2018年考研数学二试题及答案解析

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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2

1

2

lim()

1x

x x e ax bx →++=,则（ ）

()A 1

,12

a b ==- ()B 1,12a b =-=-

()C 1,12a b == ()D 1

,12

a b =-=

【答案】B

（2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）

()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x x

C f x x

D f x x

==

==

【答案】D

（3）设函数10()10x f x x -<⎧=⎨≥⎩，21

()100ax x g x x

x x b x -≤-⎧⎪

=-<<⎨⎪-≥⎩

,若()()f x g x +在R 上连续,则（ ） ()A 3,1a b == ()B 3,2a b == ()C 3,1a b =-= ()D 3,2a b =-=

【答案】D

（4）设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且

1

()0f x dx =⎰

,则

（A ）当()0f x '<时, 1()02f < （B ）当()0f x ''<时, 1()02f < （C ）当()0f x '>时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1

()02

f <

【答案】D

（5）设22

22(1)1x M dx x π

π-+=+⎰,22

2

21x x N dx e ππ-+=⎰,22

(1cos )K x dx π

π-

=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>

【答案】C

2 2

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（6）

2

2

21

21

(1)(1)x x x

x

dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰

⎰

⎰⎰

（A ）

53

（B ）

56

（C ）

73

（D ）

76

【答案】C

（7）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

【答案】A

（8）设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则

（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）

()()T T r A B r A B =

【答案】A

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞

+-=_______

(10) 曲线2

2ln y x x =+在其拐点处的切线方程是______ (11)

25

1

43

dx x x +∞

=-+⎰

_______

(12) 曲线3

3

cos sin x t

y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩在4t π=对应点的曲率为 （13）设函数(,)z z x y =由方程1

ln z z e

xy -+=确定，则

1(2,)2

______z

x

∂=∂

（14）设

A 为

3

阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组，若

(

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11232233232,2,A A A αααααααααα=++=+=-+，则A 的实特征值为

【答案】2

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）求不定积分21x x

e e dx -⎰

（16）（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足

20

()()x

x

f t dt tf x t dt ax +-=⎰

⎰，

(1)求()f x ，(2) 若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1,求a 的值

（17）（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-⎧≤≤⎨=-⎩

与x 轴围成,计算二重积分

(2)D

x y dxdy +⎰⎰

（18）（本题满分10分）已知常数ln21k ≥-.证明2

(1)(ln 2ln 1)0x x x k x --+-≥

（19）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积

之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

（20）（本题满分11分）已知曲线2

4:(0),9

L y x x =≥点(0,1).A 。设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围图形的面积。若P 运动到点（3，4）时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t

的变化率。

（21）（本题满分11分）设数列{}n x 满足1

10,1(1,2,)n n x x n x x e

e n +>=-=。证明{}n x 收敛，并求lim n n x →∞

（22）（本题满分11分）设实二次型2

2

1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数(1)求123(,,)0f x x x =的解(2)求123(,,)f x x x 的规范形

（23）（本题满分11分）已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪

-⎝⎭

可经初等变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (1)求a (2)求满足AP B =的可逆矩阵P