帕累托分布
高中数学知识点总结概率与统计中的频率分布与统计之饼与帕累托
高中数学知识点总结概率与统计中的频率分布与统计之饼与帕累托概率与统计是高中数学的重要组成部分，其中频率分布与统计是一个重要的概念。
在频率分布中，饼与帕累托图是两种常用的表示方式。
本文将对频率分布、饼图与帕累托图进行详细介绍与总结。
一、频率分布频率分布是指将数据按照一定规律划分为多个区间，并统计每个区间中的数据个数或频数。
通过频率分布，我们可以对数据的分布情况有一个直观的认识。
频数（f）指某个区间内的数据个数，频率（f/n）指某个区间内的数据个数占总数据个数（n）的比例。
在进行频率分布时，我们需要先确定区间的宽度和区间的个数。
通常情况下，区间的宽度应尽量相等，区间的个数应适中，以保证统计结果具有一定的可信度。
二、饼图饼图是一种常用的数据可视化工具，它可以直观地展示各个数据所占比例的大小关系。
饼图的绘制需要先将数据按照一定规则进行分类或分组，然后计算每个分类或分组所占的比例，并将其绘制在一个圆形图形上。
饼图的图形由一个完整的圆形组成，圆形的面积被划分为若干个扇形区域，每个扇形区域的面积与该分类或分组的比例成正比。
饼图的优点在于可以直观地比较不同分类或分组所占比例的大小，便于观察整体数据的分布情况。
但是，饼图并不适合展示过多的分类或分组，否则图形会过于复杂，不易理解。
三、帕累托图帕累托图是一种反映事物重要性和重点关注的图表。
在统计学中，帕累托图常用于展示各个因素的重要程度，并帮助我们选择关键因素以及进行决策。
帕累托图的绘制需要分析各个因素的重要程度或发生频率，并按照从大到小的顺序进行排序。
然后，绘制累计百分比曲线和每个因素的累计百分比柱状图，以直观地展示各个因素的重要性。
帕累托图的特点在于可以很好地帮助我们分析事物中的关键因素，并进行有针对性的决策。
但是，帕累托图也有一定的局限性，它不能考虑因素之间的相互影响，只能单独地从重要程度或发生频率的角度进行分析。
总结：概率与统计中的频率分布与统计是高中数学中的重要知识点。
操作风险损失的广义帕累托分布参数估计及其应用
关 键 词 ： 值 定 理 ； 义帕 累托 分 布 ； 数 估 计 ； 作 风 险损 失 ； 济 资本 极 广 参 操 经
中 图分 类 号 ： ８ ０ Ｆ ３ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ３ ２ ７ ２ １ ） ６ ０ ２ ４ １ ０ —７ Ｉ （ Ｏ Ｏ —０ ２ 一Ｏ ０
二 、 作风 险损 失 的尾 部分 布和参 数的确定 操
研 究表 明 ： 极值理 论 方 法 比其他 方 法 更准 确 地 描述 序 列分布 的尾部 特征 ， 是一 种 比较 准 确 的分 位 数预 测 工具 ， 其是仅 采 用 较少 的样 本 便 能计 算 出 比较 尤 准确 的 Ｖａ Ｒ值 ［ ］ 国内不少学 者对风 险计量 以及 ４。 利 用极值理 论进 行风 险计量作 了有益 的研究 。彭建 刚 等 利 用 有 序 多 分 类 Ｌ ｇｓｉ 型 测 量 违 约 概 ｏ ｉ ｃ模 ｔ 率［ ， ６ 周好 文 等对 应 用极 值 理论 度 量金 融风 险进行 ］ 了 实证 研究 ［ ， 加 山 等对极 值 理论 中阈值 选 取进 ７宋 ］ 行 了研 究［ ， ８ 高洪 忠对 广义极 值 理论 和 它对 金 融风 ］
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以第 一 极 值 定 理 为 重 要 结 论 的 极 值 理 论 。Ｐｃ ｉ—
ｋ ｎ ｓＢ ｌｅ — ａ ａ ｄ ， ａｋ ｍａＤｅＨａ ｎ证 明 了第 二 极 值 定 理 ， 得 到了来 自同一 总体 的 简单 随机 样 本 ， 只要 选 择 的 临 界 值 ｕ足够 大 ， 超过 该 临界 值 的样 本 点 近似 地 服从 参 数为 ∈ ６ ， 的广 义帕 累托分 布 ］ 自Ｊ ｎ ｉｓｎ ， 。 ｅ ｋｎ ｏ （ ９ ５ 把极 值 理论 应 用 于 风险 研究 以来［ ， １５） ３ 极值 理 ］ 论 开始逐 步 在 保 险 和金 融 领 域 中广 泛 应 用 。Ｂ ｋ— ｅｉ
copula函数 广义帕累托分布gp r语言
《探讨copula函数在广义帕累托分布中的应用》1. 引言在统计学和金融领域，copula函数作为一种多变量分布函数的工具，被广泛应用于风险管理、极值理论等方面。
而广义帕累托分布（GP分布）作为一种重要的概率分布模型，对特殊事件的建模和预测具有重要意义。
本文旨在探讨copula函数在广义帕累托分布中的应用，以及利用R语言进行相关分析和建模。
2. copula函数的基本概念让我们来了解一下copula函数的基本概念。
在概率论和统计学中，copula函数是用来描述多维随机变量的边际分布函数之间的相关性结构的函数。
它将边际分布和相关性结构分开，使得模型更加灵活，能够更准确地描述变量之间的相关关系。
在实际应用中，copula函数可以帮助我们更好地理解和分析多个变量之间的相关性，从而提高预测和决策的准确性。
3. 广义帕累托分布的特点接下来，让我们来了解一下广义帕累托分布的特点。
GP分布是对极值理论中的尾部分布进行建模的重要工具，它能够更好地描述特殊事件的分布特性。
GP分布具有长尾分布的特点，适用于描述尾部特殊事件的概率分布。
