高等数学复旦大学出版社习题答案十三

习题十三

1. 求下列函数在所示点的导数：

(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =； 解：(

)π4f ⎛⎫ ⎪'= - ⎝

(2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭

，在点()(),1,2x y =； 解：()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭

(3)sin cos u v u T u v

v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

，在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解：1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭

(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩

在点()3,2-.

解：6

26

6362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z

∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，

3.

若r =()()21,,,,3n r r f r r n r

∇∇∇∇∇≥. 解：

()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r

-'∇=∇=∇=∇=∇=

4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点.

解：()()()()

54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).

证明：略

6. 计算下列向量场A 的散度与旋度：

(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；

解：()0,2,,y z z x x y ---

(2)()222,,x y z x y z x y z =A ；

解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ⎛⎫

= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭

7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3).

解：略。

8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇推导） 解：略。

9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。

10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38

π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：

(1)沿圆周221,0x y z +==；

解：2π

(2)沿圆周()2251,0x y z -+==.

解：2π