2020 届南师附中高三下 期初检测数学试题含答案

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南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学(含附加题)数学参考答案及评分标准

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学(含附加题)数学参考答案及评分标准

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷(必做题,160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.[]2,4- 2.二 3.6 4.55.()2,0 6.58 7.38.252 9.12 10.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.[)4,+∞ 12.19 13.[]1,11- 14.3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分) 解:(1)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C=2R ,得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C , 代入a cos B +b cos A =c cos Acos C ,得 (sin A cos B +sin B cos A ) cos C =sin C cos A ,…………2分即sin(A +B )cos C =sin C cos A .因为A +B =π-C ,所以sin(A +B )=sin C , 所以sin C cos C =sin C cos A ,…………4分因为C 是ⅠABC 的内角,所以sin C ≠0,所以cos C =cos A .又因为A ,C 是ⅠABC 的内角,所以A =C .…………6分(2)由(1)知,因为A =C ,所以a =c ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2-2a 2.…………8分因为BA →·BC →=1,所以a 2cos B =a 2-2=1,所以a 2=3.…………10分 所以cos B =13.…………12分因为B Ⅰ(0,π),所以sin B =1-cos 2B =223.…………14分16.(本小题满分14分)解:(1)因为AD Ⅰ平面BCC 1B 1,AD ⊂平面ABCD ,平面BCC 1B 1∩平面ABCD =BC , 所以AD ⅠBC .…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1,AD ⊂平面ADD 1A 1, 所以BC Ⅰ平面ADD 1A 1.…………6分(2)由(1)知AD ⅠBC ,因为AD ⅠDB ,所以BC ⅠDB ,…………8分 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中DD 1Ⅰ平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , 所以DD 1ⅠBC ,…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1,DB ⊂平面BDD 1B 1,DD 1∩DB =D , 所以BC Ⅰ平面BDD 1B 1,…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1,所以平面BCC 1B 1Ⅰ平面BDD 1B 1.…………14分 17.(本小题满分14分)解:(1)连接AB ,因为正方形边长为10米,所以10OA OB AB ===,则3AOB π∠=,所以»103AB π=,…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答:广场的面积为501003π+-6分 (2)作OG CD ⊥于G ,OK AD ⊥于K G ,记OAK α∠=, 则2220sin AD DG OK α===,…………8分 由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ,…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号,所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答:4条小路的总长度的最小值为14分 18.(本小题满分14分)解:(1)设椭圆的焦距为2c (c >0). 依题意,c a =12,且a 2c =4,解得a =2,c =1.故b 2=a 2-c 2=3.所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.…………4分(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)4+(y 1-y 2)(y 1+y 2)3=0,14+13·y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=0,所以14+13·k ·(-12)=0,得k =32. …………8分(3)由题意,S 1S 2=32,即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|=32,整理可得|y 1||y 2|=12,…………10分所以→NF =2→FM .代入坐标,可得⎩⎨⎧1-x 2=2(x 1-1)-y 2=2y 1,即⎩⎨⎧x 2=3-2x 1y 2=-2y 1.…………12分又点M ,N 在椭圆C 上,所以⎩⎨⎧x 124+y 123=1 (3-2x 1)24+(-2y 1)23=1,解得⎩⎨⎧x 1=74y =38 5.所以M 的坐标为(74,358).…………16分19.(本小题满分16分)解:(1)f ′(x )=1x -a x 2,则f ′(1)=1-a =2,解得a =-1,则f (x )=ln x -1x +1,此时f (1)=ln1-1+1=0,则切点坐标为(1,0), 代入切线方程,得b =-2, 所以a =-1,b =-2.…………2分(2)g (x )=f (x )+ax =ln x +a x +ax +1,g ′(x )=1x -ax 2+a =ax 2+x -a x 2.Ⅰ当a =0时,g ′(x )=1x >0,则g (x )在区间(0,12)上为增函数,则g (x )在区间(0,12)上无最小值.…………4分Ⅰ当a ≠0时,方程ax 2+x -a =0的判别式Δ=1+4a 2>0, 则方程有两个不相等的实数根,设为x 1,x 2,由韦达定理得x 1x 2=-1,则两根一正一负,不妨设x 1<0<x 2. 设函数m (x )=ax 2+x -a (x >0), (i )若a >0,若x 2Ⅰ(0,12) ,则m (0)=-a <0 ,m (12)=a 4+12-a >0 ,解得0<a <23.此时x Ⅰ(0,x 2)时,m (x )<0,则g (x )递减;x Ⅰ(x 2,12)时,m (x )>0,则g (x )递增,当x =x 2时,g (x )取极小值,即为最小值.若x 2≥12,则x Ⅰ(0,12),m (x )<0,g (x )在(0,12)单调减,无最小值.…………6分(ii )若a <0,此时x Ⅰ(0,x 2)时,m (x )>0,则g (x )递增;x Ⅰ(x 2,+∞)时,m (x )<0,则g (x )递减, 在区间(0,12)上,g (x )不会有最小值.所以a <0不满足条件.综上,当0<a <23时,g (x )在区间(0,12)上有最小值.…………8分(3)当a =0时,由方程f (x )=bx 2,得ln x +1-bx 2=0,记h (x )=ln x +1-bx 2,x >0,则h ′(x )=1x -2bx =-2bx 2+1x.Ⅰ当b ≤0时,h ′(x )>0恒成立,即h (x )在(0,+∞)上为增函数, 则函数h (x )至多只有一个零点,即方程f (x )=bx 2至多只有一个实数根, 所以b ≤0不符合题意.…………10分Ⅰ当b >0时,当x Ⅰ(0,12b)时,h ′(x )>0,所以函数h (x )递增; 当x Ⅰ(12b,+∞)时,h ′(x )<0,所以函数h (x )递减, 则h (x )max =h (12b)=ln 12b +12. 要使方程f (x )=bx 2有两个不相等的实数根,则h (12b)=ln 12b +12>0,解得0<b <e2.…………12分 (i )当0<b <e 2时,h (1e )=-be 2<0.又(1e)2-(12b )2=2b -e 22b e 2<0,则1e<12b, 所以存在唯一的x 1Ⅰ(1e ,12b),使得h (x 1)=0.…………14分 (ii )h (1b )=ln 1b +1-1b =-ln b +1-1b ,记k (b )=-ln b +1-1b ,0<b <e2,因为k ′(b )=-1b +1b 2=1-b b 2,则k (b )在(0,1)上为增函数,在(1,e2)上为减函数,则k (b )max =k (1)=0,则h (1b )≤0.又(1b)2-(12b )2=2-b 2b 2>0,即1b>12b, 所以存在唯一的x 2Ⅰ(12b ,1b],使得h (x 2)=0, 综上,当0<b <e2时,方程f (x )=bx 2有两个不相等的实数根.…………16分20.(本小题满分16分)解:(1)Ⅰ若1λ=,因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-,则()()1111n n n n S a S a +++=+,111a S ==. 又Ⅰ0n a >,0n S >,Ⅰ1111n n n nS a S a +++=+,Ⅰ3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得1112n n S a +++=.Ⅰ Ⅰ当2n ≥时,12n n S a +=.ⅠⅠ-Ⅰ,得12n n a a +=,即()122n na n a +=≥. Ⅰ当1n =时,22a =,1n =时上式也成立,Ⅰ数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,12n n a -=.…………4分Ⅰ因为()1n n b n a =+,Ⅰ()112n n b n -=+⋅.所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-,所以2nn T n =⋅.…………8分(2)令1n =,得21a λ=+.令2n =,得()231a λ=+.要使数列{}n a 是等差数列,必须有2132a a a =+,解得0λ=. 当0λ=时,()111n n n n S a S a ++=+,且211a a ==.…………10分 当2n ≥时,()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-,整理,得2111n n n n n S S S S S +-++=+,1111n n n nS S S S +-+=+,从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得11n n S S ++=,所以11n a +=.…………14分综上所述,()*1Nn a n =∈,所以0λ=时,数列{}n a 是等差数列.…………16分第Ⅰ卷(选做题,40分)21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—2:矩阵与变换解:(1) M 2=⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 =⎣⎡⎦⎤5445 .…………4分 (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ-2 -1-1 λ-2=(λ-1)(λ-3).令f (λ)=0,解得M 的特征值为λ1=1,λ2=3.…………6分 Ⅰ当λ=1时,⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y =⎣⎡⎦⎤xy ,得⎩⎨⎧x +y =0,x +y =0.令x =1,则y =-1,于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1-1.…………8分Ⅰ当λ=3时,⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y =3⎣⎡⎦⎤xy ,得⎩⎨⎧x -y =0,x -y =0.令x =1,则y =1,于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11. 因此,矩阵M 的特征值为1,3,分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1-1,⎣⎡⎦⎤11.…………10分 B .选修4—4:坐标系与参数方程解:分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=,…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1,,…………6分 所以交点Q 的极坐标是)π4,.…………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)解:(1)因为l 过M (2,0),且当l 垂直于x 轴时,AB =4, 所以抛物线经过点(2,2),代入抛物线方程,得4=2p ×2,解得p =1.…………2分 (2)设直线l 方程为:y =k (x -2)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立⎩⎨⎧y 2=2x ,y =k (x -2),消去x ,得ky 2-2y -4k =0,则y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.…………4分因为C 为AB 中点,所以y C =y 1+y 22=1k ,则直线l 1方程为:y =1k.…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直,则l 2方程为:y =-1k(x -2),联立⎩⎨⎧y =1k ,y =-1k (x -2),…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1k ,即P (1,1k),所以,点P 在定直线x =1上.…………10分 23.(本小题满分10分) 解:(1)0111111101=-=+=a a S ;231121111112102=+-=++=a a a S ;011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ;35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S .…………4分(2)由二项式定理得,(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤, 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ,…………8分 所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L高三数学参考答案 第 11 页 共 11 页 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=.…………10分。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷及答案(含附加题)

