高中数学二项式定理练习题
高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)
6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)
高中数学二项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的二项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在二项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最大的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则二项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的二项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有二项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最小值是______．24．二项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（用数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）．30．二项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为••为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴又∴a=cos2xdx=2∵==由二项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的二项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的二项展开式的通项为T r+1，则T r+1=•x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3•=-20．故选A．6．在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：二项式的二项展开式的通项公式为=T r+1=••=（-1）r••32r-6•．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）•=-10，故选D．8．在二项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵二项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，又各项二项式系数之和为N，故N=2n，又M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设二项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=•35-r•（-1）r•，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为•（-1）3•35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最大的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为•x10-r•（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最大为，即第五项和第七项得系数最大，故选C．11．在（ax-1）6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的二项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是•a3•（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则二项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则二项式=的通项公式为T r+1=•（-1）r•46-r•x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为•42=210，故选：D．二．填空题（共__小题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的二项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=•a9-r••x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的二项式系数为==84；又的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=•x10-2r•（-2）r•x-3r=（-2）r••x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4•=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（-x）2+C3112（2x）1•C4113（-x）1+C3212（2x）2•C4014（-x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（-1）+C32•22•C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=•（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有二项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为•（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有二项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最小值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最小为5故答案为524．二项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=•（-2）r•x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（用数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=•（-2）r•x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是•（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．二项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：二项式展开式的通项为T r+1=C6r•x6-r•（-）r=（-1）r•C6r•，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2•C62•x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。
高中数学-二项式定理精讲精练
高中数学-二项式定理精讲精练1．二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .（2）二项展开式的通项 二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第__________项：1C k n k k k n T a b -+=.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()na b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为_________.K 知识参考答案：1．（1）n +1C ({0,1,2,,})kn k n ∈L （2）1k +2．（1）和（2）①相等②2C nn 1122C,Cn n nn-+③2nK —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rr r -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Z Z ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，即22456345,,48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *∈N ，所以6n =，故选C ．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为.（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.值一般取1三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.∈N)能被25整除.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若28()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】28()a x x-的展开式中各项系数之和为012888888C C C C 2++++=L .【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】28()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r rr T x a x a x---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故2882()()a x x x x-=-，令x =1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.1．10(1)x +的二项展开式中的一项是A ．45B ．290xC．3120x D．4252x2．二项式102xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为A．1B．1-C．102D．03．化简得A．B．C．D．4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7C．8D．95．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为A．6B．9C．12D．186．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝A．0B．1C．11D．127．