第03章抽样误差

第 3 章 抽样误差
3.1 抽样误差的概念
医学科研中通常采用抽样研究的方法，从某总体中随机抽取一个样本来进行研究，而 所得样本统计量与总体参数常不一致，这种由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异 属于抽样误差(sampling error)，这在抽样研究中是不可避免的。
例如，假设某地成年男子血红蛋白的总体均数()为 13.76(g/100ml)，随机抽查了 360 名男子，算得平均血红蛋白含量 X ＝13.45(g/100ml)，若用此 X 作为该地区成年男子血红 蛋白的总体均数()的一个估计值，则(13.76-13.45)=0.31(g/100ml)，此差值属于抽样误差。
P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)＝0.05 或：P(-2.228<t<2.228)=1-0.05=0.95。
3.5 2 分布
设从正态分布 N(,2)中随机抽取含量为 n 的样本，样本均数和标准差分别为 X 和 s，
且：
2 (n 1)s2 2
(3.4)
则2 值服从自由度为 n-1 的2 分布(2-distribution)，是小写希腊字母，读作 chi。可见，
2 分布说明，从正态分布的总体中随机抽样，所得样本的方差 s2 接近于总体方差2 的可能性大，远离总体方差的可能性小。即2 值接近其均数 n-1 的可能性大，远离 n-1 的 可能性小。自由度＝10 时，20.025,10＝20.48，20.975,10＝3.25，说明，从正态分布的总体中 随机样本含量为 n=11 的样本，得到的2 值大于等于 20.48 的概率为 0.025，小于等于 3.25 的概率亦为 0.025。可表示为：
由图可见，样本均数的分布不再显示原来的非正态分布之特征，且随着样本含量 n 的 增大，样本均数的分布很快接近正态分布，并显示均匀分布接近正态分布的速度快于偏态
分布，单峰分布快于双峰分布。因此，根据中心极限定理，即使对于总体的精确分布并不
清楚(这种情况在分析实际资料时较为常见)，我们也可以利用这一特性对样本均数的抽样 误差进行各种分析。
3.3 均数的抽样误差及标准误
虽然均数的抽样误差可表现为样本均数与总体均数之差值，但由于总体均数往往是未
知的，故这个差值实际上是得不到的，只能估计。均数的抽样误差也可用多个样本均数间
的离散度表示，但由于对同一问题很少做多次同样的抽样研究，所以这个离散度一般也是
得不到的。那么，如何衡量抽样误差的大小，揭示抽样误差的规律呢？这就要应用数理统
X
分布。
X n
(3.1)
在统计理论上将样本统计量的标准差称为统计量的标准误(standard error，SE)，用来衡 量抽样误差的大小。据此，样本均数的标准差 称为均数的标准误，简称标准误。由上
X
式可见，此标准误与个体变异 成正比，与样本含量 n 的平方根成反比。 实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准差 s 代替 ，求得 X 的估计值 s X 。
0.50000.2041 0.50000.1443 0.50000.0913 0.50000.0577
0.99920.7065 1.00010.5041 1.00260.3154 0.99620.1985
1.00000.7071 1.00000.5000 1.00000.3162 1.00000.2000
下面介绍从正态分布总体中随机抽样，均数和方差的有关抽样分布。
X
总体分布 A n=2
x
n=4
x
n=10
x
n=25
X
总体分布 B n=2
x
n=4
x
n=10
x
n=25
x
X 的抽样分布
图 3.1 中心极限定理图示(a)
x X 的抽样分布
X
总体分布 C n=2
x
n=4
x
n=10
x
n=25
x X 的抽样分布
抽样误差有两种表现形式，其一是：样本统计量与总体参数间的差异，如样本均数与 总体均数间的差异；其二是：不同样本的统计量间的差异，如从同一总体中抽取含量相等 的两样本得到的两个样本均数之间的差异。
