数值计算方法 曲线拟合1 - 曲线拟合1
曲线拟合算法
曲线拟合算法
曲线拟合算法是一种数值分析中的重要技术，它可以将数据点转换成曲线，以便更好地描述数据的分布情况。
它可以增强数据的可视化效果，从而帮助人们更清晰地了解数据的规律和趋势，从而有效地改进业务流程，提高数据分析的准确性和可靠性。
曲线拟合算法的实现步骤大致为：首先，确定拟合曲线的类型，通常需要根据数据的特点来选择相应的拟合曲线，例如线性拟合、二次拟合、三次拟合等。
其次，根据拟合曲线的类型，计算拟合曲线的参数，一般根据最小二乘法来计算。
最后，根据计算出的参数绘制拟合曲线，以及计算拟合曲线的误差。
曲线拟合算法在很多领域都得到了广泛的应用，例如工程设计、统计分析、技术分析、科学研究等。
例如，曲线拟合算法可以用于预测经济数据的变化趋势，以及分析市场的发展趋势；也可以用于工程设计，例如根据数据拟合出函数，以便实现工程设计中的优化控制；此外，曲线拟合算法还可以用于科学研究，例如研究气候变化等。
总之，曲线拟合算法是一种重要的数值分析技术，它可以有效地描述数据的分布规律，可以在很多领域得到有效的应用，从而发挥重要作用。
计算机 曲线 拟合公式
计算机曲线拟合公式
拟合曲线是指在已知一组数据的前提下，通过一定的数学方法，找出一个代表这组数据的曲线方程。
这个曲线方程可以用于对数据进行预测、分析和优化等操作。
常见的曲线拟合公式包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。
1. 线性拟合
线性拟合是指拟合一个一次函数y=kx+b，其中k和b分别为
拟合曲线的斜率和截距。
通常使用最小二乘法来求解k和b。
最小二乘法是指通过最小化误差平方值的方法来确定k和b的值，误差平方值=∑(yi-(kxi+b))^2，其中yi为实际的数据值，
xi为自变量的取值。
通过求解误差平方值的导数，可以得到k
和b的值。
2. 多项式拟合
多项式拟合是指将一个多项式函数拟合到一组数据上。
多项式函数的一般形式为y=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n。
多项式拟
合的主要目的是通过多项式来描述数据中的非线性趋势。
常见的拟合方法包括最小二乘法、牛顿法、拉格朗日法等。
3. 指数拟合
指数拟合是指将一个指数函数y=a*exp(b*x)拟合到数据上。
这
种拟合常用于数据呈现出指数增长或衰减趋势的情况。
指数拟合的关键是通过对数变换将指数函数转化为线性函数，然后再进行线性拟合。
具体方法是对数据进行对数变换，然后用线性拟合的方法求解出a和b的值，再通过指数函数进行反推，得
到拟合曲线的方程。
以上是常见的曲线拟合公式及方法，拟合的具体选择要根据不同的数据趋势和实际需求进行决定。
曲线拟合方法
今天帮同学做了一个非线性函数的曲线拟合，以前没做过，所以是摸着石头过河。
费了一下午时间，终于把曲线拟合出来了，顺道也学习了使用Matlab进行曲线拟合的方法，把学习所得记录下来，和大家共享。
一、单一变量的曲线逼近Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。
下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；2、启动曲线拟合工具箱》cftool3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：•Custom Equations：用户自定义的函数类型•Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) •Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)•Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)•Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving•Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~•Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c•Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型•Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）•Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)•Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
数值计算方法 曲线拟合1 - 曲线拟合1
曲线拟合的程序设计
L={{-1,0.22},{-0.5,0.8},{0,2},{0.75,2.5},{1,3.75}}; k1=ListPlot[L,Prolog->AbsolutePointSize[15]] f=Fit[L,{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5},x]
