第八讲(基础知识部分)

第八讲：三角形

一、三角形（多边形）有关概念

→知识要点

1．三角形的概念

（1）三角形的概念（略）；

（2）三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．

2．三角形的性质

（1）三角形的内角和是1800，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．

（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

（3）三角形具有不稳定性．

3．多边形的性质概念

（1）多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．n边形的对角线的条数

为

2)3

(—

n

n

．

（2）n边形的内角和是（n—2）·1800，n边形的外角和为3600．

4．平面镶嵌：是指用相同或不同的多边形拼成不留缝隙的平面图形．

（1）用相同的正多边形镶嵌平面，可以用正三角形，正四边形或正六边形．

（2）用两种正多边形镶嵌平面时，可能的组合是：正八边形和正方形；正六边形和正三角形；正方形和正三角形；正十二边形和正三角形等．

5．三角形中的线段

（1）三角形三条角平分线交于一点（内心）；三条中线相交于一点（重心）；三条高所在直线相交于一点（垂心）．

（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

→考点透视

1．两根木棒的长分别是3cm和5cm，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是．

【解析】设第三根木棒长为xcm，根据题意得5－3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为x取偶数，所以x取4，6．

【答案】4cm，6cm．

【点评】三角形任意一边的取值范围是小于其它两边之和而大于其它两边之差——三角形三边关系，在解决实际问题时一定要注意．

2．（2007年哈尔滨市）哈尔滨市为迎接第24届世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

【解析】正三角形、正方形、正六边形的一个内角分别为600、900、1200，它们都可以绕一点围成一个3600的角，而正五边形（一个内角为1080）不可以．

【答案】C

【点评】本题考查了多边形进行平面镶嵌的知识．关键注意通过整合要使在某一点围成一个3600的角．

3．（2007年贵阳市）如图，小亮从A 点出发前进10m ，向

右转150，在前进10m ，又向右转150，……这样一直走下去，

他第一次回到出发点A 时，一共走了 m ．

【解析】根据小亮前行距离和方向的规律，可发现小亮回到A 点时，所经过的路径应是正多边形．又因为n 边形的外角和是3600，而每一个外角都等于150，15

360=24，所以小亮走过路径应是正24边形． 【答案】10×24=240

【点评】在解决有关正多边形的问题时，应注意正多边形的内、外角度数．

→命题预测与复习对策

考查本节知识多以填空题或选择题的形式出现．中考题中考查本节知识的分值占5%左右，主要考查三角形或多边形的边角关系、多边形内角和与方程的关系、瓷砖的密铺．预测今后中考中瓷砖的密铺等题目要增多．

二、等腰三角形和直角三角形

→知识要点

1．等腰三角形的概念

（1）了解等腰三角形和等边三角形（正三角形）的概念．

（2）等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形．

2．等腰三角形的判定和性质

（1）等腰三角形的两底角相等，简称等边对等角．

（2）在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称等角对等边．

（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形三线合一” ．

3．等边三角形的性质与判定

（1）性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于600．

（2）三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是600的等腰三角形是等边三角形．

4．线段的中垂线

（1）中垂线的概念（略）．

（2）性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．

（3）判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

5．轴对称

（1）轴对称的概念（略）．

（2）性质：关于轴对称的两个图形全等，其对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等．

6．直角三角形的性质、判定

性质：（1）直角三角形的两个锐角互余．

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

(第3题图) A

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

（4）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2+b 2=c 2．（勾股定理） 判定：（1）有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形．

（2）如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

（3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

7．勾股定理的应用

勾股定理的主要用途是已知直角三角形的两边求第三边，可当我们只知道直角三角形的一边时，如果我们可以找到另外两边的一个关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．

考点透视

1．（2007年杭州市）一个等腰三角形的一个外角等于1100，则这个三角形的三个角应该为 ．

【解析】一个等腰三角形的一个外角等于1100，有两种可能：顶角的外角等于1100或底角的外角等于1100．

【答案】700，550，550或400，700，700

【点评】等腰三角形中有关边、角（未明确对应关系）的问题均需要分情况讨论；再如：若等腰三角形的两边长分别是01492=+x x —的两根，则它的周长为 ．

2．（2007年宜昌市）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥，如图，中塔左右两边所挂的最长绳索AB=AC ，塔柱底端D 与点B 之间的距离是228米，则BC 的长是 米．

【解析】根据等腰三角形的“三线合一”，因为AD 是底边的

高，所有点D 也是底边的中线，即BC=2BD=456．

【答案】456

【点评】三线合一定理的运用很广，在运用时应注意：①解

等腰三角形时，常用的辅助线有三种：作顶角的角平分线；作底边上的高线；作底边上的中线．②三线定理中的条件和结论可以互换．即若三角形的三线有两线重合，则可得此三角形必为等腰三角形．

3．（2007年哈尔滨市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF=4

25cm ，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm

【解析】∵AB=8cm ，AF=425cm ，∴EF=4

7cm ，∵∠ACD=∠CAE ，∴AF=FC=4

25cm ，∴AD=CE=22—EF FC =22)47(—)425(=6． 【答案】C

【点评】本题有两点值得我们总结：（1）折叠不改变原有线段和角的大小；（2）在三角形中求边的长度，勾股定理是常用的方法．

4．铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25Km ，C 、D 为两村庄（视为两点），DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15Km ，CB=10Km ，现在要在铁路AB 上建设一个土特产受购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站 Km 处．

(第3题图) (第2题图)