2020届高三全国高考选择填空压轴题强化测试卷
2020高考数学三轮复习高考填空真题强化练习含详解详析2

2020高考数学三轮复习高考填空真题强化练习(含详解详析)1.集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ,则B A I = .2.曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= . 3.已知α、β均为锐角,且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= .4.n n n n n 231233232lim +-+∞→= . 5.某轻轨列车有4节车厢,现有6位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为 . 6.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 (填写所有正确选项的序号). ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形7.复数3123ii ++的值是 。
8.213(21)lim21n n n n →∞+++-=-+L 。
9.已知()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=,则cos()4πα+= 。
10.在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a = 。
11.设0,1a a >≠,函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值,则不等式()2log 570a x x -+>的解集为 。
12.已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点()3,1处取得最大值,则a 的取值范围为 。
13.复数322ii+的虚部为________. 14.已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ,则函数z = x+3y 的最大值是________.15.若函数f(x) = 2221x ax a ---的定义域为R , 则a 的取值范围为_______.16.设{n a }为公比q>1的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根, 则=+20072006a a __________.17. 某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有___________种。
2020届北京市高三高考压轴卷物理试题 (解析版)

2020届北京市高三高考压轴卷物理试题 (解析版)第一部分(选择题共42分)一、选择题,本部分共14小题,每小题3分,共42分。
在每小题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的一项。
1.钍基熔盐堆核能系统(TMSR )是第四代核能系统之一.其中钍基核燃料铀由较难裂变的钍吸收一个中子后经过若干次β衰变而来;铀的一种典型裂变产物是钡和氪.以下说法正确的是 A. 题中铀核裂变的核反应方程为233114289192056360U n Ba Kr 3n +→++B. 钍核衰变的快慢由原子所处的化学状态和外部条件决定C. 钍核23290Th 经过2次β衰变可变成镤23291PaD. 在铀核裂变成钡和氪的核反应中,核子的比结合能减小 【答案】A 【解析】【详解】A .根据质量数守恒与电荷数守恒可知,铀核裂变的核反应方程为:233114289192056360U n Ba Kr 3n +→++,选项A 正确;B .原子核的半衰期由核内部自身因素决定,与原子所处的化学状态和外部条件无关,故B 错误;C .钍核(23290Th )经过1次β衰变可变成镤(23291Pa ),选项C 错误;D .重核裂变的过程中释放能量,所以重核分裂成中等大小的核,核子的比结合能增大,故D 错误; 2.根据热学知识可以判断,下列说法不正确的是( ) A. 物体的温度变化时,其分子平均动能一定随之改变B. 载重汽车卸去货物的过程中,外界对汽车轮胎内的气体做正功C. 在压强不变时,分子每秒对器壁单位面积平均碰撞次数随着温度降低而增加D. 气体的摩尔质量为M ,分子质量为m ,若1摩尔该气体的体积为V ,则该气体单位体积内的分子数为MmV【答案】B 【解析】【详解】A . 温度是物体分子平均动能标志,物体的温度变化时,其分子平均动能一定随之改变,故A 正确,不符合题意;B . 载重汽车卸去货物的过程中,轮胎内气体的压强减小,由理想气体的状态方程可知,气体的体积将增大,所以该过程中外界对汽车轮胎内的气体做负功;故B 错误,符合题意;C . 气体的压强是由大量分子对器壁的碰撞而产生的,它包含两方面的原因:分子每秒对器壁单位面积平均碰撞次数和每一次的平均撞击力。
专题23 创新型问题-2020届高三数学选择填空压轴题题型总结与强化训练含答案

专题23 创新型问题-2020届高三数学选择填空压轴题题型总结与强化训练含答案【方法综述】创新型问题主要包括:(Ⅰ)将实际问题抽象为数学问题,此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言,要明确题中已知量与未知量的数学关系,要理解生疏的情境、名词、概念,将实际问题数学化,将现实问题转化为数学问题,构建数学模型,运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).(Ⅱ)创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题,运用“老知识”解决新问题是关键.②以新运算给出的发散型创新题,检验运算能力、数据处理能力.③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题,要注意观察特征、寻找规律,充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一实际应用问题【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票,票价如下表:现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,这两个部门人数分别为a和b,若按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1290元;若两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990元,那么这两个部门的人数____;____. 【答案】70 40【解析】∵990不能被13整除,∴两个部门人数之和:a+b≥51,(1)若51≤a+b≤100,则11 (a+b)=990得:a+b=90,①由共需支付门票费为1290元可知,11a+13b=1290 ②解①②得:b=150,a=﹣60,不符合题意.(2)若a+b≥100,则9 (a+b)=990,得a+b=110 ③由共需支付门票费为1290元可知,1≤a≤50,51≤b≤100,得11a+13b=1290 ④,解③④得:a =70人,b =40人, 故答案为:70,40.【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意,然后将文字语言转化为数学符号语言,最后建立恰当的数学模型求解.其中,函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型.【举一反三】2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施,如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长,给出下列式子: ①②③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是( )A . ②③B . ①④C . ①③D . ②④ 【答案】B类型二 创新性问题【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数,单调递增,,若对任意,存在,使得成立,则称是在上的“追逐函数”.若,则下列四个命题:①是在上的“追逐函数”;②若是在上的“追逐函数”,则;③是在上的“追逐函数”;④当时,存在,使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为()A.①③B.②④C.①④D.②③【答案】B【解析】对于①,可得,在是递增函数,,若是在上的“追逐函数”;则存在,使得成立,即,此时当k=100时,不存在,故①错误;对于②,若是在上的“追逐函数”,此时,解得,当时,,在是递增函数,若是“追逐函数”则,即,设函数即,则存在,所以②正确;对于③,在是递增函数,,若是在上的“追逐函数”;则存在,使得成立,即,当k=4时,就不存在,故③错误;对于④,当t=m=1时,就成立,验证如下:,在是递增函数,,若是在上的“追逐函数”;则存在,使得成立,即此时取即,故存在存在,所以④正确;故选B【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的,但是考查的知识和能力并没有太大的变化,解决创新性问题应注意三点:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略.【例3】【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为,定义的“优值”为,现已知的“优值”,则_________.【答案】【解析】解:由=2n,得a1+2a2+…+2n﹣1a n=n•2n,①n≥2时,a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1=(n﹣1)•2n﹣1,②①﹣②得2n﹣1a n=n•2n﹣(n﹣1)•2n﹣1=(n+1)•2n﹣1,即a n=n+1,对n=1时,a1=2也成立,所以.【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若数列满足:对任意的且,总存在,使得,则称数列是“数列”.现有以下四个数列:①;②;③;④.其中是“数列”的有( )A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】令,则,所以数列是“数列”;令,则,,,所以,所以数列不是“数列”;令,则,,,所以,所以数列不是“数列”;令,则,所以数列是“数列”.综上,“数列”的个数为.本题选择C选项.2.【江西师范大学附属中学2019高三上期末】已知表示不超过实数的最大整数(),如:,,.定义,给出如下命题:①使成立的的取值范围是;②函数的定义域为,值域为;③.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】①由,,所以;x<2或时.②当x为整数时,当时,[x]=n,所以的值域为[0,1).③因为=所以n为偶数时=n为奇数时=所以==1010综上,只有命题①正确,故选B.【强化训练】一、选择题1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合,若对于,,使得成立,则称集合是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”的集合为A.,B.,C., D.,【答案】D【解析】设,为上任意一点:当时,需存在使得:,即,此时无解,可知不是“互垂点集”,可排除和选项;:当时,需存在使得:,即,无意义,可知不是“互垂点集”,可排除选项;本题正确选项:2.【安徽省江南十校2019届高三3月检测】计算机内部运算通常使用的是二进制,用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数,其第一个数字为1,第二个数字为0,且在第个0和第个0之间有个1(),即,则该数的所有数字之和....为()A.1973 B.1974 C.1975 D.1976【答案】C【解析】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为,数字和为;第二组为,数字之和为;第三组为,数字之和为;以此类推数字共位,则,前组共有位则前位数字之和为:剩余数位为:则所有数字之和为:本题正确选项:3.