△AHG ∽△ATE ，∴GH ET =AH AT =AG AE =2，∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题及答案
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．使函数y=√x+1x有意义的自变量x的取值范围为（）A．x≠0B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x＞﹣1且x≠0【解答】解：由题意得，x+1≥0且x≠0，解得x≥﹣1且x≠0．故选：C．2．下列各图能表示y是x的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x 的函数，故A选项错误；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．故选：D．3．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2【解答】解：A、√8含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、√x2+1符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、√y2含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、√12被开方数含分母，故本选项错误；故选：B．4．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．∠BAD＝∠BCD，AB∥CDC．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝CD，AO＝CO【解答】解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；B、根据AB∥CD可得：∠ABC+∠BCD＝180°，∠BAD+∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠BCD可得：∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；D、AB＝CD，AO＝CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．故选：D．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长是（）A．14cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=√62+82=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD=12AC=12×10＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=12OD=52cm，AF=12×8＝4cm，AE=12OA=52cm，∴△AEF的周长=52+4+52=9cm．故选：C．6．如图，数轴上表示实数√5的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S【解答】解：∵2＜√5＜3，∴数轴上表示实数√5的点可能是点Q．故选：B．7．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y ＝mnx 的图象过一、三象限，无符合项；（4）当m ＜0，n ＞0时，mn ＜0，一次函数y ＝mx +n 的图象一、二、四象限，正比例函数y ＝mnx 的图象过二、四象限，无符合项．故选：C ．8．如果直线y ＝kx +b 经过一、二、四象限，则k ，b 的取值分别是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【解答】解：由一次函数y ＝kx +b 的图象经过第一、二、四象限，又由k ＜0时，直线必经过二、四象限，故知k ＜0．再由图象过一、二象限，即直线与y 轴正半轴相交，所以b ＞0．故选：C ．9．如图所示的图象所表示的函数的关系式为（ ）A ．y =32|x ﹣1|（0≤x ≤2）B ．y =32−32|x ﹣1|（0≤x ≤2）C ．y =32−|x ﹣1|（0≤x ≤2）D ．y ＝1﹣|x ﹣1|（0≤x ≤2）【解答】解：观察图象可知，图象上已知三点坐标为（0，0），（1，32）（2，0），代入每个解析式检验可知：A 、点（0，0）不符合函数解析式；B 、点（0，0），（1，32），（2，0），都符合函数解析式；C 、点（0，0）不符合函数解析式；D 、点（1，32）不符合函数解析式． 只有B 符合．故选：B ．10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，∴∠CPD＝∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE＝∠C′PE，∴∠EPC′+∠DPC′=12×180°＝90°，∴△DPE是直角三角形，∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，所以y=−13x2+53x（0＜x＜5），纵观各选项，只有D选项符合．故选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣2x+1上，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1的比例系数为﹣2，∴y随x的增大而减小，∵2＞﹣1，∴y1＜y2，故答案为y1＜y2．12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱．【解答】解：由勾股定理，AC=2−BC2=√132−52=12（m）．则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．故答案为：612．13．无论m为何值直线y＝x+2m与直线y＝﹣x+4的交点都不可能在第三象限．【解答】解：y＝﹣x+4是一次函数，∵k＝﹣1＜0，∴图象过二、四象限，又∵b＝4＞0，∴图象过第一象限，∴一定不过第三象限；∴直线y ＝x +2m 与y ＝﹣x +4的交点不可能在第三象限．故答案为：三．14．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为C ′，再将所折得的图形沿EF 折叠，使得点D 和点A 重合．若AB ＝3，BC ＝4，则折痕EF 的长为 2512 ．【解答】解：设BC ′与AD 交于N ，EF 与AD 交于M ，根据折叠的性质可得：∠NBD ＝∠CBD ，AM ＝DM =12AD ，∠FMD ＝∠EMD ＝90°， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝4，∠BAD ＝90°，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠NBD ＝∠ADB ，∴BN ＝DN ，设AN ＝x ，则BN ＝DN ＝4﹣x ，∵在Rt △ABN 中，AB 2+AN 2＝BN 2，∴32+x 2＝（4﹣x ）2，∴x =78，即AN =78，∵C ′D ＝CD ＝AB ＝3，∠BAD ＝∠C ′＝90°，∠ANB ＝∠C ′ND ，∴△ANB ≌△C ′ND （AAS ），∴∠FDM ＝∠ABN ，∴tan ∠FDM ＝tan ∠ABN ，∴AN AB =MF MD ，∴783=MF 2，∴MF =712， 由折叠的性质可得：EF ⊥AD ，∴EF ∥AB ，∵AM ＝DM ，∴ME =12AB =32，∴EF ＝ME +MF =32+712=2512．故答案为：2512．15．已知一次函数y ＝mx +2m +8与x 轴、y 轴交于点A 、B ，若图象经过点C （2，4）．过点C 作x 轴的平行线，交y 轴于点D ，在△OAB 边上找一点E ，使得△DCE 构成等腰三角形，则点E 坐标为 （0，6）或（0，2）或（2−√2，4+√2）或（2+√2，4−√2）或（1，0）或（1，5） ．【解答】解：∵一次函数y ＝mx +2m +8的图象经过点C （2，4），∴4＝2m +2m +8，解得m ＝﹣1，∴一次函数为y ＝﹣x +6，∵与x 轴、y 轴交于点A 、B ，∴A （6，0），B （0，6），如图，∵C （2，4），∴C 点在直线AB 上，以D 为圆心，以2为半径作圆，交OB 于B 和E 2，此时E （0，6）或（0，2）；以B 为圆心，以2为半径作圆，交AB 于E 3和E 4，此时E（2−√2，4+√2）或（2+√2，4−√2），作DC的垂直平分线交OA于E5，交AB于E6，此时E5（1，0），E6（1，5）；综上，点E坐标为（0，6）或（0，2）或（2−√2，4+√2）或（2+√2，4−√2）或（1，0）或（1，5）；故答案为（0，6）或（0，2）或（2−√2，4+√2）或（2+√2，4−√2）或（1，0）或（1，5）．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算：−√24÷√2−√13×√12+√48．【解答】解：−√24÷√2−√13×√12+√48＝﹣2√6÷√2−√4+4√3＝﹣2√3−2+4√3＝2√3−2．17．（8分）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE 2+AD 2＝BE 2+BC 2，设AE ＝x ，则BE ＝AB ﹣AE ＝（25﹣x ），∵DA ＝15km ，CB ＝10km ，∴x 2+152＝（25﹣x ）2+102，解得：x ＝10，∴AE ＝10km ，∴收购站E 应建在离A 点10km 处．18．（9分）四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）连接BF 、AC 、DE ，当BF ⊥AE 时，求证：四边形ACED 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAB ＝∠EAD ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ．（2）∵BA ＝BE ，BF ⊥AE ，∴AF ＝EF ，∵AD ∥CE ，∴∠DAF ＝∠CEF ，在△ADF 和△ECF 中，{∠DAF =∠CEF AF =FE ∠AFD =∠CFE，∴△DAF ≌△CEF∴AD ＝CE ，∵AD ∥CE ，∴四边形ADEC 是平行四边形．19．（9分）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （1，3）两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）求△AOB 的面积．【解答】解：（1）把A （﹣2，﹣1），B （1，3）代入y ＝kx +b 得 {−2k +b =−1k +b =3， 解得 {k =43b =53． 所以一次函数解析式为y =43x +53；（2）令y ＝0，则0=43x +53，解得x =−54，所以C 点的坐标为（−54，0），把x ＝0代入y =43x +53得y =53，所以D 点坐标为（0，53）， （3）△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD=12×53×2+12×53×1=52．20．（10分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DF A＝∠F AB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=√FC2+FB2=10，∴AD＝BC＝DF＝10，∴∠DAF＝∠DF A，∴∠DAF＝∠F AB，即AF平分∠DAB．21．