在风险管理和可靠性分析领域，GP分布被广泛应用于对特殊事件的建模和预测。
4. copula函数在广义帕累托分布中的应用现在，让我们探讨一下copula函数在广义帕累托分布中的应用。
通过将copula函数与GP分布相结合，我们可以更准确地描述多个特殊事件之间的相关性，从而提高风险管理和极值事件预测的准确性。
利用copula函数，我们可以更好地理解多个特殊事件之间的相关性结构，并通过GP分布对特殊事件的概率分布进行建模，从而更好地应对特殊事件带来的风险。
5. R语言在建模分析中的应用让我们来谈谈R语言在建模分析中的应用。
作为一种功能强大的统计分析和数据可视化工具，R语言提供了丰富的工具包和函数，能够帮助我们更好地进行copula函数和GP分布的建模和分析。
通过R语言，我们可以轻松地对多变量数据进行分析和建模，从而更好地理解特殊事件之间的相关性，并进行风险管理和可靠性分析。
ch3幂律齐普夫,帕累托模型
帕累托分布（图）
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帕累托分布（1）
帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过 市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如 果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、 努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型 的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。
大致是帕累托分布的例子
• 在现代工业资本主义创造了大量中产阶级前后， 财富在个人之间的分布。
• 人类居住区的规模 • 接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇 • 在互联网流量中文件规模的分布 • 油田的石油储备数量 • 龙卷风带来的灾难的数量
幂律分布特征： 双对数坐标下，一条斜率为负数k的直线
y=c*x^(-k)，
Zipf 模型 续： 20%城里居住着80%的人口吗？
%计算排名前20%的城里居住的人口（某国）gm20和 %排名前20%的城里居住的人口占总人口的百分比，即相对规模， xdgm20 zgm=sum(gm) %总规模 pm20=npm/5 gm20=0； for i=1:pm20
gm20=gm20+gm(i); endfor gm20 xdgm20=gm20/zgm %百分相对规模
不人在他有这个上们来到时
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帕累托图(paretochart)
帕累托图(paretochart)1、l帕累托图(Paretochart)双名：帕累托图(Paretodiagram)，帕累托分析(Paretoanalysis)方法演化：权重帕累托图、比较帕累托图概述帕累托图是一种条形图，条的长度代表事件发生的频率或本钱〔财力、时间〕，条柱按长短顺序从左到右依次放置。
因此，我们可以从该图直观地看出哪些状况是比较重要的。
适用场合分析过程中表示问题或者缘由发生频率的数据时；当想要关注众多问题或者缘由中最显著的一个时；分析特定要素的主要缘由时；和其他人沟通数据时。
实施步骤1确定分类的根据。
2确定合适的测量对象。
一般的测量对象2、是频数、数量、本钱和时间。
3确定该图包括的时间段。
4收集数据，并记录种类，或汇编已有的数据。
5求每种测量对象的总数。
6为收集的测量数据确定合适的刻度范围。
最大值是步骤5求得的最大的和。
假如执行了备选步骤8和步骤9，最大值是步骤5的全部和的加和。
在图的左边标上刻度。
7画出每一种类的条柱，并加以标柱。
将条柱按长短顺序从左到右依次放置，假如有些类的数值很小，就将其归为一类，用“其他”标注。
尽管步骤8和步骤9是备选的，但是它们对我们分析和沟通特殊有关心。
8计算每一类的百分比：全部类的百分比之和为1，将其在不同类之间进行安排。
3、画一条右竖轴标上百分比。
确保左右两边的刻度相匹配。
例如：左边测量值的一半要对应右边的50%刻度。
9计算并画出累积百分比值：将第一类和第二类的百分比相加，并在第二个条柱的上方画一个点说明前两类的累加值。
在第三个条柱的上方画一个点说明前三类的累加值，继续该过程。
从第一个条柱上方的点开始连接全部点，直到在最终一个条柱上说明全部类的累加值100%。
示例图表5.133和图表5.134是嵌套式的帕累托图。
图表5.133说明五大类中的每一类收到的顾客埋怨数。
图表5.134是将图表5.133中的最大一类“文档管理”分成六个与文档管理4、相关的埋怨的子类，并画出了其累计曲线。
2.帕累托分析
描述帕累托分析应用于从引起问题的很多琐碎的原因中分离出那些至关重要的几个原因。
帕累托原则表明80%的问题都是由众多原因中的20%主要原因引起的。
帕累托分析帮助团队分清主次。
帕累托分析像条状图一样体现了一种分布。
只不过帕累托分析的条块是按照由高到低的顺序安排的。
主要用途对用途的描述:找出与主题相关的问题选择目标问题整理及演示数据针对有效性收集数据过程1．采集需要的数据。
可能要用到核查表或其他工具。