【北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)】若函数在其图象上存在不同的两点,其坐标满足条件:的最大值为0,则称为“柯西函数”,则下列函数:①;②;③;④.其中为“柯西函数”的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0,当且仅当时取等,此时即A,O,B三点共线,结合“柯西函数”定义可知,f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B,使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x>0时,图像若f(x)与直线y=kx有两个交点,则必有k≥2,此时,,所以(x>0),此时仅有一个交点,所以不是柯西函数;②,曲线过原点的切线为,又(e,1)不是f(x)图像上的点,故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线,所以函数不是;③;④.显然都是柯西函数.故选:B4.【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟】正方形的边长为1,点在边上,点在边上,.动点从出发沿直线向运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点第一次碰到时,与正方形的边碰撞的次数为( )A.4 B.3 C.8 D.6【答案】D【解析】根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,第一次碰撞点为F,在反射的过程中,直线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G,G在DA上,且DG,第三次碰撞点为H,H在DC上,且DH,第四次碰撞点为M,M在CB上,且CM,第五次碰撞点为N,N在DA上,且AN,第六次回到E点,AE.故需要碰撞6次即可.故选:D.5.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次诊断】设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“倍约束函数”现给出下列函数:;;;是定义在实数集上的奇函数,且对一切,均有其中是“倍约束函数”的序号是A.B.C.D.【答案】D【解析】对于①,是任意正数时都有,是倍约束函数,故①正确;对于②,,,即,不存在这样的对一切实数均成立,故②错误;对于③,要使成立,即,当时,可取任意正数;当时,只须,因为,所以故③正确.对于④,是定义在实数集上的奇函数,故是偶函数,因而由得到,成立,存在,使对一切实数均成立,符合题意,故正确.本题正确选项:6.【湖南省岳阳市2019届高三二模】已知,若存在,使,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知,且在上单调递减,所以函数只有一个零点.即,得.函数在区间上存在零点,由,得.令,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,,所以只需即有零点,故选B.7.【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数,单调递增,,若对任意,存在,使得成立,则称是在上的“追逐函数”.若,则下列四个命题:①是在上的“追逐函数”;②若是在上的“追逐函数”,则;③是在上的“追逐函数”;④当时,存在,使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】对于①,易得M=1,∀k>1,有21=k,即为,=log2(k+1),当k=100时,log2(k+1),即不存在<.对于②,,得m=M=1,只需检验m=1时,是否符合题意,∀k>1,有2=1+ln=k,即为,=e k﹣1,即有e k﹣1⇔k<e2k﹣2,由x>1时,x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2<0,即有x<e2x﹣2,则存在<;∴m=1满足题意对于③,易得M=1,∀k>1,有2=2k,即为,,当k=4,不存在<x2.对于④,由题意又时,存在,取t=m+,此时,且k>,有2=k,即为,,令g(k)==,k>, ∴,∴g(k)在()单调递减,∴g(k)<g()=,又t=m+, ∴g()=0,即g(k)<0,∴<,故f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”有②④故选:B.8.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】定义区间,,,的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为(其中,为自然对数的底数),那么称这个函数为“函数”.下列四个命题:①函数不是“函数”;②函数是“函数”,且;③函数是“函数”;④函数是“函数”,且.其中正确的命题的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】分析命题①:定义域为,,,函数在上是单调递增,显然这个区间没有长度,因此函数不是“函数”,故命题①是真命题.分析命题②:,定义域为,当时,函数是增函数,构造两个函数,,图象如下图所示:通过图象可知当,而,即,,所以当时,函数是增函数,增区间的长度为,又因为显然有成立,所以函数是“m函数”,即成立,故命题②是真命题.分析命题③:函数定义域为,显然时,,此时函数是单调递增函数,增区间为,而区间没有长度,故函数不是“函数”,故命题③是假命题.分析命题④:函数定义域,当时,是增函数,故只需成立,是增函数,也就是成立,是增函数,构造二个函数,如下图所示:通过图象可知:当时,,而,所以.从而有时,时,函数是增函数,显然区间长度为,而所以函数是“函数”,又,即.故命题④是真命题.综上所述:正确的命题的个数为3个,故本题选B.二、填空题9.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】定义:若函数的定义域为,且存在非零常数,对任意,恒成立,则称为线周期函数,为的线周期若为线周期函数,则的值为______.【答案】1【解析】若为线周期函数则满足对任意,恒成立即,即则本题正确结果:10.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图所示,有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根上,每次只能移动一个金属片,且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面.则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次.【答案】31【解析】设是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数时,;时,小金属片柱,大金属片柱,小金属片从柱柱,完成,;时, 小金属片柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,用种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用种方法把中、小两金属片从柱柱,完成,同样方法,依次可得:11.【北京延庆区2019届高三一模】已知集合,集合满足①每个集合都恰有5个元素;②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为(),则的最大值与最小值的和为_______.【答案】96【解析】易知,当的最大值为57.当的最小值为39.故答案为:9612.【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点,间的折线距离为,已知点,,,则的最小值为___.【答案】【解析】d(O,C)=|x|+|y|=1,首先证明:,两边平方得到变形为,由重要不等式,显然此不等式成立,故根据不等式的性质得到:.故答案为:.13.【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离为,已知点,则的取值范围为___.【答案】【解析】d(O,C)=|x|+|y|=1,令|x|=,|y|= ,则|x|,|y|故故答案为:.14.如图,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示),边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若AB=1m,AD=0.5m,则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.【答案】【解析】以O为坐标原点,AD所在直线为轴建立平面直角坐标系,设边缘线OM上一点,则,设EF与边缘线OM的切点为,因为,所以,故EF所在直线方程为,因此,其中,从而因为当时,,当时,,即当时取最小值,从而五边形ABCEF的面积取最大值.15.【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段上取两个点,,使得,以为一边在线段的上方做一个正六边形,然后去掉线段,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为,现给出有关数列的四个命题:①数列是等比数列;②数列是递增数列;③存在最小的正数,使得对任意的正整数,都有;④存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有.其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).【答案】②④【解析】由题意,得图1中线段为,即;图2中正六边形边长为,则;图3中的最小正六边形边长为,则;图4中的最小正六边形边长为,则;由此类推,,所以为递增数列,但不是等比数列,即①错误,②正确;因为,即存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有,即④正确;③错误,综上可知正确的由②④.16.【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联考】若函数的图象存在经过原点的对称轴,则称为“旋转对称函数”,下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.(填写所有正确结论的序号)①;②;③.【答案】①②【解析】对于①中,的反函数为:,所以函数关于直线对称,故①是“旋转对称函数”.对于②,,所以函数是偶函数,它关于轴对称,故②是“旋转对称函数”.对于③,,当时,,则函数的图像只可能关于直线对称,又,当时,,这与函数的图像关于直线对称矛盾,故③不是“旋转对称函数”.。
山东省2020年高三数学高考压轴模拟试题卷附答案解析

(1)求证: f (x) 有且仅有 2 个零点;
(2)求证:
n k 1
ln k k2
2
<
(n
1)(2n 2(n 1)
1)
n 2,n N *
.
5
解析
山东省 2020 年高三数学高考压轴模拟试题卷
一、单选题
1.已知集合 A x∣y 1g 3x x 2 , B {x∣x 1) ,则 A B ( ).
A. 28m
B. 29.2m
C. 30.8m
D. 32.5m
6.一个圆锥的轴截面是边长为 4 的等边三角形,在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上,上底面的 圆周在圆锥侧面上),则当该圆柱侧面积取最大值时,该圆柱的高为( ).
A.1
B.2
C.3
D. 3
7.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 2 , an1 Sn ,若 an (0, 2020) ,则称项 an 为“和谐项”,则数列 an 的所有“和谐项”的平方和为( ).
A. x 2 y 0
B. x 2 y 0
C. 2x y 0
D. 2x y 0
3.已知角 的终边经过点 (1, 3) ,则 2cos2 sin 2 ( ). cos 2
A. 17 8
7
B.
8
C. 7 8
D. 3
4.已知 a log2 3 , b ln 3 , c 20.1 ,则 a , b , c 的大小关系为( ).
A. 17 8
7
B.
