多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x

y z

∂∂∂2 ，则在D 上，

x

y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域

(1)y x z -=；(2)2

2

arccos y

x z u +=

3．求下列各极限

(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0

0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→

4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及2

3y x z

∂∂∂。 5．求下列函数的偏导数 (1)x

y

arctg

z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du

。

8．曲线⎪⎩

⎪⎨⎧=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x

z

∂∂，y z ∂∂。 12．设x y e e xy =+，求

dx

dy 。 13．设()y x f z ,=是由方程03

=+-xy z e z

确定的隐函数，求x

z

∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

14．设y ye z x cos 2

+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。 16．利用全微分求

()()2201.498.2+的近似值。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

18．求曲面39

142

22=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。 19．求曲线t x 3

4

=

，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。 21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)()()[

]2

2

2

410ln ln arcsin y

x y x z --+-=；(2)2

22241

y x y x u ---+=

2．(1)设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+，求()y x f ,，()xy y x f ,-。

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,, 3．求下列函数的极限

(1)()

2

222221lim y x y x y x +∞→∞→⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+-；(2) ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+→→222

2

110

sin lim y

x y

x y x e e

4．设()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0),(,,2

4y x y x y x xy

y x f 当当，问()y x f y x ,lim 0

→→是否存在

5．讨论函数的连续性，其中()()⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。 6．二元函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy

y x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；

②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设()

y

y x z 21+=，求

x

z

∂∂，y z ∂∂。 8．设()z y x f u 2322

3

++=，求x

f

∂∂，22x f ∂∂。

9．设()z y x f u 2,3,22

3

=，求z

f

∂∂，x z f ∂∂∂2。

10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。 11．设()0,,=+xz z y xy f ，求

x

z

∂∂，y z ∂∂。 12．设0=-z x y z ，求1

1

1===z y x dz 。

13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求

x

z

∂∂和y z ∂∂。 15．求()

xy

y x z 2

2+=的偏导数。

16．设⎩⎨⎧=++=++1

02

22z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

。