相似三角形判定2
相似三角形判定-(2)
相似三角形的判定定理2
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
A
D
求证：△ABD∽△ABC.
B
C
注意书写格式
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
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２.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
A
E
D
B
C
３.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF。 其中②~⑥中与三角形①相似的三角形是_____________
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川
相似三角形的判定(二)
证明：在△ABC的边AB、AC上分别截取 AD＝A′B′，AE＝A′C′，连结DE
∵∠A＝∠A′，∴ △ADE≌△A B C ∴DE ∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理2 ：如果一个三角形 的两条边与另一个三角形的两 条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。可简单地说成： 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
5：3
C
A
B
求证：命题：如果一个三角形的三条边和另
一个三角形的三条边对应成比例，那么这两
个三角形相似
已知：如图A，ABB
BC BC
AC AC
求证：△A B C∽△A′B′C′
A
A’
B’
C’
B
C
判定定理3 ：如果一个三角形的 三条边与另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三 角形相似。可简单地说成：三 边对应成比例，两三角形相似。
；
我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱到深处是无言。其实，爱是很难描述的一种情感，需要详 尽的表达和传递。爱需要行动，但爱绝不仅仅是行动，或者说语言和温情的流露，也是行动不可或缺的部分。 爱是需要表达的，就像耗费太快的电器，每日都得充电。重复而新鲜地描述爱意吧，它是一种勇敢和智慧的艺术。 ? 爱怕犹豫。爱是羞怯和机灵的，一不留神它就吃了鱼饵闪去。爱的 初起往往是柔弱无骨的碰撞和翩若惊鸿的引力。在爱的极早期，就敏锐地识别自己的真爱，是一种能力更是一种果敢。爱一桩事业，就奋不顾身地投入。爱一个人，就斩钉截铁地追求。爱一个民族，就挫骨扬灰地献
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2优秀教学案例
1.邀请相关领域的专家或从业者，进行专题讲座或实践活动，让学生深入了解相似三角形在实际中的应用；
2.组织学生进行数学竞赛或研究性学习，鼓励他们探索相似三角形的更多判定方法；
3.开展数学沙龙或小组讨论活动，让学生分享自己的学习心得和经验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：通过展示建筑设计中相似三角形的应用实例，让学生感受到相似三角形在现实生活中的重要性；
2.利用几何模型和实物道具，让学生亲自动手操作，加深对相似三角形判定方法的理解；
3.设计多样化的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，学会运用相似三角形的判定方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，使他们愿意主动参与到数学学习中；
2.培养学生严谨的逻辑思维能力和团队合作精神，使他们能够在解决问题过程中充分发挥自己的潜能；
3.教能力。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论和实践，共同探索相似三角形的判定方法；
2.教师巡回指导，给予学生个性化的建议和帮助；
3.小组成员相互评价、总结，共同提高对相似三角形判定方法的理解。
（四）反思与评价
1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结相似三角形的判定方法及其应用；
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2优秀教学案例
一、案例背景
本节课是人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2，学生在学习了相似三角形的判定1之后，已经掌握了AA相似定理，但对新的判定方法——角角相似定理和边边边相似定理的理解和应用还不够熟练。此外，学生对于实际问题中相似三角形的识别和应用也存在一定的困难。因此，在教学过程中，我需要通过设计丰富的教学活动，引导学生深入理解相似三角形的判定方法，提高他们的解决问题的能力。同时，我还要注重培养学生的逻辑思维能力、团队协作能力和创新意识，使他们在学习中获得全面发展。
相似三角形判定2课件
= ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
B D C E
练一练 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， A ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， E ∠B=∠D，∠C=∠E， D B ∠BAD=∠CAE. C
1 1 1 ∴ DE AC，DF BC，EF = AB， 2 2 2 DE DF EF 1 = = ， ∴ AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. 解：公路 AB 与 CD 平行.
A' B' B'C' 又 AB BC DE B' C' ∴ ， BC BC
A E C A′
D
A' C' ，AD=A′B′， AC C′ B′ AE A' C' . ∴△ADE≌△A′B′C′， AC AC △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：
当堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 A. 20 B. 27 A B C
23.3.2相似三角形的判定2(两边及夹角)优秀
D
C
E B
B
例4. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP 吗?说明理由.
A D Q B P C
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
• 例 5. 如图矩形ABCD是由三个正方形 ABEG,GEFH,HFCD组成的,找出图中 的相似三角形.
例2.如图，在△ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm， 求证：△ABD∽△ABC.