从理论上讲，若进行 K 次抽样，所得的 K 个样本统计量(例如 X )则很可能各不相同， 若将这些样本统计量编制成频率分布表或绘制成频率分布图，则可看出样本统计量的抽样 分布是有规律的。
设从正态分布 N(,2)中随机抽取含量为 n 的样本，样本均数和标准差分别为 X 和 s， 且：
t X X
sX
sn
(3.3)
则 t 值服从自由度为 n-1 的 t 分布(t-distribution)。Gosset 于 1908 年在《Biometrika》(生物 统计)杂志第 6 卷第 1 期上发表了题为《The probable error of a mean》(平均数的概率误差) 的论文，当时用的是笔名“Student”，故 t 分布又称 Student t 分布。
1.00690.5486 1.00740.3945 0.99650.2472 0.99970.1560
பைடு நூலகம்
1.00000.5477 1.00000.3873 1.00000.2450 1.00000.1549
表 3.1 中 12 个抽样分布的均数及标准误与理论值均非常接近。实际工作中，常用 X SE 表示某指标的均数及其抽样误差。同时，中心极限定理通过图 3.1 显示：从不同分 布类型的总体抽样时，达到样本均数趋向正态分布所需的最小样本含量之参考数。一般而 言，样本含量大于 10 时，其均数分布趋向正态的效果已经比较明显。
(3) ＝1 时2 分布实际上是标准正态分布变量之平方。自由度为的2 分布实际上是
个标准正态分布变量之平方和。可表示为：
2=u12+ u22+……+ uv2
(3.6)
其中，ui 为标准正态变量。该性质说明，2 分布具有可加性。 (4) 每一自由度下的2 分布曲线都有其自身分布规律，这个规律可见于2 界值表(附
P(2≤3.25)+P(2≥20.48)＝0.05 或：P(3.25<2<20.48)=1-0.05=0.95。
0.5 =1
0.4 f(2)
0.3
0.2
0.1
=2
=3
=4
=5
=6
0.0
0
2
4
6
8
10
12
2
图 3.3 2 分布曲线(自由度为 1~6)
3.6 F 分布
设从两个方差相等的正态分布 N(1,2)和 N(2,2)总体中随机抽取含量分别为 n1 和 n2
表 3)，表中横标目为自由度，纵标目为概率 P，表中数据为相应的2 界值，常记为2,。
当自由度确定后，2 与 P 的关系如该表右上角插图所示：图中阴影部分表示大于2,的
尾部面积的百分数，即概率。例如，自由度为 1 时，20.05,1＝3.84，表示当 =1，右侧 ＝0.05 时，2 的界值为 3.84，也即按2 分布规律， ＝1 时，理论上2≥3.84 的概率为 0.05。
t 分布曲线可用图 3.2 表示。
f(t)
=∞（标准正态曲线）
=5
0.3
=1
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
图 3.2 自由度分别为 1、5、∞时的 t 分布
t 分布有以下的特征： (1) t 分布为一簇单峰分布曲线。 (2) t 分布以 0 为中心，左右对称。 (3) t 分布与自由度有关，自由度越小，t 分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自 由度逐渐增大时，t 分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t 分布就是标准正
态分布。 每一自由度下的 t 分布曲线都有其自身分布规律，这个规律可见于 t 界值表(附表 2)，
表中横标目为自由度，纵标目为概率 P，表中数据为相应的 t 界值，常记为 t,。 t 分布表明，从正态分布总体中随机抽取的样本，由样本计算的 t 值接近 0 的可能性较
大，远离 0 的可能性较小。t0.05,10＝2.228，表明，从正态分布总体中抽取样本含量为 n=11 的样本，则由该样本计算的 t 值大于等于 2.228 的概率为 0.025，小于等于-2.228 的概率亦 为 0.025。可表示为：
2 分布是方差的抽样分布。