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟10米，乙在A地时距地面的高度b为30米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y={15x(0≤x ＜2)30x−30(2≤x≤11)；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．22．（10分）如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P 为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP=13PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【解答】解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°∴∠BAP +∠APB ＝90°∵BQ ⊥AP∴∠APB +∠QBC ＝90°，∴∠QBC ＝∠BAP ，在△ABP 于△BCQ 中，{∠ABP =∠BCQAB =BC ∠BAP =∠QBC，∴△ABP ≌△BCQ （ASA ），∴BP ＝CQ ，（2）由翻折可知，AB ＝BC '，连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN （HL ），∴AN ＝NC '，∵BP =13PC ，AB ＝8，∴BP ＝2＝CQ ，CP ＝DQ ＝6，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，∴在Rt △NDQ 中，（8﹣a ）2+62＝（a +2）2解得：a ＝4.8，即AN ＝4.8．（3）解：过Q 点作QG ⊥BM 于G ，由（1）知BP ＝CQ ＝BG ＝x ，BM ＝MQ ．设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，∴在Rt △MQG 中，y 2＝82+（y ﹣x ）2，∴y =32x +x 2． ∴S △BMC ′＝S △BMQ ﹣S △BC 'Q =12BM ⋅QG −12BC′⋅QC′=12(32x +x 2)×8−12×8x ， =128x −2x ．23．（11分）某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每台A 型电脑销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元；根据题意得{10a +20b =400020a +10b =3500， 解得{a =100b =150． 答：每台A 型电脑销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y ＝100x +150（100﹣x ），即y ＝﹣50x +15000；②据题意得，100﹣x ≤2x ，解得x ≥3313， ∵y ＝﹣50x +15000，∴y 随x 的增大而减小，∵x 为正整数，∴当x ＝34时，y 取最大值，则100﹣x ＝66，此时最大利润是y ＝﹣50×34+15000＝13300．即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．。
2020-2021学年八年级下学期期中测试数学试卷附解答
2020-2021学年八年级下学期期中测试数学试卷一.选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各式中，属于分式的是（）A．a﹣6B．C．D．（x+y）3．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≠2C．x≤2D．x≥24．（3分）把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．不变D．缩小4倍5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）A．64°B．36°C．26°D．22°二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7．（3分）计算：＝．8．（3分）若分式的值为0，则x的值等于．9．（3分）若最简二次根式和是同类二次根式，则m+n＝．10．（3分）如果x2+3x+1＝0，那么分式x+的值是．11．（3分）已知菱形面积为4cm2，两对角线长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数表达式为．12．（3分）如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝度．13．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点A作AB⊥y轴于点B，连接AO，若S＝6，则k的值为．△AOB14．（3分）若实数a，b满足+b2﹣8b+16＝0，则ab的值为．15．（3分）关于x的方程＝+1无解，则m的值为．16．（3分）当代数式的值是整数时，则满足条件的整数x为．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出必要的步骤）17．（12分）化简或计算：（1）（2）218．（8分）解方程：（1）＝（2）＝﹣319．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．20．（8分）在质量不变的情况下，某物体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：（1）试确定ρ与V之间的函数表达式；（2）当V＝10m3时，求物体的密度．21．（10分）已知x＝3，y＝2，求下列各式的值：（1）（2）+22．（10分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD；（2）若四边形AEDF的周长为24，AC＝9，求AB的长．23．（10分）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝1+（）2＝2，S1＝OA32＝12+（）2＝3，S2＝OA42＝12+（）2＝4，S1＝…（1）（直接写出答案）OA10＝，并用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA n2＝；S n＝．（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？24．（10分）列方程，解应用题甲乙两人相约周末到影院看电影，他们的家分别距离影院1200米和2000米，两人分别从家中同时出发，已知甲和乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前4分钟到达影院．（1）求甲、乙两人的速度？（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25米，甲是否能按要求时间到家？25．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ＝67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．26．（14分）如图，双曲线y1＝与直线y2＝的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝上的任意一点，且0＜a＜4．（1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P在双曲线y1＝上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、B、C都不符合；是中心对称图形的只有D．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．（3分）下列各式中，属于分式的是（）A．a﹣6B．C．D．（x+y）【分析】根据分式的定义，可得答案．【解答】解：A、a﹣6的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误．B、的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误．C、的分母中含有字母，是分式，故本选项正确．D、（x+y）的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数不是字母．3．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≠2C．x≤2D．x≥2【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围．【解答】解：由题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握被开方数只能为非负数．4．（3分）把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．不变D．缩小4倍【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可【解答】解：分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，得＝＝2×，可见新分式是原分式的2倍．故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质，k＝3＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．【解答】解：A、把点（1，1）代入反比例函数y＝得3≠1不成立，故A选项错误；B、由k＝3＞0知，它的图象在第一、三象限，故B选项错误；C、图象的两个分支关于y＝x对称，故C选项错误；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）A．64°B．36°C．26°D．22°【分析】如图设BC交C′D′于K．利用四边形内角和为360°，求出∠BAD′即可解决问题．【解答】解：如图设BC交C′D′于K．在四边形ABKD′中，∵∠B＝∠D′＝90°，∠BKD′＝∠1＝116°，∴∠BAD′＝180°﹣116°＝64°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAD′＝90°﹣64°＝26°，故选：C．【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7．（3分）计算：＝．【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解本题的关键．8．（3分）若分式的值为0，则x的值等于3．【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣3＝0，且x≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣3＝0，且x≠0，解得：x＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．（3分）若最简二次根式和是同类二次根式，则m+n＝4．【分析】先根据同类二次根式的定义得出关于m、n的方程组，解之求得m、n的值，代入计算可得．【解答】解：由题意知，解得：，∴m+n＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．10．（3分）如果x2+3x+1＝0，那么分式x+的值是﹣3．【分析】先根据分式的加法法则把原式进行化简，再用x表示出x2的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式＝，∵x2+3x+1＝0，∴x2+1＝﹣3x，∴原式＝﹣＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．