()73x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）8．已知,则．9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.（1）求的值;（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+,求的值.10．设，求下列各式的值：（1）a 0.（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.11．若()332d a x x x -=+⎰，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有A ．13项B ． 14项C ．15项D ． 16项12．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13．设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.（1）求的值;（2）求展开式中含项的系数.16．（四川）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）18．（山东）若ax 25x的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．C 【解析】展开式的二项式系数和为012101010101010C C C C 2++++=L .故选C.3．B 【解析】根据题意，可知，故选4．B 【解析】展开式的通项为=,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即为有理数,即为3的倍数,为2的倍数.若,则的可能取值为7.选B.5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则，又各项的二项式系数之和为，所以，解得.所以该二项式展开式的通项为.令，得该二项式展开式的常数项为.故选B.6．D 【解析】201220120201212011201112012201220122012201251(521)C 52C 52C 52C a a a =-=-+-++++L ， 由于020121201120111201220122012C 52C 52C 52-+-L 含有公因数52，故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.7．-189 【解析】由二项式定理得()71713C rrr rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．8．-5 【解析】,由二项式定理得,故,所以．9．【解析】（1）由题意得,解得.（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则.（3）=,令,得.10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.（2）令x＝1，可得(*)，所以.（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)].（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.11． C 【解析】，由得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.12．【解析】26()baxx+展开式的通项为266123166C()()Cr r r r r r rrbT ax a b xx---+==，令1233,r-=得3r=，所以，由63336C20a b-=得1ab=，从而2222a b ab+≥=，当且仅当a b=时，22a b+的最小值为.13．【解析】由图易知0121,3,4a a a===，则1221211C3,C()4n na aa a====，即23(1)42nan na⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a=．14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求0121010101010C C C C++++L的和，易知012101010101010C C C C21024++++==L．15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,设含的项为第项,则,故,即,则,解得,,.（2）由（1）知,故含项的系数为.16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r rr T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.17．10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2))2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 18．2-【解析】因为5102552155C ()(C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=-。
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
(完整word版)高中数学二项式定理练习题.doc
选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。
高中数学二项式定理精选题
二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 ．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 ． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =． 可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =． 令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对， 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目． 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是 ．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可． 【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数． 【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值． 【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+， 故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。
二项式练习
例1 展开（1+x1）4 解：（1+x 1）4=1+14C (x 1)+24C (x 1)2+34C (x 1)3+44C (x1)4 =1+x 4+26x +34x +41x 注：本题对二项式定理的简单应用，目的在于加深学生对二项式定理中的a,b 可以为代数式。
例2求（x+a ）12展开式中的倒数第4项。
解：（x+a ）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项。
展开式的第10项是T 9+1=912C x 12-9a 9=312C x 3a 9=220x 3a 9例3求（1+2x ）7展开式中的第4项的二项式系数及第4项的系数。
解：（1+2x ）7展开式中的第4项的二项式系数是37C =35，（1+2x ）7展开式中的第4项是 T 3+1=37C 17-3(2x)3=37C 23x 3=35⨯8x 3=280x 3所以展开式中的第4项的系数是280 .[小结] (3)：应注意二项展开式的某一项的二项式系数与系数是不同的概念。
三、练习：(1) 写出（p+q ）7的展开式。
(2) 求(3a+2b)6的展开式的第3项。
答案：(1)p 7+7p 6q+21p 5q 2+35p 4q 4+21p 3q 5+7p 2q 6+q 7;(2) T 2+1=26C (3b)4(2a)2=26C 3422b 4a 2=4860b 4a 2四、小结：⑴二项式定理(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…r n C a n-r b r +…+n n C b n 是利用组合的方法作实验猜想得到展开式的。
⑵二项展开式有以下特点：①项数:共有1n +项;②系数:依次为o n C ,1n C ,2n C ,,,r n n n C C ,这里r n C ()0,1,2,,r n = 称为二项式系数. 二项展开式的通项C r n a n-r b r 叫做二项展开式的通项，记作T r+1= C r n a n-r b r .(r=0、1、……n)。
二项式定理-高中数学知识点讲解(含答案)
二项式定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2020•延庆区一模）251(2)x x+的展开式中，4x 的系数是( )A ．160B ．80C ．50D ．102．（2019秋•丰台区期末）在261()x x-的展开式中，常数项是( )A ．20-B ．15-C ．15D ．303．（2020•房山区一模）在二项式5(12)x -的展开式中，3x 的系数为( ) A ．40B ．40-C ．80D ．80-4．（2019•朝阳区一模）41()x x-的展开式中的常数项为( )A ．12-B ．6-C ．6D ．125．（2019•海淀区二模）在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是( ) A ．80-B ．10-C ．5D ．406．（2019春•海淀区校级月考）51(1)(1)x x++的展开式中3x 的系数为( )A ．10B ．15C ．20D ．257．（2019春•东城区期末）已知(m n kx y k 是实常数）是二项式5(2)x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为( ) A ．40B ．40-C ．20D ．20-8．（2018秋•海淀区校级期末）在251()x x-的展开式中，第4项的二项式系数为( )A ．10B ．10-C ．5D ．5-二．填空题（共7小题）9．（2019秋•平谷区期末）8(2)x -的展开式的第4项的系数是 ； 10．（2020•怀柔区模拟）7(1)x +的展开式中3x 的系数是 ．11．（2020•平谷区一模）设常数a R ∈，如果25()a x x +的二项展开式中x 项的系数为80-，那么a = ．12．（2020•西城区一模）在61()x x+的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）13．