§7-7 正弦稳态电路功率
07第七章正弦稳态电路的分析功率部分详解
1
ω
Z
Z R j(ωL 1 )
ωC
当 ω 0
1 即 ω0 L 0C
时
Im[ Z ( j )] 0
•
I
R
jL
•
•
•U I
U
U
Z RR
u
•
电压电流同相位。
U
1
jC
谐振：当满足一定条件(对RLC串联电路，使 ( L=1/ C)， 电
路中电压、电流同相，电路的这种状态称为谐振。
串联谐振：
ω
0L
使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C。
•
I
+
• P=20kW
U cos1=0.6
C
_
•
•
IL
IC
R
•
U
L 解：
并电容前： Q QL Ptg1
并电容后： Q QL QC
Q Ptg2
C
P U
2
( tgφ1
tgφ2 )
QC Q QL QC CU 2
cosφ1 0.6 得： φ1 53.13 cosφ2 0.9 得： φ2 25.84
有：
•
•
U ZI
•
(R jX ) I
或：
•
•
I YU
•
(G jB)U
复功率 或：
• •
SU I
• •
ZII
(R jX )I 2
• •
SU I
•
U (Y
•
U
)
(G
jB)U
2
R、L、C元件的复功率为：
•
•
SR UR I R
• •
第6章 正弦稳态电路的功率
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
电路分析基础正弦稳态电路的功率
电路分析基础
对指标点1-2的贡献： • 掌握正弦稳态功率的基本知识，能够应用基本理论分 析计算正弦稳态功率问题。 对指标点2-2的贡献： • 能够运用电路网络的基本定理，准确描述二端网络的 等效阻抗、阻抗匹配等工程问题。
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
1、瞬时功率
设端口电压、电流，且 u(t) Um cos(t u )V
S
显然 cos(u i ) 功率因数角：u i
有功功率、无功功率、视在功率的关系：
SQ
S2 P 2 Q2
P
功率三角形
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
5、复功率
，
设：U Uu I Ii
定义： S~ UI 伏安（VA）
视在功率： S UI 复功率： S~ UI
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电路分析基础
测试题2 有功功率、无功功率、视在功率、复功率、 功率因素之间有何联系？
S~ P 2 Q2 S
P Re S
S~ P jQ
P
S
Q Im S
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电路分析基础
测试题3 填空题
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电路分析基础
例1 电路如图所示，已知 is (t) 20 cos100tmA 求三条支路的有功功率、视在功率和功率因数。
（2）电容
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
（3）电感 z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
（4）若二端网络不含受控源，则 L
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
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电路分析基础
正弦稳态电路的瞬时功率与平均功率电工基础
正弦稳态电路的瞬时功率与平均功率 - 电工基础图1(a) 表小—个任意的无源二端网络，设端口电压为，电流为，不论电压、电流的波形如何，网络在任一瞬时吸取的功率，即瞬时功率，等于网络端口瞬时电压与瞬时电流的乘积：图 1 任意的无源二端网络（ 1 ）对于正弦电流电路而言，电压与电流是同频率的正弦时间函数，但在相角上，一般有所区分。
设则 ( 2 )式中为电路输入端电压超前于电流的相角差，即电路的等效阻抗的隔角。
二端网络吸取的平均功率 (average power)( 简称功率 ) 等于上述瞬时功率在—周期内的平均值，故平均功率或 ( 3 )如前所述，式中认为二端网络输入端电压超前于电流的相角，即二端网络端口等效阻抗的辐角。
式〔 3) 表明，二端网络吸取的平均功率等于它所吸取的瞬购功率的伤定重量，当己知一端网络端口电压和电流的存放值 ( 或幅值 ) 以及电压超前十电流的相角时，即可按式 (6—7—3) 计算二端网络吸取的平均功率。
对于正弦电流电路中的电感元件或电容元件来说，由于端口电压与电流间的相角差为，即元件吸取的平均功率 ( 4 ) 即无论电压幅值及电流幅值多大，电感元件与电容元件吸取的平均功率恒等于零。
