各种类型的微分方程及其相应解法复习进程
高等数学微分方程总结
二阶变 y f ( x, y) 令y p( x)
系数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Bernoulli y P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 令 z y1n
全微分方程 P(xy)dx Q(xy)dy 0 dU (xy) P Q y x
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
二阶线性方程 a0(x) y a1(x) y a2(x) y 0 y a1(x) y a2 (x) y f (x)
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令
p (x) dy dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令
p(y) dy dx
d p f (x, p) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x)
求解二阶常系数线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程
r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根
r1 与 r2；
江苏省考研数学与应用数学复习资料微分方程解法总结
江苏省考研数学与应用数学复习资料微分方程解法总结微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术以及社会科学等领域。
在江苏省考研数学与应用数学的复习中，微分方程也是一个重要的考点。
因此，在本文中，将对微分方程的解法进行总结，供考生参考复习。
一、一阶微分方程的解法：1.可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将d(y)和d(x)分别移到等式的两侧，然后进行分离，分别积分求解。
2.齐次微分方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程，可以令y=vx，化为可分离变量的形式，然后进行求解。
3.恰当微分方程法：对于形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，若存在一个函数u(x, y)，使得∂u/∂x = M，∂u/∂y = N，那么方程就是恰当微分方程。
此时，只需找到u(x, y)，然后积分得到u(x, y) = c 即可。
4.线性微分方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性微分方程，可以使用常数变易法求解。
先求解对应的齐次线性微分方程，然后使用常数变易法求得特解。
二、二阶常系数线性微分方程的解法：1.特征方程法：对于形如d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = 0的二阶常系数线性微分方程，可以构造特征方程λ^2 + aλ + b = 0，求解特征方程得到λ1和λ2，然后根据不同的情况，求解出相应的通解。
2.常数变易法：对于形如d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)的二阶常系数线性微分方程，可以先求解对应的齐次线性微分方程，得到通解。
然后使用常数变易法，假设非齐次方程的特解为y = u(x)，代入方程，求得u(x)的表达式，再将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解。
三、高阶线性微分方程的解法：对于高阶线性微分方程d^n y/dx^n + a1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + an-1 dy/dx + an y = f(x)，可以使用特征方程法和常数变易法结合的方法求解。
微分方程复习要点
y* xk e x[Rn1 (x) cos x Rn2 (x) sin x]， 其中Rn1 (x), Rn2 (x)是n次的多项式，n max{ m, l}，而 k按 i 是否为特征方程的根而分别取1或0．
二、例 题 选 讲
例1 求解方程 y d x (x2 4x) d y 0．
arctan p y C1 ，
即
y tan( y C1)，
分离变量后，再两边积分得
ln | sin( y C1) | x ln C2 ，
从而得方程的通解
sin( y C1) C2 ex ．
例6 求下列方程的通解
1. 4 y 20 y 25 y 0； 2. y 2 y x e2x ；
解 原方程变形为
d x 3 x y3x1 ， dy y
即
d(x2 ) 6 (x2 ) 2 y3 ，
dy y
此是关于函数 x2 f ( y)的一阶线性非齐次线性微分方程，
由求解公式得
x2
e
6 y
d
y
2y3
e
6 y
d
y
d
y
C
y6 2
则方程有特解
y* e x xkQm (x)， 其中Qm (x)是一个与 Pm (x)同次的多项式，而
k 10，，若若不是是特特征征方方程程的的单根根，， 2 ，若是特征方程的二重根．
②设方程
y py qy e x[Pl (x) cos x Pm (x) sin x]，