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数学试题
第 卷(选做题,40 分)
21.【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷 卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修 4—2:矩阵与变换
已知矩阵 M=
2 1
1 2

(1)求 M2;
(2)求矩阵 M 的特征值和特征向量.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设线段
MN
的中点为
D,若直线
OD
的斜率为-1,求 2
k
的值;
(3)记 AFM, BFN 的面积分别为 S1,S2,若SS12=32,求 M 的坐标.
y
x=4
l
M
FB
A
O
x
N (第 18 题)
19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx+ax+1,a R. (1)若函数 f(x)在 x=1 处的切线为 y=2x+b,求 a,b 的值; (2)记 g(x)=f(x)+ax,若函数 g(x)在区间(0,12)上有最小值,求实数 a 的取值范围;
高三数学试卷 第 4 页 共 5 页
(3)若当 a=0 时,关于 x 的方程 f(x)=bx2 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值 范围.
20.(本小题满分 16 分)
设各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = 1 ,且 an Sn+1 − an+1Sn = an+1 − λan
D1
C1
A1 B1
D
C
A B
(第 16 题)
17.(本小题满分 14 分)
如图,圆 O 是一半径为10 米的圆形草坪,为了满足周边市民跳广场舞的需要,现规划 在草坪上建一个广场,广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形,其中 A, B 两点在 O 上, A, B,C, D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求,在 A, B, C, D 四点处安装四 盏照明设备,从圆心 O 点出发,在地下铺设 4 条到 A, B,C, D 四点线路 OA,OB, OC, OD .

2020届江苏省南师附中高三下学期数学第一次模拟考试II卷

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2020届江苏省南师附中高三年级第一次模拟考试数学II(附加题) 2020.03.1921.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答....................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵1A⎡=⎢⎣2⎤⎥⎦,2B⎡=⎢⎣1a⎤⎥⎦,且AB BA=(1)求实数a;(2)求矩阵B的特征值.B.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中,已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,求弦AB 的长.C .[选修4—5:不等式选讲]已知()123,,0,x x x ∈+∞,且满足1231233x x x x x x ++=,证明:1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内........作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P ABCD -中,已知棱AB ,AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2.若DC AB λ=u u u v u u u v (R λ∈),且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15. (1)求λ的值;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++, *n N ∈.记()021k n n k nT k a =-=∑+.(1)求2T 的值;(2)化简n T 的表达式,并证明:对任意的*n N ∈, n T 都能被42n +整除.。

江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2020届高三联考数学调研测试试题(解析版)

江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2020届高三联考数学调研测试试题(解析版)

