江苏大学高等数学II期末A卷
18-19高数(A-2)期末A卷参考答案(6.04)
课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。
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一、 填空题（3分×5=15分）1.设L 为任意一条逆时针方向的简单闭曲线，则曲线积分d 2d Lx y +=⎰0 ；2. 设∑为柱面221x y +=在01z ≤≤之间的部分，则曲面积分d S ∑=⎰⎰ 2π ；3.已知级数1n n u ∞=∑的部分和为212n n n S -=，则级数1n n u ∞=∑的和s = 1 ； 4.如果幂级数1nn n a x∞=∑与1nn n b x∞=∑的收敛半径分别是2和3，且n n a b ≠，则幂级数()1n nn n ab x ∞=-∑的收敛半径为 2 ；5.微分方程()31y y '''+=是 2 阶微分方程.二、 单项选择题（3分×8=24分）1. 若空间区域Ω由抛物面22y x z +=及平面1z =围成，则Ω的体积不可以．．．表示为（ A ）．（A ）22(1)d d d x y x y z Ω--⎰⎰⎰； （B ）222211111d d d x xx y x y z ----+⎰⎰⎰；（C ）22110d d d rr r z πθ⎰⎰⎰； （D ）221d d d x y zzx y +≤⎰⎰⎰.2.设L 为直线12+=x y 上从点(0,1)到点(1,3)的一段，则对弧长的曲线积分d Lx s =⎰（ B ）．（A ）10d x x ⎰； （B ）105d x x ⎰； （C ）102d x x ⎰； （D ）()3111d 2y y -⎰.3.设L 为曲线ln y x =上从点(1,0)到点(e,1)的一段，则对坐标的曲线积分d Lx y =⎰（ C ）．（A ）e ； （B ）1； （C ）e 1-； （D ）2e 12-.4. 设∑为柱面222x y R +=在01z ≤≤之间的部分的外侧，则下列积分为零的是（A ）d d x y z ∑⎰⎰； （B ）d d y x z ∑⎰⎰； （C ）d d z x y ∑⎰⎰； （D ）d S ∑⎰⎰.5.下列级数收敛的是（ B ）． （A）11n ∞=； （B ）211tan n n ∞=∑； （C ）21115n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； （D ）1ln n n ∞=∑.6.若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-发散，则当2x >时，幂级数1nn n a x∞=∑（ C ）．（A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定.7.若11lim 3n n na a +→∞=，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛区间为（ D ）． （A ）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； （B ）()3,3-； （C ）24,33⎛⎫⎪⎝⎭； （D ）()2,4-.8. 若()1y x 是线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的解，()2y x 是对应的齐次微分方程()0y p x y '+=的解，则（ A ）也是()()y p x y q x '+=的解（C 为任意常数）.（A ）21()()y Cy x y x =+； （B ）12()()y Cy x y x =+； （C ）[]21()()y C y x y x =+； （D ）21()()y Cy x y x =-.三、三重积分解答题（6分× 2=12分）1. 利用直角坐标计算三重积分6d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面1x =，0y =， 1y =，0z =及x z =所围成的区域（如图）. 解：116d d d d d 6d xz x y z x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3分，每个积分上下限1分）1120d 3d x x y =⎰⎰（4分）1203d x x =⎰（5分）1=.（6分）2. 若空间区域Ω是由圆柱面221x y +=与平面0,1z z ==围成，计算三重积分(d d z x y z Ω⎰⎰⎰.解：()211000(d d d d d d z x y z z z πθρρρΩ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4分，每个积分上下限各1分，被积函数1分）221002d d πρθρρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰ （5分）6π=-（6分） 四、曲线和曲面积分解答题（6分× 2=12分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――1. 利用格林公式计算曲线积分22(2)d (2)d Ly xy x x x y y ++++⎰，其中L 是圆周24y x x =-上从点(4,0)A 到点(0,0)O 的一段有向圆弧．解：令:0, (04)OA y x =≤≤（2分）22(2)d (2)d d d 2DL OAy xy x x x y y x y π+++++==⎰⎰⎰ （4分）22(2)d (2)d 0OAy xy x xx y y ++++=⎰ （5分）22(2)d (2)d 2Ly xy x x x y y π++++=⎰. （6分） 注：若直接变为定积分，如下，则给2分:0222242(2)d (2)d 4(12)6d 4Lx y xy x x x y y x x x x x x x ⎡⎤-++++=-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 2.若∑是上半球面221z x y=--上侧，利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ．解一：令221:0, (1)z x y ∑=+≤，取下侧（2分）1d d d d d d 3d d d 2x y z y z x z x y x y z π∑+∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰（4分）1d d d d d d 0x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰（5分）d d d d d d 2x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰（6分）解二：221d d d d d d d d 1Dx y z y z x z x y x y x y∑++=--⎰⎰⎰⎰（3分）21200d d 1r r rπθ=-⎰⎰（5分）2π=（6分）五、无穷级数解答题（6分× 2=12分）1. 