数项级数的敛散性的练习题及解析
有关级数的典型例题
n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (
《无穷级数》练习题参考答案
无穷级数P127-练习1判别下列级数的敛散性：1．312ln n nn∞=∑；【解】321454ln ln lim lim 01→∞→∞==n n nnnnn，而级数5141∞=∑n n收敛（54p =的p -级数），则由正项级数的极限形式的比较判别法知312ln n nn∞=∑收敛.2．21sin2n n n π∞=∑．【解】因为22sin 22ππ≤n n n n ，由于2112(1)12lim lim 122n n n n nnn un u p p ++®¥®¥+==<，故由正项级数的比值判别法知级数212π∞=∑n n n 收敛.再由正项级数的比较判别法知21sin2nn n π∞=∑收敛，且为绝对收敛.P128-练习2设常数0,a >试判别级数1(1)(1cos nn a n ∞=−−∑是条件收敛还是绝对收敛．（1992）【解】2111(1)(1cos )(1cos )2sin 2nn n n a a a n n n ∞∞∞===−−=−=∑∑∑，因为正项级数212n a n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，而22sin 22a a n n ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠，所以正项级数211(1cos 2sin 2n n a a n n ∞∞==−=∑∑收敛，从而级数1(1)(1cos )nn an ∞=−−∑绝对收敛.P129-练习3设正项级数1n n a ∞=∑收敛，且常数(0,)2πλ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ∞=−∑（）．（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关【解】因正项级数1nn a∞=∑收敛，所以21nn a∞=∑也收敛.又22tan lim lim tan ,0nn n n n a n n a n ll l l ®¥®¥==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知21(1)(tan n n n n a n λ∞=−∑是绝对收敛的.选（A ）P130-练习4设级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数1nn c∞=∑收敛．【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤⇒≤−≤−,故级数11(),()nn nn n n ba ca ∞∞==−−∑∑均为正项级数.因为级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ba ∞=−∑收敛，由正项级数的比较判别法知1()n n n c a ∞=−∑收敛，又由于级数()11()n nn n n n c ac a ∞∞===+−∑∑，则由性质知级数1n n c ∞=∑收敛．P133-练习5求幂级数121(1)21n n n x n -¥=--å的收敛域及和函数．（2010）【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]−；当()1,1x ∈−时，设11221111(1)(1)()()2121n n n n n n S x x x x xS x n n --¥¥-==--===--åå，其中12111(1)()21n n n S x xn -¥-=-=-å，而1211221200011(1)1()(1)arctan 211n xx x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -¥¥---==¢æöæö-÷÷çç÷==-==÷çç÷÷ç÷ç-+èøèøååòòò，故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-。
级数测试题及答案
级数测试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：A2. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：C3. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) 的收敛性取决于\(p\) 的值，其中 \(p > 1\) 时级数：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A4. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：D5. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) 的和为_______。
答案：17. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) 是 _______ 级数。
答案：p8. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) 的和为_______。
答案：\(\frac{\pi^2}{12}\)9. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\) 与级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 相比，前者是 _______ 收敛的。
答案：更慢10. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}\) 的和为_______。
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散本文将提供一组高中数学练习题，并附有详细的解析。
主要涉及数列与级数的收敛与发散。
以下是各类题型的示例：一、选择题1. 判断下列数列的级数是否收敛。
① an = (1/2)^n② an = 1/n!③ an = n/2^nA.①收敛，②、③发散B.①、③收敛，②发散C.①、③发散，②收敛D.①、②、③均收敛分析：对于①，容易发现是一个几何级数，首项为1，公比小于1，因此收敛；对于②，题目中$n!$是$n$的阶乘，因此$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$，由比较判别法知该级数收敛；对于③，该级数同样是一个几何级数，但是公比大于1，因此发散。
