多因素试验结果的统计分析
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σ2e
对于多因素试验而言，效应模型的不同 将导致F测验的方法不同。
对固定模型来说，各变异项的均方除误 差均方即构成相应的F测验。
但对随机模型来说，区组变异和互作变 异用误差均方进行F测验；而A 、B的变异则 应用互作项的均方进行F测验。
当选用固定模型：
H0
:
2
0; H0
:
2 A
0; H0
r
a
b
a
b
h Ai Bj (AB)ij (AB)ij 0
1
1
1
1
1
因此，在可加性的假设下，二因素随机区 组试验结果的总变异可分解为区组间、处理间 和试验误差三部分，而处理又可分解为A因素、 B因素和A×B互作三个部分。
二因素随机区组试验设计可参照单因素随机 区组试验进行，唯一不同点是二因素随机区组试 验把各因素不同水平组合当作单因素试验中的处 理看待，并按随机的原则排列在各区组。
第八章 多因素试验结果的统计分析
• 二因素随机区组设计的结果分析 • 三因素随机区组设计的结果分析 • 二因素裂区设计的结果分析
§8.1 多因素随机区组试验的统计分析
一、二因素随机区组试验结果的方差分析 1、二因素随机区组试验的线性模型和期望均方
设有A、B两个试验因素，A因素有a个水平,B 因素有b个水平 , 采用随机区组设计，重复r次。 该二因素试验共有ab个水平组合，每一个水平组 合有r个观察值。则该试验共有rab个观察值。
肥
Ⅰ
A2 B2
A2 B3
A1 A3 B1 B3
A3 A1 B1 B2
A3 B4
A1 B4
A1 A3 A2 A2 B3 B2 B4 B1
A1 A2 A3 A2 A1 A3 A1 A2 A1 A2 A3 A3
Ⅱ B4 B4 B2 B1 B2 B3 B1 B2 B3 B3 B4 B1
瘦
2、二因素随机区组试验的结果分析
:
2 B
0; H0
:
2 AB
0;wk.baidu.com
其F值都是以误差项的均方为分母的。
当选用随机模型：
• 测验
H0
:
2
0; H0
:
2 AB
0;
应以误差项均方为分母；
而测验
H0
:
2 A
0;
H
0
:
2 B
0;
需以互作项的均方为分母。
二因素随机区组与单因素随机区组的差别：二因 素试验的处理项可以再分解为A因素水平间、B因素 水平间和AB互作三部分，因此二因素处理项的平方 和与自由度亦可作相应的剖分：
在二因素试验中，由于有两个试验因素， 其处理效应由三部分构成，即：
tij Ai Bj ( AB)ij
故二因素随机区组试验中每一观察值的线性 模型为：
xhij x h Ai Bj ( AB)ij ehij
式中，h=1, 2，…，r； i =1, 2, …, a； j =1, 2，…，b;
假定有一个A、B二因素试验，a=3, b=4, 随机 区组设计，重复两次r=2，该试验共有12个水平 组合.
