数学思想和数学方法之割补法第2课

图1-1图1-2A'中学数学解题思想方法--割补法（2）1内容概述在求不规则的几何体的体积时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用“分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补形法”，同时采用“分割法”才易解决.本讲将重点讲解割补法的灵活应用以及专题总结.2例题示范例1 如图1-1，A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC ''',且345AB BC AC ===，，，624AA BB CC '''===，，，求几何体C B A ABC '''-的体积解：补上一个相同的几何体如图1-2所示，则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即=2V V 新原.因为A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC '''，所以新几何体ABC DEF -为直三棱柱，且因为624AA BB CC '''===，，，所以新几何体底面ABC 的高8AD =.345AB BC AC ===，，， 222AB BC AC ∴+=，90ABC ︒∴∠=1=S 482ABC V AD AB BC AD ∆∴⋅=⋅⋅=新 所以原几何体的体积为24.图1-3图1-4图2-1解：（法二）在AA '上取一点D 使2AD BB '==，在CC '上取一点E 使2CE BB '==,连结DB '，B E ',DE 平面如图1-3所示，////AA BB CC ''',A A '⊥底面ABCABC DB E '∴-为直三棱柱345AB BC AC ===，，， 222AB BC AC ∴+=，90ABC ︒∴∠=1=S 122ABC DB E ABC V AD AB BC AD '-∆∴⋅=⋅⋅=， 过点B '作B F DE F '⊥于,如图1-4所示，A A '⊥底面ABC ,A A DB E ''∴⊥底面 A A B F ''∴⊥A A DE D '⋂=B F DEC A '''∴⊥平面所以四棱锥B DEC A '''-的体积为 111=S ()12332B DEC A DEC A VBF A D C E DE BF '''''-''⋅=⋅+⋅⋅= 所以几何体C B A ABC '''-的体积为24B DEC A ABC DB EV V''''--+=评析：本题所给几何体不是一个规则的几何体， 可以看成一个直三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择“补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解；也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和四棱锥，如图1-3所示来解决 . 本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二所采取的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件，本题采用解法一较为简捷.例2 如图2-1，A A '⊥平面ABC ，//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且213AB AA CC BB ''''=====，，DD ，求几何体D C B A ABCD ''''-的体积图2-2解：在DD '上截取DE AA CC ''==,延长BB '至F ，使BB CC ''=.A A '⊥平面ABC ，//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且2AB AA CC ''===，ABCD A EC F ''∴-正方体. A C E A C F S S ''''∆∆∴=13BB ''==，DD1B F E ''∴==D所以所求几何体的体积ABCD A EC F F A B C D A C E V V V V ''''''''---=-+3311833A C E A C F AB S D E S B F AB ''''∆∆''=-⋅⋅+⋅⋅== 评析：本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.由于AA CC ''=，因此可以考虑在DD '上截取DE AA CC ''==,延长BB '至F ，使BB CC ''=，这样就出现了一个正方体ABCD A EC F ''-.与几何体D C B A ABCD ''''-相比，正方体ABCD A EC F ''-多出一个三棱锥F A B C '''-,少了一个三棱锥D A C E '''-，这样我们用正方体ABCD A EC F ''-的体积减去三棱锥F A B C '''-的体积同时加上三棱锥D A C E '''-的体积就是所求不规则几何体的体积. 本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分割法”相结合的解题策略，化难为易.近几年高考中求几何体体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图，又考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现，这样更符合近几年高考趋势，具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.111图3-1AB CDF图3-3HEABCDF图3-2GEAB CDF例3某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ .解：由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知DA ⊥平面ABC ,////AD CE BF ,AC AB ⊥,5AD CE ==2BF =,34AC AB ==，.延长BF 至G ，使BG AD =,连结,DG EG .所以原几何体可以看成三棱柱ABC DEG -,割去三棱锥F DEG -而成，如图3-2。

130,2ABC DEG ABC V S AD AC AB AD -=⋅=⋅⋅=因为 1116332F DEG ABC V S FG AC AB FG -=⋅=⋅⋅⋅= 所以所求几何体的体积24ABC DEG F DEG V V V --=-=评析：本题难点之一是把三视图还原成直观图，实际还原成几何体后我们选择的方法就比较灵活了.我们既可以有上面解法中“补形法”，也可以用如图3-3中的“分割法”.近几年的高考中这种呈现方式比较流行.专题总结：立体几何中割补思想的运用常见的方法有三种：补形法、分割法、补形与分割相结合.三种方法共同之处都是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于计算体积的几何体.补形法中将原图形补成一个新的几何体体现了构造的方法，需要对常见的几何体模型有深刻的认识.分割法中可以从几何体的外部或者内部进行分割，再利用部分与整体的关系来解决问题.近几年的高考中割补法的题目常以三视图的形式呈现，一般要根据三视图先画出直观图，再利用割补法求解.3配套练习1.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A .81 .B 71 .C 61 .D 512. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A .7 .B 152 .C 233 .D 476 3.如图，在三棱台C B A ABC '''-中，A A '⊥底面ABC ,BC B B ⊥'，a C B B A A A =''=''=',且B B '和底面成︒45，求这个棱台的体积.课后练习答案 1.D 2. D3. 〖分析〗本题可以直接运用棱台的体积公式.由于棱台的体积公式很少使用，因此很多学生不容易记住棱台的体积公式.由于台体是椎体截得的，因此可以把三棱台补形成三棱锥如图1所示；的三棱锥的体积计算. 此外由于学生对于棱柱、棱锥比较熟悉，因此本题还可以从分割的角度进行思考，考虑把三棱台分割为两个三棱柱和一个三棱锥如图2所示〖解法一〗将三棱台C B A ABC '''-补形还原为三棱锥ABC O -如图1所示， 由条件底面ABC ,BC OB ⊥,︒=∠45OBA ,从而BC AB ⊥, 因此所求棱台的体积3226721312)2(2131a a a a a V V V C B A O ABC O =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-='''--. 〖解法二〗过点B '作B D AB '⊥于D ,点C '作C E AC '⊥于E ，连结DE . 过点E 作EF BC ⊥于F ,连结CF ，如图2示. 由条件知OA ⊥底面ABC ,BC OB ⊥,︒=∠45OBA 易知三棱柱ADE A B C '''-和三棱柱BDB C EF ''-为直三棱柱且三棱柱D E F 、、分别为三棱柱AB AC BC 、、中点，因此所求棱台的体积ADE A B C BDB C EF C EFCV V V V ''''''---=++31111722326AD DE AA DB DB DE CF EF EC a '''=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=图1A图2。