胡不归问题模型
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一。
“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚去世，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？XXX不归？何以归”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
二。
“胡不归”模型建立XXX所示，已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ，“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
三。
“胡不归”模型破解策略胡不归”问题可以构造某角正弦值等于系数k（k小于1）的起点，构造所需角（k=sin∠CAE），过终点作所构角边的垂线，利用垂线段最短的原理解决。
四。
“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为2.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数。
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=4时，运动时间最短为2秒。
专题10 最值模型-胡不归问题(解析版)
专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 12V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
胡不归模型问题归类及解法
胡不归模型问题归类及解法
胡不归模型问题是指在使用黑盒机器学习模型时，出现了模型的预测结果与实际情况相差较大或出现错误的情况。
这可能是由于模型的输入数据质量不好，特征选择不当，模型训练不充分等原因导致的。
胡不归模型问题可以分为以下几类：
1. 数据质量问题：输入数据质量差、缺失值过多、异常值等。
解决方法包括数据清洗、特征工程等，通过处理数据以提高模型的准确性。
2. 特征选择问题：特征选择不当或缺乏重要特征。
解决方法包括使用特征选择算法(如卡方检验、信息增益等)、领域知识的引入等，以选择和提取对模型预测有价值的特征。
3. 模型选择问题：选择的模型不适合解决该问题。
解决方法包括尝试不同模型、调整模型超参数以提高模型的预测性能。
4. 数据不平衡问题：样本中不同类别的样本数量不平衡。
解决方法包括过采样、欠采样、集成学习方法等，以平衡不同类别的样本。
5. 模型训练不充分问题：训练数据集太小，模型没有充分地学习到数据的分布。
解决方法包括增加训练数据、使用数据增强技术、使用迁移学习等方法，以提高模型的泛化能力。
6. 模型过拟合问题：模型过于复杂，过拟合了训练数据。
解决方法包括增加正则化项、提前停止训练、使用更简单的模型等，以降低模型的复杂度。
7. 模型欠拟合问题：模型过于简单，无法充分拟合数据。
解决方法包括增加模型的复杂度、引入更多特征等，以提高模型的拟合能力。
解决胡不归模型问题的方法需要具体问题具体分析，可以结合数据分析、模型评估和调参等技术手段。
胡不归问题【模型专题】(含答案解析)
2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此 ，由此可知当B、P、Q三点共线时 有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
一般的：更一般地：使mPA＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型．
，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可．
模型一：几何问题中的最值
例1：
1.如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作 于 ，过点C作 于 ，首先通过勾股定理及 求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出 ，然后通过锐角三角函数得出 ，进而可得出 ，最后利用 即可求值．
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2 ），
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得x=1，
∴F（1， ），
作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
更一般地：使mPA＋nPB最短（不妨设m＞n）
思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上）
我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF，mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB）
胡不归模型的数学题型
胡不归模型的数学题型
胡不归模型的数学题型主要是求解具有特定形式的问题，即AP+k·BP，其中P是某一定点，A和B是另外两个点，k是一个常数。
这种问题常常出现在几何和代数领域。
