2020届高三全国高考选择填空压轴题强化测试卷

压轴卷强化测试卷
一、选择题（共12小题）
1..已知椭圆22y a +2
2x b
=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF
是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A
．
2
B
．
2
C
D
．
1
4
2.已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a
b <-<
B ．1,0a b <->
C ．
1,0a b >-<D ．1,0a b >->
3.在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒（Sir Brook Taylor ）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，
并建立了如下指数函数公式：01230!0!1!2!3!!n n
x
n x x x x x x e n n ∞
===+++++
∑L ，其中x ∈R ，*n N ∈，
!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ，例如：0!1=，1!1=，2!2=，3!6=.试用上述公式估计1
2
e 的近似值为（精确到0.001）（ ）
A ．1.601
B ．1.642
C ．1.648
D ．1.647
4.在ABC V 中，2||4AC AB AB BC ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r
，若点P 满足4PA PC ⋅=u u u r u u u r ，则PB u u u r 的取值范围（ ）
A
．
B
．[3-+ C
．[0,
D
．[0,
5.设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，有
()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，则m 的取值范围是（ ）
A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
6.已知数列
{}
n a 满足：
11
a =，
()*
12n n n a a n N a +=
∈+.设()()
*1
121n n b n n N a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭，
215b λλ
=-，且数列{}n b
是单调递增数列，则实数λ的取值范围是
A.(-2,3)
B.(-3,2)
C.(-1,3/2)
D.(-3/2,1)
7.F 为抛物线2
4
x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛
物线在A ，B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，则||CF =( )
B.4/3
C.5/3
D.1 8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且1
3
AM AB =
，2b =
，CM =
，
2sin sin sin 2A B c
B b -=，则AB
C S ∆=（ ） A
．
4
B
C
．D
．
3
9.已知函数()1x
f x xe -=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有
两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e
B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
10..定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数，已知在区间上， ，则( )；( )
A.0;1
B.1;2
C.2;3
D.3;4
11.已知函数231,02()3133
,242x x f x x x x -<≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩
，若关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5
(ln 4,6ln 2)2
--
B ．(4ln 3,6ln 2)--
C ．(1ln 3,4ln 3)+-
D ．(1ln 3,6ln 2)+-
R ()f x 200]2[)(-U ，
，(),20
1,02
ax b x f x ax x +-<⎧=⎨-<⎩„„()2020f ＝b ＝
12.已知以区间上的整数为分子，以为分母的数组成集合，其所有元素的和为；以区间
上的整数为分子，以为分母组成不属于集合的数组成集合，其所有元素的和为；
……依此类推以区间上的整数为分子，以为分母组成不属于，…的数组成集合，其
所有元素的和为，若数列前项和为，则( )
A.
2
2017
B.
1
2
2017
+ C.
2
2018
D.
1
2
2018
+
二、填空题（共4小题）
13.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点1F 作曲线222
2:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长
1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1,C 3C 有一个共同的焦点，若10MF MN +=u u u u r u u u u r r
，则曲线1
C 的离心率为________．
14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，试观察2
132a a a -，2
243a a a -，2
354a a a -，2
465a a a -的值，并推测
2
201820202019a a a -的值为________
15.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为2
2
1x y +≤，若将军从()2,0A 出发，河岸线
所在直线方程40x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为________
16.已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则
4422
191
a b a b +++的最小值为________ 三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a b
B c
-=. （1）求角C 的大小； （2）若ABC △
，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）
()0,221A 1a ()2
0,22
2
1A 2A 2a ()
0,2n
2n 1A 2A 1n A -n A n a {}n a n n S 20202019S S -=
如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，23BC CD ==，2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．
19.已知椭圆C ：()2222
10x y a b a b +=>>的离心率3
e =， 椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个顶点分别为1B ､2B ，
且11122
F B F B ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ､AN ，且0AM AN ⋅=uuu r uuu r
，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点．
20.己知函数()2cos x f x e x x =--. （1）当(,0)x ∈-∞时，求证：()0f x >；
（2）若函数()()1(1)g x f x n x =
++，求证：函数()g x 存在极小值.