南师附中、天一、海门、淮阴四校联考2020届期初高三数学调研测试试题第Ⅰ卷(共70分)一、填空题(每题5分,满分70分,将答案填在答题纸上)1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==,且{3}A B ⋂=,则实数a 的值是__________. 【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=, ∴3A ∈, ∴3a =. 答案:32.已知复数12i1iz +=-,其中i 是虚数单位,则z 的实部是__________. 【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+, ∴z 的实部是12-. 答案:12-3.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程,即可得出程序运行后输出S 的值. 【详解】解:模拟程序的运行过程,得:1S =,1i =,满足条件5i …,执行循环112S =+=,3i =, 满足条件5i …,执行循环235S =+=,5i =, 满足条件5i …,执行循环5510S =+=,7i =, 此时不满足条件5i …,退出循环,输出10S =. 故答案为:10.【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解,是基础题.4.如图所示,一面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算,估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________.【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得,后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=, 所以300.515⨯=.故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15. 答案:155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次,则两次看不到的数字都大于2的概率为__________. 【答案】14【解析】由题意得,将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况,其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共4种.由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==. 答案:146.已知tan()34πθ+=,则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________.【答案】2- 【解析】 由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭,解得1tan 2θ=.∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++. 答案:2- 点睛:在三角变换中,要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系,可以切化弦,约分或抵消,以减少函数的种类,从而达到对式子进行化简的目的.对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解,在变形时有时需要添加分母1,再用平方关系求解.7.设数列{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知3159,225,n S S B ==为数列{}nS n的前n 项和,则n B =__________.【答案】22n n+ 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d , 由题意得3115133915105225S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,即113715a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩.∴2(1)22n n n S n n -=+⨯=, ∴nS n n=, ∴2(1)1222n n n n nB n ++=+++==L . 答案:22n n+8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直,则实数m 的值为__________. 【答案】16 【解析】令2204x y m -=,得y x =,故双曲线的渐近线方程为y x =.1()12-=-, 解得16m =. 答案:169.8,则其体积为__________.【解析】设正四棱锥的底面边长为a ,斜高d ,则d =.由题意得14()2282ad ad ⨯===,整理得4212640a a +-=, 解得24a =或216a =-(舍去). ∴2a =.∴21233V =⨯=.10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数,在区间(2,2]-上,其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩,其中a R ∈.若()()55f f -=,则()2f a 的值是________.【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为4的函数,在区间(]2,2-上,其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩,(5)(5)(1)(1)f f f f -=⇒-=,可得()101(2)21a a f a f -+=⇒=⇒==,故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减,则a 的取值范围是__________.【答案】(][),33,-∞-+∞U 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数,由函数()f x 在[]1,1-上单调递减,等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立,根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+,∴()2232f x x ax a =+-'.又函数()f x 在[]1,1-上单调递减,∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立,∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤',即22230{230a a a a +-≥--≥, 解得3a ≤-或3a ≥.∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞. 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围,12.如图,在四边形ABCD 中,1AB CD ==,点,M N 分别是边,AD BC 的中点,延长BA 和CD 交NM的延长线于不同..的两点,P Q ,则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________.【答案】0 【解析】如图,连AC ,取AC 的中点E ,连ME ,NE ,则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线,所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .由PQ uuu v 与MN u u u u r共线, 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v,故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v . 答案:0 点睛:(1)根据题中的AB CD =,添加辅助线是解题的突破口,得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键,然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v,再根据向量的数量积运算求解.(2)也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v .13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点,且2,AB M =为弦AB 的中点,),2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时,始终有CMD ∠为锐角,则实数a 的取值范围为__________.【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得2OM ==,∴点M 在以O 为圆心,半径为2的圆上.设CD 的中点为N ,则1)N a +,且||2CD =. ∵当,A B 在圆O 上运动时,始终有CMD ∠为锐角,∴以O 为圆心,半径为2的圆与以1)N a +为圆心,半径为1的圆外离.3>, 整理得2(1)1a +>, 解得2a <-或0a >.∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞. 答案:()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛:解答本题时,要根据所给出的条件得到点M 的轨迹,然后从点与圆的位置关系出发,得到点M 在以CD 为直径的圆外,从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论,这是解题的关键. 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________.【答案】6 【解析】m n ==,则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++, 以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+,即1,2m n ==时同时成立. 所以所求的最小值为6. 答案:6第Ⅱ卷(共90分)二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且ccosB+bcosC =2acosA . (1)求A ;(2)若a =2,且△ABC的周长. 【答案】(1)3A π=;(2)6.【解析】试题分析:(1)由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=,利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =,∴3A π=;(2)由ABC V4bc =,再利用余弦定理可得2b c ==,从而可得ABC V 的周长.试题解析:(1)∵cos cos 2cos c B b C a A +=,∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=.∴()sin 2sin cos B C A A +=, ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈,∴sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∴3A π=. (2)∵ABC V1sin 24bc A bc ==4bc =. 由2a =,3A π=及2222cos a b c bc A =+-,得2244b c =+-,∴228b c +=.又4bc =,∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图,在三棱锥P ABC -中,90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别,AC BC 中点.(1)求证://DE 平面PAB ; (2)求证:平面PBC ⊥平面PDE . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ,根据线面平行的判定定理可得结论.(2)由题意可得PD AC ⊥,根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ,故PD BC ⊥,再结合DE BC ⊥,可得BC ⊥平面PDE ,从而可得平面PBC ⊥平面PDE .试题解析:(1)因为,D E 分别为,AC BC 中点, 所以//DE AB ,又DE ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以//DE 平面PAB .(2)因为,PA PC D =为AC 中点, 所以PD AC ⊥,又平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ⋂平面ABC AC =,PD ⊂平面PAC , 故PD ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以PD BC ⊥.因为90,//ABC DE AB o∠=, 因此DE BC ⊥.因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE , 所以BC ⊥平面PDE , 又BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE .17.如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米, 80AD =米,以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O (半圆在矩形ABCD 内部)为两个半圆形水上主题乐园, ,,BC CD DA 都建有围墙,游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏,沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口,其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点, //EF AB ,且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部门的平均修建费用为400元/米.(1)若80EF =米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米? (2)试确定点E 的位置,使得修建费用最低. 【答案】(1)8004800200033π--;(2)当1AO E ∠为3π时,修建费用最低.【解析】 试题分析:(1)设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点,则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积.(2)设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,则»»40AE BFθ==,故12080sin EF θ=-,从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-,利用导数求解,可得当3πθ=时,即13AO E π∠=,()fθ有最小值,即修建费用最低.试题解析:(1)如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点,连12,?O E O F ,则20ME =米,1203O M =米.梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米, 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米, 由16AO E π∠=,得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米, 故阴影部分面积为8004800200033π--平方米. (2)设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,则»»40AE BF θ==, 所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-, 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-,所以()()1600012cos f θθ=-', 令()0f θ'=,得3πθ=,当θ变化时,()(),f f θθ'的变化情况如下表:θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时,即13AO E π∠=,()fθ有极小值,也为最小值.故当1AO E ∠为3π时,修建费用最低. 18.已知椭圆C 的方程:22221(0)x y a b a b+=>>,右准线l 方程为4x =,右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点,点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ,求直线AM 的方程.【答案】(1)22:143x y C +=;(2)2y x =+或1142y x =+. 【解析】 试题分析:(1)由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==,由此可得椭圆方程.(2)由题意设AM 的方程为()2y k x =+,与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标,由此可得MN ,AM ,然后由52AM MN=u u u u v u u u u v建立关于k 的方程,解方程可得k ,从而可得直线方程. 试题解析:(1)由题意得24,1a c c ==,24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意得,直线AM 的斜率存在,设AM 的方程为()2y k x =+,由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()2222143k x x ++=, ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=,2p x ≠-Q ,()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=,22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-, 又4N x ,=M N MN x ∴=-==,又M A AM x =-==,52AM MN =Q ,=Q解得1k =或14k =. ∴直线AM 的方程为2y x =+或1142y x =+. 19.已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈(e 是自然对数的底数) (1)若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线,求实数a 的值;(2)若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数,求实数a 的取值范围;(3)设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈,若()H x 在定义域上有极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值),求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1e e -;(2)(,][1,)e e -∞-⋃-+∞;(3)10a e <<或112a e<<. 【解析】【详解】试题分析:(1)设切点,根据导数的几何意义求解.(2)分单调递增合递减两种情况考虑,将问题转化为导函数大(小)于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围.(3)由题意得()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-,令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈,然后对实数a 的取值进行分类讨论,并根据()t x 的符号去掉绝对值,再结合导数得到函数()H x 的单调性,进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围. 试题解析:(1)设切点()00,P x y ,则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+(*) 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+,代入(*)得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-.(2)设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>, 当()h x 单调递增时, 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立, ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立, 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-.当()h x 单调递减时, 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立, ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立, 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞. (3)()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-, 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=,当[]1,x e ∈时,()0t x '≥,()t x 单调递增, ∴()()()1t t x t e ≤≤,即()1a t x a e-≤≤-. 1)当0a -≥,即0a ≤时,()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈,则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增, ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点.2)当10a e -<即1a e>时,()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I )当21a ≥,即12a ≥时,()0H x ''≥, ()H x ∴'在[]1,e 递增, ()()1210H e a '=-≥Q , ()H x ∴在[]1,e 上递增, ()H x ∴在[]1,e 上无极值点.II )当112a e <<时,由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增,又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减,在(]0,x e 上单调递增, ()H x ∴[]1,e 上有一个极小值点.3)当1a e =时,()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得,()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝, ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立, ()H x ∴无极值点.4)当10a e<<时, ()t x Q 在[]1,e 递增, ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =, ∴当[]01,x x ∈时,()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时,()0t x ≥,()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩,()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩,令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--,下面证明()0k x '<,即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<, 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 即证1a e<,所以结论成立,即()0k x '<, ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减,(]0,x e 递增,0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时,()H x 在[]1,e 上有极值点.点睛:(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围; (2)求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程f′(x)=0,再判断f′(x)=0的根是否是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.20.设数列{}n a 的首项为1,前n 项和为n S ,若对任意的*n N ∈,均有n n k S a k +=-(k 是常数且*k N ∈)成立,则称数列{}n a 为“()P k 数列”.(1)若数列{}n a 为“()1P 数列”,求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +数列”?若存在,求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值;若不存在,请说明理由; (3)若数列{}n a 为“()2P 数列”,22a =,设312232222n n na a a a T =++++L ,证明:3n T <.【答案】(1)12n n a -=;(2)不存在;(3)证明见解析.【解析】 试题分析:(1)由题意得11n n S a +=-,故121n n S a ++=-,两式相减可得212n n a a ++=,在此基础上可得数列{}n a 为等比数列,从而可得通项公式.(2)利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +数列”.(3)由数列{}n a 为“()2P 数列”,可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立,于是可得312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ,然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-,故得21,02n n n n a T T -+,故131244n n T T <+,即3n T <,即结论成立. 试题解析:(1)因为数列{}n a 为“()1P 数列”, 则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-, 两式相减得:212n n a a ++=, 又1n =时,121a a =-,所以22a =,故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立,即12n na a +=(常数), 故数列{}n a 为等比数列,其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.(2)假设存在这样的数列{}n a ,则有n n k S a k +=-,故有11n n k S a k +++=- 两式相减得:11n n k n k a a a ++++=-, 故有332n n k n k a a a +++++=-,同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-, 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立. 所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=, 即2n n S S +=,又2222n n k n S a k S +++=--=-, 即22n n S S +-=,两者矛盾,故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +数列”. (3)因为数列{}n a 为“()2P 数列”, 所以22n n S a +=-, 所以132n n S a ++=-, 故有,132n n n a a a +++=-, 又1n =时,132a a =-, 故33a =,满足321a a a =+,所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立,数列的前几项为:1,2,3,5,8.故312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L , 所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++,两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-, 显然21,02nn n n a T T -+, 故131244n n T T <+, 即3n T <. 点睛:(1)本题属于新概念问题,解题时要从所给出的概念出发,得到相应的结论,然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论.(2)对于存在性问题的解法,可利用反证法求解,解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键,通过否定假设可得原结论不成立. 附加题[选做题]在,,,A B C D 四个小题中只能选做2道,每小题10分,请把答案写在答题卡指定区域内. A. 选修4-1:集合证明选讲21.如图,D 为ABC ∆的BC 边上的一点,1O e 经过点,B D ,交AB 于另一点E ,2O e 经过点,C D ,交AC于另一点F ,1O e 与2O e 交于点G . 求证:EAG EFG ∠=∠.【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析:连接GD 交AB 于H ,由,,,B D E G 四点共圆可得EGH B ∠=∠,同理FGH C ∠=∠,进而可证得,,,E G F A 四点共圆,故结论成立.试题解析连接GD 交AB 于H ,由,,,B D E G 四点共圆, 可得EGH B ∠=∠, 同理FGH C ∠=∠,故180BAC EGF BAC B C ∠+∠=∠+∠+∠=o ; 所以,,,E G F A 四点共圆, 故EAG EFG ∠=∠. B. 选修4-2:矩阵与变换22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e u r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求矩阵M ;(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =,求曲线C 的方程.【答案】(1)2130⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)2632x xy +=. 【解析】 试题分析:(1)根据题意得到113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,利用矩阵的运算求得,a b 后可得矩阵M .(2)设曲线C 上的点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到点(),P x y ''',则由2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'得到变换公式23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩,代入可得曲线C 的方程. 试题解析:(1)依题意得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,∴31333a b -=-⎧⎨-=⎩,解得2a b ,=⎧⎨=⎩2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦.(2)设曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2xy =上一点(),P x y ''',则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦', 即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩, 又点(),P x y '''在曲线2xy =上, ∴()()232x y x +=, 整理得2632x xy +=, 曲线C 的方程为2632x xy +=. C. 选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)相交于两点,A B ,求两点,A B 的距离.. 【解析】 试题分析:把参数方程化为普通方程,解方程组可得两曲线的交点坐标,根据两点间的距离公式可得所求. 试题解析:曲线C 的普通方程为22143x y +=,曲线l 的普通方程为332y x =-+,由221 43332x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得112xy=⎧⎨=⎩或11132xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.∴()32,0,1,2A B⎛⎫⎪⎝⎭,∴23131()2AB=+=.即两点,A B的距离为13.D. 选修4-5:不等式选讲24.如图,已知长方体11111,2,1ABCD A B C D AB AA-==,直线BD与平面11AA B B所成角为30,AEo垂直BD于点,E F为11A B的中点.(1)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值;(2)线段11C D上是否存在点P,使得二面角F BD P--的余弦值为35?若存在,确定P点位置;若不存在,说明理由.【答案】(125;(2)存在点P,为11C D中点.【解析】试题分析:由题意可知11AD AA B B⊥平面,故得1130DBA BD AA B B DBA∠∠=o即为直线与面所成的角,即为,由此可得2313AD AE==.(1)结合条件建立空间直角坐标系,由条件可求得平面BDF的一个法向量为()n =r ,根据线面角的求法可得所求角的正弦值为5.(2)根据条件可得22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,由此可得平面BDP的一个法向量为()122n λ=-u r ,再由所给出的条件可求得12λ=,从而存在点P 满足条件,且点P 为11C D 的中点. 试题解析:由题意得11AD AA B B ⊥平面,所以DBA ∠为直线BD 与面11AA B B 所成的角,故30,DBA ∠=o 又2AB =,AD AB tan DBA ∴=⋅∠=. 由1AE BD AE ⊥=,得.(1)以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立平面直角坐标系,则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12AE u u u r ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r,因为(),1,0,1BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u ur ,由()200n BD x y n n BF x z u u u u r r r u u u u u u r r ,可得⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩, 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ,则sin θ=13cos ,5AE n +==u u u r r 所以直线AE 与面BDF(2)令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u r u u u u r,则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以232,,13BPλ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r.设平面BDP的一个法向量为()1,,n x y zu r=由()123201,3,222320x ynx y zλλ⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪-++=⎪⎩u r,可得,由题意可得()()1223cos,55422511n nλλ===⋅+-⋅+-u rr,整理得2428130λλ-+=,解得12λ=或132λ=.又01λ<<,12λ∴=.所以存在点P满足条件,且点P为11C D的中点.点睛:解决与平行、垂直有关的探索性问题的基本策略通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.25.如图,一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D-的顶点A出发,每一步(均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点,设该蚂蚁经过n步回到点A的概率n p.(I )分别写出12,p p 的值;(II )设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ,求3n n p q +的值; (III )求n p .【答案】(I )10,3;(II )1;(III )1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-. 【解析】 试题分析:(1)由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ,故10p =;经过2步从点A 回到点A 的方法有3种,即A-B-A ;A-D-A ;1A A A --,且选择每一种走法的概率都是13,由此可得所求概率.(2)分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论.(3)结合(2)中的结论,分四种情况可得221233n n n p p q --=+,又31n n p q +=,故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,从而可得结论. 试题解析:”(1)121110,3333p p ==⨯⨯=. (2)由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ,则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ,并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点,所以当n 为奇数时0n n p q ==,所以30n n p q +=; 当n 为偶数时,31n n p q +=.(3)同理,由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=,由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类:①由A 经历2n -步到A ,再经2步回到A ,概率为213n p -; ②由A 经历2n -步到C ,再经2步回到A ,概率为229n q -;③由A 经历2n -步到1B ,再经2步回到A ,概率为229n q -; ④由A 经历2n -步到1D ,再经2步回到A ,概率为229n q -;所以221233n n n p p q --=+,又31n n p q +=, 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+, 即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 综上所述,1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩. 点睛:本题难度较大,综合了排列组合和概率的有关知识,解题的关键是根据条件进行分类讨论,另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具.。