2．确定每一类别中发生的事件数量和事件总数。
3．将数据整理，按照各个类别事件发生数量由大到小排列。
4．计算每个类别事件数量占总量的百分比。
5．计算累积百分比。
下面的例子列出了各种关于申请表错误的数6．在图纸上画出横轴和纵轴。
纵轴的起点是0，顶点是事件总数。
过程（续）7．将横轴分成几等份，每份代表一个类别。
8．有事件发生数量最多的类别开始画图，由左到右依次排列。
在纵轴上找到该类别事件数量对应的点，在这一点的水平线和横轴之间画出条块。
9．根据每一类别事件发生的数量，依次重复第8步。
10．在图纸的右端画垂线，将对应事件总量的点作为100%，画出0—100%之间的刻度。
11．标出第5步中计算出的累积百分比。
将累积百分比在左边纵轴找到对应，和横轴上条块的右边缘线的交点就是累积百分比对应的点。
将这些点由一条直线连接起来。
要给这个图起一个名字：一个能迅速将这个图的内容传达给读者的名字。
另外还要标上这个图所代表的时间段。
pareto相关概念
pareto相关概念帕累托法则概述帕累托法则，又称二八法则，是一种经验法则，表明在一个系统中，最重要的部分通常只占一小部分，而其余的大部分部分则相对不那么重要。
该法则由意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托在19世纪末提出。
帕累托图帕累托法则可以通过帕累托图进行可视化表示。
帕累托图是一种分位数图，其中按频率或重要性从高到低排列。
该图显示了按降序排列的数据点，以及每个数据点的累积百分比。
帕累托分析帕累托分析是一种基于帕累托法的技术，用于确定对系统或过程具有最大影响的因素。
该分析涉及以下步骤：1. 确定相关因素并收集数据。
2. 按频率或重要性对因素进行降序排列。
3. 计算每个因素的累积百分比。
4. 绘制帕累托图以可视化数据。
帕累托分析的应用帕累托分析在各个领域都有广泛的应用，包括：质量管理：识别导致缺陷的主要原因。
供应链管理：确定最重要的供应商或客户。
风险管理：找出导致最大风险的事件。
客户关系管理：识别最有利可图的客户群。
业务流程优化：确定流程中导致瓶颈的主要步骤。
帕累托原理的扩展帕累托法则的一个扩展是80/20/5规则。
该规则表明，在一个系统中，最重要的 20% 的部分负责 80% 的结果，而其余 80% 的部分只负责 20% 的结果。
这种扩展表明，帕累托法则可能适用于广泛的数据分布。
帕累托法则的局限性尽管帕累托法则是一种有用的工具，但它也有其局限性：并非总是准确：帕累托法则只是一个经验法则，不一定适用于所有情况。
不能确定原因：帕累托分析只能确定重要因素，但不能确定导致它们重要性的原因。
不能量化影响：帕累托图显示了因素的相对重要性，但不能量化它们对系统或过程的影响程度。
结论帕累托法则是一个有用的经验法则，可以帮助识别对系统或过程具有最大影响的因素。
通过帕累托分析，组织可以专注于改进最重要的部分，从而提高效率和有效性。
然而，重要的是要了解帕累托法则的局限性，并将其与其他分析技术相结合，以获得全面的见解。
帕累托分布
小组成员：142090304 李志慧142090308 杜晶鑫142090311 葛霞142090313 宋志娟142090321 刘芳帕累托分布一、什么是帕累托分布帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。
是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。
这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。
帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。
帕累托分布的提出背景19世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。
帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。
经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。
帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。
丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100万元，人数为100人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20个人，分得80万元；同理，这20人中的4个人，分得64万元；4个人中的1个人，分得50万元。
”如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。
它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。
帕累托分布从经济学角度论证出，社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”，甚至导致“宗教末日审判”的来临，除非我们可以通过政治手段，人为地阻止财富向高端不断聚集，否则，贫富双方的利益冲突是不可避免的。
帕累托分布的充分统计量