曲 线 拟 合
曲线拟合的程序设计
Clear[X,Y,f,k1,k2] L={{2,1},{3,6},{5,22},{7,46},{8,61}}; f=Fit[L,{1,x^2},x]
曲 k1=ListPlot [L,Prolog->AbsolutePointSize[15]] 线 k2=Plot[f,{x,0,10}] 拟 Show[k1,k2] 合
+ + ++
a1 a2u
u 1 x
a1ea2x ln ln a1 a2 x
情形分析
例 3.1 根据离散数据做出线性拟合并计算均方误差：
xi
-1.00
-0.50
0
0.75
1.00
曲 线
yi
0.2200 0.8000 2.0000 2.5000 3.7500
拟
设拟合直线 p( x) a0 a1 x
化简法方程
5 0.25
0.25 2.8125
a0 a1
9.45 5.005
求解法方程 a0 1.80906, a1 1.61875
求拟合曲线 ( x) 1.80906 1.61875x
拟合的误差
5
R ( p( xi ) yi )2 0.42 i 1
曲线拟合的程序设计
Clear[X,Y,f,k1,k2]
曲线拟合方法
曲线拟合方法曲线拟合方法是在数据分析中应用广泛的一种数学模型，它能够有效地拟合一组数据，从而推断出它背后的现象，同时推断出现象的规律。
曲线拟合方法是最常用的无比可以满足实际应用要求的符号方法之一，在实际应用中可以清楚地看到它的优越性。
一、曲线拟合方法的定义曲线拟合方法是一种用来拟合数据的数学方法，即将一组数据拟合到一条曲线上，从而求解出拟合曲线的方程。
一般来说，曲线拟合方法是根据给定的数据集，通过最小二乘法来拟合出曲线的方程，以表述和描述该数据的特征。
曲线拟合方法给我们提供了一种比较直观和有效的数据分析工具，可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象及其规律。
二、曲线拟合方法的基本思想曲线拟合方法的基本思想是将一组数据以曲线的形式，以拟合精度最高的方式拟合出曲线的方程。
有多种拟合方法，比如线性拟合、参数拟合、二次拟合、多项式拟合等，可以根据实际的数据特点，选择合适的拟合方法。
拟合方法的最终目的是使拟合曲线越接近原始数据，越接近实际情况，以此来求解出拟合曲线的方程，并且能够有效地反映出数据的规律特征。
三、曲线拟合方法的应用曲线拟合方法在实际工程中被广泛应用，它的应用非常广泛，可以用于各种数据的拟合，其中包括统计学中的数据拟合、物理学中拟合各种非线性函数曲线，以及优化、控制理论中根据给定数据拟合控制参数等。
曲线拟合方法可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象，以及它们背后的规律，因此，曲线拟合方法在预测及数据分析中具有重要的作用。
四、曲线拟合方法的优缺点曲线拟合方法的优点在于它的拟合效果好，能够有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象，以及它们背后的规律，因此它可以提供丰富、有价值的数据分析以及预测服务。
但是，曲线拟合方法也有一些缺点，比如它拟合的曲线不一定能够代表实际情况，有可能导致拟合出错误的结果，因此在使用时要注意控制拟合精度。
曲线拟合的方法及过程
一、课程设计题目： 对于函数 xex x f --=)(从00=x 开始，取步长1.0=h 的20个数据点，求五次最小二乘拟合多项式5522105)()()()(x x a x x a x x a a x P -++-+-+= 其中 ∑===1995.020i ix x 二、原理分析 （1）最小二乘法的提法当数据量大且由实验提供时，不宜要求近似曲线）（x y φ=严格地经过所有数据点),(i i y x ，亦即不应要求拟合函数）（x ϕ在i x 处的偏差（又称残差）i i i y x -=)(φδ(i=1,2,…,m)都严格的等于零，但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求偏差i δ适当的小还是必要的，达到这一目标的途径很多，例如，可以通过使最大偏差i δmax 最小来实现，也可以通过使偏差绝对值之和∑ii δ最小来实现……，考虑到计算方便等因素，通常用使得偏差平方和∑ii 2δ最小（成为最小二乘原则）来实现。
按最小二乘原则选择近似函数的方法称为最小二乘法。
用最小二乘法求近似函数的问题可以归结为：对于给定数据),(i i y x(i=1,2,…,m)，要求在某个函数类Φ中寻求一个函数）（x *ϕ，使[][]21)(21*)()(min ∑∑=Φ∈=-=-mi iix mi iiy x y x ϕϕϕ（1-1） 其中）（x ϕ为函数类Φ中任意函数。
（1）确定函数类Φ，即确定）（x ϕ的形式。
这不是一个单纯的数学问题，还与其他领域的一些专业知识有关。
在数学上，通常的做法是将数据点),(i i y x 描绘在坐标纸上，然后根据这些点的分布情况来选择的）（x ϕ形式。
（2）球最小二乘法的解，即求满足条件（1-1）的近似函数）（x *ϕ。