11．（3分）已知菱形面积为4cm2，两对角线长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数表达式为y＝．【分析】根据菱形面积＝×两条对角线的积可列出关系式；【解答】解：由题意得：xy＝4，可得y＝；故答案为：y＝．【点评】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．12．（3分）如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝22.5度．【分析】运用正方形的性质：正方形的对角线平分每一组对角．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E∴∠E＝∠CAD＝22.5°．故答案为22.5．【点评】本题考查了正方形的对角线平分每一组对角的性质．13．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点A作AB⊥y轴于点B，连接AO，若S＝6，则k的值为﹣12．△AOB【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答．＝6，【解答】解：∵S△AOB∴|k|＝6，∴k＝±12由图可知，反比例函数图象位于第二四象限，所以，k＜0，∴k＝﹣12故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．14．（3分）若实数a，b满足+b2﹣8b+16＝0，则ab的值为12．【分析】首先根据+b2﹣8b+16＝0，可得：+（b﹣4）2＝0，应用算术平方根、偶次方的非负性质，可得：；然后求出a、b的值各是多少，并求出它们的积即可．【解答】解：∵+b2﹣8b+16＝0，∴+（b﹣4）2＝0，∴，解得，∴ab＝3×4＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了算术平方根的非负性质的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．15．（3分）关于x的方程＝+1无解，则m的值为﹣1或﹣．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．【解答】解：去分母得：1＝mx+x+3，即（m+1）x＝﹣2，由分式方程无解，得到m+1＝0或x＝﹣＝﹣3，解得：m＝﹣1或﹣，故答案为：﹣1或﹣【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．16．（3分）当代数式的值是整数时，则满足条件的整数x为1和2．【分析】将原式化简为2+，再根据代数式的值为整数可得答案．【解答】解：＝•＝＝2+，∵代数式的值是整数，∴x＝1或x＝2，故答案为：1和2．【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则和分母有理化的方法．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出必要的步骤）17．（12分）化简或计算：（1）（2）2【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝﹣5＝6﹣5＝1；（2）原式＝2××＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）解方程：（1）＝（2）＝﹣3【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤，可得答案；（2）根据解分式方程的一般步骤，可得答案．【解答】解：（1）方程两边乘x（x+1），得30（x+1）＝20x，去括号，得30x+30＝20x，移项，得30x﹣20x＝﹣30，合并同类项，得10x＝﹣30，系数化为1，得x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是原分式方程的解；（2）方程两边乘（x﹣2），得1＝x﹣1﹣3（x﹣2）解得x＝2，经检验x＝2是原分式方程的增根，原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程式解题关键，要检验方程的根．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【分析】先把分式化简，再把数代入求值．【解答】解：原式＝＝＝﹣（x+2），当x＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2+2）＝﹣．【点评】此题考查分式的加法，关键是寻找最简公分母，也要注意符号的处理．20．（8分）在质量不变的情况下，某物体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：（1）试确定ρ与V之间的函数表达式；（2）当V＝10m3时，求物体的密度．【分析】（1）根据密度公式可知体积V与密度ρ的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；（2）直接把密度V＝10m3代入解析式求解即可．【解答】解：（1）设ρ与V的函数关系式为（V＞0），把A（3，2）代入得，所以k＝6，所以ρ与V的函数关系式为（V＞0）；（2）当V＝10m3时，物体的密度所以物体的密度为0.6kg/m3．【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．21．（10分）已知x＝3，y＝2，求下列各式的值：（1）（2）+【分析】（1）直接代入计算即可求解；（2）先通分计算，再代入计算即可求解．【解答】解（1）＝＝＝；（2）+＝，当x＝3，y＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查了二次根式的化简求出值，熟练掌握计算法则是解此题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD；（2）若四边形AEDF的周长为24，AC＝9，求AB的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE＝AE，DF＝AF，根据线段垂直平分线的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，根据四边形的周长公式计算．【解答】（1）证明：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，∴EF垂直平分AD；（2）解：由（1）得，DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC＝，∵四边形AEDF的周长为24，∴AE+DE+DF+FA＝24，∴DE+AE＝24﹣9＝15，∴AB＝15．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．23．（10分）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝1+（）2＝2，S1＝OA32＝12+（）2＝3，S2＝OA42＝12+（）2＝4，S1＝…（1）（直接写出答案）OA10＝，并用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA n2＝n；S n＝．（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？【分析】（1）根据题意计算求出OA n2和S n，根据（1）中的规律计算即可；（2）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）∵OA22＝1+（）2＝2，OA32＝12+（）2＝3，OA42＝12+（）2＝4，∴OA102＝10，∴OA10＝，∵OA22＝1+（）2＝2，S1＝OA32＝12+（）2＝3，S2＝OA42＝12+（）2＝4，S1＝…∴OA n2＝n，S n＝；故答案为：，n，；（2）设它是第m个三角形，由题意得，＝，解得，m＝20答：一个三角形的面积是，它是第20个三角形．【点评】本题考查的是数字变化规律，正确利用已知中数字变化规律分析是解题关键．24．（10分）列方程，解应用题甲乙两人相约周末到影院看电影，他们的家分别距离影院1200米和2000米，两人分别从家中同时出发，已知甲和乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前4分钟到达影院．（1）求甲、乙两人的速度？（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25米，甲是否能按要求时间到家？【分析】（1）设甲的速度为3x米/分，则乙的速度为4x米/分，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前4分钟到达影院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．（2）根据路程÷速度＝时间，进而比较解答即可．【解答】解：（1）设甲的速度为3x米/分，则乙的速度为4x米/分，根据题意得：＝4，解得：x＝25，经检验，x＝25是分式方程的根，且符合题意，∴3x＝75，4x＝100．答：甲的速度是75米/分，乙的速度是100米/分．（2）∵，所以甲能按要求时间到家．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ＝67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE＝DF，则由此判定四边形AEFD是平行四边形；然后由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；（2）根据勾股定理，可得答案；（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，证明△PDQ≌△GDQ（SAS），得GQ＝PQ，在Rt△AGQ中，根据勾股定理可得结论．【解答】（1）证明：由平移，得AE∥DF，AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，∵BE＝AE＝2，∴AE＝4，又∵AE＝AD＝4，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：由（1）得：△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB＝45°，∵AE∥DF，∴∠F＝∠AEB＝45°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，∴∠GAE＝90°，∵△DCF绕点D旋转得到△DGA，∴GA＝CF＝2，∴EG＝＝＝2；（3）解：如图3，PF、AQ、PQ之间的数量关系为：PQ2＝PF2+AQ2．理由如下：由（2）得：∠AEB＝45°，∴∠ADF＝∠AEF＝135°，∵AD＝DF，∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG，连GQ，如图3，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F＝45°，∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ＝67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ（SAS），∴PQ＝GQ，∴PQ2＝PF2+AQ2 ．