第5章 框架—剪力墙结构的内力和位移计算

将剪力和弯矩向墙肢截面形心轴取矩，就形成约束弯矩 将剪力和弯矩向墙肢截面形心轴取矩，就形成约束弯矩Mi。 将约束弯矩及连梁轴力连续化后，可以得到基本计算体系。 将约束弯矩及连梁轴力连续化后，可以得到基本计算体系。 与铰结体系相比：框架部分完全相同，但剪力墙部分增加了约束弯矩。 与铰结体系相比：框架部分完全相同，但剪力墙部分增加了约束弯矩。
变形特点： 剪力墙变形以弯曲型变形为主；框架变形以剪切型变形为主。
第 5章 框架—剪力墙结构的内力和位移计算 框架—
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受 力 特 点
剪力墙单元刚度比框架大得多，协同工作时，剪力墙担负大部分水平荷载。 两者之间相互作用力：剪力墙下部变形增大，框架减小，故下部为拉力。 上部正好相反，剪力墙变形减小，框架增大，故上部为推力。框架上部和下部 所受剪力趋于均匀化。
CF
∑h C = ∑h
j j
Fj
EI w
∑E I = ∑h
j wj j
hj
CFj——框架沿竖向各段的抗剪刚度； EjIWj——剪力墙沿竖向各段的抗弯刚度； hj——各段相应的高度。
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当框架很高时，需要考虑柱轴向变形对CF（框架抗推刚度）的影响，以减小该 方法的误差。H≥50m 或 H≥4B 时，需要修正抗推刚度
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一、刚结连杆杆端约束弯矩
形成刚结连杆的联系梁有两种：
墙肢与框架之间
墙肢与墙肢之间
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剪力墙与框架间的连梁
剪力墙之间的连梁
联系梁均可以简化成带刚域的梁，刚域长度取为墙肢形心轴到连梁边距离减去 1/4连梁的高度。
另一端约束弯矩系数 m12=0 也可以很容易地写出，但是在刚结连杆计算中不用， 故此处省去。
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•注意：实际工程中，上述方法计算出来的联系梁弯矩往往过大，配筋过多，可以 对梁弯矩进行塑性调幅。 •方法是降低联系梁刚度，即用 βhEI 代替EI， βh 不小于0.55。 •这即意味着联系梁刚度大，弯矩反而大，不利于其承载。 •为了保证联系梁的强度，我们应该减小连梁的尺寸，而不应该加大其尺寸。 •将约束弯矩连续化，则第i个梁端单位高度上约束弯矩为：
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第5章 框架-剪力墙结构的内力和位移计算
• 框剪结构协同工作原理及计算方法
• 两种计算图形 • 铰结体系协同工作计算 • 刚结体系协同工作计算 • 刚度特征值λ对框剪结构受力、位移特性的影响 • 内力计算
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框剪结构协同工作原理及计算方法
框架-剪力墙结构由框架 以及剪力墙两类抗侧力 单元共同来抵抗水平力 和竖向力。
第 5章 框架—剪力墙结构的内力和位移计算 框架— 框 架：层间变形上小下大
剪力墙：层间变形上大下小
框架——剪力墙结构的层间变形在下 部小于纯框架，在上部小于纯剪力墙 ，共同作用曲线上、下层层间变形更 加均匀。
采用连续化方法，连杆切开后，将各层连杆中的未知力PFi化为未知函数PF(x)。
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切开后的总剪力墙为静定结构，按照下图中正符号规则，悬臂墙的弯曲变形与内力有如下关系：
d3y Vw = − EI w 3 dx 4 d y ① pw = p ( x) − pF = EI w 4 dx dy 对框架而言：θ=dy/dx，故 VF = C Fθ = C F
dVF d y = − pF = CF 2 ② dx dx d 4 y C F d 2 y p( x) 代入①式得： − = dx 4 EI w dx 2 EIW
求导一次： 这是关于y的微分方程。 令 有
2
d2y M w = EI w 2 dx
符号规则
dx
λ = H C F EIW
ξ = x/H
③
2 d4y H4 2 d y −λ = p (ξ ) 4 2 dξ dξ EIW