以一个具体的例子来说明：假设A、B两人在同一条路上骑车，A在路的起点处开始骑，速度为10km/h，B从距起点20km的地方开始骑车，速度为20km/h。
问B需要多长时间才能追上A？
解析：设B追上A的时间为t，则A骑车的路程为10t，B骑车的路程为20+(20t-10t)=10t+20。
因为A、B在同一地点相遇，所以他们骑车的路程相等，即10t=10t+20。
解得t=2。
这实际上就是一个胡不归模型的问题，求解该类问题一般采用构造辅助线的方法，将问题转化为几何问题或者代数问题，然后求解。
胡不归问题模型-胡不归例题模型
胡不归问题模型及其应用廊題重现：（来涯；高邮市88化学校独立练习（6））如0B1所示r抛物线严"2 - 2x - 了与渝交于A、B两点f过B的■线交］«物线于E r RtanzEB A=4/3 ,有一只网从A出发，先UU单位虫的速度爬到蟻段匪上的点晦,再UZ125单位/啲速度沿着DE眶到E点处更負’则茅蚁从A到E的层短时间是s .醫堀驛块这个所谓"难念“」不得不提迂一起昔名的、大名夙刚的古老的"胡不归"问题.—、模型曲故（“頡不归“问題｝’下文来漁于网塔有一则古老的历史故事：说的量一个身在佗多的小伙子（得知父亲病危的涓绘后便日夜赶路回家撚而」当他代喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽7了•人们告诉他「在期留之际「老人在不断啊阐地叨念：“胡不归？相不归?十…"旦期的科学赢賞为这则古老传说中的小快子设想了一辜路蛭:如團1-1所示,A是出发地,BB 目的地；AC垦F驿道，而驿逍靠冒的地的一口全呈砂土地帯.为了亀切回家，小伙子选择了直战路程AB.但是「他忽略了在驿道上彳徒箕比在砂土地带行走快的这_因素如果他曹继4 寮台适的路皱（尽管遠条路钱長一些.但是速度却可以加快）r是可以提前抵达家门的.8图口那么•他应该选择羽際路觑 ?显然，根据两种路面的状况和在鼻上行走的速度值.可以在A（:上选逵一点D .小快子从A走到D r然后从D折往B .可望扇早至哒目的地B+用现代的数学港言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分SJ^JVI和也,在AC上找一定点D ,使从A至D,再从D至B 的行走时闾嚴.于是■问题在于女咧去找出D点•这个古老的“胡不归"冋题冈靡了T峯年r—直到十七世纪中叶・才宙法匡着名科学宣務尔马播幵了它的面妙.二.模型解决第一步《设出时问“将數学冋毎字母化）:设总时间为t,则“耳+子，这里v\>v 19 耳 V’更求的就是I 的巖小值，这是一个系数不为】的最值问題，而且有两个系数均不为" 第二步《掳敢“大系數”,化为只有一个系数不为1的晟侑问題〉：一般情况下，週 到两个系数不为1的最值问題，苜先要将其转化为里个系数不为1的最值问尬，这个转化 还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可；问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：董本沁，呻吓吹达式中两个系吩脣因砲沁严来，卄 丄（冬•仞・£>&）,注意这里人与岭均为常数，这样要求I 的最小值，只要求AD+DB 的最小值即可，从而问竝核转化为单个系数不为1的最值问題;的最小值问越呢？还是要您办法处理不为1的系数，将系数都化为1. 但罡问題来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？ 数学是门神奇的科学，只有你想不到，没耳地做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角因数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无 形中化为1,这也罡解决所谓“胡不归"问題的核心与难点所在，具体襟作如下：由冬VI 联想到三角函数值，如图1・2所示，过定点A 在JS 线AC 的下方构造税甬Z *1yCAE=a> 使其满足 sina = j再过动点D 作DG 丄AE 于点G ，则sina == ,从而有DG 二空・4D ; ——片 V x第三步〈构造三角的数，化为系数均为1的常規最值冋題〉 :如何求解冬 %AD^DB图1・2宴吩4嘶最仙懸，叭利转化必+场叭、值问题，变成了一个系数均为1的常规最值问題;需要特别提醒大家的是，这里的关键角a是依托于瑯些考虑作岀来的呢？注意到显原始的"胡不归"问题是一个"两走一动型"品值问题,只不过荼数不为1 了而已；如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上；上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的,即过定点A作一条肘线与定直线AC所交锐角为角a即可！说到底就是"抓不变示"的解题策略,依托于定点A及定直线AC作角a ,使其满足sina =V2/V1,即可顺利将所谓"胡不归""难题“转化为系数均为1的韋规鼠值问题！第四步（利用“垂线段杲匹原理”,解决系数均为1的常規最值冋題〉：注意到构造的AE也是一条定射线，要求DG + DB的最小值问题，其实就是左两定直线AC、AE ±分别找点D、G,且DG 丄AE,使DG^DB^小.先利用“两点之间线段晟短"易^DG^DB>BG ,当且仅当B、D、G三点共线时取爹号丿如團1-3所示，再利用“垂线段最短”只爲过点B作BG丄AE于点G,此时BG最小, 则BG与AC的交点即为所要寻找的点D）S1-3E因而t= —・Q + DB)二丄(DG+DB) A丄BG二丄•肋・sinZB4G,其中冬片K K K ・AB及乙BAG均为常值，故所求时间的最小值为丄・AB sinZBAG.K至此，"胡不归”模型得到完矣I?