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析
(1)当立柱 和立柱 高度相同时,求两立柱的总造价;
(2)求立柱 和立柱 总造价的最小值.
【答案】(1) 万元;(2) 万元.
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元.
(1)过C作 的垂线分别交 , 于 , ,根据题中数据,求出 ,即可得出结果;
(2)过B作 的垂线,垂足为F,过C作 的垂线,垂足为G,设 ,
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知 与 共线反向,令 ,然后由 和 列方程求解即可。
【详解】解:因为平面向量 与 的夹角是 ,
所以设 ,即 ,
因为 ,所以 ,得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故答案为:
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算,属于基础题.
10. 已知 是椭圆 的长轴的两个端点, 是椭圆 上的动点,且 的最大值为 ,则椭圆 的离心率为______.
试题解析:(1)在直三棱柱 中, , ,所以 ,因为 ,所以 ,又 ,所以 ,因为 ,所以 ,因为在平面 中, ,所以四边形 为正方形,因为点 分别为 的中点,所以 ∽ ,所以 ,所以 ,即 ,又因为 ,所以 。
(2)连接 交 于点 ,连接 交 于点 ,连接 ,
在正方形 中利用 及平面几何知识可得 ,在正方形 中利用 ∥ 且 可得 ,所以在 中, ,所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 .
12. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=2,3bsinC-5csinBcosA=0,则△ABC面积的最大值是.
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理 得: 又 即 .
又 ∴ , ,
由余弦定理得 ,
当且仅当 时,等号成立;
所以,