【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质、矩形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理．熟练掌握矩形和菱形的判定与性质，由勾股定理计算是解决问题的关键．26．（14分）如图，双曲线y1＝与直线y2＝的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝上的任意一点，且0＜a＜4．（1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P在双曲线y1＝上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）由P（a，b）在y1＝的图象上，得到ab＝4，再根据4a＝b即可求得a，根据题意求得B（﹣4，﹣1），过点P作PQ∥y轴交AB于点G，易得G（1，），即可求得PG＝，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）P是双曲线y1＝上的点，得出P（a，），然后根据待定系数法求得直线PB的解析式，进而求得E点的坐标为（a﹣4，0），同理F点的坐标为（a+4，0），它们到H 点的距离相等，根据垂直平分线的性质即可证得PE＝PF．【解答】解：（1）把点A（4，1）代入双曲线y1＝得k1＝4，∴双曲线y1＝；代入直线y2＝得k2＝4，∴直线为y＝x；（2）∵点P（a，b）在y1＝的图象上，∴ab＝4，∵4a＝b，∴4a2＝4，则a＝±1，∵0＜a＜4，∴a＝1，∴P（1，4），又∵双曲线y1＝与直线y2＝的图象交于A、B两点，且A（4，1）∴B（﹣4，﹣1），过点P作PQ∥y轴交AB于点G，如图所示，把x＝1代入y＝x，得到y＝，∴G（1，），∴PG＝4﹣＝，∴S＝PG（x A﹣x B）＝××8＝15；△ABP（3）PE＝PF．理由如下：∵点P（a，b）在y＝的图象上，∴b＝，∵B（﹣4，﹣1），设直线PB的表达式为y＝mx+n，∴，∴∴直线PB的表达式为y＝x+﹣1，当y＝0时，x＝a﹣4，∴E点的坐标为（a﹣4，0），同理F点的坐标为（a+4，0），过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，∵P点坐标为（a，b），∴H点的坐标为（a，0），∴EH＝x H﹣x E＝a﹣（a﹣4）＝4，同理可得：FH＝4，∴MH＝HN，∴PM＝PN．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的判定等，求得交点E、F的坐标是解题的关键．。
人教版湖北黄冈市2020-2021学年度八年级数学下册期中教学质量评估卷(含解析)
2020－2021学年度人教版八年级数学下册期中教学质量评估卷题号一二三总分得分时间:90分钟满分:120分考试内容:第十六至第十八章一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题的4个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(2020广东中考,5,★☆☆)若式子2x-4 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )A.x≠2B.x≥2C.x≤2D.x≠－22.(2019广东广州番禺月考,3,★☆☆)下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A.x2+y2B.27C.12D.83.(2020四川绵阳三台期末,2,★☆☆)下列运算,正确的是( )A. 2 + 3 ＝ 5B.3 2 － 2 ＝3C.(-2)2＝－2D.24 ÷ 3 ＝2 24.满足下列条件的三角形:①三边长之比为3:4:5；②三个内角的度数之比为3:4:5；③n2－1,2n,n2+1；④ 2 +1,2 －1,6.其中能组成直角三角形的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④5.(2020江苏盐城盐都期末,5,★☆☆)如图,△ABC中,AB＝AC,AD是边BC上的中线,若AB＝5,BC＝6,则AD的长为( ) A.3 B.7 C.4 D.116.(2020河南新乡卫辉期末,4,★☆☆)如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AB⊥AC,若AB＝4,AC＝6,则△COD的周长是( )A.8B.10C.12D.167.(2020安徽合肥蜀山一模,6,★☆☆)如图,在矩形ABCD中放置了一个直角三角形EFG,AF平分∠GFE,若∠CEF＝35°,则∠EHF的度数为( )A.55°B.125°C.130°D.135°8.(2020独家原创试题)如图是一个饮料罐,下底面半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是( )A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤139.(2019山东枣庄滕州模拟,11)如图,在∠MON 的两边上分别截取OA 、OB,使OA ＝OB,分别以点A 、B 为圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点C,连接AC 、BC 、AB 、OC.若AB ＝2cm,四边形OACB 的面积为4cm 2,则OC 的长为 ( )A.2 cmB. 3 cmC.4 cmD.5cm10.(2019江苏无锡山天一中学期末,9,★★★)如图,E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点,且AB ＝CD,下列结论:①EG⊥FH；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG；④EG＝12 BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB 其中正确的是 ( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.(2020江苏南京玄武期中,13,★☆☆)如果最简二次根式3a －4 与16－a 可以合并,那么使5a －2x 有意义的x 的取值范围是________________。
2020-2021学年八年级下期中考试数学试题含答案
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2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式：
a−b 2，x+3x ，13，a+b a−b ，1m （x ﹣y ）中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）已知a ＜b ，下列式子不成立的是（ ）
A ．a +1＜b +1
B ．4a ＜4b
C ．−13a ＞−13b
D ．如果c ＜0，那么a c ＜b c 4．（3分）已知△ABC 边AB 、AC 的垂直平分线DM 、EN 相交于O ，M 、N 在BC 边上，若
∠MAN ＝20°，则∠BAC 的度数为（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．140°
D ．160°
5．（3分）平面直角坐标系中，P （a ，a ﹣2）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞2
B ．a ＜0
C ．﹣2＜a ＜0
D ．0＜a ＜2
6．（3分）不能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（ ）
A ．A
B ∥CD ，AD ＝BC
B ．AB ∥CD ，∠A ＝∠
C C ．A
D ∥BC ，AD ＝BC D ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D
7．（3分）如图，点P 是▱ABCD 边AD 上的一点，E ，F 分别是BP ，CP 的中点，已知▱ABCD
面积为16，那么△PEF 的面积为（ ）。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷附解析版
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．代数式，，，中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在▱ABCD中，若∠A+∠C＝200°，则∠B的大小为（）A．160°B．100°C．80°D．60°3．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（3，﹣2）4．若分式的值为零，那么x的值为（）A．x＝﹣1或x＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣15．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则DE的长（）A．1 B．1.5 C．2 D．36．若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．7．如图，已知一次函数y＝kx+b，观察图象回答问题：当kx+b＞0，x的取值范围是（）A．x＞2.5 B．x＜2.5 C．x＞﹣5 D．x＜﹣58．若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＝y2＝y3D．y1＜y3＜y29．如图，已知点A，C在反比例函数y＝（a＞0）的图象上，点B、D在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是（）A．25 B．8 C．6 D．3010．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C （5，1）．规定“把▱ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2018次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为（）A．（﹣2015，3）B．（﹣2015，﹣3）C．（﹣2016，3）D．（﹣2016，﹣3）二．填空题（共6小题）11．计算：＝．12．根据测算，1粒芝麻重0.000004克，数0.000004可用科学记数法表示为．13．如图所示，矩形ABCD两条对角线夹角为60°，AB＝2，则对角线AC长为．14．反比例函数y＝的图象经过点（1，6）和（m，﹣3），则m＝．15．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线y＝上，点B在直线y＝x+6上，设点A的坐标为（a，b），则＝．16．如图，P为反比例函数y＝（x＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y＝﹣x﹣4的图象于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，则k的值为．三．解答题（共9小题）17．计算：18．解分式方程．19．化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．20．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝3，AB＝4，求BF的长度．21．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．22．某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？23．