B1
B2
B3
B4
A1
A1B1
A1B2
A1B3
A1B4
A2
A2B1
A2B2
A2B3
A2B4
A3
A3B1
A3B2
A3B3
A3B4
因重复2次，故应先划分为两个区组；又因有 12个水平组合，故每区组划分为12个试验小区。
8 7 13 16 13 11 10 13 18
(1)结果整理
将试验所得结果按处理和区组两向分 组整理成表；
资料处理与区组两向表
ⅠⅡ
Ⅲ Tt
A1
B1
17 15 13 45
B2
11 14 13 38
B3
12 8 8 28
A2
B1
19 13 11 43
B2 20 19 13 52
B3
17 16 18 51
SSt = SSA + SSB + SSA×B
(ab-1)=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)
其中，SSt 为处理平方和；SSA×B 为互作项平方 和 ;SSA为A因素平方和； SSB为B因素平方和。
二、二因素随机区组试验结果的分析实例(固定模 型）
【例8.1】玉米品种与施肥二因素随机区组试 验，A因素有A1，A2，A3(a=3)三个品种，B因素有 B1，B2，B3(b=3)三个施肥水平，重复3次(r=3)， 小区计产面积20m2，田间排列和小区产量(kg)如 图8.1，试作分析。
A3
B1 19 18 16 53
B2 10 8 10 28
B3 9
8
7 24
Tr 134 119 109 362(T)
再按品种(A)和施肥(B)作两向分组整理成表。
资料品种(A)与施肥(B)两向表
B1
B2
B3 TA
A1 45 38 28 111
A2 43 52 51 146
MS MSr MSt MSA MSB
MSe
二因素随机区组的期望均方
变异 来源 区组 A B A×B 误差
期望均方
固定模型
随机模型
σ2e+abκ2β σ 2e+rbκ2A σ2e+ raκ2B σ2e+ rκ2(A×B) σ2e
σ2e+abσ2β σ2e+rσ2(A×B) +rbσ2A σ2e+rσ2(A×B) +raσ2B σ2e+rσ2A×B
二因素随机区组试验
变异来源
DF
区组
r-1
处理
ab-1
A因素
a-1
B因素
b-1
A×B互作
(a-1)(b-1)
误差
(ab-1)(r-1)
单因素随机区组试验
变异来源 DF
区组
r-1
处理
k-1
误差 (k-1)(r-1)
变异来源 区组
处理
A
B A×B MSA×B 误差
总变异
二因素随机区组设计的平方和与均方
SS
SSr
Tr2 C ab
SSt
Tt2 C r
SSA
TA2 C rb
SSB
TB2 C ra
SSAB SSt SSA SSB
SSe SST SSr SSA SSB SSAB
SST SSr SSt
SST x2hij C
玉米品种与施肥随机区组试验田间排列和小区产量 Ⅰ A2B3 A1B2 A2B1 A2B3 A3B3 A2B2 A1B3 A3B1 A1B1
10 11 19 17 9 20 12 19 17 Ⅱ A2B2 A2B1 A2B3 A1B2 A1B3 A3B2 A1B1 A3B3 A3B1
19 13 16 14 8 8 15 8 18 Ⅲ A1B3 A3B3 A1B2 A3B1 A1B1 A2B1 A3B2 A2B2 A2B3
对于多因素试验而言，效应模型的不同 将导致F测验的方法不同。
对固定模型来说，各变异项的均方除误 差均方即构成相应的F测验。
但对随机模型来说，区组变异和互作变 异用误差均方进行F测验；而A 、B的变异则 应用互作项的均方进行F测验。
当选用固定模型：
H0
:
2
0; H0
:
2 A
0; H0
r
a
b
a
b
h Ai Bj (AB)ij (AB)ij 0
1
1
1
1
1
因此，在可加性的假设下，二因素随机区 组试验结果的总变异可分解为区组间、处理间 和试验误差三部分，而处理又可分解为A因素、 B因素和A×B互作三个部分。
二因素随机区组试验设计可参照单因素随机 区组试验进行，唯一不同点是二因素随机区组试 验把各因素不同水平组合当作单因素试验中的处 理看待，并按随机的原则排列在各区组。
第八章 多因素试验结果的统计分析
• 二因素随机区组设计的结果分析 • 三因素随机区组设计的结果分析 • 二因素裂区设计的结果分析
§8.1 多因素随机区组试验的统计分析
一、二因素随机区组试验结果的方差分析 1、二因素随机区组试验的线性模型和期望均方
设有A、B两个试验因素，A因素有a个水平,B 因素有b个水平 , 采用随机区组设计，重复r次。 该二因素试验共有ab个水平组合，每一个水平组 合有r个观察值。则该试验共有rab个观察值。
肥
Ⅰ
A2 B2
A2 B3
A1 A3 B1 B3
A3 A1 B1 B2
A3 B4
A1 B4
A1 A3 A2 A2 B3 B2 B4 B1
A1 A2 A3 A2 A1 A3 A1 A2 A1 A2 A3 A3
Ⅱ B4 B4 B2 B1 B2 B3 B1 B2 B3 B3 B4 B1
瘦
2、二因素随机区组试验的结果分析
:
2 B
0; H0
:
2 AB
0;wk.baidu.com
其F值都是以误差项的均方为分母的。
当选用随机模型：
• 测验
H0
:
2
0; H0
:
2 AB
0;
应以误差项均方为分母；
而测验
H0
:
2 A
0;
H
0
:
2 B
0;
需以互作项的均方为分母。
二因素随机区组与单因素随机区组的差别：二因 素试验的处理项可以再分解为A因素水平间、B因素 水平间和AB互作三部分，因此二因素处理项的平方 和与自由度亦可作相应的剖分：
在二因素试验中，由于有两个试验因素， 其处理效应由三部分构成，即：
tij Ai Bj ( AB)ij
故二因素随机区组试验中每一观察值的线性 模型为：
xhij x h Ai Bj ( AB)ij ehij
式中，h=1, 2，…，r； i =1, 2, …, a； j =1, 2，…，b;
假定有一个A、B二因素试验，a=3, b=4, 随机 区组设计，重复两次r=2，该试验共有12个水平 组合.