决！如果奄竜一息的父亲能够坚持封1-JB sinZBJGiA个时间，那么就能够见他的儿*2子杲后一面了！三、原题解决回到我们最初的考题上，设蚂奴从点A到点E所関的时间为t,如厨1-4,则t=—+ —=JD + —,要求的就是t的最小值，即JD + —的巖小值：1 1.25 5 5很明显，这就是一个曲型的“胡不归”问题，可按照上述解决模型的步礫进行操作：图1・4第一步（构三角的数，化系数为1）：由系数牛VI联想到三角函数值，如图1.5所示,4 过定直线EB±的定点E在直线EB的上方构造锐角ZBEF=a,使;再过动点D作DG丄EF于点G, WJ sina=- =—,从而WDG=- DE y八5 DE 54DE这样t=JD + —=AD^DG,转化为了常规的系数均为1的最值问題；5第二步（寻縣目特Sett,委新谓整囹形〉：但先不要忙于计算，我们还鉴敏锐地竜识4 4到此题有个角很特殊，那就是tanZEBA=-,由此易知sinZEB#-,因而刚刚我们所作3 5图1・6第三步（利用“垂线段屋短原理”,解次系数均为1的常銀是侑冋趣）：注童到构造 的EF也衆一条定射线，要求AD+DG 的最小值问题,其实就罡在两定直线EB 、EF 上分别找 点D 、G,且DG 丄EF,使AD+DG 最小.先利用“两点之间线段最短"易^AD^DG^AG f 当且仅当A 、D 、G 三点共线时 取奪号；如图1・7所示，再利用“垂线段最短”只霧过点A 作AG 丄EF 于点G,此时AG 最小, 则AG 与EF 的交点即为所賛寻找的.点D;=AD+DG>AG,故所求时间t 的最小值即为AG 的长，即点E 的纵坐图1-7因而t=JD + —5标的值，下面求出点E 的坐标即可;第四步（求定点E的坐标）：这里提供两种方法求点E的坐标；方法一（求交点坐标）：设直线EB与y轴交于点如图1・8所示，由題易知点B4的坐标为（3, 0）,在RtAMOB中由tanZEBA二一知10帖4,则点11坐标为（0, 4）;34由B （3, 0）及K （0, 4）可得亶线EB的解析式为尸-jxH;4 彳联立言线EB与挖物线的解析式得：仁3 ,即宀2厂3 = -'x + 4,即y = x2-2x-3 33宀2厂21=0,解之得耳二-?, Xj=3 （舍去）,故点E的坐标为（-?,—）;3 3 9方法二（设坐标法〉：设点E的坐标为（I, r'-2r-3〉,过点E作EH丄x轴于点H, 如S 1-9 所示，在RtAEHB 中由tanZEBA=-可得—即（一3X『 + l）=g ,即3 BH 337 34 7 7 64—（r +1）=—＞解得r = —9故点E的坐标为（—9—）；3 3 3 9因此，所求时间t=AD^—的最小值为聖.5 9此题播定，所谓的“难蝕”看来也不是太难啊，玩的都罡“倉路”！y图1・9解題后反思：平时”套路"积累多了，真的遇到了所谓的"套路题”，同学们就能立于不败之地了！这题也给我们的敦学一走的启发性，即应该車视模型敎学这一块！有人说"成也模型，败也模型"，但我想说如臬負的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的憐E出模型达到更高境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该申视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回审.或者说叫某某模型也无所谓，之所以起名称，更主要的还是希盅学生能做到"顾名思义"之效，晶终达到熬能生巧之目的！【来龙】3有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
胡不归模型精讲——冲刺2024年中考几何专项复习(全国通用)(解析版)
胡不归模型知识精讲【知识梳理】1.特殊角的三角函数值：2.点到线间垂线段最短如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短（直角三角形中，斜边永远大于直角边）.【模型讲解】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.【胡不归模型通解】1.第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.2. 型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A 、B 为定点，P 为动点，m 、n 为常数）；① 若m 、n 均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；② 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；③ 利用“垂线段最短”原理即可解题.【经典例题】例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一个动点，连接PB ，则12PA +PB 的最小值为 ．解：如图，过点A 作直线AE ，使∠CAE ＝15°，作PQ ⊥AE 于点Q ，作BQ '⊥AE 于点Q '，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝15°，∵∠CAE ＝15°，∴∠P AQ ＝∠CAD +∠CAE ＝30°，∠BAQ '＝∠BAC +∠CAE ＝45°，又∵PQ ⊥AE ，BQ '⊥AE ，AB ＝4，∴PQ =12P A ，BQ '=√22AB =√22×4＝2√2， ∵PB +PQ ≥BQ '，∴当PB +PQ ＝BQ '时值最小，即12P A +PB 的最小值为2√2． 