2 1)
d
u
微积分-常微分方程解题方法
北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。
微分方程常见题型解法
微分方程常见题型攻略一、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程及或化为可分离变量的微分方程（齐次）（略）2.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程：0)( y x P y 法一：分离变量，积分；法二：套公式dxx P Ce y )(.（2）一阶线性非齐次微分方程：)()(x Q y x P y 法一：常数变易法①先求出对应齐次微分方程的通解 dxx P Ce y )(；②常数变易（设原方程的通解为） dx x P e x u y )()(；③代入原方程求出)(x u 即得原方程的通解。
法二：公式法])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P 。
例1【2011年考研】微分方程x ey y xcos 满足条件0)0( y 的解为_________。
解：此为一阶线性微分方程，其中1)( x P ，x ex Q xcos )( ，通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ]cos [11C dx xe e e dxx dx ]cos [C dx xe e e x x x ]cos [C xdx e x )(sin C x e x 。
由初始条件0)0( y ，得0 C ，故所求特解为x ey xsin 。
注：对于微分方程，经常以积分方程的形式出现，即给出的方程中含有积分上限函数。
（1）对于积分方程，方法是两边同时求导，化为微分方程。
但是在求导过程中要注意，如果两边同时求一阶导后还是含有积分上限函数，那么需要再一次求导，直到方程中不再求有积分上限函数，并且也要注意有时候需要对方程进行恒等变换后再求导。
（2）注意积分方程中隐含的初始条件。
例2已知函数)(x f 满足1)(21)(1x f du ux f ，1)(10 dx x f ，求)(x f 。
解：设ux t ，则dt x du 1，于是 10)(du ux f xdt t f x 0)(1。
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
《常见一阶微分方程》类型及其一般求解思路与步骤
《常见⼀阶微分⽅程》类型及其⼀般求解思路与步骤⼀、《⾼等数学》⼀阶微分⽅程分类：第⼀类：可分离变量的微分⽅程及其分离变量的求解⽅法，包括齐次微分⽅程（换元法）。
第⼆类：⼀阶线性微分⽅程，其中齐次线性微分⽅程的求解归结为可分离变量的微分⽅程；⽽⾮齐次线性微分⽅程基于常数变易法，或称为待定函数法，直接得到⾮齐次线性微分⽅程的通解或者基于线性微分⽅程解的结构求得其⼀个特解来求通解：⾮齐次线性微分⽅程的特解=对应齐次线性微分⽅程的通解+⾮齐次的⼀个特解其中伯努利⽅程（换元法）归结为⼀阶线性微分⽅程。
第三类：全微分⽅程及基于曲线积分与路径⽆关的积分法，或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的⽅法（这部分内容在曲线积分有关积分与路径⽆关的内容中讨论）。
⼆、求解⼀阶微分⽅程的基本思路1．改写结构，对⽐标准可求解类型适当变换微分⽅程描述形式，⽐对标准类型⽅程结构。
常⽤的⼀阶微分⽅程的标准类型有：●可分离变量的微分⽅程：具有这种结构的⽅程可以使⽤分离变量法求解，●齐次⽅程(所谓齐次，各项次数相同)：将原⽅程转换为可分离变量的微分⽅程求解。
●⼀阶线性微分⽅程：(1)当Q(x)恒等于0时，为齐次线性⽅程，使⽤可分离变量法求解；(2)当Q(x)不恒等于0时，为⾮齐次线性⽅程，基于对应的齐次线性⽅程的通解，使⽤常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利⽤通过常数变易法得到的通解计算公式直接得到通解，其中的不定积分都不带任意常数.●伯努利⽅程：通过两端同时除以yn，令z=y1-n将⽅程转换为⼀阶线性微分⽅程求解。
●全微分⽅程：它的判定和求解⽅法，使⽤曲线积分相关的理论与⽅法求解。
满⾜以上条件的微分⽅程为全微分⽅程，可以通过曲线积分与路径⽆关求积分得到通解，或者基于全微分的形式不变性与全微分公式得到通解，即2．换元转换，构建标准类型对于不符合标准类型的⽅程，考虑对微分⽅程进⾏适当变换后，使⽤换元法将⼀阶微分⽅程的右边项f(x,y)的部分表达式⽤新的变量表⽰，或者其中的变量⽤新的变量表达式替换，将⽅程转换为⼀阶微分⽅程标准类型来求解。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
《微分方程复习大纲》课件
欢迎来到我们的《微分方程复习大纲》PPT课件！在这个课件中，我们将一起 探索微分方程的定义、分类，以及解决这些方程的方法。
微分方程的定义和概念
1 微分方程的含义
解决自然现象中变化和关系的数学方程。包含未知函数及其导数的方程。
2 微分方程的分类
分为常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs），根据未知函数的变量类型进行分类。
常微分方程的基本解法
分离变量法
将未知函数分为多个表达式并 分别性代数问 题，利用特征根求解。
常系数线性微分方程 法
利用特征根解常系数线性微分 方程，得到通解。