讨论级数1(1)1sin n n n n ∞=-∑的收敛性，收敛时，说明是条件收敛，还是绝对收敛. 解：11(1)111sin sin n n n n n n n ∞∞==-=∑∑（本步骤写不写都行）32lim 1n n→∞=， （3分，其中分母找对了2分，极限对了1分） 又因为3121n n∞=∑收敛，（4分）所以11n n ∞=∑收敛，（5分）故1(1)n n n ∞=-∑. （6分） 2. 将1()21f x x =+展开成1x -的幂级数，并指出收敛区间.解：()1111()22132(1)3113f x x x x ===⨯++-+- （2分） ()012133nnn x ∞=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑, （4分） 10(1)2(1)3n n n n n x ∞+=-=-∑ （5分）()21113x --<<，即收敛区间是15(,)22-.（6分）六、常微分方程解答题（6分×3=18分）1. 求微分方程2(1)2x y xy '+=的通解； 解：分离变量得2d 2d 1y xx y x=+， （2分） 两端同时积分得 2ln ln1+ln y x C =+（） （5分，两个原函数各1分，任意常数1分）方程通解为 ()21+y C x = （6分）2.求微分方程xy y '-=(1)1y =的特解；解：y y x '=+（1分） 设y u x =，（2分）则方程变为d d ux x=（3分）分离变量得2d x x=，则ln x C =+ （4分）ln x C =+（5分） (1)1y =，得1C =，方程特解为 ()21+ln y x x = （6分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――3. 已知曲线()y y x =过点(1,2)，且在点(,)x y 处的法线．．斜率为2xy x-，求该曲线方程. 解：12x y y x -='- （1分）， 即12y y x'+= （2分） ()d ()d e ()e d P x xP x x y Q x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （3分，本步骤可省略） 11d d e 2e d xx x x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （4分）()12d x x C x =+⎰ ()21x C x=+ （5分） 带入(1,2)，得1C =，因此1y x x=+. （6分） 七、综合题（7分）已知011,0a a ==，且111(), 1,2,1n n n a na a n n +-=+=+，设()s x 是幂级数nn n a x∞=∑的和函数，其中(1,1)x ∈-，（1）证明(1)()()0x s x xs x '--=；（2）求()s x 的表达式. （1）证：111()(1)n n nn n n s x na xn a x ∞∞-+=='==+∑∑（1分）111100(1)()()(1)(1)nn n n n n n n n x s x xs x n a x n a xa x ∞∞∞++++==='--=+-+-∑∑∑（2分）111111(1)nnn n n n n n n a n a x na x a x ∞∞∞+-====++--∑∑∑[]1111(1)n n n n n a n a na a x ∞+-==++--∑0=（4分）（2）解：d d 1s xx s x =-，ln ln(1)ln s x x C =---+，()1e xC s x =-（5分）， 0(0)1s a ==，（6分）1C =，()1()1exs x x =-（7分）。
07-08高数A2期末考试卷(A)及答案
学院 专业 班级 学 姓名封线内不要答题 密封线内不要答题江 苏 科 技 大 学 07 － 08 学年（2）学期高等数学A2课程试题(A )卷一． 填空题(每小题4分，共20分)1．设),,(22xy e y x f z -=其中f 具有一阶连续偏导数,则____________________=∂∂xz2._____________________222=++⎰ds z y x L,其中3,sin ,cos :===z t y t x L)0(π≤≤t3.微分方程065=-'+''y y y 的通解_____________________=4.幂级数nn n xn n 11)1(21+--∑∞=-的收敛域为___________________________5.⎰=++-Lxxdy x e dx y ye_______________________________)()(33,其中L 是顺时针方向的圆周122=+y x二、单项选择题(每小题4分，共20分)1.曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的法线方程是( ))(A 001122-=-=-z y x )(B 101122--=-=-z y x )(C02112-=-=-z y x )(D102112--=-=-z y x2.),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 处存在是),(y x f 在该点的方向导数存在的( ))(A 充分条件)(B 必要条件 )(C 充要条件 )(D 无关条件3.设{}0,1),(22≥≤+=x y x y x D ,),(y x f 为D 上的连续函数,则dxdyy x f D)(22⎰⎰+为( ))(A rdr r f )(12⎰π⎰1)()(r d r r f B π ⎰1)(2)(r d r r f C π⎰12)(2)(r d r r f D π4.级数)cos1()1(1na n n --∑∞=(常数0>a )( ))(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 收敛性与a 的取值有关5.方程x e y y y x 2sin 52=+'-''的一个特解应具有的形式( )x Ae A x 2cos )()2s i n 2c o s ()(x B x A xe B x +)2sin 2cos ()(x B x A e C x+)2s i n 2c o s ()(2x B x A e x D x +三.解下列各题(3⨯6分=18分)1.计算dxdy x y x D)(22-+⎰⎰ 其中D 是由直线x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域2.判别级数nn n 5sin31π∑∞=的敛散性3．