（3）最小二乘法的实验原理 设）（x ϕ具有如下形式）（x ϕ=F),,,,10x a a a n ⋅⋅⋅（ （1-2） 其中n<m, k a (k=0,1,…,n)是待定参数，求具有这种形式的最小二乘解的实质，就是要适当选择k a =*k a (k=0,1,…,n)，使相应的函数 ),,,,()(**1*0*x a a a x n ⋅⋅⋅=ϕ （1-3） 满足条件（1-1），也就是说，点),,,(**1*0n a a a ⋅⋅⋅是多元函数 []211010),,,,),,,∑=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅mi i i n n y x a a a F a a a s （（的极小点，从而使**1*0,,,n a a a ⋅⋅⋅满足方程组0S=∂∂ka ，(k=0,1,…,n) （1-4） 因此，可以通过解上述方程组（称为法方程组）来求取*k a (k=0,1,…,n)，以便获得最小二乘解。
拟合曲线公式
拟合曲线公式拟合曲线公式（CurveFittingFormula，简称CFF）指的是根据一组已知的数据点，以函数的形式得出拟合曲线的方法。
拟合曲线公式通常是以最小二乘法（Least Squares Method）来求解的。
最小二乘法是指将拟合曲线的数学表达式引入给定的点集中，并对给定点的离散程度进行最小化，以此达到拟合曲线的目的。
最小二乘法可以用于拟合线性函数，也可以用于拟合非线性函数。
拟合曲线公式包括多项式函数、指数函数、对数函数、函数和指节函数等。
多项式函数是指以x为自变量，系数构成的多项式为因变量的函数。
如常见的一元二次方程式：y=ax2+bx+c（a、b、c为系数）。
多项式函数可以拟合简单的数据，但当数据的起伏较大时，它的拟合性就不太好，此时可以考虑使用指数函数或其他更复杂的函数。
指数函数是指以x为自变量，以e为底数构成的指数式为因变量的函数。
如：y=2e^x（2为系数）。
指数函数一般用于拟合快速增长或下降的数据，它的优点是能够很好地拟合大范围的数据。
对数函数是指以x为自变量，以a为底数构成的对数函数为因变量的函数。
如：y=loga(x)（a为系数）。
对数函数一般用于拟合大范围的数据，它的优点是可以拟合大范围的数据，但是对数函数只能拟合正数，负数无法用对数函数拟合。
函数是指以x为自变量，构成的式为因变量的函数。
如：y=x^2（2为系数）。
函数可以拟合快速增长或下降的数据，但它只能拟合一个范围，如果要拟合多个范围的数据就需要使用多元函数了。
指节函数是指以x为自变量，构成的指节式为因变量的函数。
如：y=sin(x)（x为系数）。
指节函数可以拟合周期性的数据，它的优点是可以拟合大范围的数据。
除了上面介绍的几种拟合曲线公式，还有许多其他的拟合曲线公式，如勒让德曲线、五次多项式函数、数据密集拟合函数等等，这些拟合曲线公式都有比较好的拟合效果。
总之，拟合曲线公式是一种定性分析技术，能够更好地描述和分析给定数据点之间的联系，帮助人们更好地理解事物之间的关系和规律。
曲线拟合的数值计算方法实验教材
曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。
对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。
常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。
关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。
2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。
二、实验原理1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。
用解析表达式逼近离散数据的一种方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)，c）-f （f y e k k k =的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。
曲线拟合法
曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于根据离散数据拟合出函数模型的方法，可以用来估计未知数据.是统计分析中经常使用的一种数学方法，它可以用来实现从数据中获取信息的目的。
曲线拟合的最常用的方法是最小二乘法，它的主要思想是将最小的均方误差捆绑到拟合的曲线上，使得它可以更好地描述数据曲线。
曲线拟合是一个复杂的过程。
它的目的是将一系列离散点拟合成一个曲线，该曲线可以刻画数据点之间的关系。
它可以帮助研究者更好地理解数据，并对数据进行进一步研究。
首先，研究者需要确定拟合曲线的函数形式，例如多项式，指数或对数函数，接着将参数估计出来，这一步通常使用标准的最小二乘估计方法。
有时候，参数的估计可能会受到多种因素的影响，但对于拟合曲线的准确性来说，参数的估计是非常重要的。
此外，在最小二乘估计方法中，也需要考虑多元变量之间的关系，这要求研究者针对每一种可能的关系预估参数。
另外，有许多类型的拟合方法，不同的拟合方法适用于不同的数据集，比如，动态拟合法、矩阵法和多元拟合法，这些方法可以帮助研究者在拟合表达式中找到更准确的参数值。