8
C. 7 8
D. 3
【答案】B
【解析】本题首先可以根据角 的终边经过点 (1, 3) 得出 tan 3 ,然后将 2 cos2 sin2 化简为 cos 2
2020年名校高考押题卷高三押题卷语文试题(解析版)

2018年11月9日,国内首份《中国公众对基因编辑技术的认知与态度研究报告》正式公布。这项调查揭示了中国公众对基因编辑技术的认知与态度,为基因编辑技术在中国如何理性、健康地发展,如何更好地服务大众提供了重要的依据。
图一 受访者对基因编辑技术应用的支持程度
图二 受访者对基因编辑技术合法化的支持程度
(以上图表取材于《中国公众对基因编辑技术的认知与态度研究报告》)
北京大学生命科学院W教授则认为一项有颠覆意义的新技术引发争论是非常正常的,随着时间的推移,专家、公众一起参与,会综合考量基因编辑技术的一些所谓危险因素。W教授还认为人们对于所谓的缺陷基因的定义是非常模糊和不确定的,未来很有可能会随着认识的深入而改变看法,因此,“从这一点上来讲,是否可以编辑生殖细胞的基因是无解的”。
报告指出,被调查公众对基因编辑技术持积极态度,但较少与家人或朋友谈论基因编辑技术等新兴科技议题,也较少接触相关的信息,因而,关于基因编辑技术知识素养的水平普遍较低,绝大部分被调查公众认为自己需要补充和了解基因编辑技术的信息,且有较高意愿使用基因编辑技术预防和治疗重大疾病。
2020年全国高考数学试题分类汇编1-选择填空压轴题-含详细答案

2020年全国高考数学试题汇编选择填空压轴题一、选择题(本大题共11小题,共54.0分)1.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔⋅卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔⋅卡西的方法,π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)2.设集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2},则()A. 对任意实数a,(2,1)∈AB. 对任意实数a,(2,1)∉AC. 当且仅当a<0时,(2,1)∉AD. 当且仅当a≤32时,(2,1)∉A3.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半,甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒,重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ,则( )A. a >2bB. a <2bC. a >D. a <7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为▵ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为( )A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π9. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈(0,1)(i =1,2,…),且存在正整数m ,使得a i+m =a i (i =1,2,…)成立,则称其为0−1周期序列,并称满足a i+m =a i (i =1,2,…)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2…a n …,C(k)=1m ∑a i a i+k (k =1,2,…,m −1)m i=1是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中,满足C(k)≤15(k =1,2,3,4)的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…10. 已知<,<.设a =3,b =5,c =8,则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b11. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、不定项选择题(本大题共1小题,共5.0分)12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ,且P(X =i)=>0(i =1,2,,n),=1,定义X 的信息熵H(X)=−( )A. 若n =1,则H (x )=0B. 若n =2,则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i =1,2,,n),则H(x)随着n 的增大而增大D. 若n =2m ,随机变量Y 的所有可能取值为1,2,,m ,且P(Y =j)=+(j =1,2,,m)则H(X)H(Y)三、填空题(本大题共12小题,共60.0分)13.为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是______.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;②这三天售出的商品最少有______种.15.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为______.②该小组人数的最小值为______.16.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.17.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为________.18.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是______ ;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是______ .19.设函数f(x)={x 3−3x,x≤a−2x,x>a.①若a=0,则f(x)的最大值为______;②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是______.20.如图,在三棱锥P−ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB AC,AB AD,CAE=,则FCB=__________.21.设有下列四个命题:P1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.P4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p422.关于函数f(x)=x+有如下四个命题:f(x)的图像关于y轴对称.f(x)的图像关于原点对称,f(x)的图像关于直线x=对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________.23. 如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32,则实数λ的值为______,若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______.24. 数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1,前16项和为540,则a 1=____.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的文化,考查圆的内接和外切多边形的边长的求法,考查运算能力,属于基础题.设内接正6n边形的边长为a,外切正6n边形的边长为b,运用圆的性质,结合直角三角形的锐角三角函数的定义,可得所求值.【解答】解:如图,设内接正6n边形的边长为a,外切正6n边形的边长为b,可得a=2sin360°12n =2sin30°n,b=2tan360°12n =2tan30°n,则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n),即π≈3n(sin30°n +tan30°n),故选:A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系,考查运算求解能力,是中档题.根据题意,取特例判断求解即可.【解答】解:当a=−1时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,−x+y>4,x+ y≤2},显然(2,1)不满足,−x+y>4,x+y≤2,所以A不正确;当a=4时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,4x+y>4,x−4y≤2},可知:此时(2,1)∈A,所以B不正确;当a=1时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,x+y>4,x−y≤2},显然此时(2,1)∉A,所以C不正确;故选:D.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化,属于基础题.根据对数的性质:T=a log a T,可得:3=10lg3≈100.48,将M也化为10为底的指数形式,进而可得结果.【解答】解:由题意:M≈3361,N≈1080,根据对数性质有:3=10lg3≈100.48,∴M≈3361≈(100.48)361≈10173,∴MN ≈101731080=1093.故选D.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线,属中档题.将x换成−x方程不变,所以图形关于y轴对称,根据对称性讨论y轴右边的图形可得.【解答】解:将x换成−x方程不变,所以图形关于y轴对称,当x=0时,代入得y2=1,∴y=±1,即曲线经过(0,1),(0,−1),当x>0时,方程变为y2−xy+x2−1=0,所以由△=x2−4(x2−1)≥0,解得x∈(0,2√33],所以x只能取整数1,当x=1时,y2−y=0,解得y=0或y=1,即曲线经过(1,0),(1,1),根据对称性可得曲线还经过(−1,0),(−1,1),故曲线一共经过6个整点,故①正确,当x>0时,由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22,(当x=y时取等),∴x2+y2≤2,∴√x2+y2≤√2,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2,根据对称性可得:曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2,故②正确,×2×1=1,在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2,x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故③错误,故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与证明,重点是找到切入点逐步进行分析,对学生的逻辑思维能力有一定要求,属于中档题.取出的两球有四种情况,分别分析三个盒子中球的关系即可得出结果.【解答】解:取两个球共有4种情况:①红+红,则乙盒中红球数加1个;②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个.设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a.则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.故选B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质,指数及对数函数的单调性,属中档题.【解答】解:根据指数及对数的运算性质,4b+2log4b=22b+log2b,∵log2(2b)=log2b+1>log2b,∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a,根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数,由f(2b)>f(a),得a<2b,故答案为B.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点,参数的取值范围,关键利用分类讨论思想,分析函数的交点,属于难题.问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根,⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点,再分三种情况当k=0时,当k<0时,当k>0时,讨论两个函数四否能有4个交点,进而得出k的取值范围.【解答】解:若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点,则f(x)=|kx2−2x|有四个根,即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点,当k=0时,y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下:两图象有2个交点,不符合题意,当k<0时,y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0,x2=2k(x2<x1)图象如图所示,两图象有4个交点,符合题意,当k>0时,y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0,x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点,所以若有四个交点,只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点,即可,即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根,即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根,函数y=x+2x≥2√2,(当且仅当x=√2时,取等号),所以0<2k<√2,且k>2√2,所以k>2√2,综上所述,k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞).故选:D.8.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质,球的表面积公式,属中档题.【解答】解:由圆O1的面积为4π=πr2,故圆O1的半径ρ=2,∵AB=BC=AC=OO1,则三角形ABC是正三角形,由正弦定理:ABsin60∘=2r=4,得AB=OO1=2√3,由R2=r2+OO12,得球O的半径R=4,表面积为4πR2=64π,故答案为A.9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题,属于较难题.【解答】解:对于A选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15,C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15,不满足,排除;对于B选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15,不满足,排除;对于C选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15,C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0,C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0,C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15,满足;对于D选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15,不满足,排除;故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数,借助中间值比较大小.【解答】解:a=log53=ln 3ln 5,b=log85=ln 5ln 8,c=log138=ln 8ln 13,a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0;c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0;b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述,a<b<45<c,即a<b<c,故选A.11.