《数学模型》淋雨模型

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得 雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多 少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。 可得： 淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S） ×淋浴时间（t） ① 时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） ② 由①② 得： 淋雨量（V）=ω×S×d/v
模型 假设
cos 7.5sin 1.875 v V 1800 v
由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度 （v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。
对函数V（v）求导，得：
V
cos 7.5 sin
1800 v2
V<0， 所以V为v的减函数，V随v增大而减小。 显然： 因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。 （Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得： V＝0.0011527778（m³ ）≈1.153（L） （Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得： V＝0.0014025(m³)≈1.403（L）
化简③式得：
V b d c cos a sin / v a / u，v u sin V b d c cos a sin / v a / u，v u sin
④
代入相关数据化简得： ，v u sin V 0.2cos 1.5sin / v 0.375/ 360 ，v u sin V 0.2cos 1.5sin / v 0.375/ 360
情形2建立及求解： 若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面 内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分： 顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹 来时与人体夹角为. ，且 0°<<90°，建立a，b，c， u d， ，，之间的关系为： （1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水 平分量为 u sin 且方向与v相反，故人相对于雨的 u sin v 水平速度为： 则前部单位时间单位面积淋雨量为：
淋雨量模型
问题 提出
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常 数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快 淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以 下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离 d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s， 降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v， 情形1、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以 最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;
情形3建立及求解： 若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且 与人体的夹角为α 则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后 部淋雨量.设雨从背部吹来时与人体夹角为， 且0°＜ ﹤90°,建立a，b，c，d， u，，之间的关系为： （1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人 顶部的淋雨量 V1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向 只有向下的分量，同理可得：
V1 b c cos d / v b c d cos/v
（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：
u sin v ，v u sin v u sin ，v u sin
从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为： u sin v / u ，v u sin v u sin / u ，v u sin 可得人背部淋雨量为： V3 a b d u sin v / u ，v u sin V3 a b d v u sin / u ，v u sin 而总淋雨量：V=V1＋ V3 从而有：
V b c d cos / v a b d (u sin v) / u ，v u sin V b c d cos / v a b d (v u sin ) / u ，v u sin ③
模型 建立 求解
情形1建立及求解： 设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积： S＝2ab+2ac+bc 雨中奔跑所用时间为：t=d/v 总降雨量 V＝ω×S×d/v ω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得： S＝2.2（㎡） V＝0.00244446 (cm³ )=2.44446 (L)
⑤
由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以 及雨线与人的夹角（）两者有关。 （Ⅰ）、 当时，且0°＜﹤ 90°，可得：c cosα＋a sinα>0 对⑤式求导，易知 V <0；所以，总淋雨量（V）随着速度（v） 的增加而减少， 因此， 总淋雨量最小。
（Ⅱ）、当v >u sinα时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导， 解得： 1.5sin 0.2cos V 2 （ 180 v） (ⅰ)、当1.5sinα－0.2 cosα<0时，即 ：tanα<2/15,即V`<0； 从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少， 所以，速度v=vm ，总淋雨量最小。 （ⅱ）、当1.5sinα－0.2 cosα>0时，即 ：tanα>2/15,即V`>0； 从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加， 所以，当速度（v）取最小， 即v=u sinα 总淋雨量最小。 当α＝30°，tanα>2/15 ，由模型⑶分析的，当v=u sinα=4×1/2=2（m/s） 总淋雨量最小，且V=0.0002405（m³ ）=0.2405(L)
（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以 下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最 大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速 度为v； （2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）、此人在雨中跑步应为直线跑步； （4）、降雨地区是地面是平面且不考虑分的因素； （5）、降雨时，雨在空中是均匀分布的。
①
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V V1 V2 b c d cos / v a b d u sin v /u v
代入数据求得：
（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方 向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位 面积淋雨量为 cos ，顶部面积为 b c ，淋雨时间 为 d / v ，于是顶部淋雨量为： V1 b c d cos / v ② 由①②可算得总淋雨量 :
a b ，时间为： d/v 又因为前部的淋雨面积为： 于是前部淋雨量V2为 ：
（ u sin v） /u
即：
V2 a b u sin v / u d / v V2 a b d u sin v / u v
模型 解释
（1）在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型 二相似，将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不 多很相似了 。 由这三个模型可以得出在一定的速度下人 跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好 （ 3）若雨从背面吹来时，分为两种情况： 当tanα>c/a时，跑步速度v=u sinα时V最小； 当tanα<c/a时，跑得越快越好。
问题 分析
情形2、雨从迎面吹来，雨线与跑步方 向在同一平面内，且与人体的夹角为θ， 如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b， c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多 大，总淋雨里最少。计算θ=0，θ=30°的 总淋雨量. 情形3、雨从背面吹来，雨线方向跑步方 向在同一平面内，且与人体的夹角为α， 如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b， c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大， 总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.