总的来说，曲线拟合法是一种有效的数据模型，它可以根据离散数据拟合出函数模型，这有助于研究者更全面地理解数据，并能够预测出未知点的值，有效地估计出参数。
它在统计学中有着广泛的应用，这种方法对于提高数据分析的精度，预测未知变量，并更加准确地描
述数据曲线都有着重要意义。
线性曲线拟合程度计算公式
线性曲线拟合程度计算公式引言。
线性曲线拟合是一种常见的数据分析方法，它可以帮助我们找到数据中的趋势和规律。
在实际应用中，我们经常需要评估线性曲线拟合的程度，以确定拟合是否准确。
本文将介绍线性曲线拟合程度的计算公式，并讨论其在实际应用中的意义和应用。
线性曲线拟合程度计算公式。
线性曲线拟合程度的计算公式通常使用R方值（R-squared）来衡量。
R方值是一个统计量，用于评估拟合模型对观测数据的拟合程度。
它的取值范围在0到1之间，越接近1表示拟合越好，越接近0表示拟合越差。
R方值的计算公式如下：R方 = 1 (Σ(yi ŷi)²) / Σ(yi ȳ)²。
其中，yi表示观测数据的实际值，ŷi表示拟合模型的预测值，ȳ表示观测数据的平均值。
通过计算R方值，我们可以评估拟合模型对观测数据的解释能力，进而确定拟合的程度。
R方值的意义和应用。
R方值是一种常用的拟合程度衡量指标，它在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，R方值可以帮助我们评估拟合模型的准确性。
通过比较不同模型的R方值，我们可以确定哪个模型对观测数据的拟合效果更好，从而选择最合适的模型。
其次，R方值还可以帮助我们理解数据的变异性。
当R方值接近1时，说明观测数据的变异性大部分可以由拟合模型解释，反之则说明模型的解释能力较弱。
最后，R方值还可以用于预测模型的可靠性。
当R方值较高时，我们可以认为拟合模型的预测结果比较可靠，反之则需要对模型进行进一步的验证和调整。
实际应用。
线性曲线拟合程度计算公式在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们经常需要对股票价格走势进行拟合分析，以预测未来的价格变化。
通过计算R 方值，我们可以评估拟合模型对股票价格走势的拟合程度，从而确定预测结果的可靠性。
在医学领域，线性曲线拟合也常用于分析药物的剂量-效应关系。
通过计算R方值，我们可以评估拟合模型对药物剂量和效应之间的关系的拟合程度，从而确定最佳的用药方案。
拟合曲线的方法(一)
拟合曲线的方法(一)拟合曲线拟合曲线是一种数据分析方法，用于找到最符合给定数据的函数曲线。
在实际应用中，拟合曲线广泛应用于计算机图形学、统计学和机器学习等领域。
不同的方法可以应用于不同类型的数据和问题，下面将介绍几种常见的拟合曲线方法。
线性拟合线性拟合是最简单也是最常见的拟合曲线方法之一。
其基本思想是通过一条直线来拟合数据点。
线性拟合常用于描述两个变量之间的线性关系。
线性拟合的数学模型可以表示为：y=a+bx，其中y是因变量，x是自变量，a是截距，b是斜率。
线性拟合的目标是通过最小化实际数据点和拟合直线之间的误差来确定最佳的a和b。
多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来拟合数据点的方法。
多项式函数是由多个幂函数组成的函数，可以适应各种形状的数据。
多项式拟合的数学模型可以表示为：y=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中y是因变量，x是自变量，a0,a1,…,a n是拟合函数的系数。
多项式拟合的目标是通过最小化实际数据点和拟合曲线之间的误差来确定最佳的系数。
曲线拟合曲线拟合是一种通过曲线函数来拟合数据点的方法。
曲线函数可以是任意形状的函数，可以适应各种复杂的数据。
常见的曲线拟合方法包括：贝塞尔曲线拟合贝塞尔曲线拟合是一种用于拟合平滑曲线的方法。
贝塞尔曲线由控制点和节点构成，通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。
贝塞尔曲线拟合的目标是通过最小化实际数据点和贝塞尔曲线之间的误差来确定最佳的控制点和节点。
样条曲线拟合样条曲线拟合是一种用于拟合光滑曲线的方法。
样条曲线由多个局部曲线段组成，每个曲线段由一组控制点和节点定义。
样条曲线拟合的目标是通过最小化实际数据点和样条曲线之间的误差来确定最佳的控制点和节点。
非线性拟合非线性拟合是一种用于拟合非线性关系的方法。
非线性关系在现实世界中很常见，例如指数函数、对数函数等。
非线性拟合的数学模型可以表示为：y=f(x,θ)，其中y是因变量，x是自变量，θ是模型的参数。
曲线拟合的实用方法与原理
曲线拟合的实用方法与原理曲线拟合是一种常用的数据分析方法，它可以通过寻找最佳拟合曲线来描述一组数据的趋势和关系。
在科学研究、工程技术、金融分析等领域中，曲线拟合被广泛应用于数据模型的建立、预测和优化等方面。
本文将介绍曲线拟合的实用方法和原理，帮助读者更好地理解和运用这一分析工具。
一、曲线拟合的基本概念曲线拟合是指通过一组已知数据点，寻找一条函数曲线来逼近这些数据点的过程。
拟合曲线的选择通常基于拟合误差最小化的原则，即找到一条曲线，使得它与实际数据点之间的误差最小。
