高数 函数的作图
高数课件3-4曲线的凹凸、拐点与函数的分析作图法-精选文档
C
yf (x )
P M N
yk x b
x
L
O
a
则曲线 y = f ( x) 有斜渐近线 y kx b
例
x3 求曲线 y 2 x 2x 3
的渐近线．
解
x3 令 f ( x) 2 x 2x 3
,因为
f ( x) x2 k lim lim 2 1, x x x x 2x 3
) (x)的符号决定，故曲线 y f (x 单调性可由 f 的凹凸 性与的 f (x)符号有关．
定理(曲线凹凸性的判定法)
设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有二阶导数 若在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凸的
在区间 (,0] 和 [2/3,) 上曲线是凹的 在区间 [0,2/3] 上 曲线是凸的 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点
•讨论 曲线yx4是否有拐点？ •提示 y4x 3, y12x 2 当x0时, y>0, 在区间(, )内曲线是凹的, 因此曲线无拐点
例
3 3 x x y 2 ， x 2 x 3 ( x 3 )( x 1 )
二、曲线的渐近线
定义 若曲线 C 上动点 P 沿着曲线无限地远离原 点时，点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于零， 则称直线 L 为曲线 C 的渐近线．
y
1．斜渐近线
定理 若 f ( x) 满足： f ( x) k; (1) lim x x (2) lim[ f ( x) kx] b ,
定义： 设函数 y f (x)在区间 ( a , b ) 内，曲线 弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 ( a , b )
常见函数图像作图
(2)
(1)解 ： f ( 3 ) 2 3 8 5, 22
f (1 ) 1 5,
f (1) 1 3 5 2,
f f (2) f (1) 2.
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学习案
2.作出下列函数的图象
(1)yx2(x Z,且 x2)
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5．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图． 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法， 其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
重要结论：(1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x) ＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关 于点(a，b)成中心对称．
常见函数图像作图
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例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，
其中旅行社的包机费为15000元，旅游
团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社
结算：若旅游团的人数在30人或30人以 下，飞机票每张收费900元；若旅游 团的人数多于30人，则给与优惠，每
多1人，机票费每张减少10元，但旅游团
法一： 规律：在 x=1的右边看图象,图象越高
底数越小. 即图高底小 y
y loga1 x
01
y loag2 x
y loga3 x
x
y loag4 x
y loga5 x y loga6 x
法2：做直线y=1，观察与各图像交点横坐标即可知道底数大小。
高数数学必修一《5.4.3正切函数的性质与图像》教学课件
对称性
π
π
在每一个区间_________________上都是增函数
kπ
(
，0)(k∈Z)
对称中心________________
2
【即时练习】
π
1．函数y＝tan (x＋ )的定义域是(
4
π
A．{x|x≠－ }
4
π
C．{x|x≠kπ－ ，k∈Z}
4
π
B．{x|x≠ }
4
π
D．{x|x≠kπ＋ ，k∈Z}
3π
|x|在(－ ，
2
(2) 借 助 正 切 函 数 的 图 象 ， 不 等 式 |tan x|≤ 3 的 解 集 是
π
π
{x|kπ－ 3 ≤x≤kπ＋ 3 ，k∈Z}
____________________．
解析：|tan x|≤ 3，则－ 3≤tan x≤ 3，
π
π
则kπ－ 3 ≤x≤kπ＋ 3 ，k∈Z.
π
π
(3) 正 切 函 数 在 ( － ＋ kπ ， ＋ kπ)(k∈Z) 上 递 增 ， 不 能 写 成 闭 区
2
2
间．正切函数无单调减区间．
π
离为 3 .故选C.
2．函数f(x)＝tan
π
π
( x＋ )的单调区间是(
2
3
5
1
A．(－ ＋2k， ＋2k)(k∈Z)
3
3
5
1
B．[－ ＋2k， ＋2k](k∈Z)
3
3
5
1
C．(－ ＋4k， ＋4k)(k∈Z)
3
3
5
1
D．[－ ＋4k， ＋4k](k∈Z)
14高数(上) 3.4凹向、拐点、作图
1 1 ， 20 是 拐 点 . 2 2
1 x 是拐点 2
补例4. 求y 3 x 4 4 x 3 1的拐点及凹凸的区间 .