常微分方程的数值解法
1
欧拉法
使用差分代替微分，逐步逼近微分方程的解。
2
龙格-库塔法
通过多次计算，提高数值解的精确度。
将解函数表示为傅立叶级数，逐步逼近方程的数 值解。
应用实例和习题练习
物理学
模拟物体的运动、热传导、波动等现象。
经济学
预测经济发展、市场价格波动等。
工程学
分析电路、热传导、结构稳定性等问题。
数学建模
挑战各种实际问题，加深对微分方程的理解。
3
改进的欧拉法
控制步长大小，并提供更精确的数值解。
偏微分方程的基本解法
热方程
描述物体温度分布随时间变化的 方程。
波动方程
描述波的传播和震荡的方程。
拉普拉斯方程
描述势场的分布和形状的方程。
偏微分方程的数值解法
有限差分法 有限元法 谱方法
将偏微分方程转化为差分表达式，并逐步计算数 值解。
将解域划分为有限个单元，利用逼近函数计算数 值解。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
数学复习常微分方程的解法
数学复习常微分方程的解法数学复习：常微分方程的解法一、引言在数学中，微分方程是描述自然界中许多物理现象的重要工具之一。
常微分方程是一类只涉及一个自变量的微分方程，求解常微分方程是数学学习中的重要内容。
本文将介绍几种常见的常微分方程的解法。
二、一阶常微分方程的解法1. 可分离变量法如果常微分方程可以化为dy/dx=f(x)g(y)的形式，那么可以通过分离变量法求解。
具体的步骤如下：- 将f(x)g(y)的形式转换为dy/g(y)=f(x)dx。
- 两边同时积分，得到∫1/g(y)dy=∫f(x)dx。
- 对两边分别求积分，得到F(y)=∫1/g(y)dy和F(x)=∫f(x)dx，其中F(x)和F(y)分别为积分常数。
- 最后将F(y)=F(x)+C整理为y的显式表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程，可以通过以下步骤求解：- 令u=y/x，即y=ux。
- 将dy/dx=f(y/x)化为dy/du=xf(u)。
- 通过分离变量法求解上述方程，得到∫1/f(u)du=∫xdx。
- 对两边求积分，再整理为u(x)的显式表达式，即u(x)=∫1/f(u)du+C。
- 最后将u=y/x代回，得到y(x)=xu(x)。
3. 线性方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过以下步骤求解：- 将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
- 通过积分因子mu(x)=exp(∫p(x)dx)将方程转化为(mu(x)y)'=mu(x)q(x)。
- 对等式两边同时求积分，得到mu(x)y=∫mu(x)q(x)dx。
- 将上式整理为y的显式表达式。
三、高阶常微分方程的解法对于高于一阶的常微分方程，通常需要进行一定的变换或者使用递推方法进行求解。
以下介绍一些常见的高阶常微分方程的解法。
1. 特征方程法对于形如yⁿ+a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a⁽²⁾y''+a₁y'+a₀y=0的n阶常微分方程，可以通过解特征方程来获得通解。
(3)微分方程复习
故齐次通解为： Y C1e5t C2et 复习：二阶常系数齐次非齐次微分方程求解
设（1）的特解为：y* (at b)e
2t
求一，二阶导并代入方程比较系数得：
1 a , b 0 y* te 2t / 9 9 5t t 2t y C e C e te /9 1 2 故（1）的通解为：
解法：
类型2.不显含x型， 解法
f ( y, y) y
dp y p ( x) p f ( y, p ) dy
2.二阶线性齐次方程解的性质与结构：
性质：（叠加原理）：二阶线性齐次 方程任意解的线性组合仍是解，即
如果：
y1 , y2 , , ym
是方程
y p( x) y q( x) y 0 的解，则
2 d y dy 2 x 2 4 x 2 y 0( x 0) d x dx
解：作代换 x et
d2y dy 化为常系数齐次线性微分方程 dt 2 3 dt 2 y 0
解得：
y c1e c2 e
t
2 t
c1 c2 y 2 x x
已知齐次（非齐次）微分方程的通（特）解， 反求该齐次（非齐次）微分方程 x y e (c1 sin x c2 cos x) 3。设 是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该微 分方程为 解：先由通解求出特征根，再求出特征方程，最后 给出相应的微分方程，答案：y 2 y 2 y 0 4.若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 0
k1 y1 k2 y2
km ym
也是其解
解的结构：如果
常微分方程常见形式及解法复习进程
常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程 毕文彬
2
一阶，变量 y 可分离
分离变量（除以 F）。
一阶，变量 x 和 y 均可分离
整个积分。
常微分方程 毕文彬
通解
8
02 一般一阶微分方程
微分方程 一阶，齐次 一阶，可分离变量
恰当微分, 一阶
其中
反常微分, 一阶
解法
令 y = ux，然后通过分离 变量 u 和 x 求解.
通解
分离变量（除以 xy）。
如果N = M, 解为xy = C.