求微分方程sin =-+xx x y dxdy 满足初始条件1==πx y的特解四 .解下列各题(3⨯7分=21分) 1．设)11(11x y f x z -+=求证:222z yz yxz x =∂∂+∂∂2．计算dSy x z )342(⎰⎰∑++,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分3．将积分dzz dy dx y x yx x⎰⎰⎰--+-2222222110化为球面坐标系下的积分并求其值五（本题共8分）计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面222yx R z --=的上侧六.(本题共7分) 将651)(2++=x x x f 展开成1+x 的幂级数七．(本题6分)设)(x f 与)(x g 在()+∞∞-,内可导,0)(≠x g ,且有)()(x g x f =', )()(x f x g =',)()(22x g x f ≠,试证明方程0)()(=x g x f 有且仅有一个实根07-08高等数学A2课程试题（A ）卷参考答案及评分标准一．填空题（每小题4分，共20分） 1．122xy xf yf e ''+ 2．2π3．612x x y c e c e -=+ 4．(1,1)- 5．32π-二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1（C ） 2（D ） 3（A ） 4（C ） 5（B ）三.解下列各题（每小题6分，共18分） 1. 22()Dx y x dxdy +-⎰⎰解:222102()yydy x y x dx =+-⎰⎰3分=1366分2．解：1113sin5limlim3sin5n n n n n nnnu u ππ+++→∞→∞=2分=315< 5分因此原级数收敛 6分 3．解：1sin (),()x P x Q X xx==1分()()()P xdx Px dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 2分=11sin dx x x dx e dx c x x e⎰⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰3分=1(cos )x c x-+ 4分 当,1x y ππ==时,c=-1 5分1(cos 1)y x xπ∴=-+-特解为6分三．解下列各题（每小题7分，共21分） 1.证明：令1111(,,)()F x y z f zx yx=--1分则221111()x F f xy x x ''=--2分22111111()()()y F f f yxyyx y'''=---=-3分21z F z'=-4分22111()x z F zz f x F x y x '⎡⎤∂'∴=-=--⎢⎥'∂⎣⎦ 5分2211()z z f yyyx∂'=-∂ 6分因此222z z x yz x y∂∂+=∂∂ 7分2..解:4423z x y =--42,3z z xy∂∂=-=-∂∂2分原式=44(42)233Dx y x y ⎡--++⎢⎣⎰⎰ 5分 (其中D 是0,0,123x y x y ==+=直线围攻成的区域)=43Ddxdy ⎰⎰= 7分3.解:001z y x ≤≤⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩在球面坐标系下变为在球面坐标系下变为: 00402r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ 4分原式=42240cos sin d d drππθϕϕϕ⎰⎰157分五.(本题8分)解:,,P x Q y R z ===1,1,1P Q R xyZ∂∂∂===∂∂∂ 1分x d y d zy d z d xz d x d yx d y d zy d z'∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ =3dxdydz Ω⎰⎰⎰(其中'∑为平面0z =的下侧,Ω为'∑∑与围成的封闭区域) 4分=314323R π⨯⨯=32R π 5分又xdydz ydzdx zdxdy '∑++⎰⎰=0 7分则xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰=32R π 8分六. (本题7分)21()56f x x x =++111(2)(323x x x x ==-++++=1111(1)2(1)2x x -++++2分而1(1)(1)201(1nnn x x x ∞==-+-<<++∑4分11(1)(1)311222(1)2nnnn x x x ∞=+=--<<++∑6分因此2111()(1)(1)(1)562nnn n f x x x x ∞+===--+++∑20x -<< 7分七.证明:()()()()f x g x g x f x ''==()()f x f x ''∴= 1212()()x xx x f x c e c e g xc ec e--=+=-2分04)()(2122≠=-c c x g x f 则21c c 与都不为零 又210)(c c x g 与∴≠是异号的常数不妨设0021<>c c 和 则-∞=+∞=+∞→+∞→)(lim )(lim x f x f x x()+∞∞-∴,)(在x f 内至少有一个实根 4分又)()(x g x f ='>0 )(x f ∴单调增加 0)(=∴x f 有且仅有一个实根 0)(≠x g 0)()(=∴x g x f 有且仅有一个实根0021><c c 和的情况同理可证. 6分。
试卷高等数学二期期末A卷试题参考解答
二期期末A 卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x ydy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 解 xy dy e dx e= x y dy e dx e =⎰⎰,y xe e C --=+代入初始条件(0)0y = C=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 2.xye e -+=二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中为圆域 22.x y x +≤解cos 2cos 220I d πθπθπθθ-==⎰⎰⎰⎰2cos 20(1)r d πθθ=--⎰⎰cos 22232300022(1)(1sin )33r d d θππθθθ=--=-⎰⎰4.39π=-三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和.