二、常见的曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，它通过最小化拟合曲线与实际数据点之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法在实际应用中较为简单和灵活，能够拟合各种类型的曲线，如线性曲线、多项式曲线、指数曲线等。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来拟合数据点的方法。
它可以通过最小二乘法来确定多项式的系数，从而得到最佳拟合曲线。
多项式拟合可以适用于不同阶数的多项式，阶数越高，拟合曲线越复杂，能够更好地逼近实际数据。
3. 曲线拟合工具除了最小二乘法和多项式拟合外，还有一些专门的曲线拟合工具可供使用。
例如，MATLAB和Python中的Scipy库提供了丰富的曲线拟合函数，可以根据实际需求选择合适的拟合方法和工具。
三、曲线拟合的实际应用曲线拟合在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个典型的实际应用案例：1. 经济数据分析曲线拟合可以用于分析经济数据的趋势和关系。
例如，通过对历史GDP数据进行曲线拟合，可以预测未来的经济增长趋势，为政策制定和投资决策提供参考。
2. 工程建模在工程领域，曲线拟合可以用于建立物理模型和优化设计。
例如，通过对实验数据进行曲线拟合，可以得到物质的力学性质曲线，从而优化材料的设计和使用。
3. 股票价格预测曲线拟合可以用于股票价格的预测和交易策略的制定。
通过对历史股票价格数据进行曲线拟合，可以找到潜在的趋势和周期性，从而为投资者提供决策依据。
第五章 曲线拟合
泰勒展开
arctgx x x3 x5 .....取. arctgx x 35
R(x) | arctg11| 0.2146
以x＝0,x=1 作线性插值
arctgx x 1 arctg0 x 0 arctg1 0.7854x
0 1
1 0
R(x) (1 2 ) x(x 1) 0.0711
n
ck j Pk (x j ) y j j 1
m
cik ai ck (k 0,1...m)
i0
写成方程组形式
c00a0 c01a1 c0mam c0 c10a0 c11a1 c1mam c1
cm0a0 cm1a1 cmmam cm
二、正交多项式的曲线拟合
1.) 概念：
)2
j 1
j 1 i0
对ak求偏导数（k＝0,1…m)
ak
nm
2
(
ai
x
i j
j1 i0
y
j
)
x
k j
0
m
m
n
化简得
ai
xik j
y
j
x
k j
i0 j 1
j 1
n
n
记
x
k j
Sk
y
j
x
k j
Tk
j 1
j 1 m
aiSki Tk (k 0,1m)
i0
写成矩阵形式
S0 S1 S2 Sm S1 S2 S3 Sm1 S2 S3 S4 Sm2 Sm Sm1 Sm2 S mm
0 (k 0,1,m)
ak
n
m
j[ ai Pi (x j ) y j ]Pk (x j ) 0
曲线拟合方法
曲线拟合方法曲线拟合方法是一种利用有限的数据点来拟合出一条最合适的曲线的数学技术。
它可以用来描述某一给定的实际场景或其他类型的复杂数据，从而获得较准确的曲线。
曲线拟合方法可以用于类似统计学、模式识别、算法实现等诸多领域。
一般来说，曲线拟合方法基于两个基本概念，即模型选择和参数估计。
模型选择是指选择能够最好描述给定数据的模型，而参数估计是指寻找出能使模型最好描述数据的参数。
这一类方法涉及的具体内容可以归纳为多元函数拟合，初等函数拟合，最小二乘法，最小均方法，最小二乘曲线拟合，加权最小二乘法，最大期望法，梯度下降法和计算流模型等，它们可以用数学公式和求解方法描述。
多元函数拟合是曲线拟合的常见方法，它是指利用多个变量来拟合出某一曲线。
即将函数拟合为具体的表达式形式，从而获得一个具体的拟合曲线。
这类方法通常采用最小二乘法来求解参数，从而获得拟合曲线。
初等函数拟合是曲线拟合中一种简单的方法，它是指使用初等函数（指一次函数、二次函数、三次函数等）来拟合给定的数据点，这些函数可以通过一定的规律参数来拟合数据点。
初等函数早在18世纪就发明了，它的正确率和准确率一直受到广泛赞扬。
最小二乘法是曲线拟合方法中最常用的算法之一，它是指在曲线拟合过程中基于最小二乘原理，对参数估计值进行优化。
注意，在使用最小二乘法时，最重要的是要保证拟合曲线的误差能够被最小化，从而能够得到尽可能最准确的结果。
最小均方法是曲线拟合方法中有效的数据模型估计方法，它是指用最小均方值来评估给定的参数，从而获得拟合曲线。
最小均方法与最小二乘法的基本思想相同，但其实现方法有所不同，例如它利用线性代数知识，从而可以计算出拟合曲线。
最小二乘曲线拟合是一种更加复杂的拟合方法，它是指用最小二乘法来拟合非线性的数据。
该方法利用最小二乘法求解参数，从而获得拟合曲线，因此曲线的拟合精度会更高。
加权最小二乘法是曲线拟合方法中有效的算法，它是指在曲线拟合过程中，对数值加权，以满足某些特定要求，并利用最小二乘法来估计参数值，从而得到更准确的拟合曲线。
拟合曲线算法
拟合曲线算法
拟合曲线算法是一种在平面上用连续曲线近似描述离散数据点之间函数关系的方法。