帕累托分布的充分统计量1.引言1.1 概述帕累托分布是一种常见的概率分布，常用于描述经济、自然和社会现象中的不平等性。
它最早由意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）在19世纪末提出，并在经济学和社会学领域得到广泛应用。
帕累托分布的特点在于其满足帕累托原理，即“二八法则”或“80/20法则”。
该原理指出，一般情况下，大多数结果通常由少数关键因素所决定。
具体而言，在经济领域中，大部分财富往往由少数人拥有，而大多数人则只拥有较少的财富。
帕累托分布可以通过其概率密度函数来描述。
它的数学形式为f(x) = (α/κ) * (x/κ)^(-α-1)，其中α和κ是分布的参数，x为变量。
该分布具有单峰性，呈现出长尾的特点，即在分布的左侧有高峰值，右侧则呈现出逐渐减小的长尾。
帕累托分布在实际应用中具有广泛的应用领域。
在经济学中，它可以用来描述财富和收入分布的不均衡性。
在自然界中，帕累托分布可以用来描述地震的发生频率和规模的关系，以及物种的丰富度分布等。
在社会学中，帕累托分布可以用来研究城市的人口分布和资源分配等。
本文的主要目的是探讨帕累托分布的充分统计量及其应用。
下文将首先详细介绍帕累托分布的定义和特点，然后探讨帕累托分布在不同领域的应用，并最终给出帕累托分布的充分统计量的定义和性质，以及其在实际问题中的应用。
通过对帕累托分布的充分统计量的研究，我们可以更好地理解和解释帕累托分布及其在实际问题中的应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：文章结构指导读者了解文章的布局和组织，帮助读者更好地理解文章的内容和思路。
本文将按照以下结构展开讨论：1. 引言：介绍帕累托分布的充分统计量的研究背景和意义，引起读者的兴趣。
讨论帕累托分布在实际问题中的重要性，以及为什么有必要研究其充分统计量。
2. 正文：主要分为两个部分。
2.1 帕累托分布的定义和特点：介绍帕累托分布的基本定义，如何用数学公式来描述它的特点。
广义帕累托分布拟合
广义帕累托分布拟合广义帕累托分布拟合1. 引言在统计学中，帕累托分布是一种重要的概率分布模型，用于描述不均衡分布的现象。
广义帕累托分布是对传统帕累托分布的扩展，更加灵活适用于现实世界中各种类型的数据。
本文将介绍广义帕累托分布的基本理论与拟合方法，探讨其在实际问题中的应用。
2. 广义帕累托分布的基本理论广义帕累托分布是通过引入两个参数来拟合不均衡数据的，在对数-对数坐标系下呈现直线形状。
该分布的概率密度函数为：$f(x; k, \lambda) = \frac{k}{\lambda} (\frac{x}{\lambda})^{k-1} (1+(\frac{x}{\lambda})^k)^{-2}$其中，$k$和$\lambda$分别是分布的形状参数和尺度参数。
$k$控制分布的尾重和厚度，越大表示尾重越大；$\lambda$则控制分布的尺度，越大表示分布向右平移。
3. 广义帕累托分布的拟合方法广义帕累托分布的参数估计可以使用最大似然估计方法。
具体步骤如下：步骤1：将原始数据转换为对数形式，即$y_i=log(x_i)$。
步骤2：通过最大化似然函数来估计$k$和$\lambda$。
步骤3：根据估计的参数值，得到拟合的概率密度函数。
4. 广义帕累托分布的应用案例广义帕累托分布在实际问题中具有广泛的应用价值。
以下是一个应用案例来说明其应用：案例：假设某网站的访问量符合广义帕累托分布，我们希望估计该网站日均访问量的概率分布。
步骤1：收集该网站每日的访问量数据。
步骤2：将访问量数据转换为对数形式。
步骤3：通过最大似然估计法估计出$k$和$\lambda$的值。
步骤4：根据估计的参数值，得到日均访问量的概率分布。
步骤5：根据概率分布，我们可以得出该网站不同访问量区间的概率，进而对网站的运营策略进行优化。
5. 个人观点与理解广义帕累托分布作为一种数据拟合模型，在描述不均衡数据分布方面具有较好的性能。
通过合理选择参数，我们可以更好地理解和解释现实世界中的不均衡数据现象。
【最新精选】长尾理论和帕累托理论
长尾理论美国人克里斯·安德森提出的一种新理论美国人克里斯·安德森提出的一种新理论。
长尾理论认为，由于成本和效率的因素，当商品储存流通展示的场地和渠道足够宽广，商品生产成本急剧下降以至于个人都可以进行生产，并且商品的销售成本急剧降低时，几乎任何以前看似需求极低的产品，只要有卖，都会有人买。
这些需求和销量不高的产品所占据的共同市场份额，可以和主流产品的市场份额相比，甚至更大。
根据维基百科，长尾（The Long T ail）这一概念是由《连线》杂志主编Chris Anderson在2004年十月的“长尾”一文中最早提出，用来描述诸如亚马逊和Netflix之类网站的商业和经济模式。
“长尾”实际上是统计学中幂律（Power Laws）和帕累托分布（Pareto distributions）特征的一个口语化表达。
过去人们只能关注重要的人或重要的事，如果用正态分布曲线来描绘这些人或事，人们只能关注曲线的“头部”，而将处于曲线“尾部”、需要更多的精力和成本才能关注到的大多数人或事忽略。
例如，在销售产品时，厂商关注的是少数几个所谓“VIP”客户，“无暇”顾及在人数上居于大多数的普通消费者。