如图1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）当出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散：当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；当运动时间为4s 时，P、Q两点的距离为cm；（3）探索发现：如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连接AC，与PQ相交于点D，若双曲线y＝过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．24．如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB＝4．（1）求正方形ABCD的周长；（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE＝DG．（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M．①求证：BH⊥DG；②当AE＝时，求线段BH的长（精确到0.1）．25．如图1所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（1，t+1），B （t﹣5，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点（a，b）和（c，d）是反比例函数y＝图象上两点，若，求a﹣c 的值；（3）若M（x1，y1）和N（x2，y2）两点在直线AB上，如图2所示，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知﹣3＜x1＜0，x2＞1，请探究当x1、x2满足什么关系时，MN∥EF．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．代数式，，，中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，是分式，故选：B．2．在▱ABCD中，若∠A+∠C＝200°，则∠B的大小为（）A．160°B．100°C．80°D．60°【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．故选：C．3．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（3，﹣2）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．故选：D．4．若分式的值为零，那么x的值为（）A．x＝﹣1或x＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴x2﹣1＝0，x+1≠0，解得：x＝1．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则DE的长（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【分析】由BE平分∠ABC知∠ABE＝∠CBE，再由四边形ABCD是平行四边形知BC∥AD，BC＝AD＝5，据此得∠CBE＝∠AEB，结合以上结论得出∠ABE＝∠AEB，据此知AB＝AE＝3，根据DE＝AD﹣AE可得答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD＝5，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，故选：C．6．若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．【分析】据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，A、＝＝，B、＝，C、＝＝，D、＝＝，故选：A．7．如图，已知一次函数y＝kx+b，观察图象回答问题：当kx+b＞0，x的取值范围是（）A．x＞2.5 B．x＜2.5 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5【分析】根据函数的图象可知，函数为增函数即k＞0，再根据函数图象与x轴的交点为（2.5，0）可得出结论．【解答】解：结合函数图象可知：一次函数为增函数，∴k＞0，又∵当x＝2.5时，y＝0，∴当x＞2.5时，y＝kx+b＞0．故选：A．8．若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＝y2＝y3D．y1＜y3＜y2【分析】因为反比例函数的系数为﹣1，则图象的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大，作出判断；也可以依次将x的值代入计算求出对应的y值，再比较．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大，∵3＞0，∴y1＜0，∵﹣2＜﹣1＜0，∴0＜y2＜y3，∴y1＜0＜y2＜y3，故选：A．9．如图，已知点A，C在反比例函数y＝（a＞0）的图象上，点B、D在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是（）A．25 B．8 C．6 D．30【分析】利用反比例函数k的几何意义，结合相关线段的长度来求a﹣b的值．【解答】解：如图，由题意知：a﹣b＝2•OE，a﹣b＝3•OF，又∵OE+OF＝5，∴OE＝3，OF＝2，∴a﹣b＝6．故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规定“把▱ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2018次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为（）A．（﹣2015，3）B．（﹣2015，﹣3）C．（﹣2016，3）D．（﹣2016，﹣3）【分析】根据已知条件得到D（3，3），得到规律，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1），∴D（3，3），把▱ABCD先沿x轴翻折，再向下平移1个单位后，∴D（2，﹣3），观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，﹣3），D2（1，3），D3（0，﹣3），D4（﹣1，3），…，∴D2018（﹣2015，3）．故选：A．二．填空题（共6小题）11．计算：＝ 2 ．【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．12．根据测算，1粒芝麻重0.000004克，数0.000004可用科学记数法表示为4×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 004＝4×10﹣6，故答案为：4×10﹣6．13．如图所示，矩形ABCD两条对角线夹角为60°，AB＝2，则对角线AC长为 4 ．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形．∴OA＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4．故答案是：4．14．反比例函数y＝的图象经过点（1，6）和（m，﹣3），则m＝﹣2 ．【分析】先把点（1，6）代入反比例函数y＝，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点（m，﹣3）代入即可得出m的值．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，6），∴6＝，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．∵点（m，﹣3）在此函数图象上上，∴﹣3＝，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．15．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线y＝上，点B在直线y＝x+6上，设点A的坐标为（a，b），则＝70 ．【分析】根据点关于y轴对称的特点写出B点坐标，再把两点坐标分别代入所求关系式即可解答．【解答】解：根据点A在双曲线y＝上，得到2ab＝1，即ab＝，根据A、B两点关于y轴对称，得到点B（﹣a，b）．根据点B在直线y＝x+6上，得到a+b＝6，所以＝＝＝＝70．故答案为：70．16．如图，P为反比例函数y＝（x＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y＝﹣x﹣4的图象于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，则k的值为8 ．【分析】作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图，设P点坐标（n，），∵直线AB函数式为y＝﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），∴OC＝OG，∴∠OGC＝∠OCG＝45°∵PB∥OG，PA∥OC，∴∠PBA＝∠OGC＝45°，∠PAB＝∠OCG＝45°，∴PA＝PB，∵P点坐标（n，），∴OD＝CQ＝n，∴AD＝AQ+DQ＝n+4；∵当x＝0时，y＝﹣x﹣4＝﹣4，∴OC＝DQ＝4，GE＝OE＝OC＝2；同理可证：BG＝BF＝PD＝，∴BE＝BG+EG＝+2；∵AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，∴∠AOB＝135°，∴∠OBE+∠OAE＝45°，∵∠DAO+∠OAE＝45°，∴∠DAO＝∠OBE，∴△BOE∽△AOD；∴＝，即＝；整理得：nk+2n2＝8n+2n2，化简得：k＝8．故答案为：8．三．解答题（共9小题）17．计算：【分析】根据零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、算术平方根的概念进行计算．【解答】解：原式＝3+1﹣4+3＝3．18．解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得1﹣x＝﹣1+x﹣2，解得x＝2．检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．19．化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．【解答】解：原式＝＝＝＝∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，∴x≠±1，x≠﹣2，∴把x＝0代入．20．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝3，AB＝4，求BF的长度．【分析】（1）连接AC，由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，再由DE＝FB，证出OE＝OF，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出AD＝AF，再根据勾股定理求出BD，即可得出BF．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC，交BD于O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝3，∴BD＝＝＝5，∴BF＝BD＝．21．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．