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1.集合A ={0,e x },B ={-1,0,1},若A ∪B =B ,则x =________. 2.复数12iiz +=(i 是虚数单位)的虚部是_______. 3.24log 4log 2+=________.4.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为_______.5.在ABC ∆中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC=__________.6.已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++,0πϕ≤≤.若()f x 是奇函数,则π()6f 的值为____.7.已知3()log f x x =,若a ,b 满足(1)(21)f a f b -=-,且2a b ≠,则+a b 的最小值为_______.8.将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,则黑白两球均不在1号盒子的概率为___.9.若抛物线24x y =的焦点到双曲线C :22221x y a b-=(00)>>a b ,的渐近线距离等于13,则双曲线C 的离心率为____.10.设,m n 为空间两条不同的直线,,αβ为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若,m m αβP P ,则αβP ; ②若,m m P αβ⊥,则αβ⊥; ③若,m m n P P α,则n αP ; ④若,m P ααβ⊥,则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11.设0,0x y >>,向量a =r()1,4x -,b =r(),x y -,若a b r P r,则x y +的最小值为______.12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知CP =u u u v 4CA =u u u v ,23ACB π∠=,则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________.13.已知正数a ,b ,c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0,则ba+c 的最大值为_____________.14.若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立,则实数m 的取值范围是______.二、解答题15.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知底面ABCD 为矩形,且AB =,1BC =,E ,F 分别是AB ,PC 的中点,PA DE ⊥.(1)求证://EF 平面PAD ; (2)求证:平面PAC ⊥平面PDE .16.在三角形ABC 中,已知1tan 2B =,cos C =. (1)求角A 的值; (2)若ABC ∆的面积为310,求边BC 的长. 17.建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池,已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m .(1)求总造价y (单位:元)关于底边一边长x (单位:m )的函数解析式,并指出函数的定义域;(2)如果要求总造价不超过2080元,求x 的取值范围; (3)求总造价y 的最小值.18.在直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:163x y C +=,若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ,且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.(1)求圆O 的方程;(2)已知椭圆C 的上顶点为M ,点N 在圆O 上,直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ,且2MN NQ =u u u u r u u u r,求直线MN 的方程.19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. (1)若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间()1,e 上有零点,求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数,2.71828e ≈⋅⋅⋅)20.已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ,对于给定的正整数k ,记n n n k b a a +=-,n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足:1nn bb +≤,且{}nc 是等差数列,则称数列{}n a 为“()H k ”数列.(1)若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,证明:{}n a 为()H k 数列;(2)若数列{}n a 为()1H 数列,且112115a b c ==-=,,,求数列{}n a 的通项公式; (3)若数列{}n a 为()2H 数列,证明:{}n a 是等差数列 .21.已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦,20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦,且AB BA = (1)求实数a ;(2)求矩阵B 的特征值. 22.在平面直角坐标系中,已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,求弦AB 的长.23.已知()123,,0,x x x ∈+∞,且满足1231233x x x x x x ++=,证明:1223313x x x x x x ++≥. 24.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知棱AB ,AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2.若DC AB λ=u u u v u u u v (R λ∈),且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.(1)求λ的值;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25.已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ,n *∈N .记()021?nn n kk T k a-==+∑.(1)求2T 的值;(2)化简n T 的表达式,并证明:对任意n *∈N 的,n T 都能被42n +整除.参考答案1.0 【解析】 【分析】因为A ∪B =B ,所以A B ⊂,再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =,从而可以求出x 的取值. 【详解】解:集合A ={0,e x },B ={-1,0,1},因为A ∪B =B ,所以A B ⊂,又0x e >,所以1x e =,即0x =. 故答案为:0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合,考查指数函数的值域和实数值的求法,属于基础题. 2.-1 【解析】 【分析】由题意,根据复数的运算,化简得2z i =-,即可得到复数z 的虚部. 【详解】 由题意,复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-,所以复数z 的虚部为1-. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类,其中解答中熟记复数的四则运算,正确化简、运算复数,再利用复数的概念求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 3.52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用,进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数,再进行加减运算即可,较为基础. 4.56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为:56【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5.1 【解析】试题分析:222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点:正余弦定理解三角形 6.-1 【解析】函数为奇函数,则:()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,据此有:,33k k ππϕπϕπ+==-,令1k =可得:23ϕπ=,故:()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.32【解析】 【分析】由3()log f x x =,且()()121f a f b -=-,2a b ≠,所以33log (1)log (21)a b -=--,得(1)(21)1a b --=,所以212a b+=,所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =,且()()121f a f b -=-,2a b ≠,所以33log (1)log (21)a b -=--,即3log (1)(21)0a b --=,所以(1)(21)1a b --=,得212a b+=,所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =,即a =时,等号成立,综上,+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时,要根据式子特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式 8.49【解析】分析: 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法,再求出黑白两球均不在一号盒的放法,利用古典概型概率公式可得到结果.详解:黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个球都有三种放法,故共有339⨯=种放法在,黑白两球均不在一号盒,都有两种放法,共有224⨯=,所以黑白两球均不在一号盒的概率为49,故答案为49. 点睛:本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用,属于中档题.9.3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1),和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ,根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出. 【详解】 抛物线x 2=4y的焦点坐标为(0,1),双曲线C :22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y ba=x , ∴13a c==, ∴e ca==3, 故答案为3. 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质,属于基础题. 10.②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题,得到正确答案. 【详解】对于①,若m ∥α,m ∥β,则α与β可能相交,故①错误;对于②,若m ⊥α,m ∥β,根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β,故②正确;对于③,若m ∥α,m ∥n 则n 可能在α内,故③错误;对于④,若m ⊥α,α∥β,则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β;故④正确; 故答案为:②④. 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理是关键. 11.9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1,再利用基本不等式即可求出最值.【详解】 :因为a r∥b r, 所以4x+(1﹣x )y=0, 又x >0,y >0, 所以1x +4y=1, 故x+y=(1x +4y )(x+y )=5+y x +4xy≥9. 当y x=4x y ,1x +4y =1同时成立,即x=3,y=6时,等号成立. (x+y )min =9. 故答案为9. 【点睛】在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值. 12.6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛:根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解. 13.√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2,表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2,借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2,∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2,=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22,当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.14.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件. 15.(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)取PD 中点G ,连AG ,FG ,根据G ,E ,F 分别是PD ,AB ,PC 的中点,可知道四边形AEFG 为平行四边形,即可说明//EF 平面PAD(2)要证明平面PAC ⊥平面PDE .由题意已知PA DE ⊥,即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中,E 为AB 的中点,AB =,1BC =,即可说明DE AC ⊥,即平面PAC ⊥平面PDE . 【详解】证明:(1)取PD 中点G ,连AG ,FG ,F Q ,G 分别是PC ,PD 的中点//FG CD ∴,且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴,且12AE CD =//AE FG ∴,AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴,又EF ⊄平面PAD ,AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥,PA AC A =IDE ⊥平面PAC ,又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行,面面垂直的证明,其中要证线面平行有两个方向:①利用线面平行的判定定理:,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ;②利用面面平行的性质定理:,l l αβββ//⊂⇒// .要证面面垂直,需利用面面垂直判定定理:在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面.属于基础题. 16.(1)4A π= (2)1BC =【解析】 【分析】(1)由题可知,cos 10C =-,根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ,在ABC ∆中,利用tan tan()A B C =-+,代入求出tan A ,即可得出A ∠;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=,即可求出BC 的长. 【详解】解:(1)在ABC ∆中,1tan 2B =,cos C =.得sin 10C =,故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<,所以4A π=(2)由(1)知45A =︒,设BC a =,利用正弦定理:sin sin AB BCC A=得:5a AB a ==,又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得sin 5B =,所以ABC ∆的面积为:1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =,即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式,求三角形的内角和边长,同时考查学生的计算能力.17.(1)4320()480(0)y x x x=++>;(2)[1,4]x ∈时,总造价不超过2080元;(3)2x =()m ,总造价最小为1760元.【解析】 【分析】(1)求出池底和池壁面积后可得函数解析式; (2)解不等式2080y ≤可得; (3)由函数单调性可得最小值. 【详解】(1)底边一边长x ,另一边长为842x x=, ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++,∴4320()480(0)y x x x=++>;(2)4320()4802080y x x=++≤,解得14x ≤≤;[1,4]x ∈时,总造价不超过2080元;(3)记4()f x x x=+,设1202x x <<≤,则12120,40x x x x -<-<, ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>,即12()()f x f x >,()f x 递减,同理2x ≥时,()f x 递增,所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减,在[2,)+∞上递增, ∴2x =时,min 4320(2)48017602y =⨯++=. ∴2x =()m ,总造价最小为1760元. 【点睛】本题考查函数的应用,解题关键民根据所给模型列出函数解析式,利用函数单调性求出最小值.18.(1)222x y +=(2)y x y x ==+【解析】 【分析】(1)先讨论切线斜率存在时,设圆的切线为y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y ,由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +,代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系,从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径,得圆方程,验证当斜率不存在的直线x =(2)设点()00,Q x y ,由2MN NQ =u u u u r u u u r,得023x N ⎛ ⎝⎭,由,Q N 分别在椭圆和圆上,联立方程组解得00,x y 后可得直线方程. 【详解】(1)设圆的切线为y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=,得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r,所以()()1122,,0x y x y ⋅=,即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上,所以()()12120x x kx b kx b +++=,即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++,化简得2222b k =+,所以圆O的半径R ==,所以圆O 的方程为222x y +=.此时,当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.(2)设点()00,Q x y,点M ,由2MN NQ =u u u u r u u u r,得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题,用设而不求的思想方法.解题时注意体会.19.(1)函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】(1)求导,由导数的结合意义可求得0a =,进而得到函数解析式,再解关于导函数的不等式即可得到单调区间;(2)对a 进行分类讨论,利用导数,结合零点的存在性定理建立不等式即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++,则()()'1212f a =+=,所以0a =,此时()2ln 1f x x x =+,定义域为()0,∞+,()()'2ln 1f x x =+, 令()'0f x >,解得1x e >;令()'0f x <,解得1x e<; 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由(1)知()()()'21ln 1f x ax x =++,1)当0a ≥时,对任意()1,x e ∈,10ax +>,ln 10x +>,则()'0f x >,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增,此时对任意()1,x e ∈,都有()()1102af x f >=+>成立,从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点; 2)当0a <时,令()'0f x =,得1x e =或1a -,其中11e<,①若11a-≤,即1a ≤-,则对任意()1,x e ∈,()'0f x <,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减,由题意得()1102a f =+>,且()222102f aae e e e =+++<,解得()222123e a e +-<<-,其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-,即()222113e e+->-, 所以a 的取值范围是21a -<≤-;②若1e a -≥,即10a e-≤<,则对任意()1,x e ∈,()'0f x >,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增,此时对任意()1,x e ∈,都有()()1102af x f >=+>成立,从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点;③若11e a <-<,即11a e -<<-,则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()'0f x >;所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,都有()()1102af x f >=+>成立; 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,()'0f x <,函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,由题意得 ()222102f aae e e e =+++<,解得()22213e a e+<-, 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭,即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭, 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得,实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义,及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法: ①直接求零点:令()0f x =,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;②零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线,且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;③利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 20.(1)见解析; (2)n a n =; (3)见解析. 【解析】 【分析】(1)采用1n n n a S S -=-可进行求解,要验证1n =是否成立(2)(3)通过题干,将n n n k b a a +=-,n n n k c a a +=+进行联立求解,代换掉n b ,n c ,可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】(1)当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==符合上式, 则21(1)n a n n =-≥,2,422∴=-=--n n b k c n k ,则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤,且{}n c 是公差为4的等差数列,{}∴a a 为()H k 数列.(2)121,1,2==-=Q a b a ,由数列{}n a 为(1)H 数列,则{}n c 是等差数列,且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ,1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列,110,-=∴=Q n a a n ,验证:11+=-=-n n n b a a ,1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=.又由121++=+n n a a n ,1223+++=+n n a a n , 两式相减,得:22n n a a +-=,211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ,n a n ∴=(3)由数列{}a a 为(2)H 数列可知:{}n c 是等差数列,记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d , 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤,1+∴=n n b b ,数列{}n b 为常数列,则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a , {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心,知道首项和公差(公比)是求解的关键,涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解,但一定注意要验证1n =是否成立;对于题设给出新定义数列的情况,我们需抓住求解问题的核心,看要证明什么数列,就将已知条件代换成相应数列,通过通项公式的常规求法,求得该数列即可 21.(1)0a =(2)1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解:()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22.65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程,根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据垂径定理求弦长:圆C 的圆心到直线l 的距离为,【详解】解:直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为,圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为,则圆C 的圆心到直线l 的距离为,所以.考点:参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,垂径定理 23.证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=,由柯西不等式可得证明.【详解】解:因为()123,,0,x x x ∈+∞,1231233x x x x x x ++=, 所以2331121113x x x x x x ++=,又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭, 所以1223313x x x x x x ++≥,当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24.(1)2λ=;(2)5. 【解析】【详解】 (1)依题意,以A 为坐标原点,AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ,因为DC AB λ=u u u r u u u r ,所以(,2,0)C λ,从而(,2,2)PC λ=-u u u r ,则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ,解得10λ=(舍去)或2λ=. (2)易得(2,2,2)PC =-u u u r ,(0,2,2)PD =-u u u r ,设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ,则0n PC ⋅=u u u r r ,0n PD ⋅=u u ur r ,即0x y z +-=,且0y z -=,所以0x =, 不妨取1y z ==,则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ,又易得(1,0,2)PB =-uu r ,故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式;2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25.(1)30;(2)()21221nn n T n C -=+,证明见解析. 【解析】【分析】(1)由二项式定理得21i i n a C +=,利用公式计算2T 的值;(2)由组合数公式化简n T ,把n T 化为42n +的整数倍即可.【详解】由二项式定理,得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ; (1)210221055535+3530T a a a C C C =++=+=;(2)因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+,所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+,()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+,因为21n n C N *-∈,所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题,也考查了整除问题,是难题.。

2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷参考答案

2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷参考答案

答:2 和 4 不相邻的概率为 3 . 5
………………4 页)
2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
(2)的所有可能取值为0,1, 2,
P(
2)
A22 A22 A33 A55
1

5
P(
1)
2 A22 A22 A32 A55
C.[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 a , b , c 为正实数,满足 a b c 3 ,求 1 4 9 的最小值. abc
数学Ⅱ(附加题)第 1页 (共 4 页)
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答.,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)
写在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它
位置作答一律无效。如有作图需要,用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
21.【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题,请.选.定.其.中.两.小.题.,并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答..
…… 3 分
…… 5 分 ……9 分 ……10 分
数学Ⅱ(附加题)第 4页 (共 4 页) 2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
23.解:(1)若 a1 3 ,则1 3≤2 a2 ,故 a2 2 ,则 a3 1 ; 若 a2 3 ,则 2 a2≤3 a3 ,则 a3≥2 ,故 a3 2 ,则 a1 1 ; 若 a3 3 ,则 a1 1, a2 2 或 a1 2, a2 3 所以当 n 3 时,满足条件的数列 T 为 3, 2,1;1,3, 2;1, 2,3; 2,1,3