解 111nnnn k k k S =====--∑∑∑))1=--=-lim 1n n n S S →∞→∞==-+- 11n =+-=-四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 解 2221sin()cos()()x x x t xt F x dt x t ⋅'=+⎰321sin cos()x x t xt dt x=+⎰3221sin 1cos()()2x x xt d xt x x=+⎰321sin 1sin()2x x xt x x =+331sin sin .22x x x x=- 五. 计算曲线积分22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点解 22,(sin ),P x y Q x y =-=-+于是1,1,Q Py x∂∂=-=-∂∂ 由于,Q Py x∂∂=∂∂故积分和路径无关,于是 22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰322208.33x x dx ===⎰六.求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 解 令11,z y y-==则21,dz dy dx y dx =- 原方程化为 2121,dy x y dx x y -⋅=- 即2.dz z x dx x +=(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为20.dz z dx x += 分离变量,得 2,dz dx z x=- 2,dz dxz x =-⎰⎰2ln 2ln ln ln ,z x C Cx -=-+=即2.z Cx -=下面用常数变易法,令 2().z C x x -=则32()()2,dz C x C x dx x x'=-+ 代入原方程,得 322()()2()2,C x C x C x x x x x x'-++⋅=即2(),C x x x '=3(),C x x '=4().4x C x C =+于是得方程(*)的解为 44221,44x x C z C x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故原方程的解为2414,.x y C z x C==+其中为任意常数 七.求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩解 原方程可化为两个二阶非齐次方程1y y ''+=…① 和x y y e ''+=…②它们对应的齐次方程都是 0,y y ''+= 特征方程为 210,λ+=通解为12cos sin .y C x C x =+ 对方程①，设特解为,y C =代入后的C =1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为,xy Ae =代入方程得 ,x x xAe Ae e +=由此得12.A =于是得原方程的通解为 121cos sin 1.2xy C x C x e =+++由定解条件： 11111(0)1,22y C C ==++⇒=-122201111(0)sin cos ,;222x y C x C x e C C ⎛⎫'==-++=+⇒= ⎪⎝⎭ 故本初值问题的解为1(cos sin ) 1.2xy x x e =-+++ 八.计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧.解 如图，A S ++⋃所围区域为Ω，由高斯定理3A S P Q R xdydz ydzdx zdxdy dV V x y z ++Ω⋃⎛⎫∂∂∂++=++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 4, 4.r h == 22116444333V r h πππ==⋅⋅=因此64.A S xdydz ydzdx zdxdy π++⋃++=⎰⎰又 244464.A A A xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy ππ+++++===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 64640.S A S A I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ππ++++⋃=++=-++=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰九.若函数01(),2nn f x x ∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分()f x dx +∞⎰发散.解 ⑴ 11(),[0,),22n nn u x x x =≤∈+∞+ 2211(),(),[0,),(2)2nn n n u x u x x x ''=-≤∈+∞+ 而级数20011,22n n n n ∞∞==∑∑均收敛，由M 判别法，函数项级数00()()n nn n u x u x ∞∞=='∑∑和 在区间[0,+∞)上一致收敛，于是01()2n n f x x ∞==+∑在区间[0,+∞)上有连续的导数.且201().(2)n n f x x ∞='=-+∑⑵01()2AA nn f x dx dx x∞++==+∑⎰⎰1ln(2)2A Annn n dx x x +∞∞+====++∑∑⎰022ln ln 22n nn A A ∞=⎛⎫++⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,().A →+∞→+∞ 即广义积分()f x dx +∞⎰发散.证毕十.求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 解 令2,u x =原级数为11(1)21n n n u n -∞=--∑. 记 1(1),21n n a n --=-则 1211lim lim 1, 1.21n n n na n l R a n l +→∞→∞-=====+故级数收敛半径为 由于当1x =时,数项级数11(1)21n n n -∞=--∑满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记121(1)(),21n nn f x x n -∞=-=-∑则 12111(1)()(),21n n n f x x g x x n -∞-=-==-∑ 于是2011()()arctan ,1x f x g x dt x x t===+⎰ 121(1)()()arctan .21n nn f x x xg x x x n -∞=-===-∑ 十一.把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.