九年级数学上册图形的旋转

探究新知
23.1 图形的旋转/
素养考点 2 旋转角度的计算
例2 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若 △AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则 旋转的角度为( C )
A．30° B．45° C．90° D．135°
解析 对应点与旋转中心的连线的夹角，就是 旋转角，由图可知，OB、OD是对应边， ∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.
素养考点 1 旋转的相关概念识别
例1 如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中, 将△ABP旋转后能与△CBQ重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)△BPQ是什么三角形?
分析 (1)根据对应点到旋转中心的距离相等来确定旋转中 心的位置.(2)对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角.(3) 由旋转角和对应边的关系可以得到答案.
23.1 图形的旋转/
平移和旋转的异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同
图形变换 平移 旋转
运动方向
运动量的衡量
直线
移动一定距离
顺时针或逆时针 转动一定的角度
探究新知
23.1 图形的旋转/
素养考点 1 旋转作图
例1 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A
为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ A ）
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
课堂检测
23.1 图形的旋转/
能力提升题
2. 如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A
的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1,0）、B
A
D
想一想：本题中作
图的关键是什么？
E
作图关键－确定点E的对应点E′ B
∴∠A=45°， 由（1）可知∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5°.
课堂检测
23.1 图形的旋转/
基础巩固题
1.下列现象中属于旋转的有( C )个 ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的
转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋
千运动.
A.2
其中的对应点有_A_与__B___、 __B_与__C__、 _C_与__D___、
_D__与__E__、 _E_与__F___、 __F_与__A__ .
B
AO
C
F
D
E
探究新知
旋转的判定
23.1 图形的旋转/
确定平面图形旋转时, 必须明确
旋转中心 旋转角 旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中 “旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转 的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
角。
如果图形上的点P经过 A
B
旋转变为点P’，那么这 两个点叫做这个旋转的
P 旋转角 P’
对应点。线段OP与OP’
叫做对应线段.
O 旋转中心
探究新知
23.1 图形的旋转/
O
0
45
B
A
点A绕＿Ｏ＿点，往＿顺＿时＿针方向，转动了＿45度到点B．
旋转的三要素: 旋转中心、旋转方向、旋转角度.
探究新知
23.1 图形的旋转/
人教版 数学 九年级 上册
23.1 图形的旋转/
23.1 图形的旋转
第一课时 第二课时
第一课时
23.1 图形的旋转/
图形旋转的定义及性质
返回
导入新知
23.1 图形的旋转/
新 疆 的 风 车 田
导入新知
23.1 图形的旋转/
荷 兰 的 大 风 车
导入新知
23.1 图形的旋转/
游 乐 场 的 摩 天 轮
△BPQ就是一个等边三角形.
探究新知
23.1 图形的旋转/
【想一想】图形在旋转时,旋转的方向有几种? 提示:有两种情况，分别为逆时针方向旋转
和顺时针方向旋转.
巩固练习
23.1 图形的旋转/
1. 填一填.
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是
__O____，旋转角是_∠__A_O_B____，旋转角等于_6_0__度，
导入新知
23.1 图形的旋转/
卫星 拍摄 到的 台风 “桑 美” 的中 心旋 涡
导入新知
23.1 图形的旋转/
O
(1)以上现象有什么共同特点? (2)钟表的指针、电扇的风叶在转动过程中，其 形状、大小、位置是否发生变化呢？
素养目标
23.1 图形的旋转/
2.能够根据旋转的基本性质解决实际 问题.
B.3
C.4
D.5
课堂检测
23.1 图形的旋转/
基础巩固题
2. 下列说法正确的是( B ) A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
课堂检测
23.1 图形的旋转/
基础巩固题
D
E
A
C
B D
课堂检测
23.1 图形的旋转/
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
AC=BC
在△ACD与△BCE中， ∠ACD=∠BCE
CD=CE ∴△ACD≌△BCE（SAS）
巩固练习
连接中考
23.1 图形的旋转/
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
解：（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
G N
L M
导入新知
回顾旋转的特征
23.1 图形的旋转/
C
B
D
F
A
E O
【想一想】如何做出符合要求的旋转后的图形呢？
素养目标
23.1 图形的旋转/
2. 能通过图形的旋转设计图案。
1. 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形。
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23.1 图形的旋转/
知识点 1 简单的旋转作图
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺X 时针方向旋转60°后
探究新知
23.1 图形的旋转/
(1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)△BPQ是什么三角形? 解：(1)旋转中心是点B.