21.手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |
x y ϕϕ=+⎧⎨
=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
π
sin()3
6
ρθ-=.
（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．已知()|||2|f x x x =+-.
（1）求不等式|4|
()x f x x
>
的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249
a b c ++≥.
压轴卷强化测试卷答案解析
一、选择题
1-12.DCCBDCABDADC
1.【解析】圆的标准方程为()2
2416x y -+=，圆心坐标为()4,0，半径为4.
设直线PQ 的方程为4x my =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，
将直线PQ 的方程与抛物线C 的方程联立2416x my y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得2
16640y my --=，
所以，1264y y =-，
所以，()()()2
221212226444161616
y y PM QN PF QF x x -⋅=--====，
由基本不等式得
132
PM QN +≥==，当且仅当4PM QN ==时，等号成立，
因此，13PM QN +2.【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b
x a
=
-；()y f x ax b =--最多一个零点；
当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +„，即1a -„时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不
合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，
如图：
∴01b a <-且32
11(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-
+∴>-． 3.【解析】由题意，只需要精确到0.001即可，
令0.5,4x n ==，代入可得，
()
012340.5
00.50.50.50.50.50.5 1.648434 1.6484!
0!1!2!3!4!
n
n e
∞
===++++=≈∑
， 所以1
2e 的近似值为1.648，
4.【解析】根据2||4AB BC ==u u u r u u u r
可得
2,||4AB BC ==u u u r u u u r ,又()
20AC AB AB AB AC AB ⋅=⇒⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 化简得0AB BC ⋅=u u u r u u u r
,即90B =︒.
故建立以B 为坐标原点,BA u u u r 为x 轴正向, BC u u u r
为y 轴正向的直角坐标系.
设(),P x y ,因为4PA PC ⋅=u u u r u u u r ,则()()2,,44x y x y --⋅--=,化简得()()22
129x y -+-=. 即P 的轨迹是以()1,2D 为圆心,3为半径的圆.
又BD ==.故PB u u u r
的取值范围为
[3-+.
故选：B
5.【解析】令()()cos f x g x x
=
，则()()()2
cos sin cos f x x f x x
g x x
+''=
.
因为,02x π⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，
∴当,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减
.
又()f
x 是定义域在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x
--==-=--， 则()()
cosx
f x
g x =
也是,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.
又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于
()3cos cos 3
f f m m ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭<， 即()3g m g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，∴3m π>，
又2
2
m π
π
-<<
，
∴
3
2
m π
π
<<
.
6.∵数列{}n a 满足：11a =，()*12
n
n n a a n N a +=
∈+. ∴1121n n a a +=+，化为111
12(1)n n
a a ++=+， ∴数列11n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是等比数列，首项为1
112a +=，公比为2，
∴1
12n n
a +=， ∴()()112122n n n
b n n a λλ+⎛⎫
=-+=-⋅
⎪⎝⎭
， ∵2
15b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，
∴21b b >，∴()2
1225λλλ-⋅>-，解得12λ-<<；
再由21n n b b ++>，可得12n λ<+，对于任意的*n N ∈恒成立，∴32
λ<. 综上得3
12
λ-<<
. 7.【解析】易得()0,1F ,又直线l 倾斜角为150︒,故直线l 的方程为：1tan150y x -=︒
即x =设()()1122,,,A x y B x y ,不妨设12x x <,数形结合可知此时12y y >.
联立22310304x y y y x ⎧=⎪⇒-+=⎨
⎪=⎩
,解得121
3,3y y ==.
代入x =
123x x =-=
故(
)
1,3A B ⎫-⎪⎪⎝⎭
.又24x y =,'2x y =,
故在()A -
处的切线方程为
33y x y -=+⇒=-.
在13B ⎫⎪⎪⎝⎭
处的切线方程为11
33y x y x -=-⇒=-⎝⎭.
联立3
13y y x ⎧=-⎪
⎨=-⎪⎩
可得13C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.
