三角形知识结构图 (2)
R数学八年级上册总复习
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把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它 2、轴对称： 能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这 条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的 点是对应点,叫做_对称点_____.
知识回顾： 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
A
区别
(1) 轴对称图形是指 (一个 ) (1)轴对称是指(两个)图形 具 有特殊形状的图形, 的位置关系,必须涉及 只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形; 不一定 (2)对称轴( ) 只有一条 (2)只有( 一条)对称轴. 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.
P(-2,4) 4 3 M(-1,1) 2’ 1
·
y5
x=1
P’(4,4)
·
4
·
M’(3,1) 1 2 3
·
5
-4 -3
N(-3,-2)
·
-2 -1
0 -1 -2
x
·
点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）
N’(5,-2)
归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线
x1 x 2 ) x=m对称，则; X2=2m-x1 (m= 2
C
B
C
C'
B'
联系
4、轴对称的性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直 平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。
2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。
注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。
5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
30°角所对的直角边等于斜边的________6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
八年级数学上册第十一章三角形《小节：构建知识体系》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十一章三角形《小节：构建知识体系》教学目标（核心素养）1.知识与技能：帮助学生梳理并构建三角形章节的知识体系，包括三角形的性质、分类、全等、相似及解直角三角形等关键概念。
2.数学思维：培养学生的归纳总结能力和知识整合能力，形成系统的数学认知结构。
3.问题解决：通过构建知识体系，提高学生运用三角形知识解决实际问题的能力。
4.自主学习：引导学生学会自我总结和反思，培养自主学习的习惯。
教学重点•梳理三角形章节的主要知识点，形成清晰的知识框架。
•帮助学生理解各知识点之间的联系和区别，构建完整的知识体系。
教学难点•如何引导学生自主梳理知识，形成个性化的知识体系。
•促进学生深入理解各知识点之间的内在联系。
教学资源•多媒体课件（包含三角形章节知识框架图、例题解析等）•三角形章节复习资料•学生笔记本或学习单•黑板与粉笔教学方法•讲授法：教师讲解三角形章节的主要知识点和构建知识体系的方法。
•讨论法：组织学生分组讨论，共同梳理知识点，构建知识体系。
•思维导图法：引导学生使用思维导图工具，将知识点以图形化的方式呈现出来。
教学过程导入新课•情境引入：通过展示一个包含三角形元素的复杂图形或实际问题，引导学生思考解决这类问题需要哪些三角形知识。
•明确目标：告知学生本节课将进行三角形章节的知识体系构建，强调其重要性和意义。
新课教学1.知识回顾•利用多媒体课件，快速回顾三角形章节的主要知识点，包括三角形的性质、分类、全等、相似及解直角三角形等。
•引导学生思考这些知识点之间的联系和区别。
2.构建知识体系•分组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个或几个知识点，要求他们讨论并梳理这些知识点之间的关系。
•思维导图绘制：鼓励学生使用思维导图工具，将讨论结果以图形化的方式呈现出来。
教师可以提供模板或示例供学生参考。
•全班分享：各小组选派代表分享他们的思维导图，其他同学提出问题和建议。
•教师总结：教师根据学生的分享和讨论结果，总结并完善三角形章节的知识体系框架图，强调各知识点之间的内在联系。
八年级上第十一章至第十五章知识点梳理
7
a 按定义分
正整数
正有理数
实数有理数负零有理数负 负正分 整分数 数数有限小数或无限循环小数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
b 按大小分:
正实数 实数 零
4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有 n 盆花， 每个图案的花盆总数是 S，求 S 与 n 之间的关系式.
