13.4平行线的判定(3)
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
本文将介绍平行线的定义、性质以及常见的判定方法，并且给出相应的几何证明。
一、平行线的定义平行线是位于同一平面内并且不会相交的两条直线。
平行线之间的距离在任意两点上保持恒定。
二、平行线的性质1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角（夹角在两条平行线之间）互相相等，外错角（夹角在两条平行线之外）互相相等。
2. 平行线具有内错角性质：当一条直线与两条平行线相交时，内错角（夹角在两条平行线之间）之和等于180度。
3. 平行线具有对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所形成的对应角（位于两条平行线的同一侧，一条在交线上，另一条在交线外）互相相等。
4. 平行线具有平行四边形性质：在平行四边形中，对边平行且相等，对角线互相等分。
三、平行线的判定方法1. 通过角度判定：若两条直线被一条第三线切割时，相应角、内错角或外错角相等，则可以判定这两条直线是平行的。
2. 通过距离判定：若两条直线上的任意两点之间的距离相等，则可以判定这两条直线是平行的。
3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等，则可以判定这两条直线是平行的。
四、性质与判定的应用举例1. 平行线的性质在证明中常被用来推导其他几何结论。
例如，在证明三角形相似时，可以利用平行线的对应角性质。
2. 平行线的判定方法在几何问题中起到重要的作用。
例如，在解决平行四边形问题时，可以通过判定四边形的对边平行来证明它是平行四边形。
举例一：判断两条直线是否平行已知直线l1过点A(2, 4)和点B(6, 9)，直线l2过点C(-1, 1)和点D(3, 5)。
通过斜率判定来判断直线l1和l2是否平行。
解：直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
计算直线l1的斜率m1，可以用点斜式公式：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入A(2, 4)和B(6, 9)的坐标：m1 = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4同理，计算直线l2的斜率m2，代入C(-1, 1)和D(3, 5)的坐标：m2 = (5 - 1) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1由于斜率m1 ≠ m2，所以直线l1和l2不平行。
平行线的性质和判定
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。
平行线的判定的方法
平行线的判定的方法
嘿，你问平行线的判定方法啊？那咱就来唠唠。
一种方法呢，就是看同位角。
啥是同位角呢？就比如说两条直线被第三条直线所截，在同一位置的角就叫同位角。
如果同位角相等，那这两条直线就是平行的。
这就好比两个人站在同一条起跑线上，要是他们跑的速度一样快，方向也一样，那他们跑出来的路线肯定是平行的嘛。
还有一种方法是看内错角。
内错角就是两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，位置交错的角。
要是内错角相等，那这两条直线也平行。
比如说你走路的时候，左脚和右脚走的方向要是一样，那走出来的路线肯定也是平行的。
就像内错角相等的时候，两条直线也是平行的。
再一个方法是看同旁内角。
同旁内角就是两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，在同一侧的角。
如果同旁内角互补，也就是加起来等于 180 度，那这两条直线也平行。
这就好像两个人背靠背站着，他们往相反的方向走，走出来的路线肯定是平行的。
就像同旁内角互补的时候，两条直线也是平行的。
另外呢，还有平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这就好比你有三个好朋友，你和第一个朋友关系好，你和第二个朋友关系也好，那第一个朋友和第二个朋友关系肯定也不错。
如果两条直线都和第三条直线平行，那这两条直线也互相平行。
总之啊，判定平行线的方法有好几种呢。
你可以根据具体的情况来选择合适的方法。
嘿嘿。
平行线的判定5种方法
1.同位角相等，两条线平行。
2.内错角相等，两条线平行。
3.同旁内角互补，两条线平行。
4.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
5.如果两条直线都与第三条直线直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行）
（3）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。
平行线的判定和性质讲义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。
.（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角互补，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2） 两直线平行，内错角相等。
（3） 两直线平行， 同旁内角互补。
【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。
平行线的判定方法
平行线的判定方法平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
在几何学中，判定两条直线是否平行是一个很基础但又很重要的问题。
下面我们将介绍几种判定平行线的方法。
1. 直线与直线的判定。
当两条直线的斜率相等时，这两条直线是平行的。
斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
假设有两条直线分别为y1 = kx1 + b1和y2 = kx2 + b2，如果k1 = k2，则这两条直线平行。
举个例子，如果直线y = 2x + 3和直线y = 2x + 5，它们的斜率都为2，因此这两条直线是平行的。
2. 直线与平行线的判定。
如果一条直线与一组平行线相交时，相交线与其中任意一条平行线的交角相等，则这条直线与这组平行线平行。
举个例子，如果一条直线与一组平行线相交，交角分别为60度，而这组平行线之间的夹角也为60度，那么这条直线与这组平行线平行。
3. 平行线的性质。
两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，相交角相等。
两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，对应角相等。
两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，内错角之和为180度。
4. 实际应用。
平行线的概念在现实生活中有着广泛的应用。
例如在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，往往需要保证某些构件是平行的，这就需要工程师们灵活运用平行线的判定方法来进行设计和施工。
总结。
通过上述介绍，我们可以清晰地了解到平行线的判定方法，包括直线与直线的判定、直线与平行线的判定，以及平行线的性质。
这些方法和性质在数学和现实生活中都有着重要的应用价值，希望本文能够对读者有所帮助。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的判定ppt课件
第七章
平行线的证明
3
平行线的判定
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
课前导入
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
数学 八年级上册 BS版
平行线的判定方法.