（2020•朝阳区模拟）在52)x的二项展开式中，2x -的系数为 ．（用数字作答）14．（2020•海淀区校级模拟）代数式5(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数为 ．15．（2020•崇明区一模）二项式62()x x的展开式中常数项的值等于 ．三．解答题二项式定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020•延庆区一模）251(2)x x+的展开式中，4x 的系数是( )A ．160B ．80C ．50D ．10【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：通项公式25351551(2)()2r r r rr r r T x x x--+==，令354r -=，解得3r =．∴251(2)x x+的展开式中4x 的系数335280==．故选：B ．【点评】本题考查了二项式的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（2019秋•丰台区期末）在261()x x-的展开式中，常数项是( )A ．20-B ．15-C ．15D ．30【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【解答】解：在261()x x-的展开式中，通项公式为3616(1)r r r r T C x -+=-，令360r -=，求得2r =，可得常数项是2615C =， 故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 3．（2020•房山区一模）在二项式5(12)x -的展开式中，3x 的系数为( ) A ．40B ．40-C ．80D ．80-【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的3x 系数． 【解答】解：5(12)x -展开式的通项公式为5(2)r r C x -，故令3r =，可得其中的3x 系数为335(2)80C -=-， 故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 4．（2019•朝阳区一模）41()x x-的展开式中的常数项为( )A ．12-B ．6-C ．6D ．12【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【解答】解：41()x x-的展开式中的通项公式为2414(1)rr r r T C x -+=-， 令240r -=，求得2r =，可得展开式中的常数项为246C =， 故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 5．（2019•海淀区二模）在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是( ) A ．80-B ．10-C ．5D ．40【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得2x 的系数．【解答】解：在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为335(2)80C -=-， 故选：A ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6．（2019春•海淀区校级月考）51(1)(1)x x++的展开式中3x 的系数为( )A ．10B ．15C ．20D ．25【分析】把5(1)x +按照二项式定理展开，可得51(1)(1)x x++的展开式中3x 的系数．【解答】解：5234511(1)(1)(1)(1510105)x x x x x x x x++=++++++，故它的展开式中3x 的系数10515+=， 故选：B ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7．（2019春•东城区期末）已知(m n kx y k 是实常数）是二项式5(2)x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为( ) A ．40B ．40-C ．20D ．20-【分析】根据二项式定理求出展开式的 通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值．【解答】解：展开式的通项公式为55155(2)2t t t t t t tt T C x y C x y --+==， (m n kx y k 是实常数）是二项式5(2)x y -的展开式中的一项， 5m n ∴+=，又1m n =+，∴得3m =，2n =，则2t n ==，则22552241040t tk C C ===⨯=， 故选：A ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键． 8．（2018秋•海淀区校级期末）在251()x x-的展开式中，第4项的二项式系数为( )A ．10B ．10-C ．5D ．5-【分析】直接根据二项式系数的定义求解即可． 【解答】解：在251()x x-的展开式中；第4项的二项式系数为3510=；故选：A ．【点评】本题考查了二项展开式的二项式系数应用问题，是基础题．在做题过程中需要区分二次项系数与系数的区别，避免出错．二．填空题（共7小题）9．（2019秋•平谷区期末）8(2)x -的展开式的第4项的系数是 448- ； 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第4项的系数． 【解答】解：8(2)x -的展开式的第4项为35348(2)T C x =-， 故第四项的系数是338(2)448C -=-， 故答案为：448-．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10．（2020•怀柔区模拟）7(1)x +的展开式中3x 的系数是 35 ．【分析】利用二项式定理求得7(1)x +的展开式的通项公式，进而求得结果．【解答】解：7(1)x +的展开式的通项公式为717r rr T C x -+=，0r =，1，⋯，7， 7(1)x ∴+的展开式中3x 的系数为4735C =． 故填：35．【点评】本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．11．（2020•平谷区一模）设常数a R ∈，如果25()ax x+的二项展开式中x 项的系数为80-，那么a = 2- ．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：25()ax x+的二项展开式的通项公式：25103155()()r r r r r r r aT x a x x--+==，令1031r -=，解得3r =．33580a ∴=-，解得2a =-． 故答案为：2-【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 12．（2020•西城区一模）在61()x x+的展开式中，常数项为 20 ．（用数字作答）【分析】求出通项，并令x 的指数为零即可． 【解答】解：662166k k k k k k T C x x C x --+==． 令620k -=得，3k =．常数项为34620T C ==． 故答案为：20．【点评】本题考查二项式展开式的应用．属于基础题．13．（2020•朝阳区模拟）在52)x的二项展开式中，2x -的系数为 80- ．（用数字作答）【分析】写出通项公式，根据题意求出r ，代入即可．【解答】解：52)x-的二项展开式的通项公式为1(5)215(2)r r r r r T C x x --+=-，由1(5)22r r --=-得，39r =，3r =， 所以系数为335(2)10880C -=⨯-=-， 故答案为：80-．【点评】本题考查二项式定理的应用，基础题．14．（2020•海淀区校级模拟）代数式5(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数为 0 ． 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合多项式系数的特征，求出结果即可．【解答】解：50122334455555555(1)(1)(1)()x x x C C x C x C x C x C x -+=-+++++， 5(1)(1)x x ∴-+ 展开式中3x 的系数为3255110C C ⨯-⨯=．故答案为：0．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，重点是二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是基础题目． 15．（2020•崇明区一模）二项式62()x x+的展开式中常数项的值等于 160 ．【分析】展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C x C xx --+==，要求常数项，只要令620r -=可得r ，代入即可求 【解答】解：展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C x C xx--+== 令620r -=可得3r =常数项为3362160C = 故答案为：160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题 三．解答题。
高二数学二项式定理1
因此：(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？
（一）二项式定理：
(a+ b)n
=
C
0 n
an
+
C
1 n
an
-
1b
+
C
2 n
an
-
2
b2
+
+
C
r n
an-
rbr
+
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,C
r n
,C
n n
叫二项式系数；
C
r n
a
nr b
r
叫二项展开式的通项，
用Tr+1表示即：Tr+1= Cnr a nrbr
+
C
n n
b
n
注意：
1、弄清定理结构特征：项数：n+1 次数：n，a降b升，和为n
二项式系数： Cnr
2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数
(a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3
= C30 a3 + C13a2 b + C32 a b2 + C33 b3
观察上面公式，从右边的项数、每项的
次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
1.项数比左边次数多1； 2.每项次数均为左边指数； 3.a,b指数a降b升； 4.系数 C20，C21，C22；C30，C31，C32，C33
专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