【答案】B【解析】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a−1有且只有3人进入30秒跳绳决赛,故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,故选:B根据已知中这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,逐一分析四个答案的正误,可得结论.本题考查的知识点是推理与证明,正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程,是解答的关键.12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用,重点考查对新定义的理解,属于难题.【解答】解:A选项中,由题意知p1=1,此时H(X)=−1×log21=0,故A正确;B选项中,由题意知p1+p2=1,且p1∈(0,1),H(X)=−p1log2p1−p2log2p2=−p1log2p1−(1−p1)log2(1−p1),设f(x)=−xlog2x−(1−x)log2(1−x),x∈(0,1)则f′(x)=−log2x−1ln2+log2(1−x)+1ln2=log2(1x−1),当x∈(12,1)时,f′(x)<0,当x∈(0,12)时,f′(x)>0,故当p1∈(0,12)时,H(X)随着p1的增大而增大,当p1∈(12,1)时,H(X)随着p1的增大而减小,故B错误;C 选项中,由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ,故H(X)随着n 的增大而增大,故C 正确.D 选项中,由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j ),H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j ), H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j +log 2p 2m+1−jp 2m+1−j m j=1) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p j p 2m+1−j )p 2m+1−j m j=1>0,故D 错误,故答案为AC .13.【答案】①②③【解析】解:设甲企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t),乙企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =g(t).对于①,在[t 1,t 2]这段时间内,甲企业的污水治理能力为−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1, 乙企业的污水治理能力为−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1.由图可知,f(t 1)−f(t 2)>g(t 1)−g(t 2),∴−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1>−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;对于②,由图可知,f(t)在t 2时刻的切线的斜率小于g(t)在t 2时刻的切线的斜率,但两切线斜率均为负值, ∴在t 2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;对于③,在t 3时刻,甲,乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量,∴在t 3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标,故③正确;对于④,由图可知,甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,在[t 1,t 2]的污水治理能力最强,故④错误.∴正确结论的序号是①②③.故答案为:①②③.由两个企业污水排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案. 本题考查利用数学解决实际生活问题,考查学生的读图视图能力,是中档题.14.【答案】16 29【解析】解:①设第一天售出商品的种类集为A ,第二天售出商品的种类集为B ,第三天售出商品的种类集为C ,如图,则第一天售出但第二天未售出的商品有19−3=16种;②由①知,前两天售出的商品种类为19+13−3=29种,第三天售出但第二天未售出的商品有18−4=14种,当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时,即第三天没有售出前两天的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种.故答案为:①16;②29.①由题意画出图形得答案;②求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天售出的商品最少种数. 本题考查集合的包含关系及其应用,考查了集合中元素的个数判断,考查学生的逻辑思维能力,是中档题. 15.【答案】6 12【解析】解:①设男学生女学生分别为x ,y 人,若教师人数为4,则{x >yy >42×4>x,即4<y <x <8,即x 的最大值为7,y 的最大值为6,即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ,y 人,教师人数为z ,则{x >yy >z 2z >x,即z <y <x <2z即z 最小为3才能满足条件,此时x 最小为5,y 最小为4,即该小组人数的最小值为12,故答案为:6,12①设男学生女学生分别为x ,y 人,若教师人数为4,则{x >yy >42×4>x,进而可得答案;②设男学生女学生分别为x,y人,教师人数为z,则{x>yy>z2z>x,进而可得答案;本题考查的知识点是推理和证明,简易逻辑,线性规划,难度中档.16.【答案】①130;②15.【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用,考查化简运算能力,属于中档题.①由题意可得顾客一次购买的总金额,减去x,可得所求值;②在促销活动中,设订单总金额为m元,讨论m的范围,可得(m−x)×80%≥m×70%,解不等式,结合恒成立思想,可得x的最大值.【解答】解:①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,可得60+80=140(元),即有顾客需要支付140−10=130(元);②在促销活动中,设订单总金额为m元,当0<m<120时,显然符合题意;当m≥120时,可得(m−x)×80%≥m×70%,即有x≤m8,可得x≤1208=15,则x的最大值为15元.故答案为:130;15.17.【答案】√3−1;2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质,考查计算能力,属于中档题.根据题意,可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2),代入椭圆方程,求出椭圆的离心率;再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可.【解答】解:椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1,若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,又椭圆的一个焦点为(c,0),可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2),可得:c 24a 2+3c 24b 2=1,可得14e 2+34(1e 2−1)=1,可得e 4−8e 2+4=0,e ∈(0,1), 解得e =√3−1.同时,双曲线的渐近线的斜率为√3,即n m =√3,可得:n 2m 2=3,即m 2+n 2m 2=4,可得双曲线的离心率为√m2+n 2m =2.故答案为:√3−1;2.18.【答案】Q 1;p 2【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象,分析出Q i 和p i 的几何意义,是解答的关键.(1)若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q i =A i +B i ,是A i B i 连线的中点的纵坐标的2倍,进而得到答案.(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率;进而得到答案.【解答】解:(1)设A 1(x A 1,y A 1),B 1(x B 1,y B 1),线段A 1B 1的中点为E(x 1,y 1),则Q 1=y A 1+y B 1=2y 1.因此,要比较Q 1,Q 2,Q 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点纵坐标的大小,作图比较知Q 1最大.(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率,故p 1,p 2,p 3中最大的是p 2.故答案为:Q 1,p 2.19.【答案】2;(−∞,−1)【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的最值,难度中档.①将a =0代入,求出函数的导数,分析函数的单调性,可得当x =−1时,f(x)的最大值为2;②根据y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点,结合f(x)无最大值,可得答案.【解答】解:①若a =0,则f(x)={x 3−3x,x ≤0−2x,x >0,则f′(x)={3x 2−3,x ≤0−2,x >0, 当x <−1时,f′(x)>0,此时函数为增函数,当x >−1时,f′(x)<0,此时函数为减函数,故当x =−1时,f(x)的最大值为2;②对于y =x 3−3x ,可知y′=3x 2−3,令y′=3x 2−3=0得x =±1,当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时,y′>0,函数单调递增;当x ∈(−1,1)时,y′<0,函数单调递减;且易知y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点,坐标为(0,0),(1,−2),(−1,2),若f(x)无最大值,则a <−1,故答案为:2,(−∞,−1).20.【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形,属于中档题.【解答】解:由已知得BD =√2AB =√6,∵D 、E 、F 重合于一点,∴AE =AD =√3,BF =BD =√6,∴ △ACE 中,由余弦定理得,∴CE =CF =1,∴在△BCF 中,由余弦定理得.故答案为.21.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识,属于中档题.【解答】解:对于p1:可设l1与l2,所得平面为α.若l3与l1相交,则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内,故直线AB在平面α内,即l3在平面α内,故p1为真命题.对于p2:过空间中任意三点,若三点共线,可形成无数个平面,故p2为假命题.对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行,相交,异面,故p3为假命题.对于p4:若m⊥α,则m垂直于平面α内的所有直线,故m⊥l,故p4为真命题.综上可知,p1∧p4为真命题,¬p2∨p3为真命题,¬p3∨¬p4为真命题.故答案为①③④.22.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识,属于中档题.根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性;通过函数图象关于直线对称可得等量关系,进而检验等式是否成立即可;特殊值法可判断出函数的最值.【解答】解:根据题意,易得函数定义域关于原点对称,f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sinx+1sinx)=−f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故①错误,②正确;若函数f(x)关于直线x=π2对称,则有f(π2−x)=f(π2+x),即sin(π2−x)+1sin(π2−x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x),通过化简可得等式成立.故③正确;当x=−π2时,f(−π2)=−2<2,故④错误.故答案为②③.23.【答案】16 132 【解析】【分析】 本题考查了向量在几何中的应用,考查了向量的共线和向量的数量积,以及二次函数的性质,属于中档题. 以B 为原点,以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系,根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标,即可求出λ的值,再设出点M ,N 的坐标,根据向量的数量积可得关于x 的二次函数,根据二次函数的性质即可求出最小值.【解答】解:以B 为原点,以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系,∵∠B =60°,AB =3,∴A(32,3√32), ∵BC =6,∴C(6,0),∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD//BC ,设D(x 0,3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32,解得x 0=52, ∴D(52,3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=16,∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设M(x,0),则N(x +1,0),其中0≤x ≤5,∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32), ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132,当x =2时取得最小值,最小值为132,第21页,共21页 故答案为:16,132. 24.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式,等差数列的求和公式以及数列的递推关系,属较难题. 对n 取偶数,再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和,对n 取奇数时,利用累加法求得a n+2的值,用其表示出前16项和可得答案.【解答】解:因为a n+2+(−1)n a n =3n −1,当n =2,6,10,14时,a 2+a 4=5,a 6+a 8=17, a 10+a 12=29,a 14+a 16=41因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=540−(5+17+29+41), 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448,当n 为奇数时,a n+2−a n =3n −1,所以a 3−a 1=2,a 5−a 3=8,a 7−a 5=14⋯a n+2−a n =3n −1,累加得a n+2−a 1=2+8+14+⋯3n −1=(2+3n−1)⋅n+122,∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a 1,∴a 3=2+a 1,a 5=10+a 1,a 7=24+a 1,a 9=44+a 1,a 11=70+a 1,a 13=102+a 1, a 15=140+a 1,因为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448,所以8a 1+392=448,所以a 1=7. 故答案为7.。
2020届上海市高三高考压轴考试卷数学试卷及解析

