弹性应力应变关系

z yz
zx xy
c51 c61
c52 c62
c53 c63
c54 c64
c55 c65
c56 c66
zx xy
D
D: 弹性矩阵
应力应变关系使用张量形式表示有:
ij Cijkl kl
式中Cijkl 称为弹性张量, 为四阶常张量, 共有81 个分量。 根据应力、应变张量的对称性，Cijkl 关于指标 i 和 j 对称，关于指标 k 和 l 也对称，即
a(1
x
)
1 2
a(1+
x
)
(1 x ) (1+x )
tg(
4
)
2
1 tg
2
1 tg
1
2
1
2
2
(1 x (1+x )
)
1 1
2
2
x (1 )
x (1 ) x
GE
2
x x (1 )
2G E
1 1
2G E
（3）双向应力状态的应力应变关系
x
x
E
y
E
1 E
( x
x x ( x , y , z , xy , yz , zx ) y y ( x , y , z , xy , yz , zx ) z z ( x , y , z , xy , yz , zx ) yz yz ( x , y , z , xy , yz , zx ) zx zx ( x , y , z , xy , yz , zx ) xy xy ( x , y , z , xy , yz , zx )
3.2 各向异性线弹性材料
线弹性应力应变关系为线性关系：
x c11 x c12 y c13 z c14 yz c15 zx c16 xy y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy z c31 x c32 y c33 z c34 yz c35 zx c36 xy yz c41 x c42 y c43 z c44 yz c45 zx c46 xy zx c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy xy c61 x c62 y c63 z c64 yz c65 zx c66 xy
第三章 弹性应力应变关系
3.1 广义胡克定律 3.2 各向异性线弹性材料 3.3 各向同性线弹性材料的弹性常数 3.4 体积改变定律和形状改变定律 3.5 线弹性体的应变能函数
3.1 广义胡克定律
应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程或 者本构方程 单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定 复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定
σy
τyx τxy
σx
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（5）三向应力状态的应力应变关系
x
x
E
y
E
z
E
1 E
[ x
( y
z )]
y
y
E
x
E
z
E
1 E
[
y
( x
z )]
z
z
E
x
E
y
E
1 E
[
z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
引入： x y z
G E
2(1 )
式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。
线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达
x c11 c12 c13 c14 c15 c16 x
y
c21
c22
c23
c24
c25
c26
y
z yz
cc3411
c32 c42
c33 c43
c34 c44
c35 c45
c36 c46
Cijkl C jikl Cijkl Cijlk
故独立的弹性常数也是36个。
可以证明 Cijkl关于i j与k l也是对称的，故一 般各向异性弹性材料独立的弹性常数是21个。
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
x y z 称为体积应力。
从正应力应变关系中可得到:
E x (1 ) x E y (1 ) y
E z (1 ) z
由上式则有应力表达式:
x
E
1
( x
E
)
2G x
1
y
E
1
( y
E
)
2G y
1
z
E
1
( z
E
)
2G z
将 3K 代入应力表达式有
x
2G x
1
2G x
1
3K
2G x
y
2G y
1
2G y
1
3K
2G y
z
2G z
1
2G z
1
3K
2G z
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
式中 称为Lame 常数。
3K E
E
1
1 1 2 (1 )(1 2)
整理最终的应力应变关系是
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
x y z
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达：
ij 2Gij ij
3.2 各向异性线弹性材料
对于弹性体一点的应力取决于该点的应变大小，即 应力与应变之间存在函数关系。
1
xy Gγxy yz Gγyz zx Gγzx
另一方面由
E x (1 ) x
E y (1 ) y
E (1 ) -3
E z (1 ) z
(1 2)
从而有体积应力与体积应变之间的关系
E 令 3K E
1 2
1 2
则
3K
K为材料常数， ：为体积应变。 x y z
x
1 E
[
x
(
y
z
)]
x
1 E
[(1
) x
( x
y
z )]
同理
1 E
[(1
)
x
]
y
1 E
[
y
( z
x )]
y
1 E
[(1
)
y
]
z
1 E
[ z
( x
y )]
z
1 E
[(1
) z
]
三向应力状态的应力应变关系
x
1 E
[(1
) x
]
y
1 E
[(1
) y
]
z
1 E
[(1
) z
]
xy
（1）单向应力状态的应力应变关系
x
x
E
或 x E x
σx
y
x
x
E
εy
σx
: 泊松比，由试验确定。 εx
（2）纯剪应力状态的应力应变关系 τ
τ
Mn
G 或
G G: 剪切弹性模量 G E
2(1 )
E与G之间的关系
a(1 x )
aa
a(1 x ) x
2
x
tg(
4
)
2
1 2
y )
y
y
E
x
E
1 E
( y
x )
x
x
E
1 2
( x
y )
y
y 1 2
( y
x )
x
y
y x
x
y
y
（4）平面应力状态的应力应变关系
x
x
E
y
E
1 E
(
x
y )
y
y
E
x
E
1 E
( y
x )
xy
xy
G
x
E
1 2
( x
y )
y
y 1 2
( y
x )
xy G xy