故答案为：2√2．例2：在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点M 从点D 运动到点C ，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N 从B 出发向点A 运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则DN +35AM 的最小值 ．解：延长CB 到E ，使BE ＝3，连接NE ，DE ，∵AD ＝5，∴BE AD =35， 设点M ，点N 运动时间为t 秒，由题意，得DM ＝5t ，BN ＝3t ，∴BN DM =3t 5t =35， ∴BE AD =BN DM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠ADM ＝90°，∴∠EBN ＝∠ADM ，∴△EBN ∽△ADM ，∴EN AM =BE AD =35， ∴EN =35AM ，∴DN +35AM ＝DN +EN ≥DE ，而DE =√EC 2+DC 2=√(3+5)2+82=8√2，∴DN +35AM ≥8√2，故答案为：8√2．。
2023年中考数学几何模型之胡不归模型(讲+练)(解析版)
专题14动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？2驿道看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H 此时DG ＋DB 的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC，CH =kAC ．M M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D是线段BE 上的一个动点，则CD的最小值是_______．ABCDE【解析】∵tan A=2，∴△ABE 三边之比为1:2，∴sin ，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH ．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE ．例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，C．（0，）D．（0）【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间，要使t最小，就要＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，所以，所以点D的坐标应为例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA＝A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【答案】【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E点坐标为，∴∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则2PB PD的最小值等于________．A BCDP【解析】已知∠A =60°，且sin60°=2，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得2PH PD，∴2PB PD =PB +PH ．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．【变式训练2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则的最小值是.【解析】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，设AE ＝a ，BE ＝2a ，则有：100＝a 2＋4a 2，∴a 2＝20，，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB，∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴∴CD ＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD上的一动点，则的最小值等于________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，有最小值，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC ＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°，∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH 取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝，∴＋PD＝PH＋PD＝DH PB＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝．∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）（2或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴P（x，＋），代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0，∴，综上所述，或．（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，点M，∵lBD：∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2）．。