9
2、函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，
6
第十三章
（一）本章知识结构框图
实数知识点汇总
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）知识点梳理： 本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的
重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念
1．有理数，无理数概念： 有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
负实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. 5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数 范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数 填满。
例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪 些量是常量？
北师大版初中数学第四章三角形复习课件共57张PPT
6、已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简
|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A． 2a
B． ﹣2b
C． 2a+3b
D． 2b﹣2c
7、若a，b，c是△ABC的三边，则化简
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|的结果是
（）
A． ﹣a﹣b﹣c B． a+b+c
C． a+b﹣c
D． a﹣b+c
三角形知识结构图
三角形的边(三边关系)
与三角形有 关的线段
高 中线
三角形内角和
角平分线
三角形
三角形的外角 全等三角形
一、三角形的边、角及主要线段
考点1． 三角形的三边关系: (1)三角形的任何两边之和大于第三边；
(2)三角形的任何两边之差小于第三边． 应用：
（1）判断三条已知线段a、b、c能否
组成三角形; 当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形． （2）确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和．
C
F
21
B
E A
3．如图：点E是正方形ABCD的边CD上一 点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF,说 明DE=BF的理由．
A
D
E
FB
C
4．如图，BE=CD，∠1=∠2，则 AB=AC吗？为什么？
A
D
E
1
2
B
C
5.如图所示，在等边△ABC中，点D、E分 别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE 交于点F，则∠DFC的度数为_________
隐含条件AB=AB
变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个条件 ___________，使得 △ABC≌△ABD
八年级(初二)数学-等腰三角形的知识结构图(思维导图)
八年级(初二)数学-等腰三角形的知识结构图(思维导图)文章格式已经无法更改，以下是文章的修改版本：在今天的社会中，信息技术已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。
它们给我们带来了无数的便利和改变，但同时也带来了一些问题。
首先，信息技术的快速发展已经对传统的职业造成了很大的冲击。
许多传统行业的工作已经被自动化取代，导致很多人失去了工作。
此外，信息技术还带来了新的职业，这些职业需要人们具备新的技能和知识。
其次，信息技术的普及也带来了一些道德和隐私问题。
人们的个人信息和隐私已经变得更加容易受到侵犯。
此外，网络上存在大量的虚假信息和不良内容，这些对人们的价值观和思想观念产生了负面影响。
最后，信息技术的便利性也带来了一些负面影响。
人们越来越依赖于技术，导致他们失去了一些基本的技能和知识。
此外，过度使用电子设备也会对人们的健康产生负面影响，例如眼睛疲劳和颈椎病等。
总之，信息技术对我们的生活产生了巨大的影响，既带来了便利和改变，也带来了一些问题。
我们需要认真思考这些问题，并采取适当的措施来解决它们。
等腰三角形是初中数学中的一个重要知识点。
下面将介绍等腰三角形的定义、性质和判定方法。
1.定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
2.性质：等腰三角形的底角（即两边不等的角）相等，顶角（即两边相等的角）的角平分线也是底边中线。
3.判定：如果一个三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰直角三角形是指一个直角三角形中，两条直角边长度相等的三角形。
1.性质：等腰直角三角形的斜边长度是直角边长度的根号2倍，顶角（即直角所在的角）的角平分线也是底边中线。
2.判定：如果一个直角三角形的两条直角边长度相等，则这个三角形是等腰直角三角形。
等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
1.定义：等边三角形的三个内角都是60度。
2.性质：等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线、三条垂直平分线都重合。
3.判定：如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形。
三角形复习课——吴
２ 两个等高的三角形，其面积比等于底边比！
∴ ∠ 1= ∠2 = １ ∠ACB
两个等底的三角形，其面积比等于高之比！
3 3 3
4 4 4
F
10
●
1 2
B
角 平 分 C线
0
5 5 5
1
高
底
高 底 高
底
三条高线 三条高线所在直线相交一点A
A F D D B C E
A F B A F B A F B
● ●
E
B
基础过关二
1.如图所示:△ABC中,D,E分别为BC,AD的 中点,且S △ABC=4, 则S阴为_____ 1 2.如图, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
F A E D C
360° ;
B
基础过关三
1.若一个三角形的三个外角度数之比为3：4：5， 则与之相邻的三个内角度数之比为（ B ）
三 角 形
按角分 三角形 的分类 按边分
直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 腰≠底的 等腰三角形 等边三角形
三角形知识结构图
多边形的内角和 (n-2) ×180°
推 三 广 角 应 形 用
多边形 多边形的外角和
恒为360°
多边形的对角线总数 三角形的稳定性
n 3n
2
已知一个多边形的从一个顶点引出的对角线有15条， 已知一个四边形的四个内角的比是1：2：3：4，则 已知一个正多边形的每个外角都是36°，则该多边 则该多边形的边数是（ ） 这个四边形的最大内角的度数是 （ 144°）最小角 18 10 ） 形的边数是（ 的外角的度数是（ 144° ）
M
八年级(初二)数学-等腰三角形的知识结构图(思维导图)
1.
1.1.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
1.2.
两腰相等
两底角相等
三线合一
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
轴对称图形
1.3.
①有两条边相等的三角形是等腰三角形．
②有两个角相等的三角形是等腰三角形．
2.
2.1.