统计学家 Karl Pearson 在研究定性资料时指出，可以用2 分布近似描述具有某种属性
的实际频数 Ai 与理论频数 Ti 之间的抽样误差，即：
2
( Ai Ti )2 Ti
(3.5)
并指出，如果样本含量和理论频数均较大(如 n≥40，Ti≥5)，或自由度大于 1 时，近似程 度较好。因此，2 分布除用于方差的抽样分布研究外，还可用于样本分布与理论分布的拟
总体 A n=2 n=4 n=10 n=25
总体 B n=2 n=4 n=10 n=25
总体 C n=2 n=4 n=10 n=25
总体 D n=2 n=4 n=10 n=25
表 3.1 4 个总体不同样本含量时 10000 个模拟样本的均数和标准误 与相应理论值的比较
10000 个样本
均数标准误, X SE
3.2 抽样误差产生的条件
抽样误差产生的两个必备条件： (1) 抽样研究。抽样研究是产生抽样误差的必备条件之一。只有对总体中的部分个体 进行研究，才可能导致样本指标与总体指标的不一致，而且在从同一总体进行抽样的研究 中，样本含量越少的研究，理论上抽样误差必然越大。 (2) 个体变异。个体变异是产生抽样误差的另一必备条件。在医学科研领域，许多被 研究对象都存在着变异现象，如血压、疗效、药物反应等。在抽样方法和样本含量不变的 条件下，变异大的研究样本其抽样误差也大，反之则小。 以上是产生抽样误差的必备条件，缺一不可。若进行普查，则被研究对象的个体变异 将不会产生抽样误差；若个体间无变异，当然无需作抽样研究，也无抽样误差可言。
合优度检验(见第 9 章)、率或构成比的比较(见第 7 章)，等。
2 分布有以下的特征：
(1) 2 分布为一簇单峰正偏态分布曲线，2 取值范围为 0～∞。=1 时分布最为偏斜。
随的逐渐加大，分布趋于对称。图 3.3 给出了 6 个不同自由度时的2 分布。
(2) 自由度为的2 分布，其均数为，方差为 2。
理论值
均数标准误, X
1.33400.3357 1.33280.2355 1.33220.1493 1.33250.0937
1.33330.3333 1.33330.2357 1.33330.1491 1.33330.0943
0.49650.2042 0.50070.1454 0.50130.0919 0.50020.0576
本节描述了来自不同总体的样本均数之抽样误差和抽样分布规律。事实上，任何一个 样本统计量均有其抽样分布规律，如来自正态分布总体的样本方差服从2 分布；方差之比 服从 F 分布；相关系数作适当变换后近似服从正态分布；率的分布与样本含量 n 和率的大 小有关，在样本含量较小时服从二项分布，在 n 足够大时，近似服从正态分布；等。统计 量的抽样分布规律是进行统计推断的理论基础。
的样本，样本均数和标准差分别为 X 1 、s1 和 X 2 和 s2，且：
F s12
计中的中心极限定理(central limit theorem)了。 中心极限定理的涵义：
(1) 从均数为、标准差为 的正态总体中独立、重复、随机抽取含量为 n 的样本， 样本均数的分布仍为正态分布，其均数为，标准差为 X 。
(2) 即使从非正态总体(均数为、标准差为 )中独立、重复、随机抽取含量为 n 的样 本，只要样本含量足够大(如 n≥50)，样本均数也近似服从均数为、标准差为 的正态
X
总体分布 D n=2
x
n=4
x
n=10
x
n=25
x X 的抽样分布
图 3.1 中心极限定理图示(b)
3.4 t 分布
中心极限定理表明，从任何总体中随机抽样，当样本含量较大时，其均数的抽样分布
将趋于正态分布。如果是从正态分布总体中抽样，英国统计学 W.S.Gosset (1908)导出了样 本均数的确切分布。
即：
s s
X
n
(3.2)
因为标准差 s 随样本含量的增加而趋于稳定，故增加样本含量可以降低抽样误差。 为了形象地展示中心极限定理，表 3.1 设计了 4 个非正态分布的总体，其中，总体 A
是偏三角分布，总体 B 是均匀分布，总体 C 是指数分布，总体 D 为双峰分布。分别从各 总体中抽取 10000 个样本含量为 n 的样本，计算每个样本的均数，并根据 10000 个样本均 数绘制频率分布图(图 3.1)。