高中数学 二项式定理例题
＝x4＋4x3（2 y）＋6x2（4 y2）＋4x（8y3）＋16 y4
＝x4＋8x3 y＋24x2 y2＋32xy3＋16y4
下一题
例题 2 求特定项的系数(一)
试求 (2x＋3y)4 展开式中 x2y2 项的系数。
解■ 将 2x 看成一项，3y 看成一项
展开式中的一般项为
C（4k 2x）4－k（3y）k＝ C 4k 24－k 3k x4－k yk
主题 1 二项式定理
例题 1 利用二项式定理求展开式
利用二项式定理展开下列各式： (1)（x－y)4。
解■ (1)（x－y)4＝〔x＋（－y)
〕4
＝
＋
xC4（04x1－（y－)0y＋)3＋
x3（C－14y)1＋
x0（－y)4
＝x4－4xC3y34＋6x2y2－4xy3＋Cy4
4 4
x2（－yC)242
当 k＝2 时，即为 x2y2 项
故 x2y2 项的系数为 C 4224－2 32 ＝216
上一题 下一题
例题 3 求特定项的系数(二)
试求
3x＋1 x
展6开式中常数项与
x4
项的系数。
解■ 展开式中的一般项为
C
（ 6k 3x）6－k
1 x
k
＝C
6k 36－k
x6－k
解■ (1) C22＋C32＋C42＋ ＋C120
＝C 33＋C 32＋C 42＋
＋C120（因C
22＝1且
C
33＝1，將
C
2 2
換成
C33）
＝（C33＋C32）＋C42＋ ＋C120
＝（C34＋C42）＋ ＋C120（因C33＋C32＝C34）
高中数学第4章计数原理-二项式定理第2课时二项式系数的性质同步练习湘教版选择性必修第一册
第2课时二项式系数的性质A级必备知识基础练1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是()A.212B.211C.210D.292.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7=()A.1B.-1C.2D.-23.在n的展开式中,所有奇数项二项式系数之和为1 024,则中间项系数是()A.330B.462C.682D.7924.若二项式-x n的展开式中所有项的系数的绝对值的和为,则展开式中二项式系数最大的项为()A.-x3B.x4C.-20x3D.15x45.(多选题)下列关于(a+b)10的说法中正确的是()A.展开式中的各二项式系数之和为1 024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5= .7.(x-2y)100展开式的各项系数之和为.B级关键能力提升练8.在n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为()A.9B.9C.8D.89.(2022江苏常熟高二期中)若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=()A.8B.6C.5D.410.(多选题)关于6的展开式,则()A.所有项的二项式系数和为128B.所有项系数和为1C.常数项为70D.二项式系数最大的项为第4项11.(多选题)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是()A.第5项的系数最大B.所有项的系数和为38C.所有奇数项的二项式系数和为-27D.所有偶数项的二项式系数和为2712.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .13.(2022江苏连云港灌云高二期中)在①a1=35;②+…+=32(m∈N+);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且.(1)求m的值;(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).C级学科素养创新练14.(多选题)(2022福建龙岩高二期末)对任意实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7.则下列结论成立的是()A.a0=-1B.a2=84C.a0-a1+a2-…+a6-a7=-37D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37参考答案第2课时二项式系数的性质1.A因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即,所以n=12,故(1+x)n 的二项式系数和是212.故选A.2.B因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B.3.B∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得=1024,解得n=11.即二项展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462.4.A令x=-1,可得展开式中系数的绝对值的和为n=,解得n=6.即二项式-x n的展开式中有7项,所以二项式-x6展开式中二项式系数最大的为第4项,T4=3(-1)3x3=-x3.故选A.5.AB根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1024,故A正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,故第6项的系数最大,故D错误.故选AB.6.1(a-x)5二项展开式的通项为T r+1=(-1)r x r.令r=2,得a2=(-1)2a3=80,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.7.0令x=y=1,则(1-2)100=1,故(x-2y)100展开式的各项系数之和为1.8.D只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项,则n=8.8各项系数绝对值之和即为8的各项系数的和.令x=1,可得各项系数绝对值之和为8.故选D.9.D令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3(1-2)4=8,令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3(1+2)4=0,两式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故选D.10.BD二项式系数和=26=64,故A错误;令x=1,得所有项的系数和为1,故B正确;二项式6展开式的通项为T r+1=-r=(-2)r,令6-3r=0,解得r=2,则常数项为T3=(-2)2=60,故C错误;由题可得,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.故选BD.11.BD在二项式(1-4x)8的展开式中,第9项的系数为·(-4)8=48,第5项的系数为·(-4)4=70×44,>1,故A错误;在二项式(1-4x)8的展开式中,令x=1,得所有项的系数和为(-3)8=38,故B正确;因为二项式(1-4x)8的展开式中,所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和,为·28=27,故C错误,D 正确.故选BD.12.3设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1), ①令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0, ②①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),解得a=3.13.解(1)若选条件①,由题得,a r=m r,0≤r≤7.又a1=35,所以m=35,解得m=5.若选条件②,因为+…+=32(m∈N+),所以2m=32,解得m=5.若选条件③,因为展开式中二项式系数最大值为7m,所以=7m,解得m=5.(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7, ①令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7, ②①-②可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,所以a1+a3+a5+a7=.14.ACD∵(2x-3)7=[-1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则(2x-3)7的通项为T r+1=·(-1)7-r·[2(x-1)]r=·(-1)7-r·2r(x-1)r, 故a0,a2,a4,a6均小于0,且a1,a3,a5,a7均大于0.令x=1,可得a0=-1,故A正确;a2=·(-1)5·22=-84,故B错误;令x=0,可得a0-a1+a2-…+a6-a7=-37,故C正确;∵|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-…+a6-a7)=37, 故D正确.故选ACD.。
高中数学选修2-3同步练习题库：二项式定理(填空题：较难)
二项式定理（填空题：较难）1、1＋3＋32＋…＋399被4除，所得的余数为________．2、若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是________3、的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)4、已知满足约束条件，若的最大值是，则二项式的展开式中的常数项为__________．(数字作答)5、若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____________．6、已知满足约束条件，若的最大值是，则二项式的展开式中的常数项为__________．(数字作答)7、已知数列是无穷等比数列，它的前项的和为，该数列的首项是二项式展开式中的的系数，公比是复数的模，其中是虚数单位，则=_____．8、，则__________．9、已知，展开式的常数项为15，则__________．10、已知展开式的常数项是540，则由曲线和围成的封闭图形的面积为．11、的展开式中不含的项的系数和为（结果化成最简形式）．12、的二项展开式中的常数项为______.13、若（2x＋）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值为14、在的展开式中，的整数次幂的各项系数之和为．15、展开式中项的系数为______．16、已知，则______.17、若的展开式中项的系数为20，则的最小值为________．18、在的二项展开式中，的系数为___________．19、的展开式中的系数是____________．20、展开式中的系数为 .21、的展开式中常数项是___________.22、设（，）是的展开式中x的一次项系数，则．23、展开式中，的系数为（用数字作答）．24、（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．25、设函数 f (x)="(x" + a)n，其中，则 f (x)的展开式中的x4系数为______.26、在的展开式中，记项的系数为f(，)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3) = .27、的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)28、设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.29、在展开式中,常数项等于 .30、若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则C n0－C n1＋C n2－…＋(－1)n··C n n＝________.31、已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝________.32、(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．33、已知，则展开式中的常数项为___________．34、若展开式的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为．（用数字作答）35、.若且，则。