顶角等于90°；
底角等于45°；
两直角边相等；
2.2.
①顶角为90°的等腰三角形．
②底角为45°的等腰三角形．
3.
3.1.
有三条边相等的三角形叫做等边三角形．
3.2.
三条边都相等；
三个角பைடு நூலகம்等于60°；
三个角都相等；
三线合一
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
3.3.
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三角形知识结构图
三角形知识结构图定义：多边形多边形内角和：1. 三角形的三边关系:(1) 三角形两边的和大于第三边(2) 三角形两边的差小于第三边2. 判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.3. 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.△ABC的三边分别为a,b,ca+b＞c＜c4. 三角形的三条高线(或高线所在直线)交于一点锐角三角形三条高线交于三角形内部一点,直角三角形三条高线交于直角顶点，钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点。
5、三角形的三条中线交于三角形内部一点。
6. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
7. 三角形的分类(2) 按边分8. 三角形的主要线段（1）、三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，_______________的线段叫做三角形的高线.（2）、三角形角平分线的定义：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的之间的线段叫做三角形的角平分线。
（3）、三角形的中线定义：连结三角形一个的线段叫做三角形的中线。
9. 三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性。
10. 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。
11. 三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°12. 三角形的外角与内角的关系（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
13、n边形的内角和等于(n－2)·180 .多边形的外角和都等于360°.我们通过把多边形划分为若干个三角形，用三角形内角和去求多边形内角和，从而得到多边形的内角和公式为（ｎ－２）×180°。
第十二章 全等三角形
续表
核心内容
角的平分 线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距 离相等． 几何语言:如图①，∵点P是∠AOB的 平分线上的一点，PD⊥OA， PE⊥OB，∴PD=PE.
角的平分线的判定：(1)定义法；(2)角的内部到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言:如图②， ∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴点P在∠AOB的平分线上.
续表
核心内容
角的平分 线的性质
尺规作图
三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三 边的距离相等；三角形内到三边距离相等的点是三条内 角平分线的交点. 作一个角等于已知角
作一个角的平分线
HL——斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
续表
核心内容
三角形全 等的判定
三角形全等的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于 题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的 夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组 对应边;若已知一边一角对应相等，则找另一组角，或找 这个角的另一组对应邻边．
数学● 八年级 ●全一册● 配人教版
第一部分 新 课 内 容
第十二章 全等三角形
本章知识结构图
核心内容
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角 形．“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形 全等时，通常把对应顶点写在对应全等三角形重合到 一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边； 重合的角叫做对应角．
续表
核心内容
全等三角 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边,两边的 形的性质 差小于第三边.
SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等.
SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.
直角三角形知识梳理
证明：∵∠ABC＝90°，且点 E 是 AC 的中点， ∴EB＝12AC． 同理：ED＝12AC． ∴EB＝ED． ∴∠EBD＝∠EDB．
18．(8 分)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知： OA＝1，OB＝2，OC＝3，OD＝4，CD＝5．求四边形 ABCD 的周长．
解：∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，∴△DCO 为直角三角形，且∠COD ＝90°． 在 Rt△ DAO 中，AD＝ 12＋42＝ 17， 在 Rt△ BAO 中，AB＝ 12＋22＝ 5， 在 Rt△ BCO 中，BC＝ 22＋32＝ 13， ∴四边形 ABCD 的周长为 17＋ 5＋ 13＋5．
1z 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则∠A′DB＝( C ) A．40° B．30° C．20° D．10°
2．如图，在△ ABC 中，CD⊥AB 于 D，且 E 是 AC 的中点．若 AD＝ 6，DE＝5，则 CD 的长等于( D )
重难点 4 角平分线的性质和判定 【例 4】 如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平 分线交于 P 点，PD⊥AC 于 D，PH⊥BA 于 H，求证：AP 平分∠HAD． 【思路点拨】 过 P 作 PF⊥BE 于 F，根据角平分线的性质可得 PH＝ PF，PF＝PD，有 PD＝PH，再根据角平分线的判定可得结论．
证明：连接 AC． 在 Rt△ ABC 和 Rt△ ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， ∴Rt△ ABC≌Rt△ ADC(HL)． ∴BC＝DC． ∵BE⊥EF，DF⊥EF， ∴∠E＝∠F＝90°．
在 Rt△ BCE 和 Rt△ DCF 中， BC＝DC， BE＝DF， ∴Rt△ BCE≌Rt△ DCF(HL)．