（2）当 ξ ＝0 （底部），底部为固接，转角近似为0，即 在确定的荷载形式下，顺序解出上述四个边界条件，可以求出四个待定常数。 用此方法可以分别求出在三种荷载下的变形曲线 y(ξ) 对总剪力墙： 对总框架：
d2y M w = EI w 2 dx
VF = C F
dy dx
d3y Vw = − EI w 3 dx
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联系梁均可以简化成带刚域的梁，刚域长度取为墙肢形心轴到连梁边距离减去1/4 连梁的高度。 1、墙肢与墙肢之间
当两端有转角1，根据已得到的带刚域杆的杆端弯矩系数：
(1 + a − b) 6 EI m12 = (1 + β )(1 − a − b) 3 l
通过楼板 铰接体系
通过联系梁 刚接体系
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通过楼板
框架和剪力墙之间只通过楼板联系，可简化为铰结体系。 总剪力墙：2片组成；总框架：5片框架组成
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通过联系梁
1
2
3
4
横向：总剪力墙：4片墙组成；总框架：5片框架组成； 总连杆：联系梁简化为连杆，连杆与剪力墙相连端为刚结，与框架相连端为铰结。 包括4个刚结端。
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通过联系梁
1
2
3
4
当联系梁刚度较小时，也可 以忽略其对墙肢的约束作用， 把连杆处理为铰结。
5 6 7 8
纵向：⑨、⑩轴又有剪力墙又有柱。一端与墙相连，一端与柱相连的梁也称为联系梁， 该梁对墙、柱都会产生约束作用，对柱约束反映在D值中，故同②、⑥轴，连杆与剪 力墙为刚结，与框架为铰结。 总剪力墙：4片墙组成； 总框架：2框架＋6根柱子组成； 总连杆：包括8个刚结端
= ∑ EI eq
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框架抗推刚度的定义：产生单位层间变形角所需的推力。 框架抗推刚度的定义：产生单位层间变形角所需的推力。
根据柱D的定义，CF可由 柱D值计算。
C F = h∑ D j
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假定：1、总框架各层抗推刚度相等，均为CF； 2、总剪力墙各层抗弯刚度相等，为 EIW。 注意：实际工程中各层抗推刚度和抗弯刚度不可能相同，如果各层变化不大，本方 法适用，相差过大，用加权平均方法可以得到平均的CF 以及EIW 值。
Vw = P(chλξ −
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三、计算图表
y，Mw，Vw中自变量为λ和ξ。为使用方便，分别将三种水平荷载下的位移，弯矩以及剪力画成曲线， 示于图表5-1～图表5-9中。 求出系数后；用下列公 式求出位移和内力：
{
y (ξ ) y= fH fH M (ξ ) MW = W M 0 M0 V (ξ ) VW = W V0 V0
−
shλ λshλξ λ 1 ) − ( − )λchλξ − 1] λ chλ 2 λ
qH 2 1 + λshλ M w = 2 [( )chλξ − λshλξ − 1] λ chλ qH 1 + λshλ Vw = [λshλ − ( ) shλξ ] λ chλ PH 3 shλ 1 1 y= [ 3 (chλξ − 1) − 3 shλξ + 2 ξ ] EI w λ chλ λ λ M w = PH ( shλ 1 chλξ − shλξ ) λchλ λ shλ shλξ ) chλ
计 算 方 法
上述两种方法都基于平面结构及楼板在平面内无限刚度的假定，均是将纵向和横向 水平荷载分别进行计算。
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两种计算图形
楼板的作用是保证各片平面 结构具有相同的水平位移， 本节主要目的是确定如何归并总剪力墙，总框架，以及如何确定剪力墙与总框架之 但是假定平面外刚度为0，其 间的联系和相互作用方式。 对各个平面结构不产生弯矩， 联系梁可以简化成铰结连杆。 框架和剪力墙之间通过由联 系梁连接，联系梁对墙会产 剪力墙和框架间联系有两类 生约束弯矩。
