【高中数学】离散型随机变量及其分布列+练习题

离散型随机变量及其分布列

一、离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列

一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．

X x 1x 2…x i …x n

P

p 1

P 2…p i …p n

三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；21

1n

i i p ==∑.

四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布

X 01P 1－p p

如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为

(),0,1,2,k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 0

1

…m

P

00n M N M

n N

C C C --11n M N M

n N

C C C --…

m n m M N M

n N

C C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()

X 1234

P 16131

6

p

A.16

B.13

C.23

D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1

3

.

2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点

C ．2颗都是2点

D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点

解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i

2a

(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝

()

A.19

B.16

C.13

D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝1

3

.

＝0.3，那么n ＝________.

解：1

n

×3＝0.3，∴n ＝10.

例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P

解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 1

2C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23

C 25＝310

.

1．对随机变量的理解

(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．

(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法

对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：

X －101

P 1

2

1－2q q 2

则q 等于()

A ．1

B ．1±22

C ．1－22

D ．1＋

2

2

解：由分布列的性质知

1－2q ≥0，

q 2≥0，

1

2

＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－

22

.ξ123…n

P k n k n k n …

k n

则k 的值为()A.12

B ．1

C ．2

D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋k

n

＝1，∴k ＝1.

ξ－2－10123

P

1123124121122121

12

若P (ξ2

12

，则实数x 的取值范围是__________．

解：由P (ξ2

12

且结合分布列得4

i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.

其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行

一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选

对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．