解 令2,t x =-则0002(2)11 1.222n n n nn n n t x x ∞∞∞===--⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 收敛域为{}{}{}212222204.2x x x x x x x x ⎧⎫-<=-<=-<-<=<<⎨⎬⎩⎭十二.验证瑕积分2⎰收敛, 并求其值.解 x =1为瑕点,而2121dx dx dx =+⎰⎰⎰1111111012221022;y x dx dx y dy y dy y =---==-===⎰⎰⎰⎰.1111221221122;y x dx dx y dy y =--====⎰⎰⎰故瑕积分2⎰收敛,且其值为2121dx dx dx =+⎰⎰⎰=4.十三.若02,α<≤讨论瑕积分111sin dx x xα⎰的敛散性. 解 令2111,,,y x dx dy x y y===-则于是112201111sin ()sin sin .y I dx y y dy dy x x y y αααα+∞-+∞⎛⎫==-⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当12,()(2)sin I I ydy αα+∞===⎰都能够发散.当2102,0,,y A yαα-<<由于关于变量单调下降且趋于而对任意正常数积分一致有界:1sin 2.Aydy ≤⎰由Drichlet 判别法,积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰收敛.下面讨论绝对收敛性: 当22sin 121,01,,y y yαααα---><<≤即时当而积分211dy y α+∞-⎰收敛,由比较判别法,广义积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰绝对收敛; 当2222sin sin 1cos 221,12,,y y yy y yααααα-----≤≤<≥=即时 但由于此时广义积分21cos 2ydy y α+∞-⎰收敛,而广义积分211dy yα+∞-⎰发散,于是 广义积分211cos 2ydy y α+∞--⎰发散,即广义积分21sin ()y I dy yαα+∞-=⎰条件收敛. 十四.设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和;(2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.证 ⑴ 因()(1)0,lim ()lim ()2,n n x a f n f n f n f x →+∞→+∞=--≥==且故 1lim lim[()(1)]lim [()(0)]lim() 2.nn n n n n k S f k f k f n f f n →+∞→+∞→+∞→+∞==--=-==∑因此级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,其和为S =2.⑵ 由于()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数1()n f n ∞='∑为正项级数.因 ()0,[0,),f x x ''<∈+∞故()f x ' 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n －1,n ) 内,必有n ξ,使得()(1)()(),n f n f n f f n ξ''--=≥ 由于1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,由正项级数的比较判别法, 级数1()n f n ∞='∑收敛.。
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
《高等数学2》期末考试B卷
重庆三峡学院《高等数学（2)》期末考试B 卷总 分 题号 一 二 三 四 核分人 题分 15 12 58 15 复查人得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1．级数1ln1n nn ∞=+∑是（ ) A ．发散的 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．无法判断2．极限224(,)(0,0)limx y xy x y →=+（ ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．不存在3．三个单位向量a ,b ，c 满足0a b c ++=,则a b b c c a ++=( ） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 4．若n a 与n b 符合( ），则可由1nn a∞=∑发散推出1nn b∞=∑发散。
A ．n n a b ≤B ．n n a b ≤C ．n n a b ≤D ．n n a b ≤ 5．函数223(,)33f x y x y x =+-的极小值点是（ ） A ．(2,0) B ．(0,0) C ．(0,1) D ．(1,0)二、填空题（每题3分,共12分）6．给定两点()1,3,21-M ，()24,1,5M ，与21M M 同向的单位向量为 。
7．12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰交换积分次序后变为 .8．幂级数02nn n x n∞=∑的收敛域是 。
9．sin x 的幂级数展开式为(包括收敛域） （写到前三项即可)。
三、计算题（共7题，共58分）10．已知||3a =，||26b =，||72a b ⨯=,求a 与b 的点积.（７分）11．求过点(2,1,1)P 且与直线⎩⎨⎧=++-=-+-025404632z y x z y x 垂直的平面。
（7分）12．求曲线2223023650x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在(1,1,1)处的切线与法平面方程。
（7分）13．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )ln(22，其中D 为2224e x y e ≤+≤。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
高等数学二(A)期末考试试题.docx
太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。
二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。
)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。
大学高等数学A-2试卷答案
