中考压轴冲刺二 动态几何定值问题

中考压轴冲刺二 动态几何定值问题

本类问题主要有三种：1、线段（和差）为定值问题；2、角度（和差）为定值问题；3、面积（和差）为定值问题。

解答本类问题的方法，

1 、先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置；

2、找出定值的表达式，然后写出证明.

类型一 【线段及线段的和差为定值】

例1、已知：△ABC 是等腰直角三角形，△BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D △AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．

（1）如图1，当△CA ′D ＝15°时，作△A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．

△写出旋转角α的度数；

△求证：EA ′+EC ＝EF ；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接P A ，PF ，若AB ，求线段P A +PF 的最小值．（结果保留根号）

类型二 【线段的积或商为定值】

例2、如图△，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.

（1）特殊情形：如图△，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；

（2）类比探究：如图△，在旋转过程中，

PE PF

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ；

△在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积；

△在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.

类型三 【角及角的和差定值】

例3、如图，在△ABC 中，△ABC ＞60°，△BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．

（1）若△ABC =90°，△BAC =30°，求△BDC 的度数；

（2）当△BAC =2△BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由；

（3）当△BCD 等于多少度时，△BAC =2△BDC 恒成立．

类型四 【三角形的周长为定值】

例4、如图，现有一张边长为的正方形ABCD ，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H ，折痕为 EF ，连接 BP ，BH .

（1）求证：EPB EBP ∠=∠；

（2）求证：APB BPH ∠=∠；

（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由； （4）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式.

类型五【三角形的面积及和差为定值】

例5、综合与实践：矩形的旋转

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：

（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．

（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．

（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中△MQN与旋转角△AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．

实践探究：

（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为

，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角△AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）

练习：

1．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，△BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，

（1）如图1，当AE△BC时，求线段BE、CG的长度．

（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．

（3）如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．

2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF△BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；

（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．

3．如图，四边形ABCD中，AD△BC，△ABC=90°．

(1)直接填空：△BAD=______°.

(2)点P在CD上，连结AP，AM平分△DAP，AN平分△P AB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设△DAM=α°．