解
2 y 36 x 24 x 36 x x 3 2 2 0 3 0 得 x1 0 , x2 令y · · 3 x 0时， y 0; 在区间（－∞，0]内曲线是凹的。 2 2 0 ; 在区间[0， ]上曲线是凸的。 0 x 时， y 3 3 2 x 时， y 0. 在区间[ 2 ，＋∞）内曲线是凹的。 3 3 2 11 0 , 1、 , 是拐点. 3 27
一 曲线的凹向与拐点 1.凹凸性的定义 f x1 f x2
f x1
2
x x2 f 1 2 f
x2
f x1
f x1 f x2 2
f x2
x2 x1 设f x 在区间I上连续,
x2 x1 设f x 在区间I上连续,
如果我们接受某条信息时， 和我们头脑中已有的信息有密 切的联系，就好像往仓库中放 东西时作了许多的标记，寻找 时就比较容易。 可见，有效地提取信息， 是记忆的核心。而有效提取的关 键，是接收信息时“做好标记”。
§3.4
曲线的凹向与拐点 · 函数作图
x x2 f 1 2
另外
3 5 f , 2 8 3 5 辅助点 （ 1，0）、（0， ）、（ ， ） 1 2 8 f 1 0 , f 0 1,
补例2. 画出y 解
1 2
x2 e 2 的图形.
1 定 义 域 ,,
y 1 2
x2 e 2
高数总结：基本初等函数图像及其性质
⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。
三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。
人教版高数必修一第4讲：函数的表示方法(学生版)
函数的表示方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2(2)y x x =-≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
高数A上册3-6
要点:
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线. 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行.
令 y 0, 得 x 0，x 2 （驻点）
当 x 1, y不存在.
当 x 1,
( y的分界点）
y不存在.
( y的分界点）
x ( ,2) 2 (2,1) 1
f ( x )
(1,0)
0 (0, )
0
0
不存在 不存在 间断点
f ( x )
1 ) 2e
x2 2
0
极大值
1 2
(1,
0
拐点
1 ) 2e
1 lim ( x ) lim e x x 2
0, 得水平渐近线 y 0.
y
1
o
1
x
1 ( x ) e 2
x2 2
x2 1 例3 作函数 y 的图形. 或 y x 1 x 1 x 1
二、函数图形的描绘
变量之间的关系用函数来表达，作出函数的 图形就可以形象地看出变量之间的关系。 作图步骤：
1.确定函数的定义域 ,并考察其奇偶性及周期性 ; 2.讨论函数的单调性和极值 ;（用y判断）
4.确定曲线的渐近线; 5.描出某些特殊点，由此作出函数的图形 . 3.讨论曲线的凹凸性和拐点;（用y判断）
列表
例1 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形.
解: 定义域 : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) 3 x 2 2 x 1 (3 x 1)( x 1), 1 f ( x ) 6 x 2 6( x ). 3 1 令 f ( x ) 0, 得驻点 x , x 1. ( y的分界点） 3 1 令 f ( x ) 0, 得 x . ( y的分界点） 3
高数数学必修一《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教学课件
其中正确的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
题型 2 利用“五点法”作三角函数的图象
【问题探究2】 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
π
2
3π
2
提示：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1)，(2π，0)
例2 用“五点法”作出下列函数的图象：
)
(2)函数y＝cos
1
2
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 的交点有________
2
个．
1
2
解析：作出y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝－ 的图象(图略)，由图象可知，函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与
1
直线y＝－2有两个交点．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随堂练习
5π
1.已知点( ，m)在余弦曲线上，则m＝(
____________
________
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪
起伏”的连续光滑曲线
【即时练习】
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是(
A．过原点
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
答案：D
解析：观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．故选D.