B A D C
例3.下列每个图形中，是否存在相似三角形？若存在， 用字母表示出来，并写出对应的比例式。 A
A
D
B
A
50°
50°
E C
D B 70°
E 70°
C
A 4 E 3 2 D 6 C
AB AC , 对于△ABC和△A’B’C’,如果 A' B' A' C '
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?
A
A’
B
C B’
D
C’
这两个三角形不一定相似
例1 根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似,并说明理由: ∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A’=120°,A’B’=3cm,A’C’=6cm,
探究
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A’B’C’,使∠A=∠A’, AB AC k , 量出它们的第三组对应边BC和B’C’的长, A' B' A' C ' 它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B’, ∠C与∠C’ 是否相等? 改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论? A’ A
第3课时 相似三角形的判定定理2
从上述例子你能得出什么结论？
AB DE
=
2，DAFC
=
2 ，有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两 边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB DE
=
2在，两DAFC个=三2，角形中，有
有两图两边中边对∠对应B应成=∠成比E比例，例.而，∠A如≠不∠D是，故
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
《相似三角形判定定理2》PPT课件
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
(2)连接 BD，如果 BD2＝AC·MN，求证：BE⊥AD.
证明：如图，设 BD 交 AC 于 O. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAC＝∠DAC， ∴BD＝2OB，AC＝2AO. ∵AM＝CN，∴OM＝ON，∴MN＝2OM.
∵BD2＝MN·AC，∴4OB2＝2OM·2OA， ∴OB2＝OM·OA，∴OOMB ＝OOAB. ∵∠BOM＝∠AOB＝90°，∴△BOM∽△AOB， ∴∠OBM＝∠BAO＝∠DAC. ∵∠OBM＋∠BMO＝90°，∠AME＝∠OMB， ∴∠EAM＋∠AME＝90°，∴∠AEM＝90°，即 BE⊥AD.
11．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在边 AD，AB，
BC 上，DE＝2AE，BF＝2AF，BG＝2CG，则FEGF的值为( )
2
1
1
2
A. 2
B.2 C.3 D.3
【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝90°， ∵DE＝2AE，BF＝2AF，BG＝2CG， ∴易得ABEF＝BAGF＝12，∴△AEF∽△BFG，∴FEGF＝12.
相似三角形判定2
相似三角形的判定定理知识要点:1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形．ABC ∆与DEF ∆相似，记作ABC ∆∽DEF ∆ 2．三角形相似的判定方法：① 相等的两个三角形相似。
② 对应成比例且夹角相等的两个三角形。
③ 对应成比例的两个三角形相似。
常见题型例1． 在平行四边形ABCD 中，过点B 作CD BE ⊥于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且C BFE ∠=∠，求证：ABF ∆∽EAD ∆．例2．如图所示，ABC ∆中，AC AB BAC =︒=∠,90，点D 在BC 上，DE ADE ,45︒=∠交AC 于E ，求证：ABD ∆∽DCE ∆．例3﹒如图，四边形ABCD 中，AB EF //，交BC 于F ，交AC 于E ，AD EG //，交CD 于G ，连结FG ，求证：CFG ∆∽CBD ∆.ABC/A/B/CABDCEF ABD CE例4.如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E,BF ⊥AC 于F ，求证：△AFE ∽△ABC例5．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，BF=3CF ，求证：ADE ∆∽ECF ∆∽AEF ∆同步练习：已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EC EF ⊥交AB 于F ，连结FC （AB>AE ）．试问：AEF ∆与EFC ∆是否相似？若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由．课堂练习1﹒如图，具备下列哪个条件，便可得ACD ∆∽BCA ∆.（ ）A ﹒BC AB CD AC = B ﹒CD BDAC AB =ABCD EFA E D F BCAC FE BC ﹒CB CD AC ⋅=2 D ﹒BD AD CD ⋅=22﹒如图，ABC ∆中，DEFG C ,90︒=∠是正方形，点G 、F 在AC 、BC 上，DE 在AB 上，则图中相似的三角形共有（ ）A ﹒3对B ﹒4对C ﹒5对D ﹒6对3﹒如图，ABC ∆中，AC GF BC DE //,//，则图中与ABC ∆相似的三角形有（ ）A ﹒1个B ﹒2个C ﹒3个D ﹒4个4．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 为CD 上一点，且EF AE ⊥，试说明：ABE ∆∽ECF ∆5．已知如图，//////,//C B BC B A AB ，那么OAC ∆与///C A O ∆相似吗？试说明理由。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
24.3.2相似三角形的判定(2)
∴△AEB∽△FEC
2
AD AE AB•AE=AD•AC 如图， AB AC
且∠1=∠2，
A 1 D B 2 C
求证：△ABC∽△ADE
E
？
思考
,
对于△ABC和△A’B’C’, 如果
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
A
4
50°
3.2 3.2 D G
2
50°
B
C
1.6 F
E
∵
AB AC AB AC
∠BAC= ∠ BAC
∴△ABC∽△A`B`C`
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
A
45 1 E 36 F ∴ AE ＝ BE 2 FE CE 54 30 C ∵∠1＝∠2
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
AB BC AC 相似比: DE EF DF
对应角相等
=k k1 两三角形相似
k=1 两三角形全等
三角形相似判定方法1：
如果一个三角形的两个角分别与另外一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似．(AA) B
用数学符号表示：
E
∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E ∴ ΔABC ∽ ΔDEF
24.3.2相似三角形的判定 （2）
成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, D 角形, 叫做相似三角形 . A
C E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F B
AB AC BC DE DF EF
F
△ ABC∽ △DEF
6
成比例 相似三角形的———————, 各对应边——————。
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何符号语言：