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。
其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。
这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。
胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。
虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。
当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。
邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。
这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。
以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。
为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。
这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。
在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。
而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。
举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习22 胡不归模型(学生版+解析版)
专题22胡不归模型一、知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP矿这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1)胡不归问题，（2)阿氏固．本文简单介绍“胡不归“模型【故丰介绍l从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据＇，两点之间线段最短＂，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？(“胡“同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？A VZ R驿道［棋型建立）如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI'在直线MN上运动的速度为忆，且冈＜忆，A、BAC BC为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使－－＋—－的值最小V2 V,MBA V2 CN（问题分析）AC B C l V V了三(B C+t AC]，记k=t即求BC+kAC的最小值．（问题解决I构造射线AD使得sin乙D儿'V=k,CH/ A C=k, CH=kAC.M A勺、＂、、,'CCH、、、令si11a＝一＝k H、、AC、、、、、、忽CH=kAC BN将问题转化为求B C+CH最小值，过B点作BH上AD交J\1N于点C,交A D于H，点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．B， ， ，，M A义”、、、、、、、'佥H、、、、、艾N（棋型总结】在求形如“PA+kP矿的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“1刃＋肘功”型问题转化为“PA+PC'型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段石如图， 6.ABC中，AB=AC=IO,ta叭＝2,BE_I_AC于点E,D是线段BE上的一个动点，则CD+—-BD的晟5小值是A8c乔（分析）本题关键在于处理”__:_BD",考虑tanA:o2,t,. ABE三边之比为1:2✓5,石上AB交AB于H点，则DH=－-BD,5石sin乙钮E—，故作D H5A Ac8c问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD+DH=CH= 8£=4✓5【小结1本题简单在于题目已经将B A线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线D H即可斛决问题，若稍作改变，将图形改造如下·B二三则需自行构造a,如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关锭所在．