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：ABD
微点拨❶
(1)作正弦函数、余弦函数图象时，函数自变量的取值要用弧度制，
以保证自变量的取值与函数值都为实数．
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次 函数 k ，b 符号
图象
k kx bk 0
k 0
b0
b0
b0
b0
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
k 0
b0
b0
y
y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
y
O
x
非奇非偶函数
y
O
x
y
O数
k<0
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
二次函数
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标 值域
单调区间
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
4ac b2 4a
,
,
4ac 4a
b2
,
b 2a
递减
,
b 2a
递增
b 2a
,
递增
b 2a
,
递减
反比例函数
指数函数
对数函数
a＞1 图
象
a＜1
(1)x＞0
性 (2)当 x=1 时，y=0
质 (3)当 x＞1 时，y＞0
(3)当 x＞1 时，y＜0
五大基本函数图像及性质
五大基本函数图像及性质经过数学发展的几千年，函数成为数学研究的主要内容之一，用来描述理解宇宙规律的精妙抽象工具，而函数图像则是这些函数形式反射出来的表达形式。
在数学探索中，五种基本函数图像最为常见，它们分别是：直线函数图像，二次函数图像，指数函数图像，对数函数图像和正弦函数图像。
直线函数图像是函数图像中最简单的一种形式，它可以用方程的形式y=kx +b来表示，其中K表示斜率，b表示偏移量，x、y是函数的模型变量，模型变量是可以表达数学物理实验结果的变量。
斜率便是表示函数图像斜线斜率，偏移量是表示函数图像经过y轴的截距，而此类函数一般没有极限，但伴随着变量不断变化而无限的延伸。
这种特性使它成为很多具有统计推论意义的实验结果的基础数据，在解决微积分问题时也是非常重要的概念。
二次函数图像的基本形式为y=ax^2 +bx +c，其中a,b,c代表的是函数的方程的三个常数，x是函数模型变量，y是函数的值，在实际应用中，一般需要将该方程写成y=a(x-h)^2 +k的形式；a为非负实数，当a为0时，表示函数直线，当a不为0时，表示函数曲线；h是函数的极值点横坐标，k是函数极值点的点的纵坐标，这样的函数有两个极值点，极值点的大小取决于a的正负，正值表示极值点为最小值，负值表示极值点为最大值。
指数函数图像是根据指数函数进行描述的，其基本形式为y=a^x，其中a为正实数，x为函数模型变量，y为函数值，这种函数图像有两个极限，即横坐标上趋于无穷大时，纵坐标为正负无穷大，指数函数在应用时非常广泛，它可以用来描述多种不同的物理实验结果，比如温度变化，加速速度的变化等等。
对数函数图像是根据对数函数来描绘的，其基本形式为y=loga(x)，其中a是底数，x是函数模型变量，y是函数值，这种函数图像的横坐标上的极限为0，纵坐标上的极限为正负无穷大，对数函数可以用来描述指数函数和二次函数的变化，在温度变化，分子运动速度和其它变化等等应用也十分重要。
经典数学函数图像(大全)
经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。
当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。
2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。
正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。
5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。
当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。
6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。
当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。
8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。
当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。
经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
吉林大学大一高数第四章第六节渐近线与图形的 描绘
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2
lim y 0
1 , ) 2
1 ) 2
,
( , 1 ) 及 ( 2 凸区间是
拐点为 提示:
,
(
1 1 ,1 e 2 ) 2
, 渐近线
y 1
.
y
x2
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
大学数学(高数微积分)专题一第2函数基本初等函数的图像性质(课堂讲义)
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
5．与周期函数有关的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一 个周期是T＝|a－b|.
本 讲 栏 目 开 关
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期 是T＝2a. 1 1 (3)若f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ ，则f(x)是周期函数， fx fx 其中一个周期是T＝2a. 提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x a＋b ＝ 对称. 2
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解析
(1)f(log23)＝f(log23＋3)
log2 24 2 ＝f(log224)＝ ＝24.
(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
本 2 讲 ＝log2 3x＋6log3x＋6＝(log3x＋3) －3， 栏 目 2 因为 1 ≤ x ≤ 9 ，且 1 ≤ x ≤9，所以1≤x≤3， 开 关
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
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函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
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以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换 函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据 函数的性质解决问题．
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(1)(2013· 天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋
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(1)函数 y＝xln(－x)与 y＝xln x 的图象关于 ( A．直线 y＝x 对称 B．x 轴对称 ( C．y 轴对称 D．原点对称 log2|x| (2)函数 y＝ x 的大致图象是
高数第三章第四节 曲线的凹凸和拐点、作图
x 0 是曲线 y ln x 的垂直渐近线.