故443303CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝⎭u u u r u u u r
.
||CF =. 8.【解析】ABC ∆中，
2sin sin sin 2A B c
B b
-=， ∴2sin sin sin sin 2sin A B C
B B
-=，
∴2sin cos 2sin sin C B A B =-，
∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-， ∴1
cos 2
C =
， 又()0,C π∈， ∴60C =︒；
又13AM AB =u u u u r u u u r ，
∴()
1133CM CA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
CA CB =+u u
u r u u u r ，
∴32CM CA CB =+u u u u r u u u r u u u r ，
∴222944CM CA CB CA CB =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
； ∴228164a a =++，
解得2a =或6a =-（不合题意，舍去），
∴ABC ∆的面积
为1
22sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒=9.【解析】函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121
()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '
=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且
易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-
， 10.【解析】∵定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数， ∴，解得，
R ()f x ()()00f f --＝()00f ＝
∵是周期为4的周期函数， ∴，
∵周期为4的周期函数， ∴， ∴， ∴，
∵定义在上的奇函数， ∴， ∴，
∵在区间上，，
∴， 解得，. 故答案为：0，1.
11.【解析】关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根等价于()y f x =的图象与
y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点，
作出于()y f x =与y ln 1x a =+- 的图象，如图所示：
()f x ()20200f ＝()f x ()()4f x f x +＝()()422f f --＝()()22f f -＝R ()f x ()()()222f f f --＝＝()()220f f -＝＝200]2[)(-U ，，(),20
1,02ax b x f x ax x +-<⎧⎨-<⎩＝„„210
20
a a
b -=⎧⎨-+=⎩12
a ＝1b
＝
当y ln 1x a =+-经过A 1
,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，13a ln =+，直线AB 与y ln 1x a =+-的图象相切于A 点，此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点，
当y ln 1x a =+-经过B ()2,5时，62a ln =-，,此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点，
观察图象不难发现，()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点， a ()1ln3,6ln2∈+- 12.【解析】据题意,得,,
,
…,
,
∴, ∴, ∴.
二、填空题
13.【解析】如图所示：
设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ，
11
2
a =
21222221312322222a a ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭()3321333122122
2a a a ⎛⎫
-=++⋅⋅⋅+-+ ⎪⎝⎭()()12112212222n n n n n n a a a a n -⎛⎫
-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++≥ ⎪⎝⎭1231221222n n n n n
a a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+21
2
n -=12321
2
n n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+=20202019201820202019
2121222
S S ---=-
=
因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点， 所以2
4y cx =，
因为O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点， 所以OM 为12NF F ∆的中位线， 所以2//OM NF ，
因为OM a =，所以22NF a = 又21NF NF ⊥，22,FF c = 所以12NF b =.设(),N x y ，
则由抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，
过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2NA a =， 在1ANF ∆中，由勾股定理即得2
2
2
44y a b +=， 即()(
)2
2
2
4244c a c a c a
-+=-，
即210e e --=，
解得1
2e +=
.
故答案为：
1
2
14.【解析】213221211a a a =⨯-=-，232241321a a a =⨯-=--，23542
2531a a a =⨯-=-，
4522
63851a a a -=⨯-=-,
2201820202019()1a a a ∴-=-
4n …时，由11n n n a a a +-=+，12n n n a a a --=+．
222221111121122312()()n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-----------∴-=+-=-=-+=-．
222201820202019201620182013724()()1a a a a a a a a a ∴-=-=⋯⋯=-=-．
15.【解析】设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2
AA b
k a =
-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫
⎪⎝⎭，故12242
2b a a b ⎧
=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”
11=，
16.【解析】()sin cos f x a x b x =
+)x ϕ=+(tan )b
a ϕ=
ab ， 整理得
22
111a b +=， 则4422191a b a b ++
+222222
22222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b
=+++=+++=++=≥，
当且仅当22
229b a a b
=且
22111a b +=
，即2,a b = 所以4422191
a b a b
+++的最小值为17
故答案为：17
三、解答题
17.【解析】
（1）因为22cos a b
B c
-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222
222a c b b c a ac
+-+⋅
=，化简得222a b c ab +-=， 可得2221
22a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）
又因为(0,)C ∈π，所以π
3
C =
.（6分）
（2
）因为1sin 2ABC S ab C ===
△6ab =，（8分）
则a b +≥
（当且仅当a b ==时，取等号）.（9分）
由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==
（当且仅当a b ==时，取等号），
解得c .（11分）
所以a b c ++≥
a b c ===， 所以ABC △
的周长的最小值为（12分）
18.【解析】
（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB
的三等分点，可得BF =
. 因为2AB AD ==
，BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）
因为tan AB ACB BC ∠=
==，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分）
因为tan AB AFB BF ∠=
==60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，（3分） 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .（4分） 又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（5分）
因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .（6分）
（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.