B1
B2
B3
B4
A1
A1B1
A1B2
A1B3
A1B4
A2
A2B1
A2B2
A2B3
A2B4
A3
A3B1
A3B2
A3B3
A3B4
因重复2次，故应先划分为两个区组；又因有 12个水平组合，故每区组划分为12个试验小区。
8 7 13 16 13 11 10 13 18
(1)结果整理
将试验所得结果按处理和区组两向分 组整理成表；
资料处理与区组两向表
ⅠⅡ
Ⅲ Tt
A1
B1
17 15 13 45
B2
11 14 13 38
B3
12 8 8 28
A2
B1
19 13 11 43
B2 20 19 13 52
B3
17 16 18 51
SSt = SSA + SSB + SSA×B
(ab-1)=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)
其中，SSt 为处理平方和；SSA×B 为互作项平方 和 ;SSA为A因素平方和； SSB为B因素平方和。
二、二因素随机区组试验结果的分析实例(固定模 型）
【例8.1】玉米品种与施肥二因素随机区组试 验，A因素有A1，A2，A3(a=3)三个品种，B因素有 B1，B2，B3(b=3)三个施肥水平，重复3次(r=3)， 小区计产面积20m2，田间排列和小区产量(kg)如 图8.1，试作分析。
A3
B1 19 18 16 53
B2 10 8 10 28
B3 9
8
7 24
Tr 134 119 109 362(T)
再按品种(A)和施肥(B)作两向分组整理成表。
资料品种(A)与施肥(B)两向表
B1
B2
B3 TA
A1 45 38 28 111
A2 43 52 51 146
MS MSr MSt MSA MSB
MSe
二因素随机区组的期望均方
变异 来源 区组 A B A×B 误差
期望均方
固定模型
随机模型
σ2e+abκ2β σ 2e+rbκ2A σ2e+ raκ2B σ2e+ rκ2(A×B) σ2e
σ2e+abσ2β σ2e+rσ2(A×B) +rbσ2A σ2e+rσ2(A×B) +raσ2B σ2e+rσ2A×B
二因素随机区组试验
变异来源
DF
区组
r-1
处理
ab-1
A因素
a-1
B因素
b-1
A×B互作
(a-1)(b-1)
误差
(ab-1)(r-1)
单因素随机区组试验
变异来源 DF
区组
r-1
处理
k-1
误差 (k-1)(r-1)
变异来源 区组
处理
A
B A×B MSA×B 误差
总变异
二因素随机区组设计的平方和与均方
SS
SSr
Tr2 C ab
SSt
Tt2 C r
SSA
TA2 C rb
SSB
TB2 C ra
SSAB SSt SSA SSB
SSe SST SSr SSA SSB SSAB
SST SSr SSt
SST x2hij C
玉米品种与施肥随机区组试验田间排列和小区产量 Ⅰ A2B3 A1B2 A2B1 A2B3 A3B3 A2B2 A1B3 A3B1 A1B1
10 11 19 17 9 20 12 19 17 Ⅱ A2B2 A2B1 A2B3 A1B2 A1B3 A3B2 A1B1 A3B3 A3B1
19 13 16 14 8 8 15 8 18 Ⅲ A1B3 A3B3 A1B2 A3B1 A1B1 A2B1 A3B2 A2B2 A2B3