（1）判定的基本事实：同位角
相等
，两直线平行.
如图1，用符号语言表示：
∵∠1＝∠2（已知），∴ a ∥ b （同位角相等，两直线平行）.
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数学 八年级上册 BS版
（2）如图，①由∠1＝ ∠2
，能得到 ED ∥ BC ；
∠3 ，能得到 ED ∥ BC ；
②由∠ C ＝
③由∠4＝
④由∠5与
⑤由∠ C 与
∠ ABC
∠ ABC
∠ EDC
，能得到 ED ∥ BC ；
互补，能得到 ED ∥ BC ；
ห้องสมุดไป่ตู้
互补，能得到 ED ∥ BC .
【解析】①∠1与∠2是内错角，由∠1＝∠2，能得到 ED ∥ BC ；
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数学 八年级上册 BS版
1. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a ∥ b 的是（ D
A. ∠1＝∠2
B. ∠2＝∠4
C. ∠3＝∠4
D. ∠1＋∠4＝180°
2. 如图，请添加一个条件
∠ BEF ＝∠ C （答案不唯一）
）
，使得 AB ∥ CD .
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0 3
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
（1）如图，在下列条件中，可得到 AD ∥ BC 的是（ C ）
平行线的判定
F
图中还有哪些角是内错角？∠4和∠6
探索交流2 变式图形：下面各图中的∠1与∠2都是内错角吗？
小组活动3
3 、如图：直线AB、CD被直线EF所截，观察图
形中∠4与∠5的位置关系。
A
E
21 3
同旁内角：①在截线EF的同旁
4B
②在被截直线AB、CD的
之间（内部）
65
C
78 D
F
图中还有哪些角是同旁内角？ ∠3和∠6
所截产生的内__错___角;∠2与∠3是直线_A__D__和直线
A 1
2
D
__B__C_被直线_____所截产生的内___错__角.
4
3
2.如图：
AC B
C
（1）直线AB、CD被直线CE所截， 与∠１成内错角的是？与∠１ 成同旁内角的是？
E A 3 45
B
（2）直线AB、CD被直线DE所截 与∠2成内错角的是？与∠２
1 C
2D
成同旁内角的是？
（1）∠3；∠BEC. （2）∠5；∠AED.
今天我们学到 了什么?你能 说出来吗?
知识就象一艘船 让它载着你 驶向你理想的彼岸
作业:p125面练习3及习题 10.2 第 1题
图中的还有哪些角是同位角？∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
探索交流1
变式图形：下面各图中的∠1与∠2都是同位角吗？
小组活动2
2、如图：直线AB、CD被直线EF所截，观察图形中
∠ห้องสมุดไป่ตู้与∠5的位置关系。
E 内错角：①在截线EF的两侧（位置错开）
21
②在被截直线AB、CD之间（内部）
B
A
34
65
平行线的判定ppt
平行线的判定ppt
平行线的判定
一、平行线的定义
平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
二、平行线的性质
1. 平行线之间的距离永远相等。
2. 平行线的斜率相等或互为相反数。
3. 平行线的倾斜角度相同。
三、平行线的判定方法
1. 通过两个点判定平行线
当两条直线上的任意两个点坐标的斜率相等时，可以判定这两条直线是平行线。
2. 通过斜率判定平行线
当两条直线的斜率相等时，可以判定这两条直线是平行线。
3. 通过截距判定平行线
当两条直线的斜率不存在（即为垂直于x轴或平行于y轴）且截距相等时，可以判定这两条直线是平行线。
4. 通过向量判定平行线
当两条直线的法向量相等时，可以判定这两条直线是平行线。
四、例题解析
1. 已知直线l1经过点A(-2, 3)，斜率为2，判断直线l2是
否与l1平行。
首先求出l1的斜率为2，然后找出直线l2经过的点B(x, y)，得出l2的斜率。
如果l1和l2的斜率相等，那么l2与l1平
行。
2. 已知直线l1的方程为y = -3x + 4，求直线l2与l1
平行且经过点C(2, 5)的方程。
首先根据l1的方程得出其斜率为-3，然后根据l2经过点C(2, 5)的条件，可以得出l2的方程为y = -3x + k。
再代入C点