∴△ABC∽△A’B’C’ （两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似。）
方法归纳：应用相似三角形判定定理2解题 时，角必须是两边成比例的夹角相等，切记 不可以是某一边的对角相等。
∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
证明：∵∠AED=∠B 又∠DAE=∠CAB
∴△AED∽△ABC（两角对应相等的应成比例且夹角相等 的两三角形相似）
D
4、如图在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm 求证：△ABC∽△DEF
证明：∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm
∵∠C=∠F=70° ∴△ABC∽△DEF
证明：∵CD是边AB上的高 ∴∠ADC=∠CDB=90°
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形判定-(2)
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' A' B' B' C' C' A'
B
C
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。 ∠C=∠C' =90
AB AC = A' B ' A'C'
o
A'
C'
B'
A
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时， P 1 △ ACP∽△ABC.
A
2
B 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或 AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
C
三、随堂练习
1、已知，△ABC中，D为AB上一点，画一 条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的 直线最多能画出多少条?
一、知识回顾
相似三角形的判定定理： 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 A'
∠A= ∠A' ∠B= ∠B'
BC AB A' B ' B ' C '
△ABC∽△A'B'C'
B'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C' A
相似三角形的判定(二)
第5讲 相似三角形的判定（二）知识框架本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．5.1 相似三角形判定定理3相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC △与111A B C △中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC △∽111A B C △．例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2cm AB =，3cm BC =，4cm CA =，10cm DE =，15cmEF=，20cm FD =． （2）1cm AB =，2cm BC =， 1.5cm CA =，6cm DE =，4cm EF =，8cm FD =．例2. 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC △与DEF △．求证：ABC △∽FDE △．例3. ABC △的边长分别为a 、b 、c ，111A B C △ABC △与111A B C △（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．例4. 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==．求证：ABD △∽ACE △．例5. 如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，CD =，4AD =． 求证：ABC △∽ACD △．例6. 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆．例7. 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD 的中点．（1）求证：CDE △∽EAB △；（2）CDE △与CEB △有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．5.2 直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC△和111Rt A B C△中，如果190C C∠=∠=︒，1111AB BCA B B C=，那么ABC△∽111A B C△．例1.在Rt ABC△和Rt DEF△中，90C F∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．（1）55A∠=︒，35D∠=︒；（2）9AC=，12BC=，6DF=，8EF=；（3）3AC=，4BC=，6DF=，8DE=；（4）10AB=，8AC=，15DE=，9EF=．例2.如图，在ABC△和111A B C△中，AD BC⊥，1111A DB C⊥，垂足为D和1D，且111111AC AB ADAC A B A D==．求证：ABC△∽111A B C△．例题分析例3.如图，四边形ABCD中，90=，BC b=，AC=．∠=∠=︒，AD aBAC ADC求证：DC BC⊥．例4.如图，在ABC⊥于F，DG BC⊥于G．⊥于D，DF AC△中，CD AB求证：CF CA CG CB⋅=⋅．例5.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．例6.如图，直角梯形ABCD中，90=，E为梯形内一点，且BCD∠=︒，AD // BC，BC CD∆绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到DCF∆，连接EF BEC∠=︒．将BEC90交CD于点M．已知5DM MC的值．BC=，3CF=，求:例7.如图，在ABC⊥于F，求证：CEF⊥于E，DF BC△∽△中，CD AB⊥于D，DE AC△．CBA例8.在Rt ABC∠=︒，CD AB⊥于点D，E是AC边上的一个动点（不与A、ACB△中，90C重合），CF BE⊥于点F，连接DF．（1）求证：2=g；CB BF BE（2）求证：BF AE FD BA⋅=⋅．例9.求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．例10.如图，在Rt BDC⊥于F，DG BE⊥于G．∆中，点E在CD上，DF BC求证：FG BC CE BG⋅=⋅．例11.如图，90CAB⊥，ACE∆、ABF∠=︒，AD CB⊥．∆是正三角形．求证：DE DF5.3 相似三角形的判定综合1. 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2. 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3. 相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4. 直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．例1. 根据下列条件，能判定ABC △和DEF △相似的个数是（ ）（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒； （3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）AB =CB =2AC =，DE ，1EF =，DF ． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．例2. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列 条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ） （A ）APB EPC ∠=∠； （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点；（D ）:2:3BP BC =．