而在网络时代，由于关注的成本大大降低，人们有可能以很低的成本关注正态分布曲线的“尾部”，关注“尾部”产生的总体效益甚至会超过“头部”。
例如，某著名网站是世界上最大的网络广告商，它没有一个大客户，收入完全来自被其他广告商忽略的中小企业。
安德森认为，网络时代是关注“长尾”、发挥“长尾”效益的时代。
举例来说，我们常用的汉字实际上不多，但因出现频次高，所以这些为数不多的汉字占据了上图广大的红区；绝大部分的汉字难得一用，它们就属于长尾。
Chris认为，只要存储和流通的渠道足够大，需求不旺或销量不佳的产品共同占据的市场份额就可以和那些数量不多的热卖品所占据的市场份额相匹敌甚至更大。
长尾市场也称之为“利基市场”。
“利基”一词是英文“Niche”的音译，意译为“壁龛”，有拾遗补缺或见缝插针的意思。
深沪股市收益率的非正态稳定帕累托分布研究
深沪股市收益率的非正态稳定帕累托分布研究内容摘要：本文对上证综合指数、深证成分指数的收益率分布进行了研究。
利用稳定帕累托分布对两市收益率进行拟合的结果表明，股市收益率可以用稳定帕累托分布较好地拟合，即股市价格波动存在持久性等非线性特征。
关键词：正态分布稳定帕累托分布价格行为在当今的主流金融计量理论形式中，以下几个概念为基础：一是理性投资者。
投资者追求给定风险水平下的最高收益或给定收益水平下的最小风险。
二是有效市场。
价格反映了所有公开的信息，价格的变化各不相关。
可能有非常短期的相关性，但会迅速消散。
三是随机游动。
收益率遵循随机游走，即布朗运动。
因此概率分布近似正态或对数正态。
这隐含着收益率的分布至少有一个有限的均值和方差。
长期以来，主流金融计量理论假定投资者是理性的、有秩序的和有条理的，人们是以因果线性的方式对信息做出反应。
随机游走和正态分布的假设，对构建现代投资理论起了决定性的作用，它极大地简化了数学模型的推导。
然而，多年来大量有关收益率分布及现代投资理论适用性问题的实证研究却不断对此提出质疑。
如果股票价格不是独立的，那么收益率的分布还会是正态分布吗？如果不是，可以用怎样的分布规律来描述？国外学者很早已经发现，收益率的分布明显异于正态分布，具有“尖峰”和“胖尾”（概率密度曲线在均值附近有更高的峰度值和过多的尾部观测值）。
mandelbrot（1969）将之称为“稳定帕累托”（stable paretain）分布。
价格运动也不是遵循随机游走，而是服从mandelbrot称之为“分数布朗运动”（fbm）的有偏随机游动。
社会经济现象与自然现象有本质的不同，在自然现象中，很多变量服从正态分布；而在社会经济现象中很多现象服从负幂律分布。
它们可以用非正态的稳定帕累托分布描述。
在经济学文献中，稳定帕累托分布又称为pareto分布、pareto-levy分布或分形分布。
这些分布的性质最早由levy推导出来，而他的工作又是以pareto 有关收入分布的工作为基础的。
二元Cuadra—Auge型帕累托分布的相关性及渐近独立性
二元 Ｃ ｕ ａ ｄ ｒ ａ — Ａｕ ｇ ｅ型 帕 累 托 分 布 的 相 关 性 及 渐 近 独 立 性
李 国安 ， 李 晶 晶
（ 宁波大学 金融工 程系 ， 浙江 宁波 ３ １ ５ ２ １ １ ）
摘 要 二 元 Ｃ ｕ ａ ｄ ｒ ａ － Ａｕ ｇ ｅ 型 帕 累托 分 布 是 一 个 二 元 对 称 分 布 ， 在 本 文 中， 分别讨 论 了二元 Ｃ ｕ ａ ｄ ｒ ａ － Ａｕ ｇ ｅ型 帕 累 托 分布的性质与相关性及渐近 独立性 ， 导 出 了二 元 Ｃ ｕ ａ ｄ ｒ ａ — Ａｕ ｇ ｅ型 帕 累托 分 布 的 若 干性 质 ； 证 明 了 Ｘ， Ｙ 之 间 的相
中 图分 类 号 Ｏ １ ７ ２ ． ２
Ａｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ Ｉ ｎｄ ｅ ｐｅ ｎｄ ｅ ｎｔ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｒ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ Ｐｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｃｕ ａ ｄ ｒ ａ
ａ ｎ ｄ Ａｕ ｇ ｅ ’ Ｓ Ｂｉ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｅ Ｐａ ｒ ｅ ｔ ｏ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂｕ ｔ ｉ ｏ ｎ
换 指数 分布 ， 具 有相 同边 际 分 布 的二 元 正 态 分 布 是
二 元可 交换 正态 分 布． 本 文 的写 作 缘 于 从 文 ［ １ ０ － ］ 中 检 索到 一个 单参 数 二元 可交 换 帕 累托 分 布 ， 即二 元
Ｃ ｕ ａ ｄ ｒ ａ — Ａｕ ｇ ｅ型 帕累托 分 布 ， 作 为 一 个 二 元 可 交换
２ ０ １ ７年 ７月
Ｓ ＴＵＤＩ Ｅ Ｓ Ｉ Ｎ Ｃ０Ｌ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｃ Ｓ
Ｊ ｕ ｌ ｙ，２ ０ １ ７
帕累托分布-详解