的坐标，解方程得到k的值，最后得出l2的方程。
三、小结
通过两个点、斜率、截距或向量的判定方法，我们可以简便地判断两条直线是否平行。
在解题中，注意运用这些方法可以更快速、准确地得出答案。
平行线的判定
平行线的判定平行线的判定是几何学中非常重要的内容之一，它涉及到平行线的性质和特点。
本文将详细介绍平行线的判定方法，并通过示例来加深对该概念的理解。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
平行线之间的距离始终保持相等。
平行线的标志是使用双竖杠 || 进行符号表示。
二、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定a. 同位角相等判定法：如果两条直线被一条横截线所截，而对应的同位角互相等于或补角互相等于，则这两条直线是平行的。
b. 平行线的性质判定法：若两条直线分别与一条第三条直线相交，而对应的同位角相等或补角相等，则这两条直线是平行的。
2. 直线与平面的判定a. 直线与平面平行判定法：如果一条直线与一个平面内的另一直线平行，则该直线与该平面平行。
b. 平面切割法：若一个平面通过一条直线并与一平行于该直线的另一平面相交，则截下的直线与初始直线平行。
3. 平面与平面的判定a. 平面切割法：如果一个平面被一条与另一平面相交的直线切割，且所切割处所得的直线分别平行，则两个平面平行。
三、示例分析1. 例题一已知直线AB // 直线CD，直线AD与直线BC相交于点O。
证明：∠AOC = ∠BOD。
解析：根据已知条件可知直线AD与直线BC平行，根据平行线的性质判定法，可得∠AOC = ∠BOD。
2. 例题二已知平面α内一条直线与平面β内的另一直线平行。
证明：平面α与平面β平行。
解析：根据已知条件可得到一条直线与平面β内的另一直线平行，根据直线与平面平行判定法，可知平面α与平面β平行。
通过以上示例可以看出，平行线的判定方法是根据已知条件和平行线的性质来进行推导和证明的，具体应用要根据题目中给出的条件进行分析。
在几何学中，平行线的判定在解决实际问题和证明定理时发挥着重要的作用。
正确掌握平行线的判定方法，对于理解空间关系和几何形状的特性有着重要意义。
总结起来，平行线的判定方法包括直线与直线的判定、直线与平面的判定以及平面与平面的判定。
沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.4平行线的判定
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
在总结归纳环节，教师将引导学生回顾本节课所学内容，形成知识体系，提高学生的几何素养。
2.教学实施：
（1）教师引导学生回顾本节课的主要内容，如平行线的定义、判定方法等。
（2）学生分享学习心得，总结自己在学习过程中的收获和不足。
（3）学生展开讨论，教师巡回指导，解答学生疑问。
（4）各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
课堂练习环节旨在检验学生对平行线判定方法的掌握程度，通过分层练习，让学生在练习中巩固所学知识。
2.教学实施：
（1）设计基础题、提高题和拓展题，分别针对不同水平的学生。
（2）学生独立完成练习，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师点评，强调重点知识，指出学生在学习过程中应注意的问题。
（4）布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好铺垫。
五、作业布置
为了巩固本节课的学习内容，确保学生对平行线的判定方法有深入的理解和掌握，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第13.4节后的练习题1、2、3，这些题目主要针对平行线的基础概念和判定方法，旨在帮助学生巩固基础知识。
5.思考总结题：要求学生撰写一篇关于平行线判定方法的学习心得，内容包括对平行线判定方法的理解、学习过程中的困难与收获，以及如何将所学知识应用到实际问题中。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。在完成作业过程中，遇到问题应主动思考、查阅资料或与同学讨论，以提高解决问题的能力。
2.家长应关注学生的学习情况，协助学生合理安排时间，确保作业按时完成。
平行线的判定和性质
∵ ∠APE +∠CPE=∠APC