《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。
2002～2003 学年第二学期《高等数学》期末考试试题A卷及答案(216 学时)
0 2002～2003 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题（每小题 4 分，共 12 分）（1）设 S 为: x 2+ y 2+ z 2= 4 ,则 ⎰⎰(x 2 + y 2)d S = 。
S（ 2 ） 设 D= {(x , y ) | x 2 + y 2 ≤ ρ 2 } ， f为 连 续 函 数 ， 则lim1f (x , y )d x d y = 。
ρ →0πρ 2 ⎰⎰（3）周期为 2 的函数 f (x ) ；设它在一个周期[-1,1] 上的表达式为 f (x ) = 级数的和函数为 s (x ) ，则 s (-5) = 。
二、选择题（每小题 4 分，共 12 分）（1） 微分方程 y ' - y = ex+ 1的一个特解应有形式（式中 a , b 为常数）x ，它的傅立叶 A. ae x + bB. axe x + bxC. ae x + bxD. axe x + b♣sin 2(x 2 + y 2) ♠ x 2 + y 2 ≠ 0（2）函数 f (x , y ) = ♦ ♠♥x 2 + y 22 x 2+ y 2在点(0,0) 处= 0A.无定义B.连续C.有极限但不连续D.无极限（3） 设 L 是 y= 1 - x 2(-1 ≤ x ≤ 1) 表示的围线的正向，则⎰ L2x d x + y d y 2x 2 + y 2之值等于 A． 0B. 2π 三、(12 分)计算下列积分:C. - 2πD. 4 ln 2(1) I =⎰⎰ x d x d y ,其中 D = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x 2}。
D(2) I =⎰⎰⎰ xy 2 z 3d x d y d z ,其中∧ 是由曲面 z = xy , y = x , x = 1及 z = 0 围成的闭区域。
∧四、（8 分）求曲面4x 2+ 4z 2-17 y 2+ 2 y -1 = 0 在点 M (2,1,0) 处的切平面方程。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
大学高数期末复习卷 试卷与答案1
第二学期高等数学练习题（二）一、 选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数存在 （B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续 （D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。
2．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的 （ ）(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3．微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是（ ） (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4．曲面1232222=++z y x 上，点)1,2,1(-处的切平面方程是（ ）A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5．下列级数条件收敛的是（ ）（A ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n（B ）211)1(n n n ∑∞=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）n n n 1sin )1(1∑∞=- 6．设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为（ ）（A ）0 （B ）711 （C ）117 （D ）2 。
7．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A. 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。
二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2．交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为 。
高数 大一 下册期末考试复习试卷
高等数学A2 试卷（ A 卷） 适用专业： 全校本科一年级1、过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是（ ） A. 37540x y z -+-= B. 37550x y z -+-= C. 375100x y z -+-= D. 375110x y z -+-=2、直线124x y z x y z -+=-⎧⎨++=⎩与平面2340x y z --+=的位置关系是（ ）A. 相交但不垂直B. 直线在平面内C. 平行D. 垂直 3、函数3226z x y x =+-的极小值点为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0C. ()2,0-D. ()2,04、级数()11112n n n n∞--=-∑ 的收敛性是 ( )A .条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 不能确定 5、二次积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序可以转化为（ ）A. 101(,)xdx f x y dy ⎰⎰B. 011(,)xdx f x y dy -⎰⎰C.11(,)xdx f x y dy ⎰⎰D.11(,)xdx f x y dy -⎰⎰6、设2I zdxdy ∑=⎰⎰，∑是长方体{}(,,)01,02,03x y z x y z Ω=≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧，则I =（ ）A . 0 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）. 1、函数ln z xy y =的全微分dz = .2、函数u xyz =在点()5,1,2处由点()5,1,2到点()9,4,14方向的方向导数为 .3、设2ln z u v =，而u x y =+，32v x y =-，则zy∂=∂ . 4、微分方程x dyy e dx-+=的通解是 . 