帕累托分布-详解帕累托分布（Pareto distributions）目录• 1 什么是帕累托分布• 2 帕累托分布的概述• 3 帕累托分布的函数• 4 被大致认为的帕累托分布什么是帕累托分布帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。
是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。
这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。
帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。
帕累托分布的概述19世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。
帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。
经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。
帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。
丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100万元，人数为100人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20个人，分得80万元；同理，这20人中的4个人，分得64万元；4个人中的1个人，分得50万元。
”如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。
它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。
详解丨帕累托图的“前世今生”
详解丨帕累托图的“前世今生”上面这张图大家很熟悉吧？几乎每天在用，这张图的英文名叫Pareto Chart，即帕累托图。
19世纪末，意大利经济学家维尔弗雷多·帕雷托（Vilfredo Pareto）对意大利、法国、瑞士、英国、俄罗斯和普鲁士的人口财富分布进行了研究。
他注意到所有国家都有类似的现象：80％的财富由20％的人口持有；在土地所有权方面，观察到80％的土地是由20%富有的公民拥有。
但是，很遗憾，帕累托也没有发明这张图。
直到1940年代，质量大师约瑟夫.朱兰阅读了帕累托的经济著作，注意到了帕累托的这个发现，深受启发，并进一步研究发现这个规律不仅适用于经济学，而且适用于工业生产、自然界、社会学等方面的普遍规律，从而进一步发展成为了帕累托分布（Pareto Distribution），并于1951年出版的《朱兰质量控制手册》（第一版）首次提出了帕累托图，并明确提出了“帕累托定律”或“ 80/20规则”。
作为质量大师的朱兰博士把帕累托原则运用到质量管理领域，因为质量缺陷频率累积的分布曲线确实和帕累托揭示的收入分配曲线太相似了，并进一步发展，提出了质量管理上的“关键的少数（VItal Fewer）和有用的多数（Useful Many）”概念，这是两个非常重要的概念，几乎贯穿朱兰博士整个质量理念地始终。
“关键的少数”指的是那些贡献了大部分的少数人或因素。
“有用的多数“指的是那些贡献较少，但公司整体的运营指标得以维持和受控的那部分。
朱兰并不像其他人认为的那样，把二者割裂开来。
朱兰认为重要少数是领先和指标的主要贡献者，而有用多数则是员工参与及工作质量的主要贡献因素，两者都必不可少的。
帕累托图在反映质量问题、展现质量改进项目等领域有广泛应用。
排查质量问题，我们只要花费少量精力和时间解决累计占比达到80%的导致问题的因素，就能显著改善质量问题，没必要花费更多的精力和时间去解决20%的问题。
80/20的法则认为：原因和结果、投入和产出、努力和报酬之间本来存在着无法解释的不平衡。
pareto 分布曲线
帕累托分布（Pareto distribution）是一种连续概率分布，通常用于描述社会、经济和自然科学中的一些现象，其中一小部分观测值占据了总体的大部分比例。
这种分布以其发现者意大利经济学家和社会学家维弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）的名字命名。
帕累托分布的曲线形状通常是偏斜的，长尾向右延伸。
以下是对帕累托分布曲线的一些关键特征：1. 对称性：帕累托分布不是对称的，它通常呈现出右偏态，即大部分数据集中在曲线的左侧，而右侧有一个较长的尾部。
2. 形状参数：帕累托分布有两个参数，通常表示为α（alpha）和k（也称为xm）。
α是形状参数，决定了曲线的陡峭程度和尾部的长度。
α越大，曲线越陡峭，尾部越短；α越小，曲线越平坦，尾部越长。
3. 位置参数：k是位置参数，定义了分布的开始点，也就是最小可能的观测值。
4. 累积分布函数（CDF）：帕累托分布的CDF通常是非线性的，并且在x=k 时取值为0，在x趋于无穷大时趋近于1。
5. 概率密度函数（PDF）：帕累托分布的PDF公式如下：f(x) = α* k^α/ x^(α+1)其中x >= k，α> 0。
6. 应用：帕累托分布常用于描述收入分配、财富分配、城市人口规模、文件大小、网页访问次数等现象，这些情况下，大部分资源或事件由少数个体或项目主导。
帕累托分布的曲线形状可以直观地展示出“80/20法则”（也称为帕累托原则），即大约20%的个体拥有80%的资源或产生80%的影响。
