几何——第一讲 几何基本概念与简单图形

（2）点 A、B 在直线 m 同侧：
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（3）两个点都在内侧：
形式二：已知点 A 位于直线 m、n 的内侧, 在直线 m、n 上分别求点 P、Q，使得三角形 APQ 的周长最短。
3. 台球两次碰壁模型 形式一：已知点 A、B 位于直线 m、n 的内侧，在
直线 n、m 上分别求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 的周长最短。
果它们有一个公共点，我们就说他们相交，它们是相交 直线，这个公共点叫做它们的交点。
相交关系中最重要的是垂直相交，与垂直有关的知 识，有以下两个重要的结论： ⑴过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； ⑵直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段 最短。
两条直线相交，可形成两组对顶角，它们分别相等， 也可以形成邻补角，即一条直线与端点在这条直线上的 一条射线组成的两个角。也就是说，邻补角是具有特殊 位置关系的两个互补角，一个角的邻补角有且只有两个。
如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角； 如图（b）： BDC ABD A ACD
如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
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⑶“8 字形”模型 如图（c）： A B C D
⑷“内角平分线”模型 点 P 是 ABC 和 ACB 的角平分线的交点。 如图（d）： BPC 90 1 A
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四、面积初步
由于多边形可以分割成若干个三角形，所以多边形
在中学数学里，面积是非常重要的内容，除简单的 的面积可转化为三角形面积来研究。
面积计算外，还要学会使用“等积变换”的思想方法来处
关于三角形的面积，有以下几个重要性质：
理几何问题。
⑴等底等高的两个三角形面积相等；
所谓“等积变换”，就是不改变几何图形的面积，而
处理有关角度的计算，常见到下面的一些重要几何
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。从动的 导角模型：
观点来认识，由一条射线绕着它的端点旋转一个位置所 ⑴外角的始边，终止位置 如图（a）： BCD A B
称为角的终边。
已经学过的角有锐角、直角、钝角、平角、周角。 ⑵“人字形”模型
S△PAB=S△QAB
AB // PQ,
P、Q在AB同侧；
AB平分PQ, P、Q在AB异侧。
例 8. 在五边形 A1A2A3A4A5 中，A1A3//A5A4，A2A4//A1A5，
DM AM ME BN AN NC DM ME DM BN BN NC ME NC
(1) (2)
(3)
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例 4. ABCD 为凸四边形，两组对边延长后得交点 E、F， 例 5. 梯形 ABCD（AD//BC）的两条腰交于点 P，两条对
对角线 BD∥EF，AC 的延长线交 EF 于 G。求证：EG＝ 角 线 交 于 点 Q ， 点 M 在 BC 上 且 AM=MD 。 求 证 ：
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3. 平行线
⑸两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。关 那么这两条直线平行。
于平行线的最重要的结论是平行公理：经过直线外一点，
另一方面，两直线平行有下面的性质：
有且只有一条直线与这条直线平行。
两条平行线被第三条直线所截，有
要判定两条直线平行，其依据是下面关于平行的定
GF。
∠PMB=∠QMB。
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例 6. AD 是△ABC 的高线，K 为 AD 上一点，BK 交 AC 于 E，CK 交 AB 于 F。求证：∠FDA＝∠EDA。
例 7. 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BP＝CQ，A 为 BC 外一动点。当点 A 运动到使∠BAP＝∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论。
小学阶段的实验几何，只讲其然，一般不讲其所以
几何证明的步骤如下：
然。一切都靠看一看、量一量就得出一般的结论。然而
第一步：依据题意画出图形；
眼睛观察并非完全可靠，不知不觉地会发生错觉。人们
第二步：写出已知（条件）与求证（要证明的结论）；
每天看到太阳东升西落，感觉太阳在绕地球转，然而，
第三步：分析思路，制定证明方案；
作法：
①以 P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于 M、N； ②分别以 M、N 圆心，大于 1 MN 长度的一半为半径画弧，
2
两弧交于点 Q； ③过 P、Q 作直线 CD。
则直线 CD 就是所求作的直线。
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⑹正三角形、矩形、正六边形 ⑺过圆上或圆外一点作圆的切线
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2
两弧交∠AOB 内于Ｐ； ③作射线 OP。 则射线 OP 就是∠AOB 的角平分线。
作法： ①作射线 O' A' ； ②以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N； ③以 O' 为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O' A' 于 M ' ； ④以 M ' 为圆心，以 MN 的长为半径画弧，交前弧于 N ' ； ⑤连接 O' N ' 并延长到 B' 。