O
y ln x
1
x
22
例4 解
求曲线
y
1 x 1
的渐近线
1 lim 0 x x 1
所以y=0为曲线的水平渐近线
1 lim x 1 x 1
所以x=1为曲线的铅直渐近线
23
斜渐近线
设曲线 y f (x) ，
6
◆凹凸弧的判别定理
定理 设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上具有二阶导数 f ( x) ，则在
该区间上：
（1）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凹的； （2）当 f ( x) 0 时，曲线弧 y f ( x) 是向上凸的。
y
f ( x) 0 f ( x) 0
中学就会求了.
17
水平渐近线 曲 线 的 渐 近 线
铅直渐近线
斜渐近线
18
y
1 y x
O
x
1 lim 0 , 水平渐近线 y 0 . x x
1 lim , 垂直渐近线 x 0 . x 0 x
19
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
2x 因为 y (1 x 2 ) 2
令 y 0 得
1 3 x 3 3
3 3 所以，曲线在 ( , ) 及 ( , ) 内是向上凹的，在 3 3 3 3 及 3 3 。 3 3 内是向上凸的，有拐点 ( , ) ( , ) ( , ) 3 4 3 4 3 3
11
判别拐点的充分条件 定理
ˆ 设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导.
高数—12暑—10—对称性与周期性、函数的图像—顾铭鉴-教师版
高三数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号10 课型复习课题对称性与周期性、函数的图像教学目标1．掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型2．掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题教学重点1．函数的周期、对称问题的综合2．函数图像变换的基本模型的分析教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、对称性（一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称 推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称2、中心对称()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1()y fx -=图象关于直线y x =对称※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称 对称性与周期性、函数的图像知识梳理推论1、函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2、函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3、函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称二、周期性：()()f x T f x += 1、T 必须是常数，且不为零；2、等式必须对于定义域上的所有x 值都成立；3、如果T 是函数()f x 的一个周期，则(0)kT k k ∈≠Z 且都是()f x 的周期． 周期函数的定义域是无界的，存在无数个周期．【思考】是否存在函数为周期函数，但是无最小正周期？ 存在，常值函数 函数关系()x a b ∈≠R 且周期说明 )()(x f T x f =+T)()(x f T x f -=+ T 2)(1)(x f T x f ±=+ T 2)()(T x f T x f -=+ T 2 )()(T x f T x f --=+ T 4⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两条对称轴间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数 a 2⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两个对称中心间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数a 2()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=--⎩ 4()b a -正（余）弦函数相邻一条对称轴和一个对称中心间的距离为14周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数 4a()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数4a1．1(1)1()f x f x +=-，3T =； 2．1()(1)1()f x f x f x -+=+，2T =；3．1()(1)1()f x f x f x ++=-，4T =； 4．(1)()(2)f x f x f x +=++，6T =；5．(1)()(2)f x f x f x +=+g ，6T =．三、图像变换问题平移 变换向左移)0(>a a 个单位 向右移)0(>a a 个单位 向上移(0)b a >个单位 向下移(0)b a >个单位按向量(,)a h k =r平移)(x f y =的图像)(a x f y +=→的图像 )(x f y =的图像()y f x a →=-的图像 )(x f y =的图像b x f y +=→)(的图像 )(x f y =的图像()y f x b →=-的图像 )(x f y =的图像k h x f y +-=→)(的图像 伸缩 变换每点纵标伸)0(>a a 倍 每点横标伸)0(>a a 倍)(x f y =的图像)(x af y =→的图像)(x f y =的图像⎪⎭⎫⎝⎛=→x a f y 1的图像绝对值 变换关于y 轴对称 将x 轴下方图像翻上)(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像 )(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像一、对称性与周期性【例1】已知函数()1x af x x a -=--的图象的对称中心是(4,1)，则a = ．【难度】★ 【答案】3【例2】（2010上海春18）已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）．A ．)21,2(B ．)41,2(C ．)81,2( D ．(0,0)【难度】★★【答案】C【例3】已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】{}3,0,3-【例4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩．且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为 ． 【难度】★★【答案】26(1)11-⨯--=-例题解析【例5】函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ．【难度】★★★【答案】20,40a b ac <-=【解析】由题意，得函数图象上有且仅有一个点【例6】若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a 的值为 ． 【难度】★★★ 【答案】2010【解析】(2008)y f x =+与()y f a x =-关于20082a x -=对称【例7】已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24f x x x =-++，则当[3,6]x ∈时，()f x =__________．【难度】★★【答案】21020x x -+-【解析】若[3,6]x ∈，则6[3,0]x -∈-，6[0,3]x -∈22()(6)(6)(6)2(6)241020f x f x f x x x x x =-=-=--+-+=-+-【例8】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数．若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= ． 