然而，具体的百分比可以根据α参数的不同而变化。
在实际应用中，通过拟合数据来估计帕累托分布的参数，然后可以绘制出相应的帕累托分布曲线以可视化数据的分布特性。
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小组成员：142090304 李志慧142090308 杜晶鑫142090311 葛霞142090313 宋志娟142090321 刘芳帕累托分布一、什么是帕累托分布帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。
是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。
这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。
帕累托因对意大利20% 的人口拥有80% 的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20 法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。
帕累托分布的提出背景19 世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。
帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。
经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。
帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20% 的人将占有80% 的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80% 的收获来自20% 的努力；其他80% 的力气只带来20% 的结果”。
丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100 万元，人数为100 人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20 个人，分得80 万元；同理，这20 人中的 4 个人，分得64 万元； 4 个人中的 1 个人，分得50 万元。
”如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。
它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。
帕累托分布从经济学角度论证出，社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”，甚至导致“宗教末日审判”的来临，除非我们可以通过政治手段，人为地阻止财富向高端不断聚集，否则，贫富双方的利益冲突是不可避免的。
二、帕累托参数分布图：帕累托分布(x m in =1)在帕累托分布中，如果X 是一个随机变量，则X 的概率分布如下面的公式所示：其中x 是任何一个大于x min 的数，x min 是X 最小的可能值（正数），k 是为正的参数。
帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x min 和k。
分布密度则为帕累托分布属于连续概率分布。
“吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。
一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为(如果, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为(如果, 标准差不存在)。
三、帕累托分布参数及背景操作风险损失的尾部分布和参数的确定：设X 1 , X 2 , X n 是操作风险损失样本数据, 用u 表示阀值, 假设超过阀值u 的样本个数为n u , 用X 1 , X 2 , X n u 表示超过阀值的样本观测值, 设样本X 1 , X 2 , X n u 独立同分布,分布函数为F(x), 令:Y i =X i -u i =1,2,3 , n ux F =sup x ∈R ;F(x)<1 ≤∞定义X 相对u 的超额值的分布函数为: F u (y)=P(X -u ≤y X >u) 0 ≤y ≤x F –u (1) 显然F u (y)= F(u +y)-F(u)/1-F(u)=F(x)-F(u)/1-F(u) (2)由定理(Pickands(1975), Balkema-de Haan(1974)) 得, 对充分大的阀值u, 超额值的分布函数近似地服从广义帕累托分布 F ξ,μ,σ(x) 。
其中:F ξ, μ,σ(x)= 1-[ 1+ ξx –μ/σ] –1/ ξξ0≠exp {-exp (- x –μ/ σ)} ξ=0 (3)由F(x)=[ 1-F(u)] F u (y)+F(u) 得出: F(x)=[ 1-F(u)] F ξ, μ,σ(x -u)+F(u)其中,ξ是重要的形状参数, μ是位置参数, 而σ是分布的尺度参数。
从理论上讲, 阀值应比较大。