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二）一个动点，一个定点：
（二）动点在圆上运动
（一）动点在直线上运动
点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB
点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 最小（在图中画出点 P 和点 B）。
PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）。
（1）点与圆在直线异侧：
任作一直线分别交 AB、AC、AM1、AM2 于 P、Q、N1、 N2。试证： AB ＋ AC ＝ AM1 ＋ AM 2 。
AP AQ AN1 AN2
边上，点 N 在 AC 边上，并且∠MDN＝90°。如果 BM2 ＋CN2＝DM2＋DN2，求证：AD2＝ 1 (AB2＋AC2)。
4
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1. 直线与线段的概念
直线是一个原始的几何概念，对它给出了两点形象
的描述：
⑴直线可以向两方无限延伸；
⑵过两点有且只有一条直线（公理 1）。
射线是直线的一部分，它有一个端点，另一个可以
无限延伸。
直线上两个不同点之间的部分叫做线段，它有两个
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2. 相交线与垂线 两条不同的直线，不能有两个或更多的公共点。如
⑴同位角相等；
义、公理以及它们的推论。
⑵内错角相等；
⑴如果两直线没有公共点，那么这两直线平行；
⑶同旁内角互补。
⑵如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行；
⑶两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行；
⑷两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；
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⑻“圆周角”模型 顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
（g）
如图（g）：圆内角的度数等于它所对的两条弧的度数的
（h）
如图（h）：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
和的一半。
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⑼“圆外角”模型
⑵直角三角形两锐角之和为 900，其中必有一个
顶点在圆外，由圆的两条割线组成的角叫圆外角。
2
⑸“内外平分线”模型 点 P 是 ABC 和外角 ACD 的角平分线的交点 如图（e）： BPC 1 A
2
⑹“外角平分线”模型 点 P 是外角 CBF 和外角 BCE 的角平分线的交点。 如图（f）： BPC 90 1 A
2
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⑺“圆内角”模型 顶点在圆内，由两条弦在圆内相交所成的角叫圆内角。
定理 1 在凸四边形 ABCD 中，设对角线 AC、BD 相交于 O，则 SADC SAOD SCOD OD 。
SABC SAOB SCOB OB
公理 2 若把给定图形分成若干部分，则被分成的各
部分面积之和等于给定图形的面积。
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定 理 2 设 P ， Q 不 在 线 段 AB 上 ， 则
（1）点 A、B 在直线 m 两侧：
（2）点 A、B 在直线 m 同侧：
作法：过 A 点作 AC∥m，且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC，交直线 m 于 Q，Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此 时 P、Q 即为所求的点。
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二、角与角的计算
2. 有关角度的计算
1. 角的概念
则 A'O' B' 就是所求作的角。
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⑷经过直线上一点做已知直线的垂线
⑸经过直线外一点作已知直线的垂线
作法：
①以 P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于 M、N； ②分别以 M、N 为圆心，大于 1 MN 的长为半径画弧，两
2
弧交于点 Q；
③过 P、Q 作直线 CD。
则直线 CD 是求作的直线。
（1）两点在直线外侧：
（2）两点在直线内侧：
（2）点与圆在直线同侧：
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三）两个动点，两个定点： 已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个
动点，P 在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定，在直线 m 上 要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用 平移知识解)
n
n
凸 n 边形的外角和为 3600，其中必有一个 3600 ，
n
也必有一个 3600 。
n
除了上述，还会用到下面一些的重要结论： ⑴三角形内角和为 1800，其中必有一个≥600，也必 有一个≤600。