【难度】★★ 【答案】8-【解析】12342(6)228x x x x +++=⨯-+⨯=-【例9】已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________．【难度】★★ 【答案】5- 【解析】()()()()()()()()112112f x f x f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎪⇒+=--⎨+=++⎪⎩ ()()()()52116f x f x f x f x T ⇒+=-+=---=-⇒=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2012201222115f f f f f f ⇒+-=+-=---=-【例10】（2011上海高考理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x xg x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ． 【难度】★★★ 【答案】[15,11]-【解析】若[4,5]x ∈，则1[3,4]x -∈则()()(1)1(1)1[1,6]f x x g x x g x x g x =+=+-=-+-+∈- ※值域为[15,8][1,6][4,11][15,11]---=-UL U UL【巩固训练】1．已知函数2221()()21mx mx m f x m x x -+-=∈-+R ，则该函数的对称轴方程为 ． 【难度】★ 【答案】1x =2．已知(1)f x +是偶函数，则函数(2)y f x =的图象的对称轴方程是 ． 【难度】★ 【答案】12x =3．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L ．【难度】★ 【答案】04．函数()y f x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得图象1c ，图象1c 关于y 轴对称图象为2c ，那么2c 对应的函数解析式是 ．【难度】★★【答案】(2)y f x =-- 5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 至少为 ．【难度】★★ 【答案】56．若函数()y f x =满足()(2)20f x f x +-+=，则()y f x =图象的对称中心是 ． 【难度】★★ 【答案】(1,1)- 7．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线 对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线 对称． 【难度】★★【答案】x k =；0()x y =轴8．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】41-9．已知函数1()()f x m x x =+的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称． （1）求m 的值； （2）若()()4ag x f x x=+在(]0,2上为减函数，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）14m =；（2）3a ≥10．设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有)()2(x f x f -=+，当11x -≤≤时，()sin f x x =．（1）试证：直线x = 1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （2）证明：函数)(x f 是以4为周期的函数； （3）求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式；（4）若集合{}(),A x f x a x =>∈R 是非空集合，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）提示：证明(1)(1)f x f x +=-； （2）提示：证明(4)()f x f x +=；（3）sin(2)[1,3]()sin(4)(3,5]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩；（4）sin1a <．11．已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x ∈R 均有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点A 3(1,)2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[4,]m ，求实数t m 、的值． 【难度】★★★【答案】 （1）2()(4)(2)f x ax bx x f x f x R 对任意恒有=+?=-Q 成立，且图像过点3(1,)2A ，22(4)(4)(2)(2),3.2a x b x a x b x a b ìï-+-=-+-ïï\íï+=ïïî化简22(4)(4)(2)(2)(126)0a x b x a x b x 2b -4a x a b -+-=-+-+-=，得()．此一元一次方程对x R Î都成立，于是，2401260b a a b ì-=ïïíï-=ïî，即2b a =． 进一步可得121a b ìïï=ïíïï=ïî．21()2f x x x 所求函数解析式为\=+． （2）()[4]f x t x m -?Q 的解集为，， 2221(),220[4,],42x t x t x x tx t t m m 即的解集是且.\-+-?+-? 224220m x tx t t 、是方程的两根\-+-=．于是，24242m t m t tì+=ïïíï=-ïî，解此方程组，得120()82m m t t 祆==镲镲眄镲==镲铑或舍去．※128m t ì=ïïíï=ïî．二、函数的图像【例11】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-； （2）2||y x x =-； （3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-； （5）2(1)3y x -=-+； （6）()2lg 2y x =-．【难度】★★ 【答案】略【例12】手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示．在作曲线段AB 时，该学生想把xyO AB223函数12,[0,2]y x x =∈的图像作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB 在[2,3]x ∈上对应的函数解析式________． 【难度】★★【答案】12222y x =-+（）【例13】设定义域为R 的函数|lg |1||,1,()0,1,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，求实数b 、c 需要满足的条件． 【难度】★★【答案】0b <且0c =【解析】lg lg |||lg ||||lg |1||x x x x →→→-或lg |lg ||lg ||||lg |1||x x x x →→→-令()t f x =，则20t bt c ++=由题意，得121220000t t t b t t t c t +=->>⎧⎧⇒⎨⎨⋅===⎩⎩解得，0b <且0c =【例14】已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【难度】★★ 【答案】①②③④【解析】方法一：212()()y f x f x k y =-=-=，易得，1y 为偶函数 当0x ≥时，21(1)(2)1(1)|1|(1)01x x x y x x x x x --≥⎧=---=⎨-≤<⎩方法二：令|()||||1|t f x x ==-，则2(0)k t t t =-+≥当14k =，1212t t ==，4个不同的实根 当104k <<，121012t t <<<<，8个不同的实根当0k =，120,1t t ==，5个不同的实根 当0k <，1t >，2个不同的实根【例15】（2014浦东二模理18）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【难度】★★ 【答案】B【解析】21lg(100)2lg 100y x x =-=-关于100x =对称，27(||200)(||202)2y x x =---为偶函数，且0x ≥的部分的对称轴为201x =， 两个函数在100x =的左侧和右侧分别有1个和3个交点，∴选B【例16】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--，②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．