B二三渗石，l sina＝一－B夕AIII、、I、$IIIIIIHIIcI三、中考真题演练I.(2023山东中考真题）已知抛物线y=-x2+b入＋c与x轴交于A,B两点，与y轴交千点C(0,4)，其对称轴为x=－一．3y A｀l�l(1)求抛物线的表达式：(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段BC千点E,图2F，过点F作FG..lx轴，垂足为G,求FG＋丘F P的最大值．2.(2023黑龙汀绥化中考真题）如困，抛物线Y,＝少:2+bx+c的图象经过A(-6,0),8(-2,0), C(0,6)三点，且一次函数y＝虹＋6的图象经过点B.-8 -7l广X-8-7I 2(l)求抛物线和一次函数的解析式．(3将抛物线Y,=a.,\2 +bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线Y2，此抛物线的图象与X轴交于M,N两点(M点在N点左侧）．点P是抛物线Y2上的一个动点且在过线NC下方已知点P的横坐标为m.过点P作PD上NC于点D求m为何值时，CD+�PD有最大值，最大值是多少？2(2023四川内江中考真题）如图，在平面丑角坐标系中，抛物线y=w.2+b入＋c与x轴交千B(4,0),C(-2,0) 两点与y轴交于点A(0,-2)I •(I)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作轴的平行线交AB千点K,过点P作y轴的平行线l交r轴于点D,求与－PK+PD的最大值及此时点P的坐标；24.(2023天津中考真题）已知抛物线y=-入2+bx+c(b,c为常数，c>I)的顶点为P,与X轴相交于A,bB两点（点A在点B的左侧），与Y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m,且－c<m＜一，过点M2作C,垂足为N(I)若b=-2,c=3.＠求点P和点A的坐标；＠当仙V＝石时，求点M的坐标；(2)若点A的坐标为（气',0)，且MPII A C,当A N+3M N=9✓2时，求点M的坐标k5. (2023福建泉州模拟预测）如图，已知抛物线y=�(x+2)(x-4)(k为常数，且k>O)与X轴从左至右8§依次交千A,8两点，与Y轴交于点C,经过点B的宜线y=－—-x+b与抛物线的另一交点为D.y yX备用图(I)若点D的横坐标为－5,求抛物线的函数表达式；(2)在（l)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒l个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？6.(2023广西柳州二模）已知抛物线y＝少:2+b入＋c(a丑0)过点A(LO),8(3,0)两点，与Y轴交于点C, OC=3,。
胡不归问题模型
胡不归问题模型及其应用療题重现；（来源；高哪市赞代学校独立练习（五）｝如圍1所示r抛物线y二”2 - 2x - 3与x轴交于A、B两点,过B的■践交抛物线于E , HtanzEBA =4/3 .有一只删12从A出发，先以1单位“的連度建盖垃段BE上的点Dtt .再UU.25单位/啲速廃沿看DE鹿到E点处氐價，则男蚁从A到E的勰时间呈 5 .国1套想解决运几所谓"难题”，不得不提起T蓍名的、大客瞩貝的、古老的"胡不归”冋题.一，模型购故（“丽不归“问題）,下文来源于网踣有一则百暑的厉史故枣:说的是一个身在他乡的小伙子”彳骐父奈病危的消鹿后便日夜赶路回家•然而（当他气味吁吁地来到父亲的面前时•老人爾刚咽气了•人们告诉他,在弥留之际，老人在不断闻国地叨念：“胡不归？胡不归？•“…”旦期的科学赢曾为逗则古老传说中的小怏子设想了一条路谨：如團1-1所示，A是出发地,BB 目的地；AC昱一条驿道r而驿逋靠目的地的一测全是砂土地帝，为了静切回家「小快子选择了直线路程AB.但是，他忽略了在驿道上行走要比在秒土地帯行走快的这一因素•如果他胄施4 冬合适的路线（尽管这条路践长一些「但是速鞋阿以加ft「是可以提前抵达家二的.B图E那么，他应该选捍那条路歧迟?显然，抿曙鬲种路面的状况和在鼻上彳旌的速度值，可以在A C上选宦一点D r小伙子从A走到D t然后从D折往B r可辺最早到这目的地風用现代的数学国言表达出来就是：已知在驿道和砂堆上行走的速度分别为V1¥OV2 （在A匚上找一走点D ,便从A至D、再从D至B 的行走时间最短.于是，问题在于如何古找出D点•这个古老的“胡不归"冋题风ar了t多年,—直到十七世纪中叶•才由法国葺名科宇家塑尔马玉幵了它的面纱.二，模型解决第一款设出吋伺t・mt学问厲字母代 >=设总时间为，^.里％亠理, 耳殆•賣求的wit的是小值，这斥一个系数不为】的廉值问理，而且有两个系数均不为"第二步（援和“大系ti” >化为只有一个系霰不为】的昙値冋3U ；—般情況下，遇到两个系帥不为1的員值冋題*百先夢将耳转化为里个奈数不为1的羸値问蛊，这个轻化还是比较好实现的，只需提取一个系散出来斛可$问题罡，该提取哪个系數比较好呢•？一段情况下，握取戲值比较犬的那个磊埶：董本注意这里J；与匚均为常劉b这杆要求i的最小值，只賽求貝D + DB的最小值即可，从而问理橫鹑化为单卜系数不为I的最俏口］題;的最小儈问題呢Y还是更姐办法处理不为i的系對b将系魏都化为L 但罡问題来了，此时明显不能再用提取系数的办摆了！那咋办？