选C。
二、填空题2. 已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=$________。
分析：将通项公式带入级数求和公式中可得：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ $=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n+1}$$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{n+n}$$=\ln 2$因此，答案为$\ln 2$。
三、计算题3. 计算级数$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$。
分析：将被加数写成完全平方数形式，即：$n^2+2n=(n+1)^2-1$因此，$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$$=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2-1}$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}- \cdots\right)$$=\frac{1}{2}(1)$$=\frac{1}{2}$因此，答案为$\frac{1}{2}$。
(优选)级数的敛散性判别习题课.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于 原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
第3页，共33页。
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
x0
x2
2
lim n2[ 1 ln(1 1 )] 1
x0
n
n2
第24页，共33页。
例6 判别级数 (cos 1 )n3 的收敛性
n1
n
解
lim n
n
un
lim(cos 1 )n2
n
n
lim
n
n2
ln
cos
1 n
lim
ln(1
cos
1 n
1)
e lim n
n2
ln
cos
1 n
n
1
n2
lim
则称 x0为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
第12页，共33页。
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
cos
1 n
1
1
e
1 2
1
n
1
n2
2
所以级数 (cos 1 )n3 收敛
级数部分练习题
级数部分练习题一、选择题：1．若级数∑∞=1n n u 收敛，且1lim =∞→nnn v u ，则级数∑∞=1n nv ().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不能确定。
2．设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞→nn u n，则级数∑∞=++11)11(n n n u u ().(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定.3．设)11ln()1(nu n n +-=，则级数().(A)∑∞=1n n u 与∑∞=12n nu 都收敛;(B)∑∞=1n n u 与∑∞=12n nu 都发散;(C)∑∞=1n nu收敛，∑∞=12n n u 发散;(D)∑∞=1n nu发散，∑∞=12n nu 收敛.4．设常数0>λ，级数∑∞=12n n a 收敛，则级数∑∞=+-12)1(n n nn a λ().(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性与λ有关.5．设),3,2,1(0 =>n a n ，且级数∑∞=1n n a 收敛，又设常数)2,0(πλ∈，则级数n n n a n n ∑∞=-1tan ()1(λ().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)收敛性与λ的取值有关；6．若级数∑∞=1n n u 收敛，则必收敛的级数是().(A)∑∞=-1)1(n n nnu ；(B)∑∞=12n nu；(C)∑∞=--1212)(n n n u u ；(D)∑∞=++11)(n n nu u；7．下列命题中正确的是（）.（A）若∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛，则∑∞=+12)(n n n v u 收敛；（B）若∑∞=1n n n v u 收敛，则∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛;(C)若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥；(D)若级数∑∞=1n n u 收敛，且),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n v 也收敛.二、求解下列各题：1．已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和12+=n nS n ，求此级数的通项，并判别其收敛性.2．设数列}{n a 收敛，求证级数∑+∞=+-11)(n n na a也收敛；3．已知数列}{n na 收敛，且级数∑+∞=--21)(n n na an 收敛，求证级数∑+∞=1n n a 收敛.三、判别下列数项级数的敛散性：（1）nn n n 11()1(11--∑+∞=-（2）∑+∞=+1)1(n nn n （3）∑∞=+1341n n n （4）∑+∞=+122)1sin(n n n （5）)1cos(1∑+∞=n n （6）∑∞+=1234(cos n n n n π(7)nn n11)1(∑+∞=；(8)∑∞=+11lnn n n (9)∑∞=13sinn nn π(10)∑∞=-1)1cos 1(n n (11))1(11∑∞=-+n n n n四、设正项级数∑+∞=1n n a 收敛，试证明（1）)1( 1>∑+∞=p a n pn收敛；（2）∑+∞=143n n na 收敛；五、设正项数列{}n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n n a 发散，试问级数nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111是否收敛，并说明理由.