【难度】★★ 【答案】50【解析】在同一直角坐标平面内作出()y f x =与1y =的图象123452,2612,21836x x x x x =+=⨯=+=⨯=※1234550x x x x x ++++=【例17】已知函数()f x 满足：※对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；※当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．【难度】★★★ 【答案】36【解析】21010101020202020(2020)2(1010)2(505)2222822f f f f ⎛⎫⎛⎫=====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L (1,2]x ∈时，()2f x x =-，()[0,1)f x ∈ (2,4]x ∈时，()4f x x =-，()[0,2)f x ∈……1(2,2]n n x +∈时，1()2n f x x +=-，()[0,2),n f x n ∈∈Z显然，()28f a =，a 必须最小，(32,64]a ∈，(32,64]x ∈，()64f x x =-，∴min 36a =【例18】定义在R 上的函数)(x f ，当(1,1]x ∈-时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足(2)()f x af x -=（常数0>a ），则函数)(x f 在区间(5,7]上的最小值是 ．【难度】★★【答案】36 【解析】1()(2)f x f x a =-，可以看成平移2个单位后，再将纵坐标变为原来的1a倍，易得341a -【例19】已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围；（2）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）※[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，※当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-=Λn x n m -⋅=2，即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n ∈N ，※)(x f 在[)∞+,0上单调递增，※0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ，即2≥m ．（2）※当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+，※当[]4,44,x n n n ∈+∈Z 时，()()2()(4)(4)444n n f x mf x m f x n m x n x n ⎡⎤=-==-=---⎣⎦L ，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m时，[]mxf4,4)(--∈；当1-=m时，[]4,4)(-∈xf；当1>m时，(]0,)(∞-∈xf；当1-<m时，()+∞∞-∈,)(xf；综上可知：01<≤-m或10≤<m．【巩固训练】1．函数(),01,10x by a a b+=<<-<<的图象为（）．A．B．C．D．【难度】★【答案】C2．已知,,m n m nαβαβ∈<<R、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n=---的零点，则m nαβ、、、四个数按从小到大的顺序是（用符号<“”连接起来）．【难度】★【答案】m na b<<<3．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是.【难度】★【答案】4．关于x的方程243x x a x-+-=有三个不相等的实数根，则实数a的值是．【难度】★【答案】1-或34-21xy=+y b=b[]1,1-5．若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】A6．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．【难度】★★【答案】3【解析】利用将0x >时的图象关于原点对称，看和0x <时的图象的交点个数，所以答案为37．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ． 【难度】★★ 【答案】221 【解析】转化为6()f x x=，作出两个函数的图象， 可得交点的横坐标分别为3362、、，※和为2218．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ．当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ．（其中n *∈N ）【难度】★★ 【答案】32【解析】1(2)(),[0,)3f x f x x +=∈+∞【图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的13】 ※1(1)1a f ==，21(3)3a f ==，…，11(21)3n n a f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭※113lim 11213n n a S q →∞===--9．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ． 【难度】★★ 【答案】810．（2012上海理13）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ． 【难度】★★ 【答案】54【解析】由题意，得110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩．左图中的图形进行分割和重新拼合后能得到右图中的矩形．故，所求图形的面积155224=⨯=．11．已知函数21(1),02,()1(2),2,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk = ． 【难度】★★★ 【答案】1214()n n n ++ 【解析】n y k x ⇔=⋅与从左往右数的第1n +个半椭圆弧相切22222[(21)](2)1(14)(42)(44)0n n n n x n y k x n x n n y k x⎧-++⋅=⇒+-+++=⎨=⋅⎩ 212104()n n k n n +∆=⇒=+1、函数作图的难点问题（1）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 方法一：()()0,+(||)0,a x a x a y f x y f x a y f x a a x a >===−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<=左移保留右边图像，去掉左边图像右移并作关于对称图像方法二：()()0,(||)0,y y a y f x y f x y f x a y a >=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=−−−−−−→=+<保留轴右边图像，去掉轴左边图像左移并作关于轴对称图像右移（2）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 ()()0,+(||)0,a y y y f x y f x a y f x a a y >=−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<左移保留轴右边图像，去掉轴左边图像右移并作关于轴对称图像．2、函数作图的一些建议（1）作图前先分析函数的奇偶性、对称性、周期性等性质；反思总结（2）遇到含绝对值的函数，做好分类讨论去绝对值的准备； （3）合理利用平移变换和对称变换进行作图方法的设计． 如：（2016浦东二模理14）关于x 的方程11sin 211x x π=--在[2016,2016]-上解的个数是 ． 