江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020届高三下学期阶段测试数学试卷含附加题+答案

江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020届高三下学期阶段测试数学试卷含附加题+答案

南师大苏州实验学校高三阶段测试数学试卷 2020.05.19一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分 .请将答案写在答题卡相应位置.) 1.集合A ={1,0},B ={22a +,3},若A U B ={0,1,2,3},则实数a 的值为 . 2.已知复数i z 230+=,复数z 满足003z z z z +=⋅,则复数z = .3.某校有200名师生参加了全程马拉松比赛,他们的成绩的频率分布直方图如图,则用时不超过4h 的师生大约有 名.4.现有4名学生A ,B ,C ,D 申报清华、北大的2020年强基计划招生,每校有两人申报,则“A ,B 两人恰好申报同一所大学”的概率为 .5.上图求3+6+9+…+2019的值的伪代码中,正整数m 的最大值为 .(第3题) (第5题)6.有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是 . 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1≤1a ≤3,3≤13a S +≤6,则21a a 的取值范围是 . 8.已知0ω>,02πϕ<<,函数()2cos()f x x ωϕ=+过点(0),且在(2π,π)上单调递增,则ω的取值范围是 .9.在△ABC 中,若D 在边AB 上,且AD =DB ,F 在线段CD 上,设AB a =u u u r r ,AC b =u u u r r ,AF xa yb =+u u ur r r ,则14x y+的最小值为 .10.已知数列{}n a 为正项的递增等比数列,1582a a +=,2481a a ⋅=,记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n T ,则使不等式20201131>-n T 成立的最大正整数n 的值是 . 11.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线MN 过F 2,且与双曲线右支交于M 、N 两点,若cos ∠F 1MN =cos ∠F 1F 2M ,11FM 1F N2=,则双曲线的离心率等于 . 12.已知a >0,函数2()3f x x x a =+--在[﹣1,1]上的最大值为2,则a = .13.已知点)0,1(M ,点A 在圆422=+y x 上,点B 在圆922=+y x 上,若3=⋅,则MB MA 的最大值是 .14.用max{a ,b }表示a ,b 中的最大值,设函数()f x =max{341x kx -+-,ln x }(x >0)有三个零点,则实数k 的取值范围是 .二.解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答..........,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.15.已知△ABC 中,2AB AC S 7⋅=u u u r u u u r (S 表示△ABC 的面积).(1)若BC =2,求△ABC 外接圆的半径; (2)若B ﹣C =4π,求sinB 的值.16.如图,三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直,AB =AD =12CD ,AB ∥CD ,CP ⊥CD ,M 为PD 的中点. (1)求证:AM ∥平面PBC ;(2)求证:BD ⊥平面PBC .17.如图,一条东西流向的笔直河流.现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处(A在B 的正西侧).监控中心C 在河流北岸,测得∠ABC =45°,∠BAC =75°,AB =.监控过程中,保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120°.A ,B ,C ,D 视为在同一个平面上,记△ADC 的面积为S ,∠DAC =θ. (1)求AC 的长度;(2)试用θ表示S ,并求S 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦(不经过原点),直线(0)y kx k =>经过弦AB 的中点,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为1k . (1)若点Q 的坐标为(1,32),求椭圆C 的方程; (2)求证:1k k 为定值;(3)过P 作x 轴的垂线,垂足为R ,若直线AB 和直线QR 倾斜角互补,且△PQR 的面积为,求椭圆C 的方程.19.已知函数()1xxf x mx e =-+. (1)当m =1时,求()y f x =在[﹣1,1]最小值; (2)若()f x 有两个零点,求m 的取值范围.20.设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和,给出如下两个命题: 命题p :{}n a 是等差数列;命题q :等式1223111111n n n kn b a a a a a a a a ++++++=L 对任意n (N n *∈)恒成立,其中k 、b 是常数.(1)若p 是q 的充分条件,求k ,b 的值;(2)对于(1)中的k 与b ,问p 是否为q 的必要条件,请说明理由;(3)若p 为真命题,对于给定的正整数n (n >1)和正数M ,数列{}n a 满足条件2211n a a ++≤M ,试求n S 的最大值.南师大苏州实验学校高三阶段测试数学试卷(附加题) 2020051921A. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=71,1221βM ,求5M21B. 在平面直角坐标系xOy 中,射线l:y =(x ≥0),曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=;以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=.(1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程;(2)已知射线l 与C 2交于O ,M ,与C 3交于O ,N ,求MN 的值.22.为迎接《全国高中毕业生体能测试》,学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动,并在结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩,并规定X ≥85为考核优秀.为了了解本期训练活动的效果,在参加训练的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图. (1)从参加训练的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; (2)从图中考核成绩满足X ∈[70,79]的学生中任取3人,设Y 表示这3人重成绩满足X 85-≤10的人数,求Y 的分布列和数学期望.3210095421187776321854331061109876523.已知2220122(1)(N )nn n x a a x a x a x n ++=++++∈L .(1)求12212n n a a a a --++-L 的值;(2)求122121111n na a a a --++-L 的值.南师大苏州实验学校高三阶段测试参考答案1、02、i 231-3、504、315、20226、227、]35,0[8、]47,23[ 9、6+42 10、6 11、2 12、3或4513、123+ 14、(3,5)16、略11。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1.集合A ={0,e x },B ={-1,0,1},若A ∪B =B ,则x =________. 【答案】0【解析】因为A ∪B =B ,所以A B ⊂,再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =,从而可以求出x 的取值. 【详解】解:集合A ={0,e x },B ={-1,0,1},因为A ∪B =B ,所以A B ⊂,又0x e >,所以1x e =,即0x =. 故答案为:0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合,考查指数函数的值域和实数值的求法,属于基础题. 2.复数12iiz +=(i 是虚数单位)的虚部是_______. 【答案】-1【解析】由题意,根据复数的运算,化简得2z i =-,即可得到复数z 的虚部. 【详解】 由题意,复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-,所以复数z 的虚部为1-. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类,其中解答中熟记复数的四则运算,正确化简、运算复数,再利用复数的概念求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.24log 4log 2+=________.【答案】52【解析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用,进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数,再进行加减运算即可,较为基础.4.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为_______.【答案】56【解析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为:56【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5.在ABC ∆中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC=__________. 【答案】1【解析】试题分析:222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=【考点】正余弦定理解三角形6.已知函数()sin()3)f x x x ϕϕ=++,0πϕ≤≤.若()f x 是奇函数,则π()6f 的值为____.【答案】-1【解析】函数为奇函数,则:()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭, 据此有:,33k k ππϕπϕπ+==-,令1k =可得:23ϕπ=,故:()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7.已知3()log f x x =,若a ,b 满足(1)(21)f a f b -=-,且2a b ≠,则+a b 的最小值为_______.【答案】32+ 【解析】由3()log f x x =,且()()121f a f b -=-,2a b ≠,所以33log (1)log (21)a b -=--,得(1)(21)1a b --=,所以212a b+=,所以123(3)22b a a b a b +=++≥+【详解】由3()log f x x =,且()()121f a f b -=-,2a b ≠,所以33log (1)log (21)a b -=--,即3log (1)(21)0a b --=,所以(1)(21)1a b --=,得212a b+=,所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭2b aa b=,即a =时,等号成立,综上,+a b 的最小值为32【点睛】在利用基本不等式求最值时,要根据式子特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式8.将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,则黑白两球均不在1号盒子的概率为___. 【答案】49【解析】分析: 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法,再求出黑白两球均不在一号盒的放法,利用古典概型概率公式可得到结果.详解:黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个球都有三种放法,故共有339⨯=种放法在,黑白两球均不在一号盒,都有两种放法,共有224⨯=,所以黑白两球均不在一号盒的概率为49,故答案为49. 点睛:本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用,属于中档题.9.若抛物线24x y =的焦点到双曲线C :22221x y a b-=(00)>>a b ,的渐近线距离等于13,则双曲线C 的离心率为____. 【答案】3【解析】先求出抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1),和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ,根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出. 【详解】抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1),双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y ba=x , ∴13a c ==, ∴e ca==3, 故答案为3. 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质,属于基础题.10.设,m n 为空间两条不同的直线,,αβ为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若,m m αβP P ,则αβP ; ②若,m m P αβ⊥,则αβ⊥; ③若,m m n P P α,则n αP ; ④若,m P ααβ⊥,则m β⊥. 其中的正确命题序号是______. 【答案】②④【解析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题,得到正确答案.【详解】对于①,若m ∥α,m ∥β,则α与β可能相交,故①错误;对于②,若m ⊥α,m ∥β,根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β,故②正确;对于③,若m ∥α,m ∥n 则n 可能在α内,故③错误;对于④,若m ⊥α,α∥β,则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β;故④正确; 故答案为:②④. 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理是关键.11.设0,0x y >>,向量a =r()1,4x -,b =r(),x y -,若a b r P r,则x y +的最小值为______. 【答案】9【解析】先根据向量平行得到1x +4y=1,再利用基本不等式即可求出最值. 【详解】:因为a r ∥b r ,所以4x+(1﹣x )y=0, 又x >0,y >0, 所以1x +4y=1, 故x+y=(1x +4y )(x+y )=5+y x+4x y ≥9. 当y x =4x y,1x +4y =1同时成立,即x=3,y=6时,等号成立.(x+y )min =9. 故答案为9. 【点睛】在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知3CP =u u u v ,4CA =u u u v ,23ACB π∠=,则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________.【答案】6【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛:根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解. 13.已知正数a ,b ,c 满足,则的最大值为_____________.【答案】【解析】利用求根公式得到,表示目标,借助均值不等式求最值. 【详解】 ∵∴,∴,,当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.14.若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立,则实数m 的取值范围是______.【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】若0m>,则当x→+∞时211m xmx->+,所以0m<,从而221114m mm⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或21114m mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m-<<-或112m m≤-∴<-点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.二、解答题15.如图,在四棱锥P ABCD-中,已知底面ABCD为矩形,且2AB=,1BC=,E,F分别是AB,PC的中点,PA DE⊥.(1)求证://EF平面PAD;(2)求证:平面PAC⊥平面PDE.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】(1)取PD中点G,连AG,FG,根据G,E,F分别是PD,AB,PC 的中点,可知道四边形AEFG为平行四边形,即可说明//EF平面PAD(2)要证明平面PAC⊥平面PDE.由题意已知PA DE⊥,即只需证明DE AC⊥,根据矩形ABCD中,E为AB的中点,2AB=1BC=,即可说明DE AC⊥,即平面PAC⊥平面PDE.【详解】证明:(1)取PD 中点G ,连AG ,FG ,F Q ,G 分别是PC ,PD 的中点//FG CD ∴,且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴,且12AE CD =//AE FG ∴,AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴,又EF ⊄平面PAD ,AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD == 又2AB =Q ,1BC =3AC ∴=,133AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥,PA AC A =IDE ⊥平面PAC ,又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行,面面垂直的证明,其中要证线面平行有两个方向:①利用线面平行的判定定理:,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ;②利用面面平行的性质定理:,l l αβββ//⊂⇒// .要证面面垂直,需利用面面垂直判定定理:在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面.属于基础题. 16.在三角形ABC 中,已知1tan 2B =,cos 10C =-. (1)求角A 的值; (2)若ABC ∆的面积为310,求边BC 的长. 【答案】(1)4A π=(2)1BC =【解析】(1)由题可知,cos 10C =-,根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ,在ABC ∆中,利用tan tan()A B C =-+,代入求出tan A ,即可得出A ∠;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=,即可求出BC 的长. 【详解】解:(1)在ABC ∆中,1tan 2B =,cos 10C =-.