六、设⎰=40tan πxdx a nn ，（1）求∑∞=++12)(1n n n a a n的值；（2）试证：对任意的常数0>λ，级数∑∞=1n nna λ收敛.七、利用级数收敛的必要条件求数列极限)!2(!!2 !1limn n n +++∞→ .八、判别下列级数的敛散性（若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛）：（1）∑+∞=--112)1(n nn n（2）∑+∞=--11)1(n nn n（3）∑+∞=1ln )cos(n n nn π（4）∑∞=---11ln 1)1(n n nn (5)∑+∞=+++-11)1(12)1(n n n n n （6）∑∞=--11sin)1(n n nπ（7）∑∞=--+-1413])1(3[)1(n nn n n （8）∑∞=-1)sin (n n n ππ（9）∑∞=-+-2)1()1(n nnn (10)∑∞=+-11ln1(n nn n (11) )0( ))1((1)1(1>-+-∑∞=p n n pn n(12)∑+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-11sin )11ln()1(n n n n (13)∑⎰∞=+11031sin n n dx x xπ(14)dx xx n n ∑⎰∞=+1101九、已知∑∞=0n nnxa 在2-=x 处条件收敛，求幂级数的收敛半径.十、求下列幂级数的收敛半径及收敛区间,并研究在收敛区间端点处的敛散性:(1))0 ,0( 1>>+∑+∞=b a b a x n nn n(2)+⋅+⋅+⋅3523232221x x x (3)nn nx nn )1ln )1(1-+-∑+∞=（4）∑∞=++-0122)3(n n nnxn （5）nn nx n)1(212+∑∞=（6）∑∞=1224n n n x（7）nn nn x n )1()2(31+-+∑∞=十一、试求下列幂级数的和函数：（1）∑∞=+1)1(n nx n n ；（2）∑∞=++11212n n n x ；（3）∑∞=12n n nx ；（4）∑∞=+12!21n n n x n n ；（5）∑∞=---2)1()1()1(n n n n n x ；(6)∑∞=-+--1121)!12(2)1(n n n x n n十二、求级数+-+-753753x x x x 的和函数,并求nn n n )43(12)1(11∑+∞=---的和.十三、试求下列数项级数的和：（1）∑∞=-222)1(1n nn ；(2)∑∞=+1!1n n n ；十四、试将函数)321ln()()2(;)1ln()()1(22x x x g x x x f -+=+=；(3)x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(；展开成x 的幂级数，并指出级数的收敛域.十五、将函数65)(2+-=x x xx f 展开成)5(-x 的幂级数,并求)5()4(f 的值.十六、将函数x x f 2)(=展开成)1(-x 的幂级数.十七、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1)(2x x arctgx x x x f ，试将)(x f 展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.十八、试利用幂级数的性质计算积分⎰-+12)1ln(dx xx x 的值.十九、设∑∞=+=02)(n n n x a x f 在区间]1 ,0[内收敛，试证：对任意的实数1<λ,级数∑∞=11(n n f n λ绝对收敛.二十、已知)(x f n 满足x n n n e x x f x f 1)()(-+='（n 为正整数），且nef n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x f 的和.二十一、把函数|,|2)(x x f -=π（ππ≤≤-x ）展开为傅立叶级数.二十二、将函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2, 222, 2, 2)(展开为傅立叶级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并作出和函数)(x S 的图形.二十三、设函数)()(4πππ<<-+=x x x x f 的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，求系数5b 及和函数)(x S 在25π-=x 点的值.二十四、设函数)(x f 是以π2为周期的函数，它在],(ππ-上的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 0,0,2)(3，又设)(x f 的傅立叶级数展开式的和函数为)(x S ,求)4(-S ,)(π-S ,)4(S 和)2(πS 的值.二十五、展开函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x f 20204)(为余弦级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并求)4(-S ,)23(π-S 和)2(πS 的值.二十六、展开函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x x f 2, 120, )(为正弦级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并求)5(-S ,)23(π-S ,)4(-S 和)2(πS 的值.。
第九章无穷级数第二节数项级数的敛散性
二、用 比较 审 敛 法或 极 限审 敛法 判别 下列 级 数的 收 敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例6
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
s2
是有界的
n
,
lim n
s2n
s
u1 .