【分析】（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n 的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）先根据一次函数的解析式求出N的坐标，再利用三角形面积公式即可求出△AON的面积．【解答】解：（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入y1＝﹣x+4，得m＝﹣1+4＝3，﹣n+4＝1，n＝3，则A（1，3）、B（3，1）．把B（3，1）代入y2＝，得k＝3×1＝3；（2）∵A（1，3）、B（3，1），∴由函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜3；（3）∵一次函数y1＝﹣x+4的图象与x轴交于点N，∴N（4，0），ON＝4，∵A（1，3），∴△AON的面积＝×4×3＝6．22．某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m﹣400）元，根据：“用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等”列分式方程求解可得；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100﹣x）台，根据：总利润＝冰箱每台利润×冰箱数量+空调每台利润×空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况．【解答】解：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m﹣400）元依题意得，，解得：m＝2000，经检验，m＝2000是原分式方程的解，∴m＝2000；∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元．（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100﹣x）台，根据题意得，总利润W＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，∵﹣50＜0，∴W随x的增大而减小，∵33≤x≤40，∴当x＝33时，W有最大值，即此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台．23．如图1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）当出发s或s时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散：当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为6cm；当运动时间为4s 时，P、Q两点的距离为2cm；（3）探索发现：如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连接AC，与PQ相交于点D，若双曲线y＝过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．【分析】（1）作PH⊥BC，根据勾股定理求出QH，分点H在BQ之间、点H在CQ之间两种情况计算；（2）根据题意分别求出QH的长，根据勾股定理计算，得到答案；（3）作DE⊥AO于点E，根据相似三角形的性质得到＝＝，证明△AED∽△AOC，根据相似三角形的性质求出点D的坐标，得到k的值．【解答】解：（1）作PH⊥BC于点H，则四边形APHB为矩形，∴PH＝AB＝6，BH＝AP＝3t，当PQ＝10时，由勾股定理得，QH＝＝＝8，当点H在BQ之间时，QH＝BC﹣BH﹣CQ＝16﹣5t，则16﹣5t＝8，解得，t＝，当点H在CQ之间时，QH＝CQ﹣（BC﹣BH）＝5t﹣16，则5t﹣18＝8，解得，t＝，则当t＝s或s时，点P和点Q之间的距离是10cm，故答案为：s或s；（2）当t＝2s时，QH＝16﹣5t＝6，则PQ＝＝6，当当t＝4s时，QH＝5t﹣16＝4，则PQ＝＝2，故答案为：6；2；（3）k的值不会变化，理由如下：作DE⊥AO于点E，∵OA∥BC，∴△ADP∽△CDQ，∴＝＝，∵DE⊥AO，∠AOC＝90°，∴DE∥OC，∴△AED∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，解得，AE＝，DE＝，∴OE＝AO﹣AE＝，∴点D的坐标为（，），则k＝×＝．24．如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB＝4．（1）求正方形ABCD的周长；（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE＝DG．（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M．①求证：BH⊥DG；②当AE＝时，求线段BH的长（精确到0.1）．【分析】（1）根据正方形的周长定义求解；（2）根据正方形的性质得AB＝AD，AE＝AG，在根据旋转的性质得∠BAE＝∠DAG＝θ，然后根据“SAS”判断△BAE≌△DAG，则BE＝DG；（3）①由BAE≌△DAG得到∠ABE＝∠ADG，而∠AMB＝∠DMH，根据三角形内角和定理即可得到∠DHM＝∠BAM＝90°，则BH⊥DG；②连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG 互相垂直平分，且AF在AD上，由AE＝可得到AN＝GN＝1，所以DN＝4﹣1＝3，然后根据勾股定理可计算出DG＝，则BE＝，解着利用S△DEG＝GE•ND＝DG•HE可计算出HE＝，所以BH＝BE+HE＝≈5.1．【解答】（1）解：正方形ABCD的周长＝4×4＝16；（2）证明：∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴∠BAE＝∠DAG＝θ，在△BAE和△DAG，，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；（3）①证明：∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，又∵∠AMB＝∠DMH，∴∠DHM＝∠BAM＝90°，∴BH⊥DG；②解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE＝，∴AN＝GN＝1，∴DN＝4﹣1＝3，在Rt△DNG中，DG＝＝；∴BE＝，∵S△DEG＝GE•ND＝DG•HE，∴HE＝＝，∴BH＝BE+HE＝+＝≈5.1．25．如图1所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（1，t+1），B （t﹣5，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点（a，b）和（c，d）是反比例函数y＝图象上两点，若，求a﹣c的值；（3）若M（x1，y1）和N（x2，y2）两点在直线AB上，如图2所示，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知﹣3＜x1＜0，x2＞1，请探究当x1、x2满足什么关系时，MN∥EF．【分析】（1）根据反比例函数的比例系数等于图象上点的横纵坐标的积，得一次方程求出t的值；（2）由于ab＝3，cd＝3，代入关系式求出a﹣c的值；（3）因为ME∥NF，只要ME＝NF，就能得到MN∥EF．用含x1、x2的代数式表示出ME＝NF，得到x1、x2间关系．【解答】解：（1）∵A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点在反比例函数y＝的图象上，∴t+1＝﹣（t﹣5）＝m，即t+1＝5﹣t，解得t＝2．当t＝2时，A（1，3），B（﹣3，﹣1），m＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y＝．∵A、B在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）∵点（a，b）和（c，d）在反比例函数y＝图象上，∴ab＝cd＝m，∴b＝，d＝，∴＝+，∵m＝3，∴＝+，∴a﹣c＝．（3）由题意可知，M（x1，x1+2），N（x2，x2+2），E（x1，），F（x2，），∴ME＝x1+2﹣，NF＝x2+2﹣，当ME＝NF时，即x1+2﹣＝x2+2﹣，即（x1﹣x2）（1+）＝0，∵﹣3＜x1＜0，x2＞1，∴x1﹣x2≠0，1+＝0，∴x1x2＝﹣3，∴当x1x2＝﹣3时，ME＝NF，又∵ME∥NF，∴四边形MNFE为平行四边形，∴此时有ME∥NF．即当x1x2＝﹣3时，ME∥NF．。
湖北省黄冈市红安县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A、 不是最简二次根式，错误；
B、 不是最简二次根式，错误；
C、 是最简二次根式，正确；
D、 不是最简二次根式，错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股数的定义，解题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
4．D
【解析】
分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵a＜ ＜b，a、b为两个连续的整数，
∴ ，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝11.
故答案为11.
【点睛】
本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.
15．
【分析】
如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由勾股定理进行解答即可．
故答案为：△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，∠A=90°（此题答案不唯一）．
【点睛】
此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握一角为直角的菱形为正方形．
13．两个角相等
【分析】
交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据命题的定义求解．
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷及答案解析
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2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A ．{x =0y =2
B ．{x +y =0z +y =2
C ．{x +y =01x +y =2
D ．{x +y =0xy =2
2．（3分）如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一
粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A ．56
B ．512
C ．59
D ．712
3．（3分）如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，则△ABC 一
定是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 4．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A ．两个锐角的和一定是钝角
B ．相等的角是对顶角
C ．垂线段最短
D ．带根号的数一定是无理数
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A ．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B ．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件。
