数的整除-习题十三

数的整除

内容精要

如果整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者说余数为0），那么我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作b│a。

如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫作b的倍数，b叫作a的约数（或因数）。显然，0是任何自然数的倍数，但0不是任何自然数的约数，1是任何自然数的因数。任何自然数（除0外）既是它本身的倍数，有是它本身的约数。

整除的三要素：①被除数和除数都是自然数；②商是整数；③没有余数。这三点缺一不可。

整除的性质：

1.如果数a和数b都能被c整除，那么它们的和（a+b）及差（a-b)也能被c整除。

2.如果数a能被b整除，数b又能被c整除，则a能被c整除。

3.若干个数相乘，其中有一个因数a能被数b整除，则它们的积也能被b 整除。

4.若一个数被两个及互质数中的每一个数整除，则这个数能被这两个互质数的积整除。

整除的特征：

1.能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8（偶数）。

2.能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。

3.能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除。

4.能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

5.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

6.能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数。

7.能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与莫三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。

例1. 小明的妈妈要到银行去取钱，可是忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，

且符合条件中最小的一个。你能帮小明的妈妈回忆起存折的密码

吗？

例 2.有一个六位数□7358□的□内填什么数字，才能使使这个六位数分别能被9、5和4整除。

例3.1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的，和尽可能大的三位数，这个三位数是多少？

例4.在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使他既能被3整除，又含有约数5。

例5.把整数由1开始按顺序写下去，一直写到第87位，即12345678910…。那么这个数字用9除的余数是多少？

习题

1.将自然数1、2、3、…、9，依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？

2.一个六位数能被11整除，首位是7，其余各位数字各不相同，这个六位数是多少？

3.有一个四位数是45ab,同时能被2、3、4、5、9整除，求这个四位数。

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4.李老师为学校买了28支价格相同的钢笔，共付9□2□元，已知□内的数字相同，请问每枝钢笔多少元？