lim n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
数项级数敛散性判别法。(总结)
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 ，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-数项级数(圣才出品)
由数学归纳法即可看出式子成立． 12．求下列级数的和：
同理
解：（1）由公式
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，
所以
其部分和
故 （2）设
，两边同乘以
得
解得
故
（3）此级数通项趋于 0，因此只需求 的极限即可．利用公式
（其中 c 为尤拉常数
）有
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（1）先证：
用 sn 表示级数的前 n 项部分和，注意到 an>0，则有
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由于级数
收敛，所以
，因此
，并且容
易看出
（2）再证：
事实上，对任意的正整数 n，存在唯一的正整数 m，使得 m2≤n<（m+1）2．由 单调递减，可得
由
可得
于是有
2 / 11
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由此可见，当 p>0 时，级数收敛；当 p≤0 时，级数发散．
4．设{pn}为正数列，证明：若级数
收敛，则级数
也
收敛． 证明：用收敛原理．引进记号 q0=0，
下面估计部分和数列的上界．令
则
由柯西不等式，有 代入上式可得
14．若级数
与 都收敛，且不等式
10 / 11
成立，证明级数
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也收敛．又若 与
都发散，试问
一定发散吗？
证明：（1）方法一：
，由
与
都收敛知，存在正整数 N，当 n＞N 及
对任意正整数 p 都有
§6.1.4(1)数项级数判敛法
6.1.4数项级数判敛法 一、正项级数及其判敛法级数∑∞=1n n u ，0≥n u ，),,3,2,1( =n 称为正项级数。
∵11--≥+=n n n n S u S S ，∴{}n S 是一个单调增加的数列。
若{}n S 有界，则n n S ∞→lim 必存在，从而∑∞=1n n u 收敛。
反之，若∑∞=1n n u 收敛，则S S n n =∞→lim ，{}n S 必有界。
定理3 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n S 有界。
例1．试判定正项级数∑∞=π122sinn nn 的收敛性。
解：1211])21(1[212181412122sin 86sin 44sin21<--=++++<π++π+π+=n n n n n S ， 即{}n S 有界，故正项级数∑∞=π122sinn nn 收敛。
定理4（比较判别法）设有两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且n n v u ≤),2,1( =n（1）若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛； （2）若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 也发散。
证：（1）设∑∞=1n n v 收敛，则由定理3可知，其部分和数列{}n S 有界，即存在0>M ，使得M S n ≤。
∵n n v u ≤),2,1( =n ，故∑∞=1n n u 的部分和M S n n ≤≤σ，∴ {}n σ有界，故∑∞=1n n u 收敛。
（2）用反证法。
若∑∞=1n n v 收敛，则由（1）知∑∞=1n n u 收敛，这与∑∞=1n n u 发散矛盾，故∑∞=1n n v 发散。
注意到级数的每一项同乘不为零的常数C ，以及去掉级数前面部分的有限项不会改变级数的敛散性，可得如下推论：推论：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，若存在常数0>C ，+∈N N ，使当N n ≥时恒有n n Cv u ≤成立，则由∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛；由∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散。
数项级的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+， 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性． 解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
级数敛散性判断习题
n 1
(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
例2. 判别下列级数的敛散性:
1
提示: (1)
lim
n
nn
1 n
n
lim
n
1 nn
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
(3)
n1
n
cos 2 2n
nπ 3
:
, 原级数发散
0
n
cos 2 2n
(1 x 1)
例8
将 f(x)
x
展开成麦克劳林级数.
(x 1)(1 x)2
解
f
(x)
1 4(1 x)
1 4(1
x)
1 2(1
x)2
1 x n 1 (1)n x n 1 1 '
4 n0
4 n0
21 x
1 (1 (1)n )x n 1 nx n1
2
x 3n2 |
2 | x |3
n | un ( x) |
n
n
| n2 2 x 3n1 |
收敛域为 1 x 1 ,
62
62
n
xS( x) n2 2 x 3n n( 2x 3 )n
n1
n1
2x2
S(x) (1
2x 3 )2
x ( 1 , 1 ) 62 62
例5
求级数
x 2n 收敛域及和函数.
n0 (2n)!