2020届上海市高三高考压轴考试卷数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分.1.若集合{}|A x y x R ==∈,{}|1,B x x x R =≤∈,则A B =________.【答案】{}1【解析】求出A 中x 的范围确定出A ,求出B 中不等式的解集确定出B ,找出两集合的交集即可.【详解】解:由A中y =10x -,解得:1x ,即{|1}A x x ,由B 中不等式变形得:11x -,即{|11}B x x =-,则{1}A B ⋂=,故答案为:{1}.2.函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解.【详解】因为()lg 2cos 21y x =-,所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩, 所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩,- 2 - 所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩, 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为:553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 3.已知i 为虚数单位,复数z 满足11z i z-=+,则z ________. 【答案】1【解析】 利用复数的四则运算求出z ,再求其模.【详解】因为11z i z-=+,所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-,则||1z ==. 故答案为:1.4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,都有01011012n n a n S -=-,则1a =___【答案】1-【解析】利用行列式定义,得到n a 与n S 的关系,赋值1n =,即可求出结果.【详解】由011101011(2)1021212nn n n n na a a S n n S n n S -=-=++=---,令1n =, 得11(2)10a a ++=,解得11a =-.5.从总体中抽取6个样本:4,5,6,10,7,4,则总体方差的点估计值为________.【答案】133【解析】先算出6个样本数据的平均数,然后再利用方差公式计算即可.【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==,所以方差。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (9)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.过点(12)A ,的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为() A .10x y -+=B .30x y +-=C .20x y -=或+30x y -=D .20x y -=或10x y -+=2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .-10B .6C .14D .183.我国的刺绣有着悠久的历史,如图,(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含()f n 个小正方形,则()f n 的表达式为()A .()21f n n =-B .2()2f n n =C .2()22f n n n =-D .2()221f n n n =-+4.将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有( ) A .30种B .90种C .180种D .270种5.如果复数z 满足21z i -=,i 为虚数单位,那么1z i ++的最小值是() A .101- B .21-C .101+D .21+6.若二面角为56π,直线m α⊥,直线n β⊂,则直线,m n 所成角的取值范围是() A .(0,)2πB .[,]62ππC .[,]32ππD .[,]63ππ7.已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +=>⎧⎨⎩≤,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是()A .4B .3C .2D .18.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当nS 取最大值时n 为() A .11B .12C .11或13D .12或139.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=(1+cos 22n π)a n +sin 22n π,则该数列的前10项和为( ) A .2101 B .1067 C .1012D .201210.已知()10a a +≠,若函数()()2log 1f x ax =-在()3,2--上为减函数,且函数()14,21log ,2xax g x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩在R 上有最大值,则a 的取值范围为()A.122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B .11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.10,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭ 11.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=r r r r r r 点Q满足)OQ a b =+u u u r rr .曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤u u u r rr ,区域{0,}P r PQ R r R Ω=≤≤<u u u r .若C ⋂Ω为两段分离的曲线,则()A .13r R <<<B .13r R <<≤C .13r R ≤<<D .13r R <<<12.若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012},则N 中元素的个数为 A .9 B .6C .4D .2二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (3)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ,点()11,P x y ,()1,l Q x y --在椭圆C 上,其中1>0x ,10y >,若2||2PQ OF =,113||3QF PF ≥,则椭圆C 的离心率的取值范围为()A .610,2⎛⎤⎥⎝⎦B .62]C .231]2- D .31]2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为A .1B .2C .3D .43.对于一个数的三次方,我们可以分解为若干个数字的和如下所示:33331123537911413151719==+=++=+++…,根据上述规律,317的分解式中,等号右边的所有数的个位数之和为( ) A .71B .75C .83D .884.设i 是虚数单位,若复数()103a a R i-∈-是纯虚数,则a 的值为() A .-3B .-1C .1D .35.在四面体ABCD 中,BCD ∆为等边三角形,2ADB π∠=,二面角B AD C --的大小为α,则α的取值范围是()A .0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B .0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C .0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D .0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦6.设函数()222f x ax x =-+,对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >,则实数a 的取值范围为() A .1a ≥B .112a << C .12a ≥D .12a >7.如图所示,隔河可以看到对岸两目标A ,B ,但不能到达,现在岸边取相距4km 的C ,D 两点,测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°(A ,B ,C ,D 在同一平面内),则两目标A ,B 间的距离为()km.A .85B .415C .215D .258.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为() A .15B .16C .17D .189.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=,当()201,x f x x ≤≤=,若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点,则实数a 的值是()A .0B .0或12-C .14-或12-D .0或14-10.如图,在四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD DC ⊥.若,AB a AD b ==u u u v u u u v v v ,则AC BD ⋅u u u v u u u v=()A .22a b -vvB .22b a -v vC .22a b +v vD .a b ⋅v v11.设U 为全集,M ,P 是U 的两个子集,且P P M C U =I )(,则=P M I A .MB .PC .P C UD .φ12.如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )A .120种B .240种C .144种D .288种二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

专题与球有关的外接与内切问题二.方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时,注意球心到各面的距离相等即球的半径,求球的半径时,可用球心与多面体的各顶点连接,球的半径为分成的小棱锥的高,用体积来求球的半径. 三.解题策略类型一 构造法(补形法)【例1】已知,,,S A B C 是球O 上的点SA ABC ⊥平面, AB BC ⊥, 1SA AB ==, 2BC =,则球O 的表面积等于________________. 【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为A .B .C .D .2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为( ) A .B .C .D .类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( ) A .814π B .16π C .9π D .274π【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ,A ,B ,C ,其中O ,A ,B ,C 四点共面,△ABC 是边长为2的正三角形,平面SAB ⊥平面ABC ,则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) A .33B . 3C .2 3D .4 2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为,则正四面体ABCD 的外接球的体积为3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中,,点在棱上,且.正三棱锥的外接球为球,过点作球的截面,截球所得截面面积的最小值为__________.类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱111ABC A B C −的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒, 则此球的表面积等于 . 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上,,,若球的表面积为,则这个直三棱柱的体积是( ) A .16 B .15 C .D .2、已知三棱柱111ABC A B C −的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==,,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为( )A .3172 B .210C .132D .3103、 正四棱柱1111ABCD A B C D −的各顶点都在半径为R 的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 . 四.强化训练 一、选择题1、《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,底面边长分别为2和4,该“阳马”的体积为,若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A .B .C .D . 2.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中,平面,M 是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥的外接球的表面积是( )A . B .C .D .3.【广东省深圳市2019届高三第一次(2月)调研】已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个定点,,,P 为球O 的球面上的动点,记三棱锥p 一ABC 的体积为,三棱銋O 一ABC 的体积为,若的最大值为3,则球O 的表面积为 A .B .C .D .4.【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是()A.B.C.D.5.【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点,,,在同一个球面上,,,若球的表面积为,则四面体体积的最大值为A.B.C.D.6.三棱锥P—ABC中,底面ABC满足BA=BC,,点P在底面ABC的射影为AC的中点,且该三棱锥的体积为,当其外接球的表面积最小时,P到底面ABC的距离为()A.3 B.C.D.7.【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,EF,AF折成一个三棱锥P-AEF(使B,C,D重合于P),三棱锥P-AEF的外接球表面积为()A.B.C.D.8.【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知平面,四边形为正方形,,,若鳖臑的外接球的体积为,则阳马的外接球的表面积等于A.B.C.D.二、填空题9.【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为__________.10.【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上,底面是正三角形且和球心O在同一平面内,若此三棱锥的最大体积为,则球O的表面积等于_____.11.【陕西省榆林市2019届三模】如图,是边长为2的正方形,其对角线与交于点,将正方形沿对角线折叠,使点所对应点为,.设三棱锥的外接球的体积为,三棱锥的体积为,则__________.12.【云南省2019届高三第一次检测】已知,,,,是球的球面上的五个点,四边形为梯形,,,,,,平面平面,则球的表面积为_____.13.【陕西省汉中市2019届高三第二次检测】三棱锥中,侧棱与底面垂直,,,且,则三棱锥的外接球的表面积等于__________.14.【山西省吕梁市2019年4月模拟】在四棱锥中,是等边三角形,底面是矩形,平面平面,若,则四棱锥的外接球的表面积是_____.15.【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测(一模)】已知是球表面上四点,点为的中点,且,,,,则球的表面积是__________.16.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期一模】在三棱锥中,是等边三角形,底面,,,则该三棱锥的外接球的表面积为______.。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (2)

1
对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则()
A.乙、丁可以知道自己的成绩
B.乙可以知道四人的成绩
3.一条光线从点 2, 3 射出,经 y 轴反射后与圆 x 32 y 22 1相切,则反射光线所在
直线的斜率为()
A. 5 或 3 35
3k 2 2k 3
∴圆心(﹣3,2)到直线的距离 d
1,
k2 1
化为 24k2+50k+24=0,
∴k 4 ,或 k 3 .