得sin C =tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<,所以4A π=(2)由(1)知45A =︒,设BC a =,利用正弦定理:sin sin AB BCC A=得:2a AB ⨯==,又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得sin 5B =,所以ABC ∆的面积为:1sin 2S AB BC B =⋅21332551010a a a =⨯⨯⨯==. 所以1a =,即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式,求三角形的内角和边长,同时考查学生的计算能力.17.建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池,已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m .(1)求总造价y (单位:元)关于底边一边长x (单位:m )的函数解析式,并指出函数的定义域;(2)如果要求总造价不超过2080元,求x 的取值范围; (3)求总造价y 的最小值.【答案】(1)4320()480(0)y x x x=++>;(2)[1,4]x ∈时,总造价不超过2080元;(3)2x =()m ,总造价最小为1760元.【解析】(1)求出池底和池壁面积后可得函数解析式; (2)解不等式2080y ≤可得; (3)由函数单调性可得最小值. 【详解】(1)底边一边长x ,另一边长为842x x=, ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x=++, ∴4320()480(0)y x x x=++>;(2)4320()4802080y x x=++≤,解得14x ≤≤;[1,4]x ∈时,总造价不超过2080元;(3)记4()f x x x=+,设1202x x <<≤,则12120,40x x x x -<-<, ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>,即12()()f x f x >,()f x 递减,同理2x ≥时,()f x 递增,所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减,在[2,)+∞上递增, ∴2x =时,min 4320(2)48017602y =⨯++=. ∴2x =()m ,总造价最小为1760元. 【点睛】本题考查函数的应用,解题关键民根据所给模型列出函数解析式,利用函数单调性求出最小值.18.在直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:163x y C +=,若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ,且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.(1)求圆O 的方程;(2)已知椭圆C 的上顶点为M ,点N 在圆O 上,直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ,且2MN NQ =u u u u r u u u r,求直线MN 的方程.【答案】(1)222x y +=(2)663,3y x y x =+=+【解析】(1)先讨论切线斜率存在时,设圆的切线为y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y ,由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +,代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系,从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径,得圆方程,验证当斜率不存在的直线2x = (2)设点()00,Q x y ,由2MN NQ =u u u u r u u u r,得00223,33x y N ⎛+⎝⎭,由,Q N 分别在椭圆和圆上,联立方程组解得00,x y 后可得直线方程. 【详解】(1)设圆的切线为y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=,得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r,所以()()1122,,0x y x y ⋅=,即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上,所以()()12120x x kx b kx b +++=,即()()22121210k x xkb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++,化简得2222b k =+,所以圆O的半径R ==,所以圆O 的方程为222x y +=.此时,当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.(2)设点()00,Q x y,点M ,由2MN NQ =u u u u r u u u r,得0022,33x y N ⎛+ ⎝⎭.代入椭圆和圆得22002201,6322,3x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q ⎛ ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =. 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题,用设而不求的思想方法.解题时注意体会. 19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. (1)若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间()1,e 上有零点,求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数,2.71828e ≈⋅⋅⋅)【答案】(1)函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)()222123e a e+-<<-【解析】(1)求导,由导数的结合意义可求得0a =,进而得到函数解析式,再解关于导函数的不等式即可得到单调区间;(2)对a 进行分类讨论,利用导数,结合零点的存在性定理建立不等式即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++,则()()'1212f a =+=,所以0a =,此时()2ln 1f x x x =+,定义域为()0,∞+,()()'2ln 1f x x =+, 令()'0f x >,解得1x e >;令()'0f x <,解得1x e<; 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由(1)知()()()'21ln 1f x ax x =++,1)当0a ≥时,对任意()1,x e ∈,10ax +>,ln 10x +>,则()'0f x >,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增,此时对任意()1,x e ∈,都有()()1102af x f >=+>成立,从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点; 2)当0a <时,令()'0f x =,得1x e =或1a -,其中11e<,①若11a-≤,即1a ≤-,则对任意()1,x e ∈,()'0f x <,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减,由题意得()1102a f =+>,且()222102f aae e e e =+++<,解得()222123e a e +-<<-,其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-,即()222113e e+->-, 所以a 的取值范围是21a -<≤-;②若1e a -≥,即10a e-≤<,则对任意()1,x e ∈,()'0f x >,所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增,此时对任意()1,x e ∈,都有()()1102af x f >=+>成立,从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点; ③若11e a <-<,即11a e -<<-,则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()'0f x >;所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,都有()()1102af x f >=+>成立;对任意1,x e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()'0f x <,函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,由题意得 ()222102f aae e e e =+++<,解得()22213e a e+<-, 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭,即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭, 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得,实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义,及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法: ①直接求零点:令()0f x =,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;②零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线,且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;③利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.20.已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ,对于给定的正整数k ,记n n n k b a a +=-,n n n kc a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足:1nn bb +≤,且{}nc 是等差数列,则称数列{}n a 为“()H k ”数列.(1)若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,证明:{}n a 为()H k 数列;(2)若数列{}n a 为()1H 数列,且112115a b c ==-=,,,求数列{}n a 的通项公式; (3)若数列{}n a 为()2H 数列,证明:{}n a 是等差数列 . 【答案】(1)见解析; (2)n a n =; (3)见解析.【解析】(1)采用1n n n a S S -=-可进行求解,要验证1n =是否成立(2)(3)通过题干,将n n n k b a a +=-,n n n k c a a +=+进行联立求解,代换掉n b ,n c ,可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】(1)当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==符合上式, 则21(1)n a n n =-≥,2,422∴=-=--n n b k c n k ,则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤,且{}n c 是公差为4的等差数列,{}∴a a 为()H k 数列.(2)121,1,2==-=Q a b a ,由数列{}n a 为(1)H 数列,则{}n c 是等差数列,且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ,1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列,110,-=∴=Q n a a n ,验证:11+=-=-n n n b a a ,1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=. 又由121++=+n n a a n ,1223+++=+n n a a n , 两式相减,得:22n n a a +-=,211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ,n a n ∴=(3)由数列{}a a 为(2)H 数列可知:{}n c 是等差数列,记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d , 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤,1+∴=n n b b ,数列{}n b 为常数列,则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a , {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心,知道首项和公差(公比)是求解的关键,涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解,但一定注意要验证1n =是否成立;对于题设给出新定义数列的情况,我们需抓住求解问题的核心,看要证明什么数列,就将已知条件代换成相应数列,通过通项公式的常规求法,求得该数列即可21.已知矩阵1A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦,20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦,且AB BA = (1)求实数a ;(2)求矩阵B 的特征值. 【答案】(1)0a =(2)1【解析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解:()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=-- 令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22.在平面直角坐标系中,已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,求弦AB 的长.【答案】65AB =【解析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程,根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据垂径定理求弦长:圆C 的圆心到直线l 的距离为,【详解】解:直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为,圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为,则圆C 的圆心到直线l 的距离为,所以.【考点】参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,垂径定理23.已知()123,,0,x x x ∈+∞,且满足1231233x x x x x x ++=,证明:1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析【解析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=,由柯西不等式可得证明.【详解】解:因为()123,,0,x x x ∈+∞,1231233x x x x x x ++=, 所以2331121113x x x x x x ++=,又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭, 所以1223313x x x x x x ++≥,当且仅当1231x x x ===时取等号. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知棱AB ,AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2.若DC AB λ=u u u v u u u v (R λ∈),且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15.(1)求λ的值;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】(1)2λ=;(2)105. 【解析】【详解】(1)依题意,以A 为坐标原点,AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ,因为DC AB λ=u u u r u u u r,所以(,2,0)C λ,从而(,2,2)PC λ=-u u u r ,则由15cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ,解得10λ=(舍去)或2λ=.(2)易得(2,2,2)PC =-u u u r ,(0,2,2)PD =-u u u r ,设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r,则0n PC ⋅=u u u r r ,0n PD ⋅=u u ur r ,即0x y z +-=,且0y z -=,所以0x =,不妨取1y z ==,则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r,又易得(1,0,2)PB =-uu r ,故10cos ,PB n PB n PB n〈〉=-⋅⋅=u u u r u u u r r ru u u r r ,所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式;2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25.已知()21221012211n n n x a a x a x a x ++++=++++L ,n *∈N .记()021?nn n k k T k a -==+∑.(1)求2T 的值;(2)化简n T 的表达式,并证明:对任意n *∈N 的,n T 都能被42n +整除. 【答案】(1)30;(2)()21221nn n T n C -=+,证明见解析.【解析】(1)由二项式定理得21i i n a C +=,利用公式计算2T 的值;(2)由组合数公式化简n T ,把n T 化为42n +的整数倍即可. 【详解】由二项式定理,得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ;(1)210221055535+3530T a a a C C C =++=+=;(2)因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n knn C +=+, 所以()()()121210212121nnnn k n kn n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn nn nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+,()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+,因为21n n C N *-∈,所以n T 能被42n +整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题,也考查了整除问题,是难题.。