高中数学二项式定理知识点+练习
要求层次 重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理① 能用计数原理证明二项式定理．② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例3】 61034(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例5】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例10】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】 若3(2n x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例15】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例22】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例23】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例24】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】 设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】100的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1(1+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）． 【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例37】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例38】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例41】 若3(2n x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例42】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例49】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例51】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】 设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例53】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例54】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】 （2009浙江4）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10- B ．10 C ．5- D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______． 【例58】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】 求二项式153x x 的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 123x x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【例63】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】 已知()πsin cos a x x dx =+⎰，则二项式6⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数是 ．【例65】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ((6411+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】 在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是410+x 的值．【例74】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】 在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例77】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】 若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】 在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】 求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】 在32nx x ⎛ ⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例83】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160【例86】4()y x 的展开式中33x y 的系数为 ．【例87】 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】 在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例94】 二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】 若(51a =+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例10】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．1+B ．1C ．1D ．1【例11】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例20】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例23】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】 证明：22(13)(13)(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例5】 证明：2121(13)(13)(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】 求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】 证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅【例9】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】 求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】 求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】 已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥【例16】 0*a b a b n ∈+∈R N ，，，≥，求证：11()12n n n n na ab ab b a b n --++⋯++++≥．【例17】 设数列{}n a 是等比数列，311232C m m m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例20】 求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】 对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】 求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】若(51a =+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3【例25】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n n S n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】 在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是 （ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】 设)()21*4n n +∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．。
高中数学--二项式定理(理)
二项式系数相等并最大．
2．求展开式系数最大项 如求(a＋bx)n(a、b∈R)的展开式系数最大的项，一般是 采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，„，An
＋1
，且第 k