3
4
故选:D.
【点睛】
本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称
点,考查了计算能力,属于中档题.
4.A
解析:A 【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系,写出点坐标 B0,0,0 , A0,2,0 , C 2 3,0,0 , P0,2,2 ,分别计算
即可求值. 【详解】 建立空间直角坐标系如图:
8
由题意可得 B0,0,0 , A0,2,0 , C 2 3,0,0 , P0,2,2 , 所以 PC 2 3, 2, 2 , BP 0, 2, 2 .
352,325,523,532,307,370,703,730,406,460,604,640,共 40 个,
(2)有重复数字:118,181,811,226,262,622,334,343,433,442,424,244,
550,505,共 14 个.
7
故选: A. 【点睛】 本题考查分类计数原理的应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意不重不漏. 5.A 解析:A 【解析】 【分析】 由于 z 满足条件| z | 1的复数 z 对应点都在以原点 O 为圆心的单位圆上,而| z 2 2 i | 表示复 数 z 对应点与复数 2 2 i 对应点 M 间的距离,求得| OM | 的值,再加上半径 1,即为所求. 【详解】 由于 z 满足条件| z | 1的复数 z 对应点都在以原点 O 为圆心的单位圆上, 而| z 2 2 i | 表示复数 z 对应点与复数 2 2 i 对应点 M 间的距离, 再由| OM | 8 1 3 ,可得| z 2 2 i | 的最大值为| OM | 1 4 . 故选:A. 【点睛】 本题考查两个复数差的绝对值的几何意义,复数与复平面内对应点之间的关系,,考查函数 与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 6.C 解析:C 【解析】 【分析】
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(理科)(含解析)

1.已知集合 A = {x (x +1)(x − 4) ≤ 0}, B = {x log2 x ≤ 2} ,则 A ∩ B = ( )
A. [− 2 , 4 ]
B. [1,+∞)
C. (0,4]
D.[−2, +∞)
2.若复数 z 满足 z(1−i)2 = i (i 是虚数单位),则 z 为( )
b = 2×1 = 2
成 a < b 不 立
n =1+1= 2
a = 9 + 1 × 9 = 27 2 22 4
b = 2×2 = 4
成 a < b 不 立
n = 2+1= 3
a = 27 + 1 × 27 = 81 4 24 8
b = 2×4 =8
成 a < b 不 立
n = 3+1= 4
8 / 18
x≥ 0,
14.已知
,x y
满足Βιβλιοθήκη x+y
≥
4,若
x
+
2
y
的最小值为_________.
≤ x − 2 y 1.
.D [−1, 1] 3
15.已知 线 与 有 的 , 是两 抛物
y2 = 2 px( p > 0)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
相同 焦点 F
P
曲
线的公共点,若
PF
=
5
,则此 的 为 . p
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)语文 含答案

2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)语文注意事项:1.本卷满分150分,考试时间150分钟。
答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1~3题。
让文化热情涵养更多经典石羚近几年我国话剧市场爆款频频,但“爆点”不一。
去年《窝头会馆》的抢票热潮,热在明星大腕齐聚一堂;《哈姆雷特》因文学名著的号召力而票房飘红;而今年《荼馆》开票的场景又火爆异常,则归功于北京人艺这块金字招牌。
“排队”现象是观察公众文化生活的有趣切面,而那些被争相抢购的文化产品,最能折射时代的需求。
1956年在南京,观众为了一睹梅兰芳的风采,带着铺盖卷买票;1986年在北京,歌迷排队花半个月工资只为听一场搖滚演唱会。
而今天,文化消费方式更加多元,资源获取更为便利,但人们对髙质量文化产品的热情始终如一。
从“故宫跑”到“通宵等”,从“大英博物馆百物展”开启夜场到“妇好墓展”预约全满,为文化排队日益成为常态。
化解“一票难求”的尴尬,一味增加场次并不现实。
毕竟,观看者数不胜数,而老戏骨精力有限,经典数目也有限。
长远来看,戏台上不能只有《茶馆》和《雷雨》,音乐会不能只听莫扎特和贝多芬,用匠心浇灌更多的重量级作品,是文艺工作者的使命。
与工业品不同,文化产品的供给不能毕其功于一朝一夕。
经典化的过程、演员的成长,与喝茶一样得慢慢“泡”。
这就需要观众多一份耐心,多一份理解,不放过佳作的成熟老到,也不妨看看新作的崭露头角,说不定你我当下相遇的,就是未来的经典。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (12)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左,右焦点分别为1F ,2F ,点A 为双曲线右支上一点,线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥,且1213BF AF =,则该双曲线的离心率为() A 2B 65C 35D .32.已知函数2()f x x ax =+的图象在12x =处的切线与直线20x y +=垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的k 的值为15,则判断框中t 的值可以为()A .1314B .1415C .1516D .16173.下面使用类比推理正确的是( )A .直线,a b b c ∕∕∕∕,则a c ∕∕,类推出:向量,a b b c r r v P v P ,则a c v v∕∕B .同一平面内,直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥,则a b ∕∕.类推出:空间中,直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥,则a b ∕∕C .实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥D .以点()0,0为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点()0,0,0为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=4.已知数据1,2,3,4,(05)x x <<的平均数与中位数相等,从这5个数中任取2个,则这2个数字之积大于5的概率为() A .25B .12 C .35D .7105.设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又复数z 对应的点为Z ,(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()(1)()f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ,A ,B 三点为顶点的图形是() A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰三角形6.已知一个三棱锥的三视图如下图所示,其中俯视图是顶角为23π的等腰三角形,则该三棱锥外接球的表面积为()A .20πB .16πC .8πD .17π7.设0.1log 2a =,30log 2b =,则() A .42()3ab a b ab >+> B .42()3ab a b ab <+< C .23()4ab a b ab <+<D .23()4ab a b ab >+>8.已知某数列的前n 项和3nn S a =-(a 为非零实数),则此数列为()A .等比数列B .从第二项起成等比数列C .当1a ≠时为等比数列D .从第二项起的等比数列或等差数列9.已知角,αβ的顶点都为坐标原点,始边都与x 轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,,αβ终边上分别有点(1,)A a ,(2,)B b ,且2αβ=,则1b a +的最小值为()A .1B .2C .3D .210.设函数()()ln R xf x x a a x=+-∈,若曲线122(1x xe y e e +=+是自然对数的底数)上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =,则a 的取值范围是()A .(],0-∞B .(]0,eC .1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .[)0,+∞11.记{},,max ,,a a b a b b a b ,≥⎧=⎨<⎩已知向量a r ,b r ,c r满足1a =r ,2b =r ,0⋅=a b ,(,0c a b λμλμ=+≥r r且1)λμ+=,则当{}max ,c a c b r r r r ⋅⋅取最小值时,c r =() A .25B .223C .1D .5 12.若,,定义,则A .B .C .D .二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
(金考卷)2020年普通高中招生全国统一考试临考真题预测押题密卷(参考答案

2020年普通高中招生全国统一考试临考预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科综合AB)
2020年普通高中招生全国统一考试临考预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科综合AB)
2020年普通高中招生全国统一考试临考预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科综合AB)
2020年普通高中招生全国统一考试临考预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科综合AB)
2020年普通高中招生全国统一考试临考预测押题密卷(含语文、数学、英语、理科综合AB)
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压轴卷强化测试卷一、选择题(共12小题)1..已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ,B 两点,焦点F (0,-c ),其中c 为半焦距,若△ABF是直角三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.2B.2CD.142.已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩,若函数()y f x ax b =--恰有三个零点,则( ) A .1,0ab <-<B .1,0a b <->C .1,0a b >-<D .1,0a b >->3.在数学中,泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数,包括正弦,余弦,正切三角函数等等,其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒(Sir Brook Taylor )的名字来命名的.1715年,泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数,这就是后来被人们所熟知的泰勒级数,并建立了如下指数函数公式:01230!0!1!2!3!!n nxn x x x x x x e n n ∞===+++++∑L ,其中x ∈R ,*n N ∈,!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ,例如:0!1=,1!1=,2!2=,3!6=.试用上述公式估计12e 的近似值为(精确到0.001)( )A .1.601B .1.642C .1.648D .1.6474.在ABC V 中,2||4AC AB AB BC ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r,若点P 满足4PA PC ⋅=u u u r u u u r ,则PB u u u r 的取值范围( )A.B.[3-+ C.[0,D.[0,5.设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且()f x 的图像是连续不间断,,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭,有()()cos sin 0f x x f x x '+<,若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭,则m 的取值范围是( )A .,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知数列{}n a 满足:11a =,()*12n n n a a n N a +=∈+.设()()*1121n n b n n N a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭,215b λλ=-,且数列{}n b是单调递增数列,则实数λ的取值范围是A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-1,3/2)D.(-3/2,1)7.F 为抛物线24x y =的焦点,过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,1l ,2l 分别是该抛物线在A ,B 两点处的切线,1l ,2l 相交于点C ,则||CF =( )B.4/3C.5/3D.1 8.ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,M 在边AB 上,且13AM AB =,2b =,CM =,2sin sin sin 2A B cB b -=,则ABC S ∆=( ) A.4BC.D.39.已知函数()1xf x xe -=,若对于任意的0(0,]x e ∈,函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,]eB .2(,]e e e-C .22(,]e e e e-+ D .2(1,]e e-10..定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数,已知在区间上, ,则( );( )A.0;1B.1;2C.2;3D.3;411.已知函数231,02()3133,242x x f x x x x -<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩,若关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根,则实数a 的取值范围是( ) A .5(ln 4,6ln 2)2--B .