2020届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题

2020届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题(含附加题)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知{}231,x A x x R +=≥∈,211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭,则A B =I ______.2.复数(1)z i i =+(i 是虚数单位)在复平面内所对应点在第__________象限.3.某班有男生30人,女生20人,现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会,则抽到的女生人数为_________.4. 按按按按按按按按按按按按按按3按按按按按按__________按5.抛物线y 2=8x 的焦点坐标是6.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从1,2两个数中任取的一个数,则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是______.7.已知某圆锥底面圆的半径1r =,侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为______. 8.已知等差数列{a n }中,a 3﹣2a 4=﹣1,a 3=0,则{a n }的前10项和是_____.9.已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩,则2(5log 6)f +的值为________. 10.在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4,设圆C 的半径为1,圆心在l 上,若圆C 上存在点M ,使|MA |=2|MO |,则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________.的11.已知不等式2121xx ->-的解集为A ,()22100x x m m ++-≤>的解集为B ,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,那么实数m 的取值范围是________. 12.已知0a >,0b >,且31126a b a b ++≤+,则3ab a b+的最大值为______. 13.如图,已知AB AC ⊥,3AB =,AC =A 是以A 为圆心半径为1圆,圆B 是以B 为圆心的圆.设点P ,Q 分别为圆A ,圆B 上的动点,且12AP BQ =u u u r u u u r ,则CP CQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.14.已知1x ,2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-,m R ∈的两个极值点,若12x x <,则()12f x x 的取值范围为______.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.已知,,a b c 分别是ABC ∆三个角,,A B C 所对的边,且满足cos cos cos cos c Aa Bb A C+=.(1)求证:A C =;(2)若2b =,1BA BC ⋅=uu r uu u r,求sin B 的值.16.如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD //平面BCC 1B 1,AD ⊥DB .求证:(1)BC //平面ADD 1A 1; (2)平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.的17.如图,圆O 是一半径为10米的圆形草坪,为了满足周边市民跳广场舞的需要,现规划在草坪上建一个广场,广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形,其中A ,B 两点在⊙O 上,A ,B ,C ,D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求,在A ,B ,C ,D 四点处安装四盏照明设备,从圆心O 点出发,在地下铺设4条到A ,B ,C ,D 四点线路OA ,OB ,OC ,OD .(1)若正方形边长为10米,求广场的面积;(2)求铺设的4条线路OA ,OB ,OC ,OD 总长度的最小值.18.如图,已知椭圆C :2222x y a b+=1(a >b >0)离心率为12,右准线方程为x =4,A ,B 分别是椭圆C的左,右顶点,过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点(其中,M 在x 轴上方).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设线段MN 的中点为D ,若直线OD 的斜率为12-,求k 的值; (3)记△AFM ,△BFN 的面积分别为S 1,S 2,若1232S S =,求M 的坐标. 19.已知函数()1af x lnx x=++,a ∈R . (1)若函数f (x )在x =1处的切线为y =2x +b ,求a ,b 的值; (2)记g (x )=f (x )+ax ,若函数g (x )在区间(0,12)上有最小值,求实数a 的取值范围; (3)当a =0时,关于x 的方程f (x )=bx 2有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.20.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,且a n S n +1﹣a n +1S n =a n +1﹣λa n ,对一切n ∈N *都成立.的(1)当λ=1时; ①求数列{a n }的通项公式;②若b n =(n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项的和T n ;(2)是否存在实数λ,使数列{a n }是等差数列如果存在,求出λ值;若不存在,说明理由.21.已知矩阵M =2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1) 求M 2;(2) 求矩阵M 的特征值和特征向量.22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q 的极坐标.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2=2px (p >0)及点M (2,0),动直线l 过点M 交抛物线于A ,B 两点,当l 垂直于x 轴时,AB =4.(1)求p 的值;(2)若l 与x 轴不垂直,设线段AB 中点C ,直线l 1经过点C 且垂直于y 轴,直线l 2经过点M 且垂直于直线l ,记l 1,l 2相交于点P ,求证:点P 在定直线上.24.对于给定正整数n ,设2012(1)nnn x a a x a x a x L -=++++,记01nn kk S a ==∑.(1)计算1234S S S S ,,,的值; (2)求n S .的。

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A.选修 4—2:矩
(1)求 M2;
(2)求矩阵 M 的特征值和特征向量.
B.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系 (, ) (0≤ 2π) 中,求曲线 2sin 与 cos 1 的交点 Q 的极坐标.
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20.(本小题满分 16 分)
设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 1 ,且 an Sn1 an1Sn an1 an 对一切 n N* 都成立.
(1)当 =1 时,
①求数列 an 的通项公式;
②若 bn (n 1)an , 求数列 bn的前 n 项的和 Tn;
11.已知不等式
2x 2x 1
1
的解集为
A,不等式
x2
2x
1
m
0
m
0
的解集为
B,若“
x
A
”是“
x
B

的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是__________.
12.已知
a
0

b
0
,且
a
12b
6
3 a
1 b
,则
a
ab 3b
的最大值为__________.
13.如图,已知 AB AC , AB 3 , AC 3 ,圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆,圆 B 是以 B 为圆心的圆.设
2.复数 z i(1 i) ( i 是虚数单位)在复平面内所对应点的在第__________象限.
3.某班有男生 30 人,女生 20 人,现采用分层抽样的方法在班上抽取 15 人参加座谈会,则抽到的女生人数为________. 4.按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是__________.
D1
C1
A1 B1
D
C
A B
(第 16 题)
17.(本小题满分 14 分)
如图,圆 O 是一半径为10 米的圆形草坪,为了满足周边市民跳广场舞的需要,现规划在草坪上建一个广场, 广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形,其中 A, B 两点在 O 上,A, B,C, D 恰是一个正方形的四个顶点.根 据规划要求,在 A, B, C, D 四点处安装四盏照明设备,从圆心 O 点出发,在地下铺设 4 条到 A, B,C, D 四点线路 OA,OB,OC,OD .
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设线段 MN 的中点为 D,若直线 OD 的斜率为-1,求 k 的值; 2
(3)记△AFM,△BFN 的面积分别为 S1,S2,若S1=3,求 M 的坐标. S2 2
A
y l M
FB O
x=4 x
N (第 18 题)
第4页
19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx+a+1,a∈R. x (1)若函数 f(x)在 x=1 处的切线为 y=2x+b,求 a,b 的值; (2)记 g(x)=f(x)+ax,若函数 g(x)在区间(0,1)上有最小值,求实数 a 的取值范围; 2 (3)若当 a=0 时,关于 x 的方程 f(x)=bx2 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围.
南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题
第Ⅰ卷(必做题,160 分)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知 A
x 3x2 1, x R
,B
x
2x 1 x3
1,
x
R
,则
A B
__________.
8.已知等差数列{an} 中, a3 2a4 1 , a3 0 ,则{an} 的前 10 项和是__________.
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9.已知函数
f
(x)
2x, x 4 f (x 1),
x
,则
4
f
(5
log2
6)
的值为__________.
10.已知点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,且圆心 C 在直线 l 上.若圆 C 上存在点 M,使得|MA| =2|MO|,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__________.
(第 4 题)
5.抛物线 y2 8x 的焦点坐标为__________.
(第 13 题)
6.若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 1,2 两个数中任取的一个数,则关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 有实根的概率是__________.
7.已知某圆锥底面圆的半径 r 1 ,侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为__________.
(2)是否存在实数 ,使数列 an 是等差数列.如果存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
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南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题
第Ⅱ卷(选做题,40 分)
21.【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(1)若正方形边长为10 米,求广场的面积; (2)求铺设的 4 条线路 OA,OB,OC,OD 总长度的最小值.
(第 17 题)
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18.(本小题满分 16 分)
如图,已知椭圆 C:x2+y2=1(a>b>0)的离心率为1,右准线方程为 x=4,A,B 分别是椭圆 C 的左,右顶
a2 b2
2
点,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点(其中,M 在 x 轴上方).
15.(本小题满分 14 分)
已知 a,b,c 分别是△ABC 三个角 A,B,C 所对的边,且满足 acos B+bcos A=c cos A. cos C
(1)求证:A=C;(2)若 b=2,→ BA ·→ BC =1,求 sin B 的值.
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16.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥平面 BCC1B1,AD⊥DB.求证: (1)BC∥平面 ADD1A1;(2)平面 BCC1B1⊥平面 BDD1B1.

P

Q
分别为圆
A
,圆
B
上的动点,且
AP
1
BQ
,则
CP
CQ
的取值范围是__________.
2
14.若 x1 ,x2 是函数
f
x
x2 m ln x 2x ,m R 的两个极值点,且 x1 x2 ,则
f
x1 的取值范围为__________.
x2
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题 纸的指定区域内)
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