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2020—2021学年黄冈市红安县初二下期中数学试卷含答案解析一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共21分）1．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列各式运算正确的是（）A．+=B．4﹣3=1 C．2×3=6D．÷=33．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD 5．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：56．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．都有可能7．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．24二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．运算：=．9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为．10．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为．11．已知，则=．12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了cm．13．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则那个平行四边形的最小内角为度．14．如图，已知图中每个小方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．运算：（1）××（﹣）（2）+3﹣﹣．16．已知a为实数，求代数式：﹣+的值．17．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．19．一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．20．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC 的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，A∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始显现错误：；（2）错误的缘故是：；（3）本题正确的结论是：．21．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．（1）求证：BE⊥CF；（2）试判定AF与DE有何数量关系，并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何专门四边形？（直截了当写出答案）22．若a=1﹣，先化简再求的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么专门四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．24．台风是一种自然灾难，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范畴内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时依旧热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海靠近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海都市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若都市所受风力达到或超过4级，则称受台风阻碍．试问：（1）该都市是否会受到台风阻碍？请说明理由．（2）若会受到台风阻碍，那么台风阻碍该都市的连续时刻有多长？（3）该都市受到台风阻碍的最大风力为几级？2020-2021学年湖北省黄冈市红安县八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共21分）1．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】应用题．【分析】依照二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判定即可．【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义．一样形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．2．下列各式运算正确的是（）A．+=B．4﹣3=1 C．2×3=6D．÷=3【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．【分析】分别依照二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．【解答】解：A.，无法运算，故此选项错误，B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确，故选D．【点评】此题要紧考查了二次根式的混合运算，熟练把握二次根式差不多运确实是解题关键．3．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】由勾股定理得出=，得出数轴上点A所表示的数是﹣1，即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：=，∴数轴上点A所表示的数是﹣1，∴a=﹣1；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系；熟练把握勾股定理，并能进行推理运确实是解决问题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD 【考点】平行四边形的判定．【分析】依照平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、依照“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、依照“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、依照“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题要紧考查了平行四边形的判定，关键是把握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】依照三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、因为依照三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，因此是直角三角形，故正确；B、因为其符合勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，故正确；C、因为其符合勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，故正确；D、因为依照三角形内角和公式得三个角中没有90°角，因此不是直角三角形，故不正确．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定．6．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．都有可能【考点】菱形的判定．【分析】第一可判定重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，因此AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．【点评】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．7．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．24【考点】菱形的性质．【分析】设对角线相交于点O，依照菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后依照菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S=AB•DH=AC•BD，菱形ABCD即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，要紧利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．运算：=．【考点】二次根式的加减法．【专题】运算题．【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：=2﹣=．故答案为：．【点评】本题要紧考查了二次根式的加减，属于基础题型．9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为2或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分7为斜边与7为直角边两种情形考虑，分别利用勾股定理即可求出第三边．【解答】解：若7为斜边，依照勾股定理得：第三边为=2；若7为直角边，依照勾股定理得：第三边为=，故答案为：2或【点评】此题考查了勾股定理，熟练把握勾股定理是解本题的关键．10．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为150°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】由正方形和等边三角形的性质得出AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，求出∠ADE=∠BCE=75°，再求出∠EDC=∠ECD=15°，即可得出∠CED．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，∴∠ADE=∠BCE=（180°﹣30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°﹣15°﹣15°=150°．故答案为：150°．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练把握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理运确实是解决问题的关键．11．已知，则=．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】存在型．【分析】先依照二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行运算即可．∴，解得x=，∴y=4，∴原式==．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了2cm．【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．【分析】依照勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；依照勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．