(4ln 3,6ln 2)--C .(1ln 3,4ln 3)+-D .(1ln 3,6ln 2)+-R ()f x 200]2[)(-U ,,(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧=⎨-<⎩„„()2020f =b =12.已知以区间上的整数为分子,以为分母的数组成集合,其所有元素的和为;以区间上的整数为分子,以为分母组成不属于集合的数组成集合,其所有元素的和为;……依此类推以区间上的整数为分子,以为分母组成不属于,…的数组成集合,其所有元素的和为,若数列前项和为,则( )A.22017B.122017+ C.22018D.122018+二、填空题(共4小题)13.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线,设切点为M ,延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ,其中1,C 3C 有一个共同的焦点,若10MF MN +=u u u u r u u u u r r,则曲线1C 的离心率为________.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,……,数列的特点是:前两个数均为1,从第三数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,试观察2132a a a -,2243a a a -,2354a a a -,2465a a a -的值,并推测2201820202019a a a -的值为________15.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221x y +≤,若将军从()2,0A 出发,河岸线所在直线方程40x y +-=,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为________16.已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ,则4422191a b a b +++的最小值为________ 三、解答题17.(本小题满分12分)已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足22cos a bB c-=. (1)求角C 的大小; (2)若ABC △,求ABC △的周长的最小值. 18.(本小题满分12分)()0,221A 1a ()20,2221A 2A 2a ()0,2n2n 1A 2A 1n A -n A n a {}n a n n S 20202019S S -=如图,在四棱锥P ABCD -中,PAB △是等边三角形,BC ⊥AB ,23BC CD ==,2AB AD ==. (1)若3PB BE =,求证:AE ∥平面PCD ; (2)若4PC =,求二面角A PC B --的正弦值.19.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =, 椭圆的左焦点为1F ,短轴的两个顶点分别为1B 、2B ,且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r .(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM 、AN ,且0AM AN ⋅=uuu r uuu r,求证:直线MN 与x 轴的交点为定点.20.己知函数()2cos x f x e x x =--. (1)当(,0)x ∈-∞时,求证:()0f x >;(2)若函数()()1(1)g x f x n x =++,求证:函数()g x 存在极小值.21.手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i )若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A 级;(ii )若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B 级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C 级;(iii )若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13,且各手工艺品质量是否过关相互独立. (1)求一件手工艺品质量为B 级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D 级不能外销,利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件; ②记1件手工艺品的利润为X 元,求X 的分布列与期望.22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23.已知()|||2|f x x x =+-.(1)求不等式|4|()x f x x>的解集; (2)若()f x 的最小值为M ,且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ,求证:22249a b c ++≥.压轴卷强化测试卷答案解析一、选择题1-12.DCCBDCABDADC1.【解析】圆的标准方程为()22416x y -+=,圆心坐标为()4,0,半径为4.设直线PQ 的方程为4x my =+,设点()11,P x y 、()22,Q x y ,将直线PQ 的方程与抛物线C 的方程联立2416x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x 得216640y my --=,所以,1264y y =-,所以,()()()2221212226444161616y y PM QN PF QF x x -⋅=--====,由基本不等式得132PM QN +≥==,当且仅当4PM QN ==时,等号成立,因此,13PM QN +2.【解析】当0x <时,()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=,得1bx a=-;()y f x ax b =--最多一个零点;当0x …时,32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-, 2(1)y x a x =+-',当10a +„,即1a -„时,0y '…,()y f x ax b =--在[0,)+∞上递增,()y f x ax b =--最多一个零点.不合题意;当10a +>,即1a >-时,令0y '>得[1x a ∈+,)+∞,函数递增,令0y '<得[0x ∈,1)a +,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点,在[0,)+∞上有2个零点,如图:∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩, 解得0b <,10a ->,310(116,)b a a >>-+∴>-. 3.【解析】由题意,只需要精确到0.001即可,令0.5,4x n ==,代入可得,()012340.500.50.50.50.50.50.5 1.648434 1.6484!0!1!2!3!4!nn e∞===++++=≈∑, 所以12e 的近似值为1.648,4.【解析】根据2||4AB BC ==u u u r u u u r可得2,||4AB BC ==u u u r u u u r ,又()20AC AB AB AB AC AB ⋅=⇒⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 化简得0AB BC ⋅=u u u r u u u r,即90B =︒.故建立以B 为坐标原点,BA u u u r 为x 轴正向, BC u u u r为y 轴正向的直角坐标系.设(),P x y ,因为4PA PC ⋅=u u u r u u u r ,则()()2,,44x y x y --⋅--=,化简得()()22129x y -+-=. 即P 的轨迹是以()1,2D 为圆心,3为半径的圆.又BD ==.故PB u u u r的取值范围为[3-+.故选:B5.【解析】令()()cos f x g x x=,则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭,有()()cos sin 0f x x f x x '+<,∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0g x '<,则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()fx 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数,∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--, 则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<, 即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭,∴3m π>,又22m ππ-<<,∴32m ππ<<.6.∵数列{}n a 满足:11a =,()*12nn n a a n N a +=∈+. ∴1121n n a a +=+,化为11112(1)n na a ++=+, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,首项为1112a +=,公比为2,∴112n na +=, ∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅⎪⎝⎭, ∵215b λλ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,∴21b b >,∴()21225λλλ-⋅>-,解得12λ-<<;再由21n n b b ++>,可得12n λ<+,对于任意的*n N ∈恒成立,∴32λ<. 综上得312λ-<<. 7.【解析】易得()0,1F ,又直线l 倾斜角为150︒,故直线l 的方程为:1tan150y x -=︒即x =设()()1122,,,A x y B x y ,不妨设12x x <,数形结合可知此时12y y >.联立22310304x y y y x ⎧=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,解得1213,3y y ==.代入x =123x x =-=故()1,3A B ⎫-⎪⎪⎝⎭.又24x y =,'2x y =,故在()A -处的切线方程为33y x y -=+⇒=-.在13B ⎫⎪⎪⎝⎭处的切线方程为1133y x y x -=-⇒=-⎝⎭.联立313y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得13C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故443303CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝⎭u u u r u u u r.||CF =. 8.【解析】ABC ∆中,2sin sin sin 2A B cB b-=, ∴2sin sin sin sin 2sin A B CB B-=,∴2sin cos 2sin sin C B A B =-,∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-, ∴1cos 2C =, 又()0,C π∈, ∴60C =︒;又13AM AB =u u u u r u u u r ,∴()1133CM CA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133CA CB =+u uu r u u u r ,∴32CM CA CB =+u u u u r u u u r u u u r ,∴222944CM CA CB CA CB =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r; ∴228164a a =++,解得2a =或6a =-(不合题意,舍去),∴ABC ∆的面积为122sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒=9.【解析】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点,等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-,所以当()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 是增函数;当()1,x e ∈时,()0f x '<,()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++,2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-,若()0F x '=在()0,e 无解,则()F x 在(0,]e 上是单调函数,不合题意;所以()0F x '=在()0,e 有解,且易知只能有一个解.设其解为1x ,当()10,x x ∈时()0F x '>,()F x 在()10,x 上是增函数; 当()1,x x e ∈时()0F x '<,()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈,方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根,所以()()1max 1F x F x =>,且()0F e ≤.由()0F e ≤,即2ln 10e e ae -++≤,解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>,即2111ln 11x x ax -++>,所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=,所以1112a x x =-,代入2111ln 0x x ax -+>,得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-,()120m x x x'=+>,所以()m x 在()0,e 上是增函数, 而()1ln1110m =+-=,由211ln 10x x +->可得()()11m x m >,得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数,得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-, 10.【解析】∵定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数, ∴,解得,R ()f x ()()00f f --=()00f =∵是周期为4的周期函数, ∴,∵周期为4的周期函数, ∴, ∴, ∴,∵定义在上的奇函数, ∴, ∴,∵在区间上,,∴, 解得,. 故答案为:0,1.11.