数孕曙门禅奇的科学，只肖你0不到，没育地帥苹到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可咲构造一个直角三角形，将不为1的系数无册中化为1,这也罡解决所谓“胡不归"冋甄的垓心与难点所在，具体撓作如下，由令引联想列三角雷数值，如图12所示，过走点.A在色线AC的下方构造锐角/ n CAE=a,使耳淆足血a再过动点DitDG丄片E于点G,则Em K DG■$从而有DG=^4• AD例来说.由r >r.^it的表达武中两个系觀因而应该提取丄出末，即尸丄（E-Q +DB}第三步<ftS三角闇数』化为至戟均为1的當規最俏冋融〉:如诃求解冬• AL>+ DB*iB丄EBF需要特别提醒大家的是「这至的关键角口是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到艮原始的“胡不归”问题是-个“两宦一动型"园值问题.只不过蔡数不为1 了而已： 如图止2「点A 和点B 是两个定点,点DST 动点』目定点A 与动点D 在同一条定直线AC 上； 上面的角o«实就是依托于这里的定点A 及定直炭AQS 岀的.即过逗点A 作一条时线与宦直线 AC 所交锐用为角（X 即可！说到厲就是 枷不变量"的解题策略，依托于宦点A 及定直线AC 作 Sa ,使其满足sina =V2/V1 F 即可侦利将所谓”胡不归"”难ET 转化为靠數均为1的常规 無值问题！V 』 其中sina=—V] 要求的附萱砲，就两祗化为的最小值问駄变成了—个系数均为I 的當规最tr 可题$第四步（利用岀垂线段最短原理”，解决系数均为i 的常規最俏冋题》:注意到枸造 的AE 也是一条定射线』要求Q G+DB 的量小值冋題.貝实就是在两定亶绦AC 、AE ± 好别找点D 、G,且DG 丄AE,使DG + DB^小.先利用“两点之间绒段碗”易^DG^DB>BG ,当且仅当B. D. G 三点共塢时 取弩号9如图13^示,再利用“垂线段豪短"只需过点B^BGlAE 于点G ，此时BG 護小, 则BG 与AC 的交点即为所藝寻找的庶D 扌\\ 其中 ' I■AD + DB) = — (DG^DB)工丄BG」■』sin 丄J BL4G» 其中J；、AB艮匚加G均为第值，故所求腐闾的農小值为丄第B忻三加G・至此，“胡不归”模里得到主矣解决！如果董竜一息的父亲能第坚持到-^B sin, BAG A个时l司，那么前能翁见他的儿卩工子最后一面了！三，原题鱒决回到我们最初的耆煙上、设蚂蚁从点A到点E所爲的时间为「如團1T,则’晋+筈“”晋，酎的妞伽水值用心竽的則也策一步（构三角融数，化M为1八由系s|<i麻迢到三角函数值’如團"所示’4 过定直绒EB上的定点E在直缆EB的上方构造锐甬如T 梗苴淆足如三（4 DG4再过劲点D作DG丄EF干点G,则sina二—二—*从而育DG= - DE i 一5 DE5这样t=JD+ 4n-=AD+DG,转化対了常规的系数均为1的最值冋国』5第二步（寻锤目特fttt,重新调整囲瞻〉：怛先不要忙于计幫，我们还整敏説地意识1 A到此题育T甬很特lf®t® tanZEEA=-,由此易知班nZEE2—』因而刚刚我们所作3 5的ZBEF^EEA,从而发现此通的特殊性，即EF"K轴，按下来我們把團形调整硕團第三步（利用垂駅IB诵原呼"，解次系数均为1的常規最值冋類）：注覧到构请的EF也是一条定射线.羹束A1>DG的最小1S问題，貝实就是在两定直缄EE、EF上分别找点D，G且DG丄EF,使AD+DG島小.先利用“两鱼之闾线段基垣"易知/D + DG 土一祐，当目仅当A・D、<；三点共练时腿獰环如图$-7所示，再利用“垂线段最短”只需过点A作AG丄EF于盘G此时AG^小, 则AG^EF的交点即为所尊寻我的SD J因而弊亠斗三冉D+DGMAS馥所求时间r的晨小值即为AG的长，即点E的纵坐标的值「下面求出点E的坐标即可；第四步（求定点E的坐标）：这垂提供两种方:云求点E的坐标：方法一< 求交点坐标〉：设言线EB与y泊交于点\仃如團18所示，由題易知点B 的坐标为（3, 0）, R I AMOB中由tanz^EBA=i SO 01=4 则点H 坐标为<0, 4）j3宙B <3, 0）<0, 4）可得直线EB的解折式为尸一jx+4;联立直线EE与犯物线的解析武谒:w”解之…弓心皓去）,如的昨（4 ‘却1 2 3 4 5方法二《设坐标法〉：设点E的坐标为g r-2l-3）,过点E作EH丄乳轴干点H, 如團1”9所示，在RQEHB中由tanZEB^-可得—即J ,祁3 BH 3 3 —（ 3-（I + 1） = —t解得T二—,故点E的坐标为（—t '—'* ; 3 3 3 9因此，所求时间t=.W + —的杲小ftt）—,5 9此題揭定』所调的"难看来也不是太旌啊，玩的都1!「'囂踌” I解题后反恩:平时"套路”积累多了，真的遇到了斫谓的”宣路题"，同学们就能立于不败之地了！達題世给我们的教学一宦的启发性、即应该重视模型敎学这一块！有人说"成也帳型，败也摸型” ”但我想说如舆真的不宙模型或者说不先经历模型过程.真的曲出模型达到更高境界也是痴心妄想！初中阶段学生还星应该輙模型m博累与应用过程」可以这样说”每一节新谍.毎一道题目可能都能称之为一个模型J其实名称都是回事.或者说叫某某模型也无所谓』之所以起名称.更主妾的还昱希生学生能做到“顾名吾义"之效,诺轄达到熟能生巧之目的！【来龙】*有一则历史故事说的是:，一个島在他乡的小伙子潯知父亲病危的消息后便日夜赶路回家*然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。