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬
6
一般通解
01
可分离方程
02
一般一阶微分方程
03
一般二阶微分方程
04
线性方程 (最高到n阶)
常微分方程 毕文彬
7
ห้องสมุดไป่ตู้
01
可分离方程
微分方程
解法
一阶，变量 x 和 y 均可分离
分离变量（除以P2Q1）。
一阶，变量 x 可分离
直接积分。
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
4
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)=∫f(x)dx+C1y(n-2)=∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’)型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’)型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=f(x)(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解则y(x)=y求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数。
高等数学《常微分方程》内容、问题类型与解题思路总结
高等数学《常微分方程》内容、问题类型与解题思路总结一、一阶微分方程的类型及一般求解思路与步骤▪《常微分方程的基本概念》及注意事项小结与课件节选▪《可分离变量的微分方程》与构建微分方程模型的微元法▪《常见一阶微分方程》类型及其一般求解思路与步骤二、一般可降解的微分方程类型及典型问题求解可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为三种类型，具体细节参见以下内容：▪《可降阶的微分方程》类型及典型问题求解思路与方法三、线性微分方程解的结构与刘维尔公式线性微分方程解的结构性质是求解线性微分方程的基础和理论依据：▪线性微分方程求解基础《解的结构与刘维尔公式》四、常系数线性微分方程的求解思路与方法基于线性微分方程解的结构性质，对于常系数线性微分方程有相对固定的求解思路与方法：▪《常系数齐次线性微分方程》的求解思路与步骤▪《常系数非齐次线性微分方程》的求解思路与方法▪《欧拉方程及微分方程建模》思路与方法五、解微分方程应用问题的基本步骤借助微分方程模型求解实际问题的基本步骤：▪《可分离变量的微分方程》与构建微分方程模型的微元法▪《欧拉方程及微分方程建模》思路与方法六、典型习题与相关题型求解思路解析《高等数学》中常微分方程的类型及一般解法和线性微分方程解的结构分析的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“常微分方程的一般求解思路与特征方程法”章节的详细分析与讨论。
另外在历届数学竞赛真题的解析课堂中基本上都有所涉及，比较典型的有：(一)第一届非数学类预赛第五题：基于解结构求解常系数线性微分方程●基于线性微分方程解结构性质求解微分方程●基于求齐次线性微分方程解的特征方程法(二)第六届非数学类预赛第1题：齐次二阶常系数线性微分方程求解的逆问题●齐次常系数线性微分方程通解计算特征方程法●线性微分方程特征方程法与解的结构(三)常微分方程典型习题解析(带练习与测试题)涉及的题型、知识点视频标题和补充、扩展练习数量(合计59个)包括：1．已知常微分方程通解，求常微分微分方程(补充练习4个)2．一阶常微分方程求解的基本思路与步骤(9个)3．借助导数定义构建抽象函数的微分方程模型(4个) 4．可降阶高阶微分方程的基本求解思路与步骤(4个) 5．带参数的可降阶微分方程初值问题解析(4个)6．微分方程与变限积分的几何应用问题解析(4个)7．已知特解求线性微分方程(4个)8．线性微分方程解的结构及其应用(4个)9．二阶变系数齐次线性微分方程求解(4个)10．二阶常系数非齐次线性微分方程求解思路与步骤(6个) 11．欧拉方程的结构特点及求解思路与步骤(4个)12．微分方程运动规律建模实例解析(4个)13．基于“微元法”的微分方程建模思路与步骤(4个)。
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式.我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式.再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解.其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式.我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程.特别地.当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程.否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法.我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy.这是可分离变量的方程.两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(.其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况.两者的解存在着对应关系.设)(x C 来替换 C.于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(.再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(.于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
常见的微分方程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中重要的一个分支，它描述了自然界中很多变化的规律和现象。
微分方程的解法有很多种，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等等。
本文将对这些常见的微分方程解法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶微分方程中最常见的一种方法。
当方程可以化为dy/dx=f(x)g(y)的形式时，我们可以通过将其变形为g(y)dy=f(x)dx的形式，再对方程两边同时进行积分，从而求出y的表达式。
例如，对于dy/dx=2x，我们可以将其变形为dy=2xdx，并对两边同时进行积分得到y=x^2+C，其中C为常数。
二、齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程。
当方程满足一定的条件时，可以通过变量代换和分离变量的相结合的方法，将齐次方程转化为分离变量的形式，进而求出解。
例如，对于xy'-(x^2+y^2)=0，我们可以将y=ux进行变量代换，得到x(ux)'-(x^2+u^2x^2)=0。
进一步化简得到xu'+u=0，然后可以使用分离变量法求解得到u=(c-x^2)/x，再将y=ux代入，得到y=(c-x^2)/x^2。
三、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过使用积分因子的方法，我们可以将一阶线性微分方程化为更容易求解的形式。
例如，对于dy/dx+2xy=4x，我们可以将其乘以e^(∫2xdx)作为积分因子，得到e^(x^2)y'+(2xe^(x^2))y=4xe^(x^2)。
然后我们可以写成(d(e^(x^2)y))/dx=4xe^(x^2)，再对其两边同时积分，得到e^(x^2)y=x^2+2C，进一步化简得到y=(x^2+2C)e^(-x^2)。
四、二阶线性齐次微分方程法二阶线性齐次微分方程是指形如d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的微分方程。
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各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102
微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我
们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分
方程及其相应解法。
一、一阶微分方程的解法
1.可分离变量的方程
dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx
dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边
积分。
例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.