∴ ∠PAB +∠APC+∠PCD=360° （等量代换）
素养提升
如图所示，AB∥CD，P 为任意一点，在以下四种情况中，就每种情况 分别探究∠APC与∠PAB 和∠PCD 的关系，写出关系式并证明
解： ∠APC=∠PAB +∠PCD
A
B
证明： 作PE∥AB
E
P
∵PE∥AB
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°
F
B
∵ ∠ABF+∠CBF=∠ABC
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°
A
E
∵AB⊥AE
∴∠BAE=90° （垂直定义）
∴ ∠ABC+∠BCD=270°
例3、如图，AD∥CE，∠ABC=100°，求∠2－∠1的度数
解： 作BF∥AD
A
D
1
∵BF∥AD
方法2 从∠2顶点向右做直线c∥a
∵ c∥a ∴ ∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵ c∥a，a∥b ∴ c∥b（平行公理的推论） ∴ ∠3+∠5=180° （两直线平行，同旁内角互补）
4251 3
a c
b
∴ ∠1+∠4+∠5+∠3=360° ∵ ∠4+∠5=∠2 ∴∠1+∠2+∠3=360° ∴∠3=360° － ∠1 － ∠2 =140°
C
D
学 如逆水行舟不进则退 心 似平原走马易放难收
------《增广贤文》
E2
F
3
D
C
素养提升
平行线的判定
当 ∠ 1＞ ∠ 2时
当 ∠ 1＝ ∠ 2时
当 ∠ 1＜ ∠ 2时
a和b不平行
直线a∥b
直线a和b不平行
1.平行线的表示方法：
平行用符号“∥”表示． m
如图，直线AB和CD是平行 线，记做AB∥CD（或 CD∥AB），读做“AB平 行CD”（或“CD平行 AB”）．
D B
C
A
n
若用m、n表示这两条直 线，那么直线m与直线n 平行，记做m∥n（或 n∥m），读做“m平行 n”(或”n平行m”)．
a
30° a∥ b
两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么两直线平行．
●
117°
α
86° 51°
β
117°
86°
51°
“会不会有某一特定时刻，即使同位角 不等而两直线平行呢？”
141 135° ° 107 126° 168° 72°
126°
知识要点
平行线的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同 位角相等，那么这两条直线平行．
a
1
3
b
所以 ∠4＝80° （ 等量代换 ）
2． 如图，已知：AD//BC，AC平分 ∠BAD，∠ B=50°，求∠C的度数．
解: 因为 AD//BC ( 已知 )
所以∠CAD=∠C ( 两直线平行，内错角相等 )
A
D ∠BAD+∠B=180° （两直线平行，同旁内角互补）
又因为∠B=50° ( 已知) 所以∠BAD = 130°( 等式性质 )
在同一平面内，有两条直线m、n，如 何判断它们是否平行？
m
m
n n
在同一平面内，有两条直线a、b如何判断 它们是否平行？
平行线的判定ppt课件
2l
∠1 = 115°，∠2= 115°，直线a、b平行吗？ 1
为什么？
解：∵∠1 = 115° (已知)，∠2 = 115° (已知)a， b
∴∠1=∠2 (等量代换).
∴a // b (内错角相等，两直线平行).
括号内所写的，就是括号前这一结论成立的理由.
等量代换以及等式的性质是我们常用的推理依据.
1
∴ a∥b (内错角相等，两直线平行).
a
2 b
思考：如图，如果1 + 2 = 180°，能判定 a∥b 吗?
c
解：能. 理由如下：
3
∵ 1 + 2 = 180°（已知），
1
a
1 + 3 = 180°（已知）， ∴ 2 = 3（同角的补角相等）. ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.
2 b
定义总结
a
53 1
2
b4 6
∠3 = ∠4 ∠5 = ∠6 ∠1 = ∠2
∠1+∠5 = ∠2+∠6 a∥b
解：平行，理由如下：
如图，∵∠3 = ∠4， ∴∠5 = ∠6. ∵∠1 = ∠2， ∴∠1＋∠5 = ∠2+∠6. ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
a
53 1
2
b4 6
总结 在平行线判定的实际应用过程中解题的关
在同一平面内，两条不相交的直线互相平行.