例2题图 例3题图例3. 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为______． 例4. 在ABC △中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD =，在AC 上取一点E ，得到ADE △，若ADE △与ABC △相似，则AE =．例5. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、 CD上滑动，AED △与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，CM 的值为__________．例6. 如图，AB AC =，2AC AD AE =g ，求证：BC 平分DBE ∠．例7. 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上 求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．例8. 如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =g g ．例9. 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．例10. 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．例11.如图，ABC∆是等边三角形，D是AC上的一点，BD的垂直平分线交AB于E，交BC于F．（1）当点D在边AC上移动时，DEF∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D在边AC上移动时，ADE∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2BE BF的值．AD=，试求:5.4 课堂检测1. 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC △相似的是（ ） （A ）BCD ∆； （B ）BDE ∆；（C ）BFG ∆；（D ）FGH ∆．2. 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．3. 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =， 则AC = ．4. 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离．5. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=．6.已知梯形ABCD中，AB // CD，90CD=，12AB=，6BC=，点E在BC∠=︒，3B边上自B点向C点移动，求使得ABE∆相似的BE的值．∆与ECD7.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2=g．OC OA OE8.如图，在ABCBC cmAC cm=，点P从B出发，沿BC方向=，6∆中，90C∠=︒，8以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆相似？∆与CBA9.如图，ABCAC BC∠=︒，2==，O是AB的中点，将45°角的顶点置于C∆中，90点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E．（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明；（2）设AD x=，BE y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当x为何值时，ODE∆是等腰三角形？10.在ABC∠=︒，CQ是斜边AB上的中线，6AB=，点P是BCAC=，10ACB∆中，90边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，若∆相似，求BP的值．PNC∆与ABC5.5 课后作业1. 如图，ABC ∆与DEF ∆在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形的顶点位置，试判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，为什么？2. 下列每组中的两个三角形，相似的是（ ）（A ）ABC △中，35A ∠=︒，50B ∠=︒；'''A B C ∆中，'35A ∠=︒，'105B ∠=︒； （B ）ABC △中， 1.5AB =， 1.25BC =，38B ∠=︒；'''A B C ∆中，''2A B =，'' 1.5B C =，'38B ∠=︒；（C ）ABC △中，12AB =，15BC =，26CA =；'''A B C ∆中，''20A B =，''25B C =，''40C A =；（D ）Rt ABC △中，斜边5AB =，直角边3BC =；'''Rt A B C ∆中，斜边''15A B =，直角边''12A C =．3. 如图，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，交AD 于点F ，则图中相似三角形 的对数是（ ） （A ）3对；（B ）4对；（C ）5对；（D ）6对．4. 如图，在ABC ∆中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF AC ⊥于F ，DG BE ⊥ 于G ．求证：AF AC BG BE ⋅=⋅．5.如图，D是AC上的点，BE平行于AC，BE AD=，AE分别交BD、BC于点F、G，CAE CBD∠=∠．求证：BF是FG和EF的比例中项．6.已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且13 EB AFAB AD==．求证：AEF FBD∠=∠．7.如图，正方形ABCD中，2AB=，P是BC边上与B、C不重合的任意点，DQ AP⊥于Q．（1）求证：DQA∆∽ABP∆；（2）当点P在BC上变化时，线段DQ也随之变化．设PA x=，DQ y=，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．8. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥ 于F ．求证：33AE AC BF BC=．9. 如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．（1）若60APQ BPR ∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =⋅；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．。
相似三角形的判定(2)
AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
A`
C`
AB AC BC ∵ A`B` A`C ` B`C `
∴△ABC∽△A`B`C`
反馈练习 1、试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由． 在△ABC和△A′B′C′中，已知： (1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
A ' B ' A 'C ' AB AC
A'
A
AD AE AB AC
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC
B'
C' B
D
E C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
AB AC 对于△ABC和△A'B'C'，如果 A' B ' A' C '
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
相似，因为对应边的比相等.
在△ABC和△A′B′C′中，已知： (2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A′B′＝16cm，B′C′＝20cm，A′C′＝30cm