看作1111y x =--与21sin 2y x π=在[2016,2016]-图象交点的个数问题1y ：111()1y y x x =−−−−−−→=-向右移个单位偶函数111()111y y x x −−−−→=−−−−−−→=---右翻左向右移个单位偶函数如图可知，两函数图象在[1,3]-上有3个交点， 在[2016,2015)--、[2015,2014)--、…、[2,1)--、(3,4]、(4,5]、…、(2015,2016]均只有1个交点，∴共4031个交点，∴∴解的个数是40311．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：※若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点(1,0)A 对称； ※若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ※若对x ∈R ，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期； ※函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【知识点】对称性、周期性 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①②③④ 课后练习2．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：※ 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ※ 函数()f x 一定存在零点； ※ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；※ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -．那么所有真命题的序号是 ．※※ 【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①④3．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：※函数的定义域为，值域为；※函数在上是增函数；※函数是周期函数，最小正周期为1；※函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是 ．【知识点】新定义、函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③④4．（2014宝山一模14）关于函数()1x f x x =-给出下列四个命题：※当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ※方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；※如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；※()y f x =是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】②④5．（2014嘉定一模13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】47【解析】※()f x 为偶函数，※1a =- 设C x x =，则B x x =-，3D x x =C D 、关于1x =对称13212x x x ⇒+=⨯⇒=，※1724t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6．（2014闵行二模理14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：※任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；※()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；※函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ※对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③【解析】图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的12※[0,),()[1,1]x f x ∈+∞∈-，该命题正确※※1()(2)2f x f x =- ※2111(2)(22)(24)()222k f x k f x k f x k f x +=⋅+-=⋅+-==L※()2(2)kf x f x k =⋅+，该命题错误※如图，()y f x =与ln(1)y x =-图象的交点有3个，该命题正确※反例：当52x =时，555159222248f ⎛⎫⋅=⋅=> ⎪⎝⎭ ※正确的序号为※※7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k = ．【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★★ 【答案】436-【解析】“()()f x T f x T +=+”表示函数图象向右平移T 个单位后，再向上平移T 个单位2()1()(0)g T T T g T g T T⎧=⇒=⎨=+=⎩，由于()g x 是R 上的奇函数，※可得()[]2,1,0g x x x =-∈- 零点个数问题转化为函数()y g x =与y kx =的交点问题， 要有8个交点，表示2()(3)3,[3,4]y g x x x ==-+∈的图象与y kx =相切2436(6)1200k k x k x ∆>⎧⇒=-⎨-++==⎩方程的8．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =()x ∈R 图像与x y 5log =图像的交点的个数是（ ）．A ．8B ．9C ．10D ．12 【知识点】函数周期、图象综合 【题型】选择题 【难度】★★ 【答案】C9．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．（1）试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由； （2）证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像． 【知识点】新定义、函数周期与函数图象综合、探究性问题 【题型】选择题 【难度】★★★【答案】（1）()sin f x x =Q ，(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-=2π∴不是函数()f x 的准周期 （2）(2)()[2(2)sin(2)](2sin )24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ+-=+++-+=++--=Q※()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= （3）① 写出一个不同于题设和（2）中函数，如3sin ,2(1),23sin ,[]xy x x y x y x x y x =+=+-=+=等得1分(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ωϕωϕ=+≠=+++=+++， 或其它一一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式得3分 ② 指出所写函数的一个准周期，得2分③ 指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…， （写出一条得1分，写出两条以上得2分，可以不证明） ④ 画出其大致图像，得3分． Oxy1234123455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5。
高数课件-函数的极限
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
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x2 x
o
x1
x1 x2 2
x2 x
4
定理(凹凸判定法) 设函数
(1) 在 I 内
(2) 在 I 内 拐点：
在区间I 上有二阶导数
则
则
在 I 内图形是凹的 ;
在 I 内图形是凸的 .