但瞬时功率却并非恒等于零。
依据式 (2) 可得( 5 )即瞬时功率 P(t) 仅含简谐重量、其值可正可负：这表明，虽然就任一瞬时来看，电感元件与电容元件或是从电源获得能量，或是将能量反送回电源，但在任—周期内，元件获得的总能量等于它释放出的总能量。
这正是由佬能元件只能储存能量而不能消耗能量的特性所打算的。
对于正弦电流电路中的电阻元件来说，由于端口电压与电流同相，即元件吸取的平均功率 ( 6 )而其瞬时功率( 7 )这表明。
不仅电阻元件吸取的平均功率恒为正值，而且它在任何瞬时吸取的瞬时功率也个可能成为负值。
这正是由线性正值电阻元件只能消耗能量间不行能释放能量的特性所打算的。
7.3 正弦稳态电路的功率
cos t ω无源网络(1cos2φ+第一种分解形式()()cos cos 2p t UI φt φω=+-⎡⎤⎣⎦UI cos j 恒定分量UI cos (2ωt －j )为正弦分量ωtiOu p (t )∙p 有时为正,有时为负；∙p >0,电路吸收功率；∙p <0，电路发出功率；ωtOp（2）平均功率（有功功率）P第 2 页第二种分解形式：()()cos 1+cos2sin sin 2p t UI φt UI tωj ω=+UI cos j (1+cos2ωt )≥0为不可逆分量UI sin j sin2ωt 为可逆分量ωto能量在电源和一端口之间来回交换（3）无功功率Q可逆分量的最大值定义为无功功率sin Q UI φ=单位：var (乏)Q >0，表示网络吸收无功功率Q <0，表示网络发出无功功率无功功率第 4 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）R 、L 、C 元件及阻抗Z 的有功功率和无功功率P R =UI cos j =UI cos0︒=UI =I 2R =U 2/R Q R =UI sin j =UI sin0︒=0P L =UI cos j =UI cos90︒=0Q L =UI sin j =UI sin90︒=UI=I 2X LP C =UI cos j =UI cos(-90︒)=0Q C =UI sin j =UI sin (-90︒)= -UI=I 2X Cu i R+-i u C+-i u L+-电感的无功功率>0吸收无功电容的无功功率<0发出无功第 5 页u i Z+-P Z =UI cos j Q Z =UI sin j 2L L 2C C 00Q I X Q I X ⎧=>⎪⎨=<⎪⎩=I |Z|I cos j =I 2|Z|cos j =I 2R =I |Z |I sin j =I 2|Z |sin j =I 2X＝I 2(X L ＋X C )=Q L ＋Q C发出无功吸收无功电感和电容具有无功互相补偿的作用第 6 页以感性负载为例R cos P UI U I j ==G cos P UI φUI ==jIUBI GI X sin Q UI U Ij ==Bsin Q UI φUI ==RX +_+_+_U RU XU I GB+_GI IBI U jIURU XU XU 电压的无功分量RU 电压的有功分量GI 电流的有功分量BI 电流的无功分量（3）电压、电流三角形第8 页R P U I =GP UI =X Q U I=BQ UI =jSPQj⎥Z ⎪RX相似三角形jII GI BjUU RU XRX +_+_+_U RU XU I GB+_GI I BI U P =I 2RQ =I 2XRX +_+_+_U RU XU I第9 页3、复功率*S UI= U I负载+_定义：()u iS UI j j =∠- *S UI = 也可表示为：**()S UI U UY ==j P Q =+cos j sin UI φUI φ=+UI φS φ=∠=∠2ZI=有功功率无功功率视在功率*ZII = ***2UU Y Y U == 复数第10 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）()R L C P P Q Q Q =∑⎧⎨=+∑⎩总总视在功率不守恒=+j S P Q 总总总()R L C j P Q Q =++∑∑()RL C j P Q Q ⎡⎤=++∑⎣⎦=S ∑ =S S∑ 总复功率守恒无功功率守恒有功功率守恒=S S∑总第11 页求电流源发出的复功率o o 100 236(37.1)VU Z =∠⨯=∠- 例题解法1()()o10j25//5j1523.6(37.1)Z =+-=∠-W()*o o 236(37.1)100 1.88j1.42 kVAS UI ==∠-⨯∠=- +_U 10∠0oA10W j25W5W -j15W第12 页o o 100 236(37.1)VU Z =∠⨯=∠- 解法2()()o10j25//5j1523.6(37.1)Z =+-=∠-W23610 2.36 kVAS UI ==⨯≈+_U 10∠0oA10W j25W5W -j15W()o 2.36(37.1) 1.88j1.42 kVAS =∠-=- 第13 页21I Z =+_+ A_= 8.77* AW V+_D I30⨯4、功率因数的提高设备容量S (额定)向负载送多少有功由负载的阻抗角决定。