解 lim | un1 ( x) | lim x 2n2 (2n)! 0 n | un ( x) | n (2n 2)! x 2n
比较审敛法例题
比较审敛法例题
比较审敛法是一种判别级数敛散性的方法，主要是通过比较一个已知敛散性的级数来确定另一个级数的敛散性。
以下是几个使用比较审敛法的例题：
例题1：判断级数∑(1/n^2) 的敛散性。
解：我们可以选择一个已知的收敛级数∑(1/n^3) 来进行比较。
因为对于所有的 n，都有 1/n^2 ≥ 1/n^3，所以根据比较审敛法，级数∑(1/n^2) 也是收敛的。
注意：这里的解答有误，实际上应该是 1/n^2 ≤ 1/n^3 对于 n ≥2 才成立，但这不影响最终的结论，因为级数的前几项不影响级数的敛散性。
例题2：判断级数∑(n/(n+1)) 的敛散性。
解：我们可以将这个级数与级数∑1 进行比较。
因为对于所有的 n，都有 n/(n+1) ≥ 1，所以根据比较审敛法，级数∑(n/(n+1)) 是发散的。
注意：这个解答是错误的。
实际上，对于所有的 n，都有 n/(n+1) < 1，但是这并不能帮助我们判断级数的敛散性，因为这个不等式是反向的。
正确的方法是观察到 n/(n+1) 的极限是 1，不等于 0，所以级数发散。
以上两个例子说明，在使用比较审敛法时，我们需要谨慎地选择比较的级数，并确保比较的方向是正确的。
下面给出一个正确的使用比较审敛法的例子：
例题3：判断级数∑(1/[n(n+1)]) 的敛散性。
解：我们可以将这个级数与级数∑(1/n^2) 进行比较。
因为对于所有的 n，都有 1/[n(n+1)] < 1/n^2，而级数∑(1/n^2) 是收敛的（这是一个已知的p-级数，p=2>1），所以根据比较审敛法，级数∑(1/[n(n+1)]) 也是收敛的。
数项级数敛散性习题课共27页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
数项级数敛散性习题课
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
Hale Waihona Puke •9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞≠则常数项级数1nn U∞=∑一定是 （发散）解：若nn x U∞=∑收敛，则lim 0n n U →∞=。
由逆否命题知：若lim 0n n U →∞≠则1nn U∞=∑发散8．当311p n n∞-=∑收敛时，则P>4解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数()111n n n ∞=+∑的前9项的和9S ＝910 解:()991111111n n n n nn ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．113n n ∞=∑的和S=12解：11311213q S q ===--11．若数项级数112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，则r 的取值范围是 －1<r< 1解：112n n ∞=∑收敛，∴当1r <时112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛12．若1n n na ∞=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a >解：111lim lim n n n n n nU n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝11a <三、计算题（每小题8分，共64分） 13．判别2n ∞=∑的敛散性解： n U=取21n v n =lim 1n n nU V →∞=且211n n ∞=∑收敛 ∴由比较法的极限形式知2n ∞=∑也收敛14．判别311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性 解：（1）当n →∞时，31arctan 2n ~312n(2) lim n n nU V →∞ 212n V n = 221arctan 2lim 12n n n n →∞＝1，且2112n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法的极限形式知，311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑也收敛15．判别12(1)4n nn ∞=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑的敛散性 解法：（1）这是正项级数2(1)4n n +-<34n 且134nn ∞=∑，收敛114q =< ∴由比较法非极限形式知12(1)4nnn ∞=+-∑收敛 解法（2）124nn ∞=∑收敛，1(1)4n n n ∞=-∑收敛 ∴由性质知12(1)4nnn ∞=+-∑也收敛 16．判别1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑的敛散性 解：这是正项级数()1113(21)(21)lim lim 31!n n n n n U n n U n ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅-+=+⨯3!13(21)n n n ⋅⋅⋅⋅-＝21lim 3(1)n n n →∞++＝23<1 ∴由此值判别法知1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑也收敛 17．