变量与函数经典例题

例1、下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是，

解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数；

（3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有1与-1两个值与它对应； （4）y 是x 的函数

说明：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义. 例 2、判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的y 与x.

分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化

过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对

应，所以长与面积是函数关系.

（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，

它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.

（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与

身高是函数关系.

（4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系.

说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和

它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.

例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳

的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.

分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程

等于速度乘以时间. 解：85080S t =-

0S t ≥⎧⎨

≥⎩ 得850800

t

t -⎧⎨

≥⎩

850.8

t ∴≤≤

于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8

t ≤≤

例 4、求下列函数中自变量x 的取值范围：

（1）2

35y x =- （2）21y x =+ （3）22y x =

- （4）2123

x y x x -=--

（5）y =

（6）2

y x =

+

（7）y =

（8）y =+分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函

数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负. 解：（1）函数2

35y x =-的自变量x 的取值范围是躯体实数 （2）函数21y x =+的自变量x 的取值范围是躯体实数 （3）

20,2,x x -=∴=

∴

当2x =时，分母20x -=，

∴函数2

2

y x =

-的自变量的取值范围是2x ≠； （4）由2

230x x --=解得123,1,x x ==-

∴ 当3x =或1x =-时，分母2230x x --=，

∴ 函数21

23

x y x x -=

--的自变量x 的取值范围是3x ≠且1x ≠-

（5）由230x -≥解得3

2

x ≤，

∴

函数y =x 的取值范围是 32

x ≤

； （6）由30x +≥得3x ≥-，由20x +=得2x =-，当2x ≠-时，分母20x +≠，

∴

函数2

y x =

+的自变量x 的取值范围是3x ≥-且2x ≠-； （7）

22224213(1)30,x x x x x ++=+++=++≥

即对于任意实数x ，2

24x x ++都是非负的，

∴

函数y =x 的取值范围是全体实数；

（8）由630,360x x -≥⎧⎨-≥⎩得1

12,

122

x x x ⎧≥

⎪⎪

∴=⎨

⎪≤

⎪⎩

因此，函数y =+x 的取值范围是12

x =

.

典型例题五

例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）

分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：

（1）若经过A 、B 两点的函数的图象是直线，设其解析式为b kx y +=，则有

⎩⎨⎧+=+=.22,4b k b k 解之，得⎩

⎨

⎧=-=.6,

2b k 此时，函数解析式为.62+-=x y

（2）由于A 、B 两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A 、B 两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：x

y 4

=

. （3）如果经过A 、B 两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为

c bx ax y ++=2（0≠a ），则有

⎩⎨

⎧++=++=.

242,

4c b a c b a