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
正弦电路的功率（ＰＤＦ）
今日作业：7-117-137.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State一、瞬时功率(Instantaneous Power)----W二、平均功率(Average Power or Active Power)----W 三、无功功率(Reactive Power)----Var 四、视在功率(Apparent Power)----VA 五、功率因数（Power Factor ）的提高六、复功率(Complex Power)----VA7.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State正弦稳态电路+_ui一、瞬时功率(Instantaneous Power)----WA)cos(2V cos 2ϕωω−==t I i t U u 设：tUI t UI t t UI t UI t t UI ui p ωϕωϕϕϕωϕωϕϕωϕωω2sin sin ]2cos 1[cos ]cos sin 2sin cos 2[cos )cos )2[cos()cos(cos 2⋅++=+⋅+⋅=+−=−⋅==ωti,u,p[cos(2)cos )cos [1cos 2]sin sin 2p UI t UI t UI tωϕϕϕωϕω=−+=++⋅ϕcos UI 不可逆部分可逆部分返回二、平均功率(Average Power or Active Power)----Wϕcos )(10UI dtt p T P T==∫cos ϕ−−功率因数正弦稳态电路+_U I计算平均功率的两种方法ϕcos )()(UI P P P R=∑=21RXtg iu 121−=−=ϕψψϕϕ）（）的求解：（返回三、无功功率(Reactive Power)----Var sin Q UI ϕ=计算无功功率的另一种方法XQ Q =∑返回正弦稳态电路+_U I 四、视在功率(Apparent Power)----VA22S P Q UI=+=PQSϕ功率三角形注：在工程上视在功率用来表示电源设备（变压器、发电机等）的容量，也可用来衡量发电机可能提供的最大平均功率（额定电压×额定电流）正弦稳态电路+_U I等于多少？问：此电路的功率因数，另一个负载的，，已知一个负载的)(.cos )(.cos 0850Kw 90070Kw 70222111>==<==ϕϕϕϕP P P 1cos ϕ1P 2cos ϕ21I 2I I+_U解例1问题的提出：日常生活中绝大部分负载为感性cos ϕI当U 、P 一定时，∴五、功率因数（Power Factor ）的提高P =P R =UI cos ϕ其消耗的有功功率为：R LR U LU IU +-+-+-1、线路损耗增加；2、终端负载工作电压降低，影响其正常工作；3、电源容量增加。
电路课件-正弦稳态电路的功率
i(t) Im cos( t i ) 2I cos( t i )
暫態功率為
p(t) u(t)i(t) Um cos( t u )Im cos( t i )
1 2
U
m
I
m
[cos(
u
i
)
cos(2 t
u
i )]
P
1 2
U
m
I
m
1 2
Im2R
1 2
Um2 R
2、網路等效阻抗為一個電抗。 此時單口網路電壓與電流相位為正交關
係，即Z=u-i =90, (+電感,－電容)
pL (t) UI cos(2 t 2u 90 ) pC (t) UI cos(2 t 2u 90 )
是頻率為2的正弦量，在一段時間內
2
1000
8.26W
2 若採用匹配網路滿足共軛匹配條件，
1000Ω負載電阻可能獲得的最大平均功
率為
PL
100 100 100
2
100
25W
可見，採用共軛匹配網路，負載獲得的
平均功率將大大增加。
3 設計一個由電感和 電容構成的網路來滿 足共軛匹配條件，以 使負載獲最大功率。
上圖網路是可滿足上述條件的一種方案。
*
ZL RL jXL Z o
所獲最大功率：
Ro jXo
Pmax
U
2 oc
4 Ro
例20 圖示電路，已知ZL為可調負載,試
求ZL為何值時可獲最大功率?最大功率
為多少? 2 a
a
+ 10∠0o V
-
j2
ZL
正弦稳态电路分析和功率计算要点PPT课件
I
+
U
N0
Z
U I
Y
1 Z
I U
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源 第7页/共61页
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为：
I Y， U不 再表现为微积分的关系；
(2)
Y
为I一复数，记为 U
Y
=
G
+
jB
.
