数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析

一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞

=则常数项级数

1

n

n U

∞

=∑（ D ）

A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛

解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21

lim 0n n →∞=，但211n n

∞

=∑收敛 选D

2．设1

n

n U

∞

=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）

A ．1n

n U

∞

=∑ B.

()1

2008n

n U ∞

=∑

C ．

()1

0.001n n U ∞=+∑ D ．11

n u

U ∞

=∑

解：

()1

2008n

n U ∞=∑＝20081n

n U

∞

=∑

1

n

n U ∞

=∑收敛∴由性质()1

2008n

n U ∞

=∑收敛

3．下列级数中一定收敛的是…( A )

A ．2101

4

n n ∞

=-∑ B ．10244n n n

n ∞

=-∑ C ．101n

n n n ∞

=⎛⎫

⎪

+⎝⎭

∑ D

+… 解：214n U n =-

0n ≥21

n

=

lim 1n n n

U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞

=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）

A ．11n n n ∞

=+∑n

（－1） B ．()21

1n

n n ∞

=-∑

C ．

1n

n ∞

=- D ．()1

312n

n

n ∞

=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（

1

）n ∞

∞=n=1发散（1

12p =<）（

2）1

1n

n ∞

=-为莱布尼兹级数收敛，选C

5．级数

()

1

11cos n

n k n ∞

=⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭∑ （k>0）…（ B ）

A ．发散

B ．绝对收敛

C ．条件收敛

D ．敛散性与K 相关

解：11(1)(1cos )1cos n

n n k k n n ∞

∞

-=⎛

⎫--=- ⎪⎝

⎭∑∑

1cos n k

U n

=-

22

2k n =lim 1n n n

U V →∞=且1n n V ∞

=∑收敛，故选B 6．设正项极数

!

1

lim n n

n n n

U U p U

∞

+→∞

==∑若则（D ）

A..当0

B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散

C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散

D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散

解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞≠则常数项级数

1

n

n U

∞

=∑一定是 （发散）

解：若n

n x U

∞

=∑收敛，则lim 0n n U →∞

=。由逆否命题知：若lim 0n n U →∞

≠则

1

n

n U

∞

=∑发散

8．当

3

1

1

p n n

∞

-=∑收敛时，则P>4

解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数

()1

1

1n n n ∞

=+∑的前9项的和9

S ＝910 解:()9

9

1111

111n n n n n

n ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝

111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．113

n n ∞

=∑的和S=1

2

解：11

3112

13q S q ===--

11．若数项级数112

n n n r ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，则r 的取值范围是 －1

解：11

2n n ∞

=∑收敛，∴当1r <时

112n n n r ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛

12．若1

n n n

a ∞

=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a >

解：111lim lim n n n n n n

U n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝1

1a <

三、计算题（每小题8分，共64分） 13

．判别

2

n ∞=∑的敛散性解： n U

=