又因为4PC =
，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB
.
因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .（7分） 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，
则C ，(0,2,0)A
，P ，
所以BC =u u u r
，BP =u u u r
，2,0)AC =-u u u r
，(0,AP =-u u u r
.（8分） 设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则0
0BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r
u u u r m m
，即11100
y ⎧=+=⎪⎨
⎪⎩， 令11z =-
，可得1)=-m .（9分）
设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r
u u u r n n
，即222220
y y -=-+=⎧⎪⎨
⎪⎩， 令21z =
，可得=n .（10分）
所以,cos =
=
m n
，则n s ,i ==m n
所以二面角A PC B --
.（12分） 19.【解析】
（1）设()1,0F c -，()10,B b ，()20,B b -
，由题意，c a =
()()221112,,2F B F B c b c b c b ⋅=⋅-=-=u u u u r u u u u r
②
又222c a b =-③
由①②③得：2
4a =，2
1b =，所以椭圆方程为：2
214
x y +=．
（2）证明：由题可知：()0,2A -，直线AM ，AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为1k
-
， 设直线AM 方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立得
()22
2440
y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得：()2222
14161640k x k x k +++-=① 方程①的一根为-2，设(),M M M x y ，则22164214M k x k --=+，得2
2
2814M k x k -=+，
所以()2M M y k x =+，得2
414M k
y k =
+，
得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，同理可得(将k 换为
1
k -)得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则()3222242244202014428281616144
MN
k k k k k k k k k k k k ++++==-----
++()()()2222011611k k k k +=--+2544
k
k -=-， 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫
--+=- ⎪+-+⎝⎭
，
令0y =，则()
()()2222
221612862445454k k k x k k k ----=+=+++()()
2
2646554k k -+==-+． 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 20.【解析】
（1）依题意，()2sin x
f x e x '=-+， 因为01x e e <=，且sin 10x -…，故()0f x '<， 故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减， 故()(0)0f x f >=.
（2）依题意，()2cos ln(1),1x
g x e x x x x =--++>-， 令1
()()sin 21
x
h x g x e x x '==+
+-+，则(0)0h =； 而2
1()cos (1)x
h x e x x '=-
++，可知当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>， 故函数()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，故当
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()()(0)0h x g x g ''=>=； 当(1,0)x ∈-时，函数()h x '
单调递增，而(0)1h '=，
又9
10
99cos 10001010h e -⎛⎫⎛⎫'-=+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故09,010x ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，
故()0,0x x ∃∈，使得()0h x '>，即函数()h x 单调递增，即()g x '单调递增；
故当()0,0x x ∈时，()(0)0g x g ''<=， 故函数()g x 在()0,0x 上单调递减，在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增， 故当0x =时，函数()g x 有极小值(0)0g =.
21.
分）
则1010720()C ()()2727k
k k P k ξ-==,
1
19101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()2727
k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得50
27
k <，所以当1k =时，
(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()
P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分）
所以X 的分布列为
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=⎩
，
消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分）
直线l 的极坐标方程为π
sin()36
ρθ-=，即sin cos 60θρθ--=，
由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分）
圆心到直线l 的距离减去半径为最小值，所以最小值为
751122
-=
-=，
点(2,0)到直线l 的距离最大，所以最大值为
4=，（9分）
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为
5
2
.（10分） 23．【解析】（1）当0x <时，|4|
()x f x x
>
等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|
()x f x x
>
等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|
()x f x x >
等价于2224x x >⎧⎨->⎩
，解得3x >，（3分）
所以不等式|4|
()x f x x
>
的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（5分） （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，（7分） 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,
当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以2224
9a b c ++≥.（10分）。