其中： G — 电导分量 (S)；
B — 电纳分量 (S)
BL
1 L
—
感纳
(3)
Y
I U
I U
i u
= G + jB = |Y| Y
BC = C — 容纳；
Y G2 B2
Y I U
Y
arctg
B G
Y = i – u
第8页/共61页
(4) 导纳的性质
Y
I U
I U
i u = G + jB = |Y| Y
i) B > 0 ,
Y > 0 ,
i – u > 0 ,
3 2 0 V
I1
2. 作相量分析：列解网孔方程
3. 反变换
第19页/共61页
2000
+–
I1
j1k
I2
I2
–j1k
六、结点电压法
直流电阻电路：( n个节点 , n 1个节点电压un1 , un2 ,…un (n1) )
G11u n1 G12u n2 G u 1(n1) n(n1) iS11
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
正弦稳态电路的功率2
无功功率是交流电动机和变压器运行的必要条件
四.视在功率
视在功率一般不守恒
S UI 单位： V A
又叫容量，表示电源有可能提供的最大有功功率
有功功率： P UI cos 单位： W 无功功率： Q UI sin 单位： var
视在功率： S P2 Q2 单位：V A
Z
I
X
U
U X
I
S
Q
iR 2IR sin ω t
pR
+
+
u
iR
oo
t
pR uiR 2U sint 2IR sin ωt
UIR[1 cos(2t)]
2sin2 1 cos 2
pR 0
电阻总是吸收功率
2.电感的瞬时功率
i
+
U
u -
L L IL
u 2U sinωt
iL 2I L sin (t 90o )
cos P P
S P2 Q2
提高cos 的意义：
（1）提高电源的利用率 （2）减小线路的功率损耗
提高功率因数的方法 P cos
S
S1 S
Q1
1
Q
P
Q1
P1
有功功率不变，减小视在功率，需减少无功功率 视在功率不变，增大有功功率, 需减少无功功率
R
U R
P
五. 功率因数
有功功率与视在功率的比值 P cos
I
S
++
U Z
-
Z R jX
U
Z
I
R
0 cos 1
对电源利用 率的衡量 功率因数角
X
X 0 ， 0 ， 感性 ， 滞后的功率因数 X 0 ， 0， 容性 ， 超前的功率因数
正弦稳态电路的功率
cos =0.7, P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功功率要 由负载的阻抗角决定。
一般用户： 异步电机 空载 cos =0.2~0.3
满载 cos =0.7~0.85
荧光灯
cos =0.45~0.6
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② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
6. 任意阻抗的功率计算
+i
PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R
u -
Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
＝I2(XL＋XC)=QL＋QC
QL I 2 X L 0 吸收无功功率为正
QC I 2 XC 0 吸收无功功率为负 (发出无功)
S P2 Q2 I 2 R2 X 2 I 2 Z
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
+i
u
Z
-
1 2 I
U
P UI cos I U cos I
解决办法： （1）高压传输。 （2）改进自身设备。 （3）并联电容，提高功率因数。
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分析
I
+
R IL IC
U
_
L
C
特点：
1 2 I
U
IL IC
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
-
QR =UIsin =UIsin0 =0
i
+ u
L PL=UIcos =UIcos90 =0
-
QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL
i
+
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
7-3 正弦稳态电路的功率
§7-3正弦稳态电路的功率一．瞬时功率如图所示的任意一端口电路N 0，在端口的电压u 与电流i 的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率()()()p t u t i t =⋅若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为()2cos u t U t ω= ()2cos()i t I t ωϕ=-式中u 0ψ=为正弦电压的初相位，i ψϕ=-为正弦电流的初相位，Z u i ψψψϕ=-=为端口上电压与电流的相位差。
