初一数学绝对值难点突破(含答案)
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绝对值难点突破
1.|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为.
2.阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道,|m|=.现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数
式,如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时,可令m+1=0和m﹣2=0,分别求得m=﹣1,m=2(称﹣1,2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)m<﹣1;(2)﹣1≤m<2;(3)m≥2.从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况:
(1)当m<﹣1时,原式=﹣(m+1)﹣(m﹣2)=﹣2m+1;
(2)当﹣1≤m<2时,原式=m+1﹣(m﹣2)=3;
(3)当m≥2时,原式=m+1+m﹣2=2m﹣1.
综上讨论,原式=
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值;
(2)化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|;
(3)求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值.
3.当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时,求相应x的取值范围,并求出最小值.
4.同学们都知道:|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索:
(1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,
(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为.
(3)如果|x﹣2|=5,则x=.
(4)同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是.
(5)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,直接写出最小值;如果没有,说明理由.
5.认真阅读下面的材料,完成有关问题.
材料:在学习绝对值时,老师教过我们绝对值的几何含义,如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5﹣(﹣3)|,所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|=|5﹣0|,所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|.
(1)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1,那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为(用含绝对值的式子表示).
(2)利用数轴探究:①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是,②设
|x﹣3|+|x+1|=p,当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时,p的值是不变的,而且是p的最小值,这个最小值是;当x的值取在的范围时,|x|+|x﹣2|取得最小值,这个最小值是.
(3)求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为,此时x的值为.(4)求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值,求此时x的取值范围.
6.如果a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,那么+++的所有可能的值为.
7.已知|a|=5,|b|=6,且|a+b|=a+b,求a﹣b的值.
8.阅读材料:我们知道,若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b(如图所示),A、B两点间的距离表示为AB,则AB=|a﹣b|.所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离.根据上述材料,解答下列问题:(1)若点A表示﹣2,点B表示1,则AB=;
(2)若点A表示﹣2,AC=4,则点C表示的数是;
(3)若|x﹣3|=4,求x的值.
9.同学们都发现|5﹣(﹣2)|它的意义是:数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离,试探索:
(1)求|5﹣(﹣2)|=;
(2)|5+3|表示的意义是;
(3)|x﹣1|=5,则x在数轴上表示的点对应的有理数是.
10.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|c|.
(1)比较a,﹣a,b,﹣b,c,﹣c的大小关系.
(2)化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+(﹣c)|+|a+c|.
参考答案与试题解析
1.【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算.
【解答】解:当x≤﹣1时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4;当﹣1<x≤2时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6;
当2<x≤3时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2;
当x>3时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4.
综上所述,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为.
故答案为:.
2.【分析】(1)令x﹣5=0,x﹣4=0,解得x的值即可;
(2)分为x<4、4≤x<5、x≥5三种情况化简即可;
(3)根据(2)中的化简结果判断即可.
【解答】(1)令x﹣5=0,x﹣4=0,
解得:x=5和x=4,
故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4;
(2)当x<4时,原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x;
当4≤x<5时,原式=5﹣x+x﹣4=1;
当x≥5时,原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9.
综上讨论,原式=.
(3)当x<4时,原式=9﹣2x>1;
当4≤x<5时,原式=1;
当x≥5时,原式=2x﹣9>1.
故代数式的最小值是1.
3.【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小,可得答案.