跨学科高等代数学习笔记1)

第一章 多项式（第1讲）

目标与要求

理解数域、一元多项式的概念，掌握一元多项式的运算及基本性质．

重点难点

重点：一元多项式的概念、运算及基本性质．

难点：一元多项式的定义．

设计安排

实际问题为出发点，引出数域的概念，通过教材P 2（例1）加深对概念的理解，最后指出：任何数域都包含有理数域作为它的一部分．给出一元多项式的有关概念，进而讨论其运算及基本性质，补充例题

（幻灯片例2）加深对本段内容的理解．

教学进程见幻灯片部分．（2课时）

教学内容

§1 数域

定义 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.

全体有理数的全体组成一数域

全体实数组成的集合、全体复数组成的集合也都是数域.

上述三个数域常用字母Q 、R 、C 表示.

注意：全体整数组成的集合就不是数域.

数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题主要涉及数的代数性质.

例1 所有具有形式2b a 的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域. 例2 所有整组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于除法不封闭.

所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.

§2 一元多项式

1 一元多项式

定义 设n 是一非负整数，形式表达式

0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,

其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.

i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式. 同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =.

系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.

如果0≠n a ，那么n

n x a 称为多项式的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ∂.

2 多项式的运算

设 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--

是数域P 上两个多项式，即∑==n i i i

x a x f 0)(，∑==m j j j x b x g 0)(

在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为

∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n x

b a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()

()()()()()(

而)(x f 与)(x g 的乘积为

001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+

其中s 次项的系数是

∑=+--=

++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110

所以)(x f )(x g 可表成

s m

n s s j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.

显然，)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂.

对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且

))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂

多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积. 结果均可推广到多个多项式的情形. 运算法则：

1. )()()()(x f x g x g x f +=+. （加法交换律）

2. ))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++ （加法结合律）

3. )()()()(x f x g x g x f = （乘法交换律）

4. ))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f = （乘法结合律）

5. )()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+ （乘法分配律）

另外：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.

定义 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P .

备注

提出如下问题：

1．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何区别？

2．多项式相等与方程有无区别？

3．次数公式∂（f +g ）≤max （∂（f ）,∂（g ））中何时取“=”号？

作业布置

课后相应习题

第一章 多项式（第2讲）

目标与要求

理解整除的概念；掌握整除的基本性质和带余除法定理．

重点难点

重点：掌握整除的基本性质和带余除法定理．

难点：整除的概念、性质．

设计安排

通过P[x]中多项式的运算，引出如何描述两个多项式的相除关系问题，进而讨论带余除法、整除问题．最后强调：P [x ]中的多项式不能做除法,整除性不是多项式的运算,它是P [x ]中元素间的一种关系,即任给f (x ) , g (x ) ∈P [x ]，可以判断 g (x ) | f (x ) 或 g (x ) | f (x ).教学进程见幻灯片部分．（2课时）

教学内容

§3 整除的概念

1 整除的概念

带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使 )()()()(x r x g x q x f += 成立，其中))(())((x g x r ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.

带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式

)()()(x h x g x f =

成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /

”表示)(x g 不能整除)(x f .

当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.

定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.

当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用

)

()(x g x f 来表示. 2 整除的几个常用性质