则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为则()2cos 2cos()p t U t I t ωωϕ=⋅-[]cos cos(2)UI t ϕωϕ=+- cos cos(2)UI UI t ϕωϕ=+- 常量 两倍于原频率的正弦量cos cos 2cos sin 2sin UI UI t UI t ϕωϕωϕ=++ cos (1cos 2)sin 2sin UI t UI t ϕωωϕ=++ 不可逆部分R ()P t (0)≥ 可逆部分X ()P tN 0 i (t ) u (t ) +_二．平均功率T01()cos TPp t dt UI ϕ=⎰ 可见：1. P 是一个常量，由有效值U 、I 及cos ϕ，u i ()ϕψψ=-三者乘积确定，量纲：W2. 当P ＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P ；当P ＜0时，表示该一端口电路发出平均功率|P |。
3. 单一无源元件的平均功率：R P UI =，L C 0,0P P ==。
0900900P ϕϕ⎫<<>⎬<<⎭感性容性－，始终消耗功率。
三．无功功率正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定义为无功功率Q ，即 sin QUI ϕ可见：1. Q 也是一个常量，由U 、I 及sin ϕ三者乘积确定，量纲：乏(Var)2. R L C 0,,Q Q UI Q UI ===- 0900Q ϕ<<> 吸收无功功率 9000Q ϕ-<<< 发出无功功率四．视在功率（表观功率）S UI ，反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（V A ）。
电路基础电子教案第七章正弦稳态的功率 三相电路
之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。
此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为
P UI cos I 2 Re(Z ) U 2 Re(Y )
(7 6)
式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分
i=90, cos=0，式(7－2)变为
pL ( t ) UI cos(2t 2 u 90 ) UI sin( 2t 2 u ) pC ( t ) UI cos(2t 2 u 90 ) UI sin( 2t 2 u 180 )
值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功 率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响 相位差的数值，从而影响到功率因数cos以及平均功率 的正负。
二、功率因数
从式(7－3)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积 UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与cos的大 小密切相关，cos表示功率的利用程度，称为功率因数，
2 cos x cos y cos( x y ) cos( x y )
p(t ) UI cos UI cos(2t 2 u )
其中=u-i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形 如图所示。
周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是
量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均 功率的式(7－3)仍然适用，但此时的电压与电流的相位差 可能在 +90 到 +270 之间变化，功率因数 cos 在 0 到 -1 之间 变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供
电路分析基础正弦稳态电路功率
功率因数 cos 1 和总电压U。 I + I 解： 令 U U 0 V U 1 Z cos 0.9 25.84 u i I 16 25.84 A 2 cos1 0.8 36.9 2u 2i I 2 10 36.9 A 根据KCL: I1 I I2 16 25.84 10 36.9
P PRk
k
根据功率守恒法则：网络的总瞬时功率守恒，网络的 总平均功率守恒，网络的总无功功率守恒。