1 平行线的判定
问题 在画图过程中， E
三角尺起着什么样的 C
H
P
●
D
作用？
A
G
B
思考 要判断两直线平行，
你有办法了吗？
F
问题 （1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？ （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （3）直线 a，b 位置关系如何？ A a 1
七年级上册数学第五单元平行线的判定知识点
七年级上册数学第五单元平行线的判定知识点
七年级上册数学第五单元平行线的判定知识点
公理：同位角相等，两直线平行。
定理1：内错角相等，两直线平行。
条件2：同旁内角互补，两直线平行。
注：这三个判定都是由角的'数量关系(相等或互补)来确定直线的位置关系(平行)的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角。
补充平行线的判定方法：
(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
平行线的判定技巧
平行线的判定技巧有以下几种：
同位角法：当两条直线与第三条直线相交时，如果同位角相等，则这两条直线平行。
同位角是指两条直线各自被第三条直线所分出来的相对应的内角或外角。
对顶角相等法：当两条直线被一条横线所切，且另一条直线的两个相邻角（即对顶角）相等时，这两条直线是平行的。
平行线的性质：如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。
垂线法：当一条直线和另一条直线的垂线上的两个角分别相等时，这两条直线是平行的。
菱形中线法：当菱形的对角线互相平分时，菱形的对边是平行的。
平行线的5种判定方法
平行线的5种判定方法平行线是初中数学中比较重要的知识，也是学生们容易混淆的知识点。
在初中数学教学中，如何判断两条直线是否平行也是我们教师必须掌握的基本技能。
本文将介绍五种简单的平行线判定方法，助力我们更好地掌握这个知识点。
一、同向直线判别法同向直线判别法是最基本的判别方法。
如果两条直线上的同向线段成比例，则这两条直线是平行的。
例如，直线 AB 和直线 CD 为平行线，令 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 上的点，取 A、B、C 上的同向线段AE、BF 和 CG，若 AE ：BF ：CG = m ：n ：l，则 AB 与 CD 平行。
二、截距法截距法是一种比较常用的方法。
如果两条直线在同一平面上，且它们的截距相等，则这两条直线是平行的。
假设两条直线的截距分别为 m和 n，则根据截距公式可得，它们的方程分别为 y = kx + m 和 y =kx + n。
两条直线并列且在同一平面上，当 m = n 时，这两个方程就是相似的，也就是说它们是平行的。
三、垂线法垂线法是一种图形判定法。
如果两条直线间的垂线长度相等，则这两条直线平行。
例如，画一条垂直于直线 AB 的线段 AC，再画一条垂直于直线 CD 的线段 CE，如果 AC = CE，则说明 AB 平行于 CD。
四、角度法角度法是一种通过角度判定直线平行的方法。
当两条平行直线与第三条直线交叉时，它们所对应的内角或外角是相等的。
比如，直线AB与直线CD平行，线段AC与CD相交、线段CB与AB相交，则∠ABC=∠CDA，且∠CAD=∠DAB=0。
五、向量法向量法主要应用在平面几何向量运算中。
如果两条直线上的方向向量成比例，则这两条直线平行。
例如，设直线 AB 和 CD 的方向向量为a 和 b，则a = λb 则 AB 平行于 CD。
综上所述，学习以上五种平行线的判定方法，大家在做平行线相关的练习题和考试题时，就能够更快更准的判断两条线是否平行，让初中数学学习更加轻松。
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2
C 3 F
E
如图，AB⊥EF于G，CD⊥EF于H ， GP平分∠EGB ，HQ平 分∠CHF.试找出图中有哪些平行线？并说明理由.
B P D
H E G
F
Q A C
1.如图，已知∠B=∠C，AE平分∠DAC，那么 D AE∥BC吗？图，已知BE⊥MN，DF⊥MN，∠1=∠2，直线AB与 CD平行吗？为什么？ E
A C 1 2
F
M
B
D
N
1.通过这节课的学习，你掌握了什么？ 2. 对于几何的说理过程，一定要把握“有什么”， “根据什么”“得出什么”等基本问题. 3.你还有那些疑问 ？
如图，已知BE平分∠ABC,∠1=∠3,DE与BC平行吗? 为什么?
A
D 3 1 B 2 C E
如图，已知∠A与∠D互补，可以判断哪两条直线 互相平行？∠ B与哪个角互补，可以判断直线AD 与BC平行?
D C
A
B
如图，已知∠1=∠3，∠2与∠3互补，那么可以 判断哪几组直线互相平行？
A D 1 B
13.4平行线的判定（3）
判定两条直线是否平行的方法有： 1.同位角相等, 两直线平行.
2.内错角相等,
3.同旁内角互补, 5.平行线的定义.
两直线平行.
两直线平行.
4. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
6.平行于同一直线的两条直线互相平行.
2．如图，A、B、C三点在一条直线上. AE 同位角相等，两直线平行 ) 如果∠3 =∠6 那么____∥____.( BD 内错角相等，两直线平行) 如果∠6 = ∠9 那么____∥____.( DE AC AC . 如果∠A+∠AED=180°那么____∥____ DE ( 同旁内角互补，两直线平行 )