5、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-的表达式为1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，它的傅里叶（Fourier ）展开式中系数n b = . 6、对弧长的曲线积分()22Lxy ds +=⎰ ，其中L 是圆周cos x a t =，sin y a t = ()02t π≤≤.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）. 1、已知微分方程20y y y '''++=， （1）求出20y y y '''++=的通解； （2）求出满足02x y ==，01x y ='=的特解.2、设z y x z y x 32)32sin(-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂3、求曲线23121y x z x ⎧=-⎨=-⎩在点(1,2,1)处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由三条坐标平面及平面 1x y z ++=所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分()536Lydx y x dy ++-⎰，其中L 为上半圆周22(1)1x y -+=，0y ≥沿逆时针方向.6、已知幂级数21121n n x n -∞=-∑，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面226z x y =--和锥面z =.高等数学A2 试卷（ A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1. ()ln 1ln dz y ydx x y dy =++2. 98133. 22()2()ln(32)32x y x y x y x y ++---4. ()x e x C -+5. 2[1(1)]n n π-- 或4,1,3,5,......0,2,4,6,.....n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6. 32a π三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程20y y y '''++=满足初值条件02x y ==，01x y ='=的特解。
高等数学第二学期高数AⅡ试题A
学院2011-2012学年第2学期2011 级本科班期末考试试卷(A)课程名称： 高等数学A Ⅱ 任课教师： 考试时间： 120 分钟考试性质（学生填写）：正常考试（ ）缓考（ ）补考（ ）重修（ ）一、计算下列微分（本大题共20分，共计4小题，每小题5分）1.设y x e z 2-=，而x y sin =，求dxdz.2.设),(22y x xy f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————学号： 姓名： 班级：3.设04222=-++z z y x ，求x z ∂∂，22xz∂∂.4.求函数)1ln(22y x z ++=当1=x ，1=y 时的全微分.二、计算下列积分（本大题共42分，共计6小题，每小题7分）1.计算⎰⎰-=Dy d e x I σ22，其中D 是以)0,0(,)1,0(,)1,1(为顶点的三角形区域.2.计算⎰⎰+=Dd y x I σ22，其中D 是由x y x 422=+与x 轴围成的上半圆域.3.已知L 为由)0,0(到)2,1(之间的直线段，计算ds y L⎰.4.计算()()⎰-+-Ldy y x dx y y x 1)2cos()2sin(2，其中L 是圆周222R y x =+在第一象限部分以及x 轴、y 轴围成的闭曲线，取逆时针方向.5.计算抛物面∑：)(222y x z +-=在xoy 面上方的部分的面积.∑是球面1222=++z y x 的外侧在0≥x ，0≥y 的部分，计算曲面积分⎰⎰∑zdxdy .三．完成下列各题（本大题共20分，共计4小题，每小题5分）1.求微分方程x e y y -=+'在1)0(=y 时的特解.2.求微分方程0134=+'-''y y y 的通解.3.求空间曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的切平面 和法线方程.4.求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值.四、填空题（将正确答案填在题中横线上。
苏大期末考试的数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是：A. √16B. πC. √-1D. 0.1010010001...2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 3x + 2 = y 的解为：A. y = 7B. y = 6C. y = 5D. y = 43. 函数 f(x) = 2x + 1 在区间 [1, 3] 上的最大值是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列各点中，在直线 y = 2x - 3 上的点是：A. (1, 1)B. (2, 3)C. (3, 5)D. (4, 7)5. 下列各函数中，奇函数是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^2 + 1二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 a + b = 5，a - b = 1，则 a^2 - b^2 = ________.7. 二项式 (x + 2)^5 展开式中 x^3 的系数为 ________.8. 三角形 ABC 中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C = ________°.9. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，其图像的顶点坐标为 ________.10. 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1 = 3，公差 d = 2，则 S10 =________.三、解答题（每题20分，共80分）11. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - y = 1\end{cases}\]12. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导数 f'(x) 并求其单调区间。
13. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1，求 f'(x) = 0 的解，并说明函数在x 轴上的零点情况。