p pk 0 P Pk 0
k k
Q Qk 0
k
Sk 0 视在功率不满足功率守恒法则，即：
k
X
例题1 两个阻抗并联的单口网络如下图所示，已知
cos 0.9 I 16 A ， Z1 吸收的功率 P1 500W， （感性）， I2 10A ，cos 2 0.8 （感性）。试求通过 Z1 的电流 I1 、
视在功率(apparent power):单口网络端口电压和电流 有效值的乘积。用S表示. S UI 单位:伏安（VA），千伏安（kVA） 视在功率表示了设备的容量，即可能发出的最大有 功功率。 S S、P、Q之间满足直角三角关系。 Q 2 2
S P Q
P
功率三角形 返回
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
X
例题2 已知 i (t ) 5 2 sin(104 t 20 ) A, s 试求电路的P、S和。 i 解： 画出电路的相量模型 s u(t ) 4 is (t ) 5 2 cos(10 t 110 ) A
1 4 3 Z串 j10 6 10 j 4 6 10 2.5 10 j60 j40 j20 20 j20 总阻抗： Z 10 245 20 j20
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解（续）
电流源： Ps U Is cos(129.1 0 )
17.15 10 2 103 cos(129.1 ) 152.96mW Qs U Is sin(129.1 0 ) 17.15 10 2 103 sin(129.1 ) 188.22mVar
X
解（续）
13.72 166 mA 受控电流源的电流： 103 U C 电流源两端的电压：
1 1 3 3 3 U 3 10 j I 3 10 j 3.43 10 76 C 6 C 100 2.5 10 (3 j4) 3.43 76 17.15 129.1 V
WLav
结论：电感的无功功率等于其平均储能的2倍。 储能越多，能量交换的规模越大。
U L LI L , QL U L I L LI L 2 2WLav
1 T
T
0
1 wL (t )dt T
T
0
1 2 1 2 2 LI Lm cos ( t i )dt LI L 2 2
k
P
PR PC P控 Ps
35.29 0 (188.16) 152.96 0.09 0
Q
k
QR QC Q控 Qs 0 (47.06) (141.28) 188.22 0.12 0
120 100 80 60 40 20
u,i,p
p( t )
u( t )
i(t )
UI cos
-20 -40 -60
o
0
2
3
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
X
2.单口网络的平均功率
在u、i为关联参考方向下，单口网络的平均功率为：
UI cos 平均功率是瞬时功率中的恒定分量。 平均功率表示单口网络实际消耗或产生的功率，所以 又称为有功功率(active power)。 cos ——功率因数 ——功率因数角 功率因数反映了发电设备容量的利用率。 0 cos 1 一般情况下：
返回
X
1 P T
T
0
1 p( t )dt T
T
0
[UI cos UI cos(2 t u i )]dt
3.单口网络的无功功率
将瞬时功率改写为如下形式：
p( t ) UI cos UI cos(2 t 2 u ) UI cos UI cos cos(2 t 2 u ) UI sin sin(2ωt 2 u ) UI cos {1 cos[2( t u )]} UI sin sin[(2( t u )]
视在功率(apparent power):单口网络端口电压和电流 有效值的乘积。用S表示. S UI 单位:伏安（VA），千伏安（kVA） 视在功率表示了设备的容量，即可能发出的最大有 功功率。 S S、P、Q之间满足直角三角关系。 Q 2 2
S P Q
P
功率三角形 返回
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
结论：电容的无功功率等于其平均储能的2倍。 储能越多，能量交换的规模越大。 功率因数不能体现电路的性质，所以，通常加上 “感性”、“容性”或“超前”、“滞后”等文字 进行说明。
返回
X
6.单口网络功率的其他计算方法
无源单口网络的有功功率为网络中所有电阻元件消耗 的功率之和，也等于端口所接电源提供的有功功率。
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
1 2 wC ( t ) CuC ( t ) 任意时刻电容元件的能量： 2
在一个周期内的平均储能：
WCav
IC CUC , QC U C I C CU C 2 2WCav