它可以用于分析和预测数据，从而在科学、工程和数学等领域解决一系列问题。
拟合曲线算法主要包括以下几种：
1.线性拟合：通过最小化误差平方和，找到一条直线或多项式，使得这条直线或多项式与数据点之间的误差最小。
线性拟合常用的工具有最小二乘法、多项式拟合等。
2.非线性拟合：对于非线性数据关系，可以采用非线性函数拟合方法。
常见的非线性拟合算法有：多项式拟合、指数拟合、对数拟合、贝塞尔基函数拟合等。
3.曲线拟合：通过寻找一个连续的函数来近似描述数据点之间的关系。
曲线拟合可以分为一线性曲线拟合和非线性曲线拟合。
线性曲线拟合通常采用最小二乘法，非线性曲线拟合可以采用de Boor算法、Navier-Stokes算法等。
4.插值拟合：插值拟合是通过在数据点之间插入新的点，然后用一个连续的函数来描述这些点之间的关系。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
5.优化算法：在拟合曲线过程中，可以使用优化算法来寻找最优的拟合参数。
常见的优化算法有梯度下降、牛顿法、拟牛顿法、信赖域反射算法等。
总的来说，拟合曲线算法是一种通过寻找一个数学函数来描述数据点之间关系的方法，可以根据实际问题和数据特点选择合适的拟合算法。
在实际应用中，曲线拟合算法可以帮助我们更好地理解数据，预测趋势，并为决策提供依据。
拟合曲线公式
拟合曲线公式拟合曲线公式是一种可以用来描述函数曲线的工具，它可以用来帮助我们更好地理解和探索数据中的规律和要素。
它的应用非常广泛，可以用在工程学，物理，生物，经济学，数学和其他学科领域中。
在本文中，我们将讨论拟合曲线公式的一般形式，分析它们如何将资料转换为可控的分类模型，以及如何改变拟合曲线公式以适应非线性的实际现象。
拟合曲线公式是一个基于数学理论的模型，它可以用来描述几何学曲线，也可以用来描述复杂的函数关系。
拟合曲线公式通过根据斜率来描述函数的曲线表现，拟合曲线的公式可以让我们根据实际现象来拟合我们想要的函数曲线。
拟合曲线公式的一般形式是：y = f(x) = a + b1x1 + b2x2 + ... + bnxn其中，a表示零点的偏移量，x1到xn表示各种变量，b1到bn表示与这些变量相关的系数。
拟合曲线公式可以用来描述复杂的非线性变化，而这些变化可以表示为一个简单的函数关系。
例如，如果我们要拟合曲线来对流体流量进行模拟，可以使用拟合曲线公式来描述流体的非线性变化，如流速和流量的关系。
拟合曲线公式的另一个应用是分类模型。
它可以将一个复杂的、不同条件下的实际现象抽象出来并精简为几个变量，而这些变量就可以用来表示复杂的现象。
通过使用拟合曲线公式，可以根据不同的变量构建出不同的函数曲线，并将这些不同函数曲线抽象成一些可以被控制的分类模型。
这样，拟合曲线公式就可以用来分析实际现象，从而更好地掌握实际现象的规律性，并帮助实现预测分析。
拟合曲线公式不仅可用于描述现象，也可以用来改变现象，以便更好地满足用户的要求。
例如，当需要模拟复杂的非线性现象时，可以改变拟合曲线公式以更适应实际现象。
通过调整拟合曲线公式中的参数和变量，可以让拟合曲线更好地描述实际变化，从而更加准确地模拟出实际现象。
总之，拟合曲线公式是一种非常有用的数学模型，它可以帮助我们更好地把握实际现象，将复杂的实际现象抽象成一些可以被控制的分类模型，也可以用来改变函数曲线以满足我们的要求。
数学中的曲线拟合
数学中的曲线拟合曲线拟合是数学中一种重要的数值分析方法，它主要用于研究数据点的关系，并通过建立适当的数学模型来预测未知数据或者分析数据间的相互影响。
在各个领域中，曲线拟合都扮演着重要的角色，从物理、生物到工程等多个学科都离不开曲线拟合技术的应用。
本文将简要介绍曲线拟合的基本概念、方法和实际应用。
一、曲线拟合概述曲线拟合是指通过建立数学模型，将数据点拟合在一条曲线上，在统计学中也称为回归分析。
在拟合过程中，我们试图找到最佳拟合曲线，使得所有数据点到拟合曲线的距离尽可能小，从而能够更好地描述数据间的规律。
常用的曲线模型包括线性回归、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
二、曲线拟合方法1.线性回归线性回归是曲线拟合中最简单的一种方法，它假设数据点之间存在线性关系，即可以用一条直线来拟合数据。
线性回归的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合直线的斜率和截距。
2.多项式拟合多项式拟合是曲线拟合中常用的一种方法，它利用多项式函数来逼近数据点。
多项式拟合的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合曲线的系数。
多项式拟合可以根据数据点的特点选择合适的多项式阶数，从而更好地描述数据间的关系。
3.非线性拟合若数据点之间的关系不能通过线性函数或多项式函数来表示，就需要使用非线性拟合方法。
非线性拟合通过建立非线性模型来拟合数据点，常用的非线性模型包括指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性拟合通常需要借助数值计算方法，如最小二乘法、牛顿法或Levenberg-Marquardt算法等。