判别12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑ 的敛散性解：（1）这是正项级数且含有!n ,2n,n n 用比值法（2）1lim n n nU U +→∞＝()221!lim (1)(1)n nn n n n n →∞⋅+⋅++⋅2!n n n n ＝lim 2(1)n n n n n →∞⋅=+12lim 1(1)n n n→∞+＝21e<∴由比值法知12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛18．判别21arctan 3nn n n∞=∑的敛散性 解：（1）arctan 2n π<∴2arctan 3n n n ＝223n nn U π< 取223n n n V π= （2）判别2123nn n π∞=∑的收敛性 ρ＝1lim n n nV V +→∞＝()211lim 3n n n +→∞+23n n ⨯<1 ∴1n n V ∞=∑收敛（3）综合（1）（2）有1n n U V ∞<∑nn ＝且V收敛，故原级数收敛19．判别211sin 3n n n π∞=∑的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛 解：（1）这是任意项极数211sin 3n n π∞∑n ＝（2）2211sin 3n n n π<（sin 13n π≤） 且211n n ∞=∑收敛∴21sin 3n n n π∞=∑收敛 故21sin 3n n nπ∞=∑绝对收敛 20．11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋＝11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ln 1＋1ln(1)lim1n n n→∞+＝1且 11n n ∞=∑发散 ∴11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋发散11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋为交错级数令1ln(1),01y x y x =+>+’=（1x >）y →即有1ln(1)n U n =+>1ln(1)1n ++ 故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分）21．讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性 解：（1）当0<a<1时，lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+01a << 10≠∴级数111nn a∞=+∑发散 （2）当a ＝1时lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+＝110112=≠∴+级数发散（3）当1a >时1111nn n nU a a a ⎛⎫=≤= ⎪+⎝⎭∴由比较法111nn a ∞=+∑也收敛 22．讨论级数21(0)nn a a n∞=>∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时221n a n n <且211n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法知21n n a n∞=∑也收敛 （2）当a=1时，21n n a n ∞=∑＝211n n∞=∑收敛（p ＝2>1）（3）当a>1时，()112lim lim 1n n n n nU a U n ρ++→∞→∞==+ ()22lim 11n n n n a a a n →∞⨯==>+ ∴由此值判别法知21n n a n ∞=∑发散 综合：当01a ≤≤时21n n a n ∞=∑收敛，当1a >时21nn a n ∞=∑发散 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．若正项极数1nn U∞=∑收敛，证明：21nn U∞=∑也收敛（反之不成立）证明：（1）1nn U∞=∑收敛∴lim 0n n U →∞=当n 充分大时，有：0<n U <1故有2n n U U >（n 充分大时）（2）2n nU U >且1n n U ∞=∑收敛∴由比较法21n n U ∞=∑也收敛注：反之不成立如211n n ∞=∑收敛但11n n∞=∑发散24．若21nn U∞=∑收敛，21nn V∞=∑收敛，证明：1nn n UV ∞=⋅∑也收敛证：（1）()20n n U V -≥（2）222n n n n U V U V +≥且()221nnn UV ∞=+∑收敛∴由此比较法知12n n n U V ∞=⋅∑也收敛 即1n n n U V ∞=⋅∑也收敛选作题：设n U >0 1nn U∞=∑收敛，且lim n n nu →∞存在。
证明lim n n nu →∞＝0（提示：用反证法）证：反证法：设lim01nn U n→∞≠且lim n n nu →∞存在又11n n ∞=∑发散，∴由此比较法的极限形式知：1n n U ∞=∑也发散 这与1n n U ∞=∑的题设矛盾故有lim n n nu →∞＝0。