1 T 1 T1 1 2 2 2 wC (t )dt CUCm cos ( t u )dt CU C T 0 T 0 2 2
5.1 纯电阻电路
u i 0, cos 1, P UI , Q 0, S UI P
表明电源发出的功率全部被负载消耗，电源和负载 之间没有能量交换。
5.2 纯电感电路
u i 90 , cos 0, P 0, Q UI , S UI Q
1 P T
T
0
1 p( t )dt T
T
0
u(t ) i (t )dt
返回
X
2.单口网络的平均功率
u(t ) 2U cos( t u ),
i(t ) 2I cos( t i )
在u、i为关联参考方向下： p(t ) ui 2UI cos( t u )cos( t i ) UI cos u i UI cos 2 t u i UI cos UI cos(2 t u i ) ( u i )
表明电源发出的功率全部用于电源和负载之间进 行能量交换，而没有能量的消耗。
5.3 纯电容电路
u i 90 , cos 0, P 0, Q UI , S UI Q
表明电源发出的功率全部用于电源和负载之间进 行能量交换，而没有能量的消耗。
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
1
I 2
Z2
14.4 j6.97 (8 j6) 6.4 j0.97
6.33 8.62 A
X
解（续）
I1 6.33A cos1 cos(8.62 ) 0.99 P1 UI1 cos 1 P1 500 U 79.79V I1 cos 1 6.33 0.99
各元件的功率分别为： 2 电阻： PR 3 103 IC 3 103 (3.43 103 )2 35.29mW
QR 0 PC 0 电容： QC UC IC 13.72 3.43 103 47.06mVar P控 U 103 UC cos[(129.1 ) (166 )] 188.16mW 受控源： Q控 U 103 UC sin[(129.1 ) (166 )] 141.28mVar
§7-7 正弦稳态电路的功率
北京邮电大学电子工程学院
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内容提要
瞬时功率和平均功率 单口网络的平均功率 单口网络的无功功率 单口网络的视在功率 特殊性质电路中的功率和能量 单口网络功率的其他计算方法
X
1 瞬时功率和平均功率
在电压、电流为关联参考方向下，元件或单口网络 的瞬时功率定义为：
p( t ) dw( t ) u( t ) i ( t ) dt
p( t ) 0，元件或单口网络吸收功率。 p( t ) 0，元件或单口网络产生功率。
在 [t1 , t2 ] 时间段内，元件或单口网络的能量为：
w(t1 , t2 ) 0 ，元件或单口网络吸收能量。 w(t1 , t2 ) 0 ，元件或单口网络释放能量。
w( t1 , t 2 ) u( t ) i ( t )dt w (t 2 ) w (t1 )
3k
103 U C
根据电容元件的VCR： jCU I C C
j25 105U j100 2.5 106U C C
U C
2.5μF
N0
以上两式联立求解得：
13.72 166 V U C 3.43 76 mA I C
1
功率因数 cos 1 和总电压U。 I + U 0 V I 解： 令U U 1 Z cos 0.9 25.84 u i 16 25.84 A I 10 36.9 A 2 cos1 0.8 36.9 2u 2i I 2 根据KCL: I I 16 25.84 10 36.9 I 1 2
纯电感电路和纯电容电路的有功功率均为零，说明电 感元件和电容元件不消耗能量，只进行能量的储存和 释放。电阻、电感和电容元件的瞬时功率分别为： u,i,p pR (t ) UI {1 cos[2( t u )]} p( t ) pL (t ) UI sin[2( t u )] pC (t ) UI sin[2( t u )] o
I s 5 110 A LC支路阻抗
6mH 20 2.5μF
j60 20 j40
I s
+
U
-
X
解（续） I Z 5 110 10 245 50 2 65 V U s 有功功率 P UIs cos(45 ) 250 W 视在功率 S UIs 250 2 353.55 VA 功率因数 cos(45 ) 0.71
t1
t2
X
1 瞬时功率和平均功率
平均功率(average power)是瞬时功率在一个时间段 内的平均值。用P表示。
1 P t 2 t1
t2
t1
1 p( t )dt t 2 t1
t2
t1
u(t ) i (t )dt
对于周期信号作用下的电路，通常以一个周期内的平 均功率进行衡量。
U 2 502 2 P 250 W R 20
X
例题3
如图所示电路，已知 100rad / s，
10 20 mA ，试验证功率平衡。 I s
I s
U
I C
解： 根据KCL：