Ak≥Ak－1 项数最大，应用 Ak≥Ak＋1
从而解出来即得．
• ●考情全揭密● • 从近几年高考题来看，以二项展开式中的 特定项、特定项的系数、二项式系数等是 高考的热点，常以选择题、填空题的形式 考查，难度不大，属于容易题和中档题． • 预测2014年高考，求二项展开式的特定项 和特定项的系数仍然是考查的重点，同时 应注意二项式系数的应用
2 n 已知( x－ 2) (n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含 x2的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
3
• 【思路点拨】 (1)可利用“赋值法”求各 【尝试解答】 由题意知，第五项系数为 C4· (－2)4， n 项系数的和；(2)可利用展开式中的通项公 2 第三项的系数为 C2· n (－2) ， 式确定r的值；(3)可利用通项公式求出r的范 围，再确定项． C4· －24 10 n
•
• • • • •
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2 ＋„＋a7x.求： (1)a1＋a2＋„＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|. 【思路点拨】 本题考查二项式系数与各 项系数的区别，赋值法是求二项式系数中 的应用以及分析问题、解决问题的能力， 可以用赋值法解决各项系数和或部分项系 数和．一般令x＝0或x＝±1解决问题．
【尝试解答】 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37② (1)∵a0＝1(或令 x＝0，得 a0＝1)， ∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2. (2)(①－②)÷ 得： 2 －1－37 a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1 094. 2
二项式定理习题
6
(2x 1)5 旳通项是
C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s
( x 1)6(2x 1)5 旳通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r2 s 2
由题意知
16r2 s 2
6
r 2s 4 (r 0 6, s 0 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
原r式 9旳有27理6项r 为 3:T4T10
(1)9 C99x3 x3
84x4 T10 x3
例4(04全国卷) (x
Tr Tr 2
由此拟定r旳取值
题型10 整除或余数问题
例18 求9192除以100的余数。
解:9192 (100 9)92
10092 C91210091 9 C92210090 92
前面各C项9921均10能0 被991100整99除2 .只有 992 不能被100整除
992 (10 1)92 1092 C9121091 C9221090
析:本题旳左边是一种数列但不能直接求和.因为
Cn0
Cnn ,Cn1
C n1 n
Cnr
C nr n
由此分析求解
解 : 设Sn 0 Cn0 Cn1 2Cn2 3Cn3 (n 1)Cnn1 nCnn
题型4 求多项式旳展开式中特定旳项(系数)
例7 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)高中数学二项式定理经典练题专题训练姓名。
班级。
学号。
说明：1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟。
2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题）评卷人。
一．单选题（每题3分，共39分）1.已知在 $(1+x)^{10}$ 的展开式中常数项是（）A。
42B。
-14C。
14D。
-422.在 $(1+x)^5$ 的展开式中第三项的系数是（）A。
10B。
5C。
15D。
203.在$(1+x)^n$ 的展开式中，第6项为常数项，则n 为（）A。
10B。
9C。
8D。
74.设 $a=\cos^2 2x dx$，则 $(a-x)^6$ 展开式中含 $x^2$ 项的系数是（）A。
-192B。
-190C。
192D。
1905.在 $(x-1)^6$ 的二项展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
-20B。
20C。
15D。
-156.在 $(1-x)^5$ 的展开式中，x 的系数是（）A。
-5B。
5C。
4D。
-47.在 $(1-2x)(1+x)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
20B。
-20C。
10D。
-108.在二项式系数 $\binom{n}{k}$ 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系数之和为 N，且 M+N=64，则展开式中含 $x^2$ 项的系数为（）A。
-90B。
90C。
10D。
-109.在$(a+x)^6$ 的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数 a 的值为（）A。
2B。
-2C。
1/2D。
-1/210.$(x-1)^{10}$ 展开式中系数最大的项是（）A。
第五项和第六项B。
第六项C。
第五项和第七项D。
第四项和第七项11.在 $(1+ax)^6$ 的二项展开式中含 x 项的系数是（）A。
28B。
-56C。
56D。
-2812.若 $(1+x)^n=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$，则n 等于（）A。
高中数学选修2-3课时作业9：1.3.1二项式定理
1.3.1二项式定理一、选择题 1.(1＋1x)4等于( )A ．1＋3x ＋6x 2＋3x 3＋1x 4B ．1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4C ．1＋4x ＋5x 2＋6x 3＋1x 4D ．1＋6x ＋5x 2＋4x 3＋1x42.在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154C ．－38 D.383．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．若(3x －132x)n 的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．若(1＋x )n 的展开式中x 2项的系数为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a n的值( )A ．大于2B ．小于2C ．等于2D ．大于32二、填空题7.在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝________. 8.已知a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________． 9.设二项式(x －ax)(a >0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B.若B ＝4A,则a 的值是________． 三、解答题10．已知在(3x －33x)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．11．求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．12．求(1＋x＋x2)8的展开式中x5的系数．——★参考答案★——一、选择题1[答案]B[解析]由(1＋1x )4＝C 04＋C 141x ＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋C 44(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 2[答案]C [解析]T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x)r ＝(－1)r 22r －6C r 6x 3－r，令3－r ＝2，则r ＝1，所以x 2的系数为(－1)1×2－4×C 16＝－38，故选C . 3．[答案]A[解析]方法一：设二项展开式中的第(r ＋1)项为x 6y 4,则T r ＋1＝C r 10x 10－r ·(－2y )r ＝(－1)r ·(2)r ·C r 10·x 10－r ·y r ,∴10－r ＝6.∴r ＝4.∴该项系数为(－1)4·(2)4·C 410＝840.方法二：(x －2y )10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x 、4个y ，∴系数是C 610x 6·C 44·(－2y )4中的系数．∴系数为C 610·22＝840. 4．[答案]A[解析]展开式通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－13x)r ＝ C r 10(－13)r x 10－3r 2，若展开式中含x 的正整数指数幂，即5－32r ∈N *，且0≤r ≤10，r ∈N ， 所以r ＝2，即含x 的正整数指数幂的项只有一项． 5．[答案]B[解析]T r ＋1＝C r n (3x )n －r(－132x)r＝C r n (3)n －r (－1)r (132)r ·x n －r ·x －r 3＝C r n (3)n －r(－132)r xn －4r3，令n －43r ＝0，得n ＝43r .∴n 取最小值为4.6．[答案]B[解析]由题意知a n ＝C 2n ＝nn －12，∴1a n ＝2nn －1＝2(1n －1－1n)，从而1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝2(1－1n )<2.二、填空题7．[答案]－12[解析]T 4＝C 310x 7(－a )3，则C 310(－a )3＝15，解得a ＝－12. 8．[答案]－192[解析]由题意知，a ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则展开式中x 2的系数为C 16·25·(－1)＝－192.9．[答案]2[解析]展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x -k 2 ＝(－a )k C k 6x 6－3k2 ，故A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得a 2＝4，又a >0，故a ＝2. 三、解答题10．[解析](1)通项公式为T k ＋1＝C k n x n -k 3(－3)k x ―k 3＝C k n (－3)k xn -2k 3.∵第6项为常数项，∴k ＝5时有n －2k 3＝0，即n ＝10.