解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-
设,01,012≠-≠-x y 分离变量得
dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰
-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y
2.齐次方程
（1）)(x
y f dx dy = （2） )(c by ax f dx
dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy
y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u
u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得
,ln ln ln 2
1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
整理得 .)2(1
2/3Cx u u u =--
所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-
3.一阶线性微分方程
⎰+⎰⎰==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx
dy dx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， π
π1)(=y ； 解 将方程改写为 x
x y x dx dy sin 2=+， 这里x x p 2)(=，x
x x q sin )(=，故由求解公式得 )sin (1sin 222⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=-
xdx x C x dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x x x x x C +-=
. 由初值条件ππ1
)(=y ，得0=C .
所以初值问题的解为 2
c o s s i n x x x x y -= 例 4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1
200()()()x
f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．
解：设1
20()A t f t dt =⎰，则0()()x
f x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得 ()()()x f x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =⇒=⇒=
又 1
1222004()()1
t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=+⎰⎰，则 24()1
x f x e e =+ 例5.设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：
)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且()00f =，x e x g x f 2)()(=+．
① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式．
解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +
=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x -=,
可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为
2()2()4(0)0
x
F x F x e F '⎧+=⎨=⎩． (2) 由通解公式有
]4[)(222C dx e e e x F dx x dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．
将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是
22()x x F x e e -=-
4.伯努利方程。
内适当选定的点的坐标是区域其中内恒成立，此时通解为在区域要条件是方程的充分
的全微分，其为全微分左边恰好是某一个函数全微分方程
即可，其余同再令同除以G ,,),(),(),(G ),(,0),(),(.53,,)()(00100
y x C dy y x Q dx y x P y x u x Q y P y x u dy y x Q dx y x p y u y y x Q y x p dx
dy x x y
y n n n =+=∂∂=∂∂==+==+⎰⎰-二、二阶线性微分方程的解法
1.可降阶微分方程
次分型，求解方法：连续积n )()1()(x f y n =
（2）''''''',),(p y p y y x f y ===则型，求解方法：令
（3）p dy
dp dx dp y y y f y ===='''''p y ),(，则型，求解方法：令‘
例6. 方程03='+''y y x 的通解为 ．
解：330y xy y y x ''''''+=⇒=-
令,
y p y p ''''==，原方程变为 3p p x '=-
11333ln 3ln ln C dp dp dx dx p x C p y p x p x x '⇒=-⇒=-⇒=-+⇒==⎰⎰
所以232112C dx C y C x x
=-+=⎰
)2).......(()()()
1......(0)()(.2''''''x f y x Q y x P y y x Q y x P y =++=++二阶非齐次线性方程二阶齐次线性方程
3.二阶常系数齐次线性方程
)
sin cos (,r )3()(r 2(,,10
q p ,0212,12121212'''21x C x C e y i e x C C y e C e C y r r q pr r qy py y x rx
x
r x r βββα+=±=+=+==++=++∂则通解为一对共轭复根，则通解为）有两个相等的实根则通解为）有两个不相等的实根（是常数，若特征方程，其中 例7. 解方程022=+'+''y y y ．
解：022=+'+''y y y 的特征方程为2
1,22201r r r i ++=⇒=-±
则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+
例8.设
0()sin ()()x f x x x t f t dt =--⎰ 其中)(x f 为连续函数，求)(x f ．
解：原方程整理得
00()sin ()()x x f x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰， 两边求导 0()cos ()x
f x x f t dt '=-⎰，
再两边求导得
()sin ()f x x f x ''=--，
整理得 ()()sin ,(0)0,(0)1f x f x x f f '''+=-==（初始条件到原方程中找） 解得1()sin cos 22
x f x x x =
+ 有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。