【点评】此题要紧考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．13．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则那个平行四边形的最小内角为30度．【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．【分析】依照矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案．∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），∴当AE=AB，则符合要求，现在∠B=30°，即那个平行四边形的最小内角为：30度．故答案为：30．【点评】此题要紧考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出AE=AB是解题关键．14．如图，已知图中每个小方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于．【考点】勾股定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】连接AC，AB，依照勾股定理可求得三角形各边的长，从而得到该三角形是等腰三角形，依照等腰三角形三线合一的性质可求得底边AC上的高，再依照面积公式即可求得AB边上的高．【解答】解：连接AC，BC．依照勾股定理求得：AC=2，BC=AB=，∵BC=AB，∴三角形是等腰三角形，∴AC上的高是2，∴该三角形的面积是4，∴AB边上的高是=．【点评】由于发觉该三角形是等腰三角形，其底边上的高易求得，因此依照三角形的面积不变进一步求得腰上的高．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．运算：（1）××（﹣）（2）+3﹣﹣．【考点】二次根式的混合运算．【专题】运算题．【分析】（1）依照二次根式的乘法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣=﹣；（2）原式=2+2﹣﹣=0．【点评】本题考查了二次根式的运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．已知a为实数，求代数式：﹣+的值．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】依照二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的值，代入代数式运算即可．【解答】解：由﹣a2≥0，得，a=0，则﹣+=﹣+=0．【点评】本题考查的是二次根式的化简，把握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数以及二次根式的性质是解题的关键．17．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）【考点】勾股定理的证明．【专题】证明题．【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．【解答】证明：∵，∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴a2+b2=c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；（2）依照平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2∴∠5=∠6∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF；（2）证明：∵∠1=∠2，∴DE∥BF．又∵由（1）知△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∴四边形EBFD是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要依照条件合理、灵活地选择方法．19．一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，依照四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴依照勾股定理得：AC=5，又AD=12，CD=13，∴AD2=122=144，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=36．则S四边形ABCD【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练把握定理及逆定理是解本题的关键．20．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC 的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，A∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始显现错误：第C步；（2）错误的缘故是：等式两边同时除以a2﹣b2；（3）本题正确的结论是：直角三角形或等腰三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】阅读型．【分析】通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判定三角形的形状．【解答】解：（1）C；（2）方程两边同除以（a2﹣b2），因为（a2﹣b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0∵a2﹣b2=0∴a+b=0或a﹣b=0∵a+b≠0∴c2=a2+b2或a﹣b=0∴c2=a2+b2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的确实是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．21．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．（1）求证：BE⊥CF；（2）试判定AF与DE有何数量关系，并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何专门四边形？（直截了当写出答案）【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）平行四边形中邻角互补，且BE、CF分别为一组邻角的平分线，因此BE和CF垂直．（2）在三角形AEB中，因为BE为平分线，AD和BC平行，因此可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，因此AF=DE．（3）当△BOC为等腰直角三角形时，即∠BOC=90°，由题可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线∴∠EBC+∠FCB=90°∴∠BOC=90°故BE⊥CF（2）解：AF=DE理由如下：∵AD∥BC∴∠AEB=∠CBE又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE同理CD=DF又∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∴AE=DF∴AF=DE（3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．【点评】此题要紧考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，难易程度适中．22．若a=1﹣，先化简再求的值．【考点】二次根式的化简求值．【专题】运算题．【分析】依照a=1﹣＜1，先把化成最简二次根式，然后代入a的值即可得出答案．【解答】解：=+．∵a=1﹣＜1，∴原式=+=．把a=1﹣代入得：===（1+）2=3+2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把二次根式化为最简再代入求值．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么专门四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，依照平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，依照菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再依照正方形的判定推出即可．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，要紧考查学生运用定理进行推理的能力．24．台风是一种自然灾难，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范畴内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时依旧热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海靠近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海都市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若都市所受风力达到或超过4级，则称受台风阻碍．试问：（1）该都市是否会受到台风阻碍？请说明理由．（2）若会受到台风阻碍，那么台风阻碍该都市的连续时刻有多长？（3）该都市受到台风阻碍的最大风力为几级？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D点，求出AD的长，比较即可得到答案；（2）依照题意找出点E和点F，依照勾股定理求出EF的长，依照台风的速度求出时刻；（2）依照每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级运算即可．【解答】解：（1）该都市会受到台风阻碍．理由：如图1，过点A作AD⊥BC于D点，则AD即为该都市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD中，因为∠B=30°，AB=240．AD=×240=120（千米）．由题可知，距台风中心在（12﹣4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风阻碍．因为120千米＜200千米，因此该都市将会受到“圣帕”阻碍．（2））依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风阻碍，故在BC上作AE=AF=200；台风中心从点E移动到点F处时，该都市会处在台风阻碍范畴之内．（如图2）DE=160（千米）．因此EF=2×160=320（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．因此台风阻碍该都市320÷20=16（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该都市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．答：该都市受台风阻碍最大风力7.2级．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、灵活运用等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．。