(2)令n －2k 3＝2，得k ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z0≤k ≤10k ∈Z ，令10－2k3＝R (R ∈Z)，则10－2k ＝3R ，即k ＝5－32R .∵k ∈Z ，∴R 应为偶数．∴R 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.11．证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182，该式每一项都含因式82，故能被64整除． 12．解：方法一：(1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8， 所以T r ＋1＝C r8·(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r 来决定，T′k ＋1＝C k r ·x r －k ·x 2k ＝C k r xr ＋k ， 令r ＋k ＝5，由r ≥k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3k ＝2，∴含x 5的项的系数为C 58·C 05＋C 48·C 14＋C 38·C 23＝504.方法二：(1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18·(1＋x )7·x 2＋C 28·(1＋x )6·(x 2)2＋C 38·(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 78(1＋x )(x 2)7＋C 88(x 2)8，则展开式中含x 5的项的系数为C 08·C 58＋C 18·C 37＋C 28·C 16＝504.方法三：(1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2)…(1＋x ＋x 2)(共8个)，这8个因式的乘积的展开式中形成x 5的来源有三种．(1)有2个括号各出1个x 2，其余6个括号恰有1个括号出1个x ，这种方式共有C 28·C 16种； (2)有1个括号出1个x 2，其余7个括号中恰有3个括号出1个x ，共有C 18·C 37种； (3)没有1个括号出x 2，恰有5个括号各给出1个x ，共有C 58种；∴x 5的系数为：C 28·C 16＋C 18·C 37＋C 58＝504.。
高中数学二项式定理知识点+练习
要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C*n n n r n r r n nn n n na b a a b a b b n--+=+++++∈N，．2．通项公式：展开式的第1r+项1C0r n r rr nT a b r n-+=，≤≤．3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12nk+<时，二项式系数C kn是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n是偶数时，中间项最大；n是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C2n nn n n+++=．（二）典例分析【例1】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】64(1)(1)x x-+的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例3】610341(1)(1)xx++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】在25(42)x x++的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例5】在25(42)x x++的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例10】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】 若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例15】 在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】 已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例22】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）【例23】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例24】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】 设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）． 【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例38】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例41】 若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例42】 在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】 已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例49】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例51】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】 设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例54】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】 （2009浙江4）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______． 【例58】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】 求二项式1532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 1231x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）【例63】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】 已知()π0sin cos a x x dx =+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 展开式中含2x 项的系数是 ．【例65】 设()5nx x-的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ()()6411xx -+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】 在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是42lg 210+，求x 的值．【例74】 二项式1532()x x-的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】 在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例77】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】 若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】 在二项式412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】 求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】 在312nx x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例83】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ） A ．20B ．40C ．80D ．160【例86】4()x y y x -的展开式中33x y 的系数为 ．【例87】 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】 在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例94】 二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】 若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】 若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．【例10】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．51x +B ．512x --C ．512x +-D ．51x -【例11】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】 若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a的取值范围．