但阀值越大, 用来估计尾部分布函数的样本观察值的数量就越少, 估计的参数变化比较大, 所以需要找到合适的阀值。
在此先研究随机变量X 服从形状参数ξ>0 的帕累托分布时的条件期望e(u)=E(X -u X >u) 。
由于X 的分布函数为:F ξ, μ, σ(x)=1-[ 1+ ξ(x –μ/σ) ] –1/ ξ, x ≥μ,于是有:e(u)= - ξμ+σ+ξu/1- ξ(4)下面考虑样本平均余值函数:e(u)= 1 /n u ∑n i =1 (X i -u) + (5)其中:n 为样本总数,(X i -u) + 表示大于值u 的样本值与u 的差, ∑n i =1 (x i -u) + 表示超过值u 的样本余值的总和, n u = ∑n i =1 l(X i >u) 表示大于值u 的样本值的个数。
可知, 平均余值函数e(u) 是超过阀值损失的真实期望值的经验估计值, 即为e(u)= E(X -u|X >u)的估计值,而由式(4) 可知: de(u)/ du= ξ/1 -ξ, 这表明若损失分布的尾部服从形状参数0< ξ<1 的广义帕累托分布,则其期望余值是u 的线性函数,且其斜率为正。
据此, 可以用样本数据得出的平均余值散点图在超过某一特定临界值u 0 时基本呈一条直线(或至少具有正斜率)来判定超过临界值u 0 的损失值服从广义帕累托分布, 同时估计u 0 值下面来研究操作风险损失的尾部分布的其它参数估计, 为此先考虑条件一阶矩E(X -u|X >u) 和条件二阶矩E[(X -u) 2|X >u] 。
可以证明: E(X -u|X >u)= σ/(1 –ξ) [ 1 + ξ(u –μ/σ)] (6)E[(X -u) 2|X >u] =2 σ2/(1 - ξ)(1 -2 ξ) [ 1 + ξ(u –μ/σ)] 2 (7)将来自总体X 的简单随机样本按从小到大排列, 记为X 1 , X 2 , X n , u 是一个常数, 且E[(X -u) k|X >u] 存在且为λ( 未知), 记x i = X i -u,n u = ∑n i =1 l(x i >0), λ=1 n u∑n i =1 1(x i >0) ·x k i , 则由条件矩估计理论可知, λ为λ的无偏估计。
为了估计操作风险损失的尾部分布的参数, 可以建立以下参数估计方程:σ/1 - ξ[ 1 + ξ(u - μ)/σ] =1 /n u ∑n i =1 (x i ) +2 σ2 /(1 - ξ)(1 -2 ξ) [ 1 + ξ(u - μ)/σ] 2=1 /n u ∑n i =1 (x i ) 2+解得:ξ={1/ n u ∑n i =1(x i ) 2+ - 2 n 2 u [ ∑n i =1(x i ) + ] 2}/2 /n u ∑n i =1 (x i ) 2+ - 2 /n 2 u [ ∑n i =1(x i ) + ] 2 (8)/)n u ∑n i =1 (x i ) + (9)σ+ξ(u - μ)= (1 –ξ由于再利用广义帕累托分布的三阶条件矩也只能估计出参数σ+ξ(u- μ)的值,无法有效估计出所要的参数μ和σ的具体值, 因此,在广义帕累托分布的参数估计中, 可以通过结合最小误差拟合方法进行。
具体思想以及操作如下:由第二极值定理, 当临界值u 相当大时, (x i ) + 近似服从广义帕累托分布 F ξ,μ,σ(x), 为使拟合效果比较好, 希望(n x +1/ n) - ξ-(1 -F ξ,μ,σ(x)) - ξ尽可能地小。
因此,采用最优拟合标准为:min μ∑x i >0 [(n (x i +1)/ n) - ξ-(1 -G ξ,μ,σ(x i )) - ξ] 2 (10)记k = 1 –ξ/n u ∑n i =1(x i ) + , 将σ=k - ξ(u - μ)代入式(10) 可知:min μ∑x i >0 [(n x i +1/ n) - ξ-(1 + ξ( x i –μ/k - ξ(u - μ)] 2解得:μ={ ∑x i >0 (k + ξx i - ξu)(k + ξx i - ξu -mk +m ξu)}/ { ξ∑x i >0 m(k + ξx i - ξu)} (11)其中,m =( n x +1/ n) - ξ, n x = ∑n i =1 1(x i >x) 于是:σ=k + ∑x i >0 (k + ξx i - ξu)(k + ξx i - ξu -mk +m ξu)/{ ∑x i >0 m(k + ξxi - ξu)}- ξu (12)这样便得到基于条件样本的广义帕累托分布的参数估计值, 即操作风险损失超出阀值u 的样本值的极端损失分布函数为:F(x)=[ 1 -F(u)] F ξ, μ,σ(x -u)+F(u)= 1 - n u n (1 + ξ(x -u –μ/σ)) - 1 ξ(13) 四、参数的分布形态X 服从帕累托分布，则其概率密度函数（p.d.f. ）是这样：f(x) = a c^a / x^(a+1) ，当x 不小于c。
当x < c 时f(x) = 0 。
其累积分布函数（ c.d.f. ）为：F(x) = 1 - (c / x)^a ，当x 不小于c。
当x < c 时F(x) = 0 。
其中常数 c 为随机变量X 的最小可能取值，常数 a 是决定分布形状的参数。
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