三、曲线拟合应用举例曲线拟合广泛应用于各个领域，以下举例说明其实际应用：1.物理学中的运动学分析物理学中，我们常常使用曲线拟合的方法来研究运动学问题。
通过对物体在不同条件下运动的轨迹进行拟合，可以得到运动的规律和物体的运动参数，如位移、速度、加速度等。
2.生物学中的生长模型生物学研究中，曲线拟合方法可以用于分析生物体的生长过程。
曲线拟合法讲解
最小二乘法的求解
若任意函数h( x)和g ( x)，引入记号：
m
(h, g )
h( xi ) g ( xi ),
i 1
则上述方程可以描述为(法方程)：
n
( j , k )ak ( f , k ) j 0
式中：
n
( j ,k )
i j ( xi )k ( xi )
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
x xi ,i 0,1, , n 的函数值 f (x) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
5
曲线拟合问题的提出 曲线拟合的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始终假设数据点是精确的，准确 的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如 表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
解 1.确定 V=(I)的形式。将数据点描绘在坐标上（如 下图），可以看出这些点在一条直线的附近，故用线
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
i
拟合曲线公式
拟合曲线公式拟合曲线公式是一个用来描述曲线的数学函数，有时也称为“曲线拟合”。
曲线拟合的基本原理是，给定一组数据，用尽可能最佳的参数来拟合出一个合适的函数，使数据能够尽量接近这个函数。
用拟合曲线公式来描述一组数据能够将这些数据放在数学上的统一模型中，这样就可以通过分析模型来得出关于数据的一些有用的信息，从而进行进一步的研究。
拟合曲线公式的应用广泛，常见的拟合曲线公式主要有一次曲线拟合、二次曲线拟合、三次曲线拟合、多项式拟合、Loi拟合和正弦拟合等。
它们可以用来描述温度、湿度、水压等大量复杂的各种物理和化学量，还可以用来描述用户活动、销售情况等信息，以及描述社会数量关系等过程之间的相互联系。
拟合曲线公式的基本思想是拟合出一个合适的方程来拟合变量之间的关系，即在给定的变量之间建立一个函数关系，其中函数的参数可以用来拟合数据，以求得数据拟合出来的最优关系。
拟合过程中主要采用最小二乘法、梯度下降法和其他机器学习算法，来求解出最优化参数，从而得到对应的拟合曲线。
一次曲线拟合是拟合曲线公式中最基本的一种，即用一次函数表达数据与拟合曲线之间的关系，它由一次函数y=kx+b组成，其中k 表示斜率，b表示y轴的截距，可以用此类拟合曲线描述直线的斜率和截距，从而可以获得某个模型的参数值，用于对该模型的进一步描述。
二次曲线拟合是拟合曲线公式中比较常见的一种，即用二次函数y=ax+bx+c来表达数据与拟合曲线之间的关系，它的特点是方程的参数a、b、c都可以调整，这样可以使拟合曲线明显变化，从而精确拟合出更准确的曲线，用于对图形的拟合与分析。
三次曲线拟合是拟合曲线公式中更为复杂的一种，即用三次函数y=ax+bx+cx+d来描述数据与拟合曲线之间的关系，它的特点是参数数量更多，拟合曲线更加复杂，可以用来拟合更加丰富的函数曲线，从而可以更准确地拟合出图形形状，有助于对数据进行更深入的分析。
多项式拟合是拟合曲线公式中更为复杂的一种，即用多项式y=a0+a1x+a2x+......+anx来描述数据与拟合曲线之间的关系，其中参数的个数可以任意设置，从而可以拟合出更复杂的函数曲线，用于对大量数据更为准确的拟合。
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x m 1 1
x m 1 2
a1 a2
1 x1
x m 1 n
am
x m 1 1
1 x2
x m 1 2
1 y1
xn
y2
x m 1 n
yn
拟 合
即
n
n
xi
i 1
n
x m1 i
i1
n
xi
i 1
n
xi2
i 1
n
xim
i 1
n
xm1 i
i 1 n
xim
线 拟
{a1,…am}有唯一解
QTQ 可逆
Rank (QTQ) = m
合
Rank(Q)=m
Q列满秩 {r1(x), …rm(x)}线性无关
r1( x1 ) rm ( x1 )
Q
特别地取
r1( xn ) rm ( xn )nm
{r1( x), r2 ( x)...rm ( x)} {1, x, x2 , ...xm1}
( x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn
引入记号
n
n
(rk , rj ) rk ( xi )rj ( xi ), ( y, rj ) yirj ( xi )
i 1
i 1
则方程组(1)的矩阵形式为：
曲 线
(r1, r1 )
(r2
,
r1
)
(r1, r2 ) (r2 , r2 )