【例20】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例23】 已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】 求10312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】 已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】 证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例5】 证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】 求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】 证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅【例9】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】 求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】 求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】 已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥11n n n n na ab ab b a b --++⋯+++【例17】 设数列{}n a 是等比数列，311232C mm m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例20】 求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】 对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】 求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】 若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）1【例25】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n nS n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】 在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是 （ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】 设()()21*174n n ++∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．。
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选修2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )
A ．2n
B ．2n ＋1
C ．2n －1
D ．2(n ＋1)
2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )
A ．C r n
B ．
C r ＋1n
C ．C r －1n
D ．(－1)r －1C r －1n
3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410
4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
5．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3
B ．5
C ．8
D ．10
6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
7．(2009·北京)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于
( )
A ．－1 B.12 C ．1 D ．2
9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是
( )
A.112＜x ＜15
B.16＜x ＜15
C.112＜x ＜23
D.16＜x ＜25
10．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项
B ．5项
C ．6项
D ．7项
二、填空题
11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________．
12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________．
13．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
三、解答题
15．求二项式(a ＋2b )4的展开式．
16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含x 2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
18．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
1.[答案] B 2[答案] D 3 [答案] D
[解析] ∵T r ＋1＝C r 10
x 10－r (－3)r .令10－r ＝6， 解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.
4[答案] C
[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，
故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，
所以x 的系数为2.
5[答案] B
[解析] T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ()1x 2r ＝2n －r ·C r n
x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z .
∴n 的最小值为5.
6[答案] D
[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．
∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.
7[答案] D
[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x
)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.
8[答案] D
[解析] C r 5·x r (a x
)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·
a ＝10，得a ＝2. 9[答案] A
[解析] 由⎩⎨⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧
C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 10[答案] A
[解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭
⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，
∴(2)r 与220－r
3均为有理数，
∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，
故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.
∴r ＝2,8,14,20.
11[答案] －162
12[答案] 5
[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；
解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15
(－1)＝5. 13[答案] 2
[解析] C 36(x 2)3·()1ax
3＝20a 3x 3＝52x 3
，∴a ＝2. 14[答案] －5 [解析] (1＋x ＋x 2)()x －1x 6
＝()x －1x 6＋x ()x －1x 6＋x 2()x －1x 6，
∴要找出()x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，
令6－2r ＝0，∴r ＝3，
令6－2r ＝－1，无解．
令6－2r ＝－2，∴r ＝4.
∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.
15[解析] 根据二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得
(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.
16[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.
∴⎩⎨⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎨⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎨⎧
m ＝18
n ＝1
. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12
(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 17[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x
)r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13
)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3
. ∵第6项为常数项，
∴r ＝5时有n －2r 3
＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454
. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎨⎧ 10－2r 3∈Z 0≤r ≤10r ∈Z
令10－2r 3
＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝
10－3k 2＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，
∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12
)5， C 810·(－12
)8·x －2. [解析] 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12
，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.
又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：
⎩⎨⎧ C k
－18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2
即⎩⎪⎨⎪⎧ 8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.
∴⎩⎨⎧
29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.
3 5和第4项T4＝7·x
7
4
.
∴系数最大项为第3项T3＝7·x。