定义2 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .
y
o
x
5
定理 (凹凸判定法) 设函数
(1) 在 I 内 则
22
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
1
0 12 3
23
例4. 描绘函数
27
5、设函数
由参数方程
确定， 的凹凸区间及拐点。
求 解
的极值和曲线
令 由
时
时
时 ，列表
28
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
x 3 2 y 2 y 2 xy 0
x 3 2y y 2( x 1) 1 4 y 1 2 y 4 y 2 xy 0 y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
20
3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x) k x]
x (或 x )
16
例1. 求曲线
的渐近线 .
x3 解: y , lim y , ( x 3)(x 1) x3
21
y 1 1 又因 lim , 即 k x x 4 4 2 ( x 3 ) 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim 2 ( x 3 ) x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 0 2 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 3 ( x 1 ) 4 4
10
x y x y 例5 求证 2 2
n
n
n
x 0, y 0, x y, n 1
证明： 因为不等式中同时含有 x, y 则用单调性证明
有困难，利用凹凸性证明
设 f (t ) t n t x, y 求证 f (t ) 在 (0, ) 是凹函数
f (t ) nt
n 1
f (t ) n(n 1)t
n2
0 t (0,)
f (t ) 是凹函数，必满足在 t (0,) 内取 x, y
n n x y x y 2 2
x y f ( x) f ( y ) f 2 n 2
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
7
例2. 求曲线
的拐点。
2 3
x 解: y 1 3
x
,
y x
2 9
5
3
2 9 x
3 5
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )
凸
的拐点 .
8
例3. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点。
y 12 x3 12 x 2 ,
例2. 描绘
2 y x 2 x x x 2 2) y 2 x 2 2 x 1 令 y 0 , 令 y 0 ,
解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
1
1 2 3
3)
x ( , 0) y y y
0 0
(0 ,1)
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( ) ) ( x1 ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 f ( ) f ( x2 ) f ( ) ) ( x2 ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
15
2. 斜渐近线 定义5 若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
(或 x 1)
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1 f ( x) x2 又因 k lim lim 2 x x x x 2 x 3
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
2
证明: 令 F ( x) sin x
x, 则 F (0) 0, F ( ) 0 2 2 F ( x) cos x
2
x.
F ( x)
F ( x) 是凸函数
0
F ( x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
17
三、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
18
从而三个拐点为
(1 , 1) , (2 3 , 1 3 ) , (2 3 , 1 3 ) 84 3 84 3 1 3 1 3 1 1 8 4 3 8 4 3 因为
2
2 3 1
3 1
所以三个拐点共线.
13
二、 曲线的渐近线
定义 3. 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上为凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) ( 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 为凸 , 3 27
9
例4
证明: 当 0 x
2
时， 有 sin x
1
0
4 3
(1, 2)
2 ( 2 , ) 0
2 3
2
4)
(极大) 3 1 x y 2 2 3
(拐点）
(极小)
19
例3. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1)
2) 求关键点 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定
1
(3 , )
义
0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
( x 3)( x 1) 2 ( x 3) 2 , y y , y 2 4( x 1) 4( x 1) ( x 1)3
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
24
y
1 2
e
x2 2
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
y
4) 求渐近线
lim y 0
x
1 2
y
1 2
e
x2 2
A
B
y 0 为水平渐近线
2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1)3
12
x 1 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) y 2 2 3 x 1 y ( x 1) 令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 , x3 2 3