14. 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 2，公比 q = 3，求第 10 项 an 的值。
试卷 第二学期高数期末A
高等数学期末考试试题姓名： 专业： 学号： 成绩：一.（每小题7分，共28分）1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ，其中 f 二阶可微，求 y x zx z ∂∂∂∂∂2,。
2. 设函数k z x y j y x i z y x )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。
3. 设函数)0(,)(sin )(2>=⎰y dx xy x y g y y ，求)(y g ' 。
4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=Ddy dx y x f I ),( 化为累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。
二.（10分）计算曲线积分0()sin ()cos (>---=⎰m dy m y e dx my y e I Lx x 为常数），其中有向曲线L 是圆周)0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经),(a a M 至)0,0(O 的部分。
三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰+++=Sdxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --=平面0=y 所围区域表面的外侧。
四. （每小题7分，共14分）1. 求微分方程： dxdyxy y dx dy x=+ 的通积分。
2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。
五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1.x d xx ⎰15sin ， 2.⎰∞++⋅1321xx dx 。
六. （9分） 求幂级数∑∞=---221)1(2)1(n nn x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。
七. （7分）求函数x x f ln )(= 在2=x 处的泰勒展开式，并求出收敛域。
八. （7分）证明级数∑∞=≤<1)10(,)sin(n pp nnx 在闭区间],[δπδ-上一致收敛，但对任意固定的],[δπδ-∈x ，该级数并不绝对收敛，其中 20πδ<< 。
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江苏大学试题
（2018-2019学年第二学期）A 卷 /B 卷□
课程名称
高等数学A(II)开课学院理学院使用班级2018级理工类考试日期2019年6月20日题号一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核查人签名
得
分
阅卷教师
一、单项选择题(每小题4分,共16分)
1.设等边∆ABC 的边长为1
，,,,BC a CA b AB c === 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=
（）
（A ）21-（B ）23-（C ）21（D ）
2
3
2.函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222
y x y x y x xy
y x f 在点(0,0)处（
）
（A ）极限不存在
（B ）极限存在但不连续（C ）连续（D ）偏导数均不存在
3.由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全
微分dz =（）
（A ）dy dx 2-（B ）dy dx 2+（C ）dy
dx -2（D ）dy
dx +24.已知∑表示球面2222R z y x =++的下半球面下侧，则⎰⎰∑
zdxdy =
（）
（A ）⎰
⎰--R
d R d 0
2220
ρρθπ（B ）⎰
⎰--R
d R d 02220
ρρρθπ（C ）⎰
⎰-R
d R d 0
2220
ρ
ρθπ（D ）⎰
⎰-R
d R d 0
2220
ρ
ρρθπ
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二、填空题(每小题4分,共16分)
1.双曲线⎪⎩⎪
⎨⎧==-0
15422y z x 绕z 轴旋转而成的旋转曲面方程是
.2.已知L 为连接)0,1(A 及)1,0(B 的直线段，则=
+⎰L
ds y x )(.3.交换积分次序：
⎰
⎰
e
x
dy
y x f dx 1
ln 0
),(=
.
4.已知一阶微分方程的通解是)(2y x C y +=，其中C 为任意常数，则此一阶微分方程
是.三、计算下列各题（每题6分,共18分）
1.求直线⎩⎨⎧=-+=--0
9320
653z x y x 在平面0532=+-+z y x 上的投影直线方程.
2.求一阶线性微分方程
x
x
x y dx dy sin =
+的通解.
3.用拉格朗日乘数法计算函数xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值（已知该极大值存在）.
四、计算下列各题（每题6分,共18分）
1.求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x ，23=-z y 平行的直线方程.
2.
设u
x z =，x y u =，其中0,
0>>y x ，求
y
z
x z ∂∂∂∂,.3.求曲面x y z arctan
=上在点)4
,1,1(π
M 处的切平面及法线方程.
五、（8分）求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.
六、（8分）计算⎰+-++-L
dy y x x y dx y x y xy )3sin 21()cos 2(2223，其中L 为抛物线
2
2y
x π=上由)0,0(O 到)1,2
(π
A 的一段曲线弧.
七、(8分)计算
⎰⎰
∑
++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322,其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧（其中0>a ）.
八、(8分)设)(x f 二阶连续可微，1)0()0(='=f f ，且曲线积分
()
⎰
+'+L
x dy xe x f ydx x f )()(与路径无关，求函数)(x f .。