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
曲线拟合的一般提法 曲线拟合的常用解法 线性最小二乘法的求解
曲线拟合的一般提法
问题描述
y
曲
y f (x)
f (x0 )
线
拟
合
0
x0
x
y
y f (x)
a o x1
x2
x3
x4
b x5
+ + ++
a1 a2u
u 1 x
a1ea2x ln ln a1 a2 x
情形分析
例 3.1 根据离散数据做出线性拟合并计算均方误差：
xi
-1.00
-0.50
0
0.75
1.00
曲 线
yi
0.2200 0.8000 2.0000 2.5000 3.7500
拟
设拟合直线 p( x) a0 a1 x
近似函数求得的近似值
y
* i
与观测值
yi
之差
i
yi
yi*
称为残差。
曲线拟合的残差
近似函数求得的近似值 yi*与观测值 yi之差 i yi yi* 称为残差。
残差的大小可反映近似函数的好坏, 常用的准则有以下三种
曲
（1）使残差的绝对值之和最小，即 i min
线
i
拟
（2）使残差的最大绝对值最小，即
令 ( x) a1r1( x) a2r2 ( x) ... amrm ( x)
(a1 , a2 , am 待定）
曲
确定 a1, a2 , am ，使得：
线 拟
i2 min
i
i yi yi*
(i 1, 2, ...m)
合
n
n
记 J (a1, a2 , am )
2 i
[ f ( xi ) yi ]2
i 1
i 1
nm
[ ak rk ( xi ) yi ]2 i 1 k 1
问题归结为，求 a1, a2 , am 使J (a1 , a2 , am ) 最小。
最小二乘法原理
n
m
r1 ( xi )[ ak rk ( xi ) yi ] 0
曲
J
0 ak (k 1,m)
i 1
k 1
i 1
n
x 2m2 i
i 1
a1 a2
am
n
yi
i 1 n
yi xi
i 1
n
yi xi m1
i 1
最小二乘法原理
思考
(QTQ)a QT y
(3)
当 (QTQ可) 逆时，（3）有唯一解：
a (QTQ)1QT y
(4)
曲
怎样选择 {r1(x), …rm(x)}，以保证系数 {a1,…am} 有唯一解？
情形分析
将数据 ( xi , yi ) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 ( x) ：
a1 a2 x
+
曲
++
线
++
拟
合
a1
a2
1 x
+
+++ +
a1 a2 x a3 x2
+
+
+ +
+
a1ea2x +
+
++ +
a1 a2 x a3 x2
++ +
+ +
+ a1ea2x
rm ( x1 )
rm ( xn )
a1
y1
a
,
y
am
yn
(QT Q)a QT y (3)
称为正则方程或法方程
最小二乘法原理
此时正则方程组为: (QT Q)a QT y
曲 线
1
x1
x m 1 1
1 x2
x m 1 2
1 1
xn
1
x1 x2
x m 1 n
1
xn
合
写出法方程
(QT Q)a QT y
1 1 R 1 1 1
1.00
0.50
0
0.75
1.00
a
a0
a1
0.2200 0.8000 Y 2.0000 2.5000 3.7500
例题分析
n
m
i 1
rm
(
xi
)[
k 1
ak rk
( xi
)
yi ] 0
线
拟
m
n
n
ak r1 ( xi )rk ( xi )
yi r1 ( xi )
合
k 1
i 1
i 1
(1)
m
n
n
k
1
ak
i 1
rm ( xi )rk ( xi )
i 1
yi rm ( xi )
最小二乘法原理
内积 ( x, y) x1 y1 x2 y2 x3 y3
(r1, rm ) a1 ( y, r1 )
(r2 ,
rm
)
a2
(
y,
r2
)
(rk , rj ) (rj , rk )
(2)
拟 合
(rm , r1 ) (rm , r2 )
(rm , rm ) am ( y, rm )
若记
r1( x1 )
Q
r1( xn )
max i
i
min
合
（3）使残差的平方和最小，即 i 2 min
i
准则（1）有绝对值，使用不方便。 准则（2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近。 准则（3）确定参数求近似函数的方法称为函数的最佳平方逼近，也称曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法原理
先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n,
x6
x
曲线拟合的一般提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点 y ( x) , 使( x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，
即曲线拟合得最好。
y
曲
+
线 拟
+
++ +
i
+
y (x)
合
+
+
( xi , yi )
+
x
i 为点 ( xi , yi ) 与曲线 y f ( x) 的距离。