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手算近似方法将所有剪力将合并为总剪力墙， 所有框架合并成总框架，协同工作计算主要解 决荷载在总剪力墙与总框架间的分配。得到各 自的总内力，并计算侧移。每片剪力墙内力， 1、杆件单元矩阵位移法：剪力墙简化成带刚域平面框架。该方法考虑杆件轴、剪、 按各片墙等效刚度进行再分配，各个柱子水平 弯的影响，同行考虑扭转，计算结果较精确。这是目前大部分结构通用计算程序 剪力将按每个柱子D值进行再分配。 所采用的方法，它建立在平面结构假定的基础上，这种程序称为空间协同工作计 算程序。 2、手算法：利用图表，较适用于比较规则结构中，可以得到满意的结果。这种方 法不考虑柱轴向变形影响，在高度较大的高层建筑中计算有误差。
qH 2
Mw =
λ2
qH
[(1 +
λshλ
2
−
shλ chλξ λ 1 ) − ( − ) shλξ − ξ ] λ chλ 2 λ
Vw =
2 qH 2 1 + λshλ ξ y= [( )(chλξ − 1) − λshλξ + λ2ξ (1 − )] C F λ2 chλ 2
λ2
[(1 +
λshλ
d3y dy − EIW 3 + CF =0 即 dx dx x =H d3y dy − EIW 3 + CF =P dx dx x = H
VW+VF=P
dy =0 dx x =0 d2y （3）当 ξ ＝1 （顶部），剪力墙弯矩为0，即 =0 EI w 2 dx x =H y x =0 = 0 （4）当 ξ ＝0 （底部），底部为固接，位移为0，即
其中 λ——结构刚度特征值，为框架抗推刚度与剪力墙抗弯刚度的比值； ξ——相对坐标，原点为固定端处，应注意与双肢剪力墙推导时不同。
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③式的解为 C1、C2、A、B为四个待定常数，可以由边界条件确定。 （1）当 ξ ＝1 (顶部)， 在倒三角以及均布水平荷载下，总剪力为0， VW+VF=0 顶部集中水平力P下 即
VF = VP (ξ ) − VW (ξ )
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刚结体系协同工作计算
刚结体系与铰结体系之间的主要区别： 2、连杆切开后，连杆中除轴向力外，还有剪力和弯矩。
{
1、总剪力墙和总框架间的连杆对墙肢有约束弯矩作用。
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或者wenku.baidu.com
VF=VP－VW
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倒三角分布荷载下：
均布荷载作用下：
顶点集中荷载作用下：
{ { {
qH 2 λshλ shλ chλξ − 1 1 1 shλξ ξ 3 y= [(1 + − ) 2 + ( − 2 )(ξ − )− ] CF 2 2 λ 6 λ λ chλ λ
∆M C F 0= CF ∆M + ∆N
∆M——仅仅考虑梁、柱弯曲变形时候框架的顶点位移。 ∆N——仅仅考虑梁、柱轴向变形时候框架的顶点位移。 ∆M、 ∆N可以用简化方法计算。 计算时可以用任意给定荷载，但是需要用相同的荷载算∆M 以及∆N。
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二、计算公式
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所有剪力墙
所有楼板连梁
总剪力墙 总连杆 总框架
刚性连杆包括所有与墙肢 相连的联系梁刚结端
杆 端 约 束 情 形
铰接体系 刚接体系
所有框架
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铰结体系协同工作计算
一、总剪力墙以及总框架刚度计算
总剪力墙：抗弯刚度为每片剪力墙抗弯刚度之和： EI w 其中：k——剪力墙片数； EIeq ——每片墙的等效抗弯刚度，按第4章方法进行计算。 总 框 架：为所有梁、柱单元总和，其刚度为所有柱抗推刚度的总和。 总 连 杆：为所有楼板、联系梁单元总和。
12µEI β= GAl ′2
(1 − a + b) 6 EI m21 = (1 + β )(1 − a − b) 3 l
如果不考虑剪切变形， 可以令β＝0
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2、墙肢与框架之间
如果不考虑剪切 变形，可以令β＝ 0
上面公式中令 b=0，可得：
(1 + a ) 6 EI m12 = (1 + β )(1 − a ) 3 l