(2)因为△ABC为等边三角形,当边AB旋转到边BC的位置 时,正好转过了60°,所以旋转角的度数是60°.
(3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样
3.旋转中心是唯一不动的点.（旋转中心O）
4.旋转不改变图形的形状和大小.
E
F
B
D O C
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23.1 图形的旋转/
素养考点 3 旋转性质的应用
例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE， 将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1， BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝___1_3_5___度．
解析：连接EE′， 由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°， ∴∠BE'E=45°， 在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3， 由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
巩固练习
23.1 图形的旋转/
3.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α
课堂小结
23.1 图形的旋转/
定义
三要素：旋转中心，旋转 方向和旋转角度
旋转 性质
① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离
相等; ③ 对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角.
第二课时
23.1 图形的旋转/
旋转作图
返回
导入新知
回顾平移的特征
B A
F
C D
E
23.1 图形的旋转/
H
K
连接中考
23.1 图形的旋转/
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点
（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方
向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC 与A1C1，BC1分别交于点E，F． 求证：△BCF≌△BA1D.
分析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC， ∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC， ∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全 等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D.
探究新知
怎样来定义 这种图形变换？
23.1 图形的旋转/
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度.
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新 的位置.
探究新知
23.1 图形的旋转/
旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一个定点O转动一
个角度，叫做图形的旋转。
这个定点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转
A. DE=3 B. AE=4 C. ∠CAB是旋转角 D. ∠CAE是旋转角
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23.1 图形的旋转/
能力提升题
1. 如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转 后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点
B′
．．． 45°
CM
B
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23.1 图形的旋转/
根据上图填空.
旋转中心是点_____C_____； 图中对应点 点__A__与__点__A_′,_点__B_与__点_Байду номын сангаасB__′,_点__M_与__点__M__′_,点__N__与__点__N_′; 图中对应线段有__线__段__C__A_与__C_A__′、__C__B_与__C_B__′、__A__B_与__A_′_B_′___. 每对对应线段的长度 相等. . 图中旋转角等于__4_5_°____.
（3,0）、C（1,4）.请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标.
y
解：根据旋转中心到对应点 距离相等可以知道，旋转中 心P既在线段AB的垂直平分 线上，又在线段BE的垂直平
C OA
P（3,2）
PE
x BD
分线上，它们的交点就是点P.
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23.1 图形的旋转/
能力提升题
3.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.
基础巩固题
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到 的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°， AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 , 旋转角等于 44 °.
课堂检测
23.1 图形的旋转/
基础巩固题
5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4， AC=3，则下列说法正确的是（ D ）
探究新知
A
23.1 图形的旋转/
观察下图，你
能得到什么结
论？
A'
B' C
B
O
C'
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
探究新知
23.1 图形的旋转/
旋转的性质
1.对应点到旋转中心的距离相等.（OD=OA，OE=OB，OF=OC）
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.（∠DOA=∠EOB=∠FOC） A
巩固练习
23.1 图形的旋转/
求证：△BCF≌△BA1D.
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，A1AB1
C， BC，
A1BD CBF，
△BCF≌△BA1D.
巩固练习
你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？
说说你的做法.
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆.
课堂检测
23.1 图形的旋转/
拓广探索题
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使
一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋
转角是多少吗？连结BB ′ ，△ABB ′有什么特征吗？
150°
△ABB′是等腰三角形
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
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23.1 图形的旋转/
知识点 1 旋转的概念
【观察】观察下列图形的运动，它有什么特点？
O
45°
B
A
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23.1 图形的旋转/
【思考】怎样 来定义这种图 形变换？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心 固定点转动一定角度.
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时 针转动了__1_2_0_°_度.
巩固练习
23.1 图形的旋转/
2. 如右图，点P是正方形ABCD内一点，将 △ABP绕B点顺时针方向旋转到△CBP′的位置 时，其旋转中心是点 B ，旋转角度为 90° .
探究新知 知识点 2
A′
旋转的性质
A
．
23.1 图形的旋转/
△ABC是如何运动到
．△A′B′C的位置？
绕点C逆时针旋转45°.
的线段。
XC
作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画 ∠BAX，使得∠BAX=60°.
C 60°
(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB，线段AC
为所求.
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23.1 图形的旋转/
试一试
画出下图所示的四边形ABCD以O为中心，旋转角都为
60°的旋转图形．
A' D'
D B'
A
C
C'
B
O
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