【解析】关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根等价于()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点,作出于()y f x =与y ln 1x a =+- 的图象,如图所示:()f x ()20200f =()f x ()()4f x f x +=()()422f f --=()()22f f -=R ()f x ()()()222f f f --==()()220f f -==200]2[)(-U ,,(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧⎨-<⎩=„„21020a ab -=⎧⎨-+=⎩12a =1b=当y ln 1x a =+-经过A 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭时,13a ln =+,直线AB 与y ln 1x a =+-的图象相切于A 点,此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点,当y ln 1x a =+-经过B ()2,5时,62a ln =-,,此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点,观察图象不难发现,()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点, a ()1ln3,6ln2∈+- 12.【解析】据题意,得,,,…,,∴, ∴, ∴.二、填空题13.【解析】如图所示:设双曲线的右焦点为2F ,则2F 的坐标为(),0c ,112a =21222221312322222a a ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭()33213331221222a a a ⎛⎫-=++⋅⋅⋅+-+ ⎪⎝⎭()()12112212222n n n n n n a a a a n -⎛⎫-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++≥ ⎪⎝⎭1231221222n n n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+212n -=123212n n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+=202020192018202020192121222S S ---=-=因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点, 所以24y cx =,因为O 为12F F 的中点,M 为1F N 的中点, 所以OM 为12NF F ∆的中位线, 所以2//OM NF ,因为OM a =,所以22NF a = 又21NF NF ⊥,22,FF c = 所以12NF b =.设(),N x y ,则由抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-,过1F 点作x 轴的垂线,点(),N x y 到该垂线的距离为2NA a =, 在1ANF ∆中,由勾股定理即得22244y a b +=, 即()()2224244c a c a c a-+=-,即210e e --=,解得12e +=.故答案为:1214.【解析】213221211a a a =⨯-=-,232241321a a a =⨯-=--,235422531a a a =⨯-=-,452263851a a a -=⨯-=-,2201820202019()1a a a ∴-=-4n …时,由11n n n a a a +-=+,12n n n a a a --=+.222221111121122312()()n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-----------∴-=+-=-=-+=-.222201820202019201620182013724()()1a a a a a a a a a ∴-=-=⋯⋯=-=-.15.【解析】设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b ','2AA bk a =-, AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭,故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =,2b =, 要使从点A 到军营总路程最短,即为点f A 到军营最短的距离, 即为点'A 和圆上的点连线的最小值,为点'A 和圆心的距离减半径, “将军饮马”11=,16.【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+(tan )ba ϕ=ab , 整理得22111a b +=, 则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b=+++=+++=++=≥,当且仅当22229b a a b=且22111a b +=,即2,a b = 所以4422191a b a b+++的最小值为17故答案为:17三、解答题17.【解析】(1)因为22cos a bB c-=,所以2cos 2b c B a +=,(1分) 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=,化简得222a b c ab +-=, 可得222122a b c ab +-=,解得1cos 2C =,(4分)又因为(0,)C ∈π,所以π3C =.(6分)(2)因为1sin 2ABC S ab C ===△6ab =,(8分)则a b +≥(当且仅当a b ==时,取等号).(9分)由(1)得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==(当且仅当a b ==时,取等号),解得c .(11分)所以a b c ++≥a b c ===, 所以ABC △的周长的最小值为(12分)18.【解析】(1)如图,作EF PC ∥,交BC 于F ,连接AF . 因为3PB BE =,所以E 是PB的三等分点,可得BF =. 因为2AB AD ==,BC CD ==,AC AC =,所以ABC ADC △≌△, 因为BC ⊥AB ,所以90ABC ∠=︒,(1分)因为tan AB ACB BC ∠===,所以30ACB ACD ∠=∠=︒,所以60BCD ∠=︒,(2分)因为tan AB AFB BF ∠===60AFB ∠=︒,所以AF CD ∥,(3分) 因为AF ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AF ∥平面PCD .(4分) 又EF PC ∥,EF ⊄平面PCD ,PC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD .(5分)因为AF EF F =I ,AF 、EF ⊂平面AEF ,所以平面AEF ∥平面PCD ,所以AE ∥平面PCD .(6分)(2)因为PAB △是等边三角形,2AB =,所以2PB =.又因为4PC =,BC =,所以222PC PB BC =+,所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ,,AB PB ⊂平面PAB ,AB PB B =I ,所以BC ⊥平面PAB.因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .(7分) 以B 点为坐标原点,分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -,则C ,(0,2,0)A,P ,所以BC =u u u r,BP =u u u r,2,0)AC =-u u u r,(0,AP =-u u u r.(8分) 设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量,则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r m m,即11100y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩, 令11z =-,可得1)=-m .(9分)设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量,则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n,即222220y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩, 令21z =,可得=n .(10分)所以,cos ==m n,则n s ,i ==m n所以二面角A PC B --.(12分) 19.【解析】(1)设()1,0F c -,()10,B b ,()20,B b -,由题意,c a =()()221112,,2F B F B c b c b c b ⋅=⋅-=-=u u u u r u u u u r②又222c a b =-③由①②③得:24a =,21b =,所以椭圆方程为:2214x y +=.(2)证明:由题可知:()0,2A -,直线AM ,AN 斜率存在且不为零,设直线AM 斜率为k ,则直线AN 斜率为1k-, 设直线AM 方程为()2y k x =+,与椭圆方程联立得()222440y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩,得:()222214161640k x k x k +++-=① 方程①的一根为-2,设(),M M M x y ,则22164214M k x k --=+,得222814M k x k -=+,所以()2M M y k x =+,得2414M ky k =+,得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得(将k 换为1k -)得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 则()3222242244202014428281616144MNk k k k k k k k k k k k ++++==-----++()()()2222011611k k k k +=--+2544kk -=-, 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭,令0y =,则()()()2222221612862445454k k k x k k k ----=+=+++()()22646554k k -+==-+. 所以,直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭. 20.【解析】(1)依题意,()2sin xf x e x '=-+, 因为01x e e <=,且sin 10x -…,故()0f x '<, 故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减, 故()(0)0f x f >=.(2)依题意,()2cos ln(1),1xg x e x x x x =--++>-, 令1()()sin 21xh x g x e x x '==++-+,则(0)0h =; 而21()cos (1)xh x e x x '=-++,可知当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '>, 故函数()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()(0)0h x g x g ''=>=; 当(1,0)x ∈-时,函数()h x '单调递增,而(0)1h '=,又91099cos 10001010h e -⎛⎫⎛⎫'-=+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故09,010x ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭,使得()00h x '=,故()0,0x x ∃∈,使得()0h x '>,即函数()h x 单调递增,即()g x '单调递增;故当()0,0x x ∈时,()(0)0g x g ''<=, 故函数()g x 在()0,0x 上单调递减,在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 故当0x =时,函数()g x 有极小值(0)0g =.21.分)则1010720()C ()()2727kk k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <,所以当1k =时,(2)1(1)P P ξξ=>=,即(2)(1)P P ξξ=>=, 由70712020k k -<+得5027k >,所以当2k ≥时,(1)()P k P k ξξ=+<=,所以当2k =时,()P k ξ=最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.(8分)所以X 的分布列为22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程【解析】(1)曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩,消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤,(2分)直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=,即sin cos 60θρθ--=,由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为60x --=.(5分) (2)曲线C 是以(1,0)为圆心,以1为半径的上半圆,(6分)圆心到直线l 的距离减去半径为最小值,所以最小值为751122-=-=,点(2,0)到直线l 的距离最大,所以最大值为4=,(9分)所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4,最小值为52.(10分) 23.【解析】(1)当0x <时,|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-,该不等式恒成立; 当02x <≤时,|4|()x f x x>等价于24>,该不等式不成立; 当2x >时,|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩,解得3x >,(3分)所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .(5分) (2)因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=,当02x ≤≤时取等号,所以2M =,222a b c ++=,(7分) 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立,所以22249a b c ++≥.(10分)。