线代上机作业

上机作业（一）
随机生成5阶方阵A,B,C及5维列向量b，求：
①A+B,A-B.
解：在Matlab中输入：
A=rand(5,5);
B=rand(5,5);
C=rand(5,5);
b=rand(5,1);
得：
输入A+B；A-B.
得：
②A*B+B*A.
解：输入A*B+B*A.
得：
③Ax=b的解,并验证克莱姆法则.
解：输入：x=A\b.
得：
输入：D=A;D1=A;D2=A;D3=A;D4=A;D5=A;D1(:,1)=b;D2(:,2)=b;D3(:,3)=b;D4(:,4)=b;D5(:,5)=b; Y=[det(D1)/det(D);det(D2)/det(D);det(D3)/det(D);det(D4)/det(D);det(D5)/det(D)].
得：
发现：x=y,故克莱姆法则成立.
④A,B的行列式，逆，秩.
解：输入：det(A);det(B);inv(A);inv(B);rank(A);rank(B).得：
⑤A*B的行列式，逆，秩，并验证det(A*B)=det(A)*det(B).解：输入det(A*B);det(A)*det(B).
得：
可见det(A*B)=det(A)*det(B).
⑥验证(AB)T=B T A T,(AB)−1=B−1A−1,AB≠BA.
解：输入(A*B)’;B’*A’;inv(A*B);inv(B)*inv(A);A*B;B*A.
由此可见(AB)T =B T A T ,(AB)−1=B −1A −1,AB ≠BA . ⑦求矩阵X 使得AXB=C. 解：输入X=(A\C)/B. 得：
上机作业（二）
验证：对于一般的方阵A,B,C,D ， 若A,C 均为对角矩阵，且A 可逆，
则：
解：输入：
A=rand(3,3);B=rand(3,3);C=rand(3,3);D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)=B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A)*det(D)-det(B)*det(C).
A B A D B C
C D
≠-A B AD CB C D =-
由此可见
在Matlab中输入：
A=diag(diag(rand(3,3)));B=rand(3,3);C=diag(diag(rand(3,3)));D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)= B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A*D-C*B).
由此可见
上机作业（三）
N= 201465004共9位 a=最后两位 04. b=第4-5位 46. c=第6-7位 50. d=第4,8位 40. e=第1,8位 20. f=第5,9位 64. g=第4,9位 44. h=第5,7位 60.
求A 列向量组的一个最大无关组，并把不属于 极大无关组的向量利用极大无关组表示.
解：由题意可得该矩阵为：A=[4465012
34034
44312152220644417576080
]. 在MAtlab 中输入A=[4,46,50,40,3,4;1,2,3,4,4,3;12,15,22,17,5,7;20,64,44,60,8,0];b=rref(A).
所以α1,α2,α3,α4是一个极大无关组，且有：
α5=−0.2945α1−1.4863α2−0.0062α3+1.8214α4 α6=−0.0863α1−1.3001α2+0.3643α3+1.1484α4
上机作业（四）
Ax=b
的解在下列不同的取值时变化如何？
34123443121522175780a b c d
A e f g h ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
解：在Matlab 中输入syms x; syms y; B=[1;2+x;64;50];
A=[4,46,50,40;1+y,2+2*y,3+3*y,4+4*y;12,15,22,17;20,64,44,60]; A\B. 得：
即X=[(2∗(12597∗ε − 362∗δ + 11873))/(3975∗(ε + 1)) −(3298∗δ − 4563∗ ε+ 2033)/(7950∗(ε + 1))
(4791∗ε − 61∗δ + 4669)/(3975∗(ε + 1)) −(4413∗ε − 818∗δ + 2777)/(1590∗(ε + 1))].
上机作业（五）
随机生成4个5维向量，并进行正交化.
解：在Matlab 中输a=rand(5,1);b=rand(5,1);c=rand(5,1);d=rand(5,1);M=[a,b,c,d];N=orth(M). 得：
121223344,,121522170.1,0.2,0.5,0.7,0.9,0.95a
b c d b A f c e
f g h δεεεεδε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
+++++⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=--=---
-
即：四个五维向量为: [ 0.78030.38970.24170.40390.0965] 、[ 0.13200.94210.95610.57520.0598] 、[ 0.23480.35320.82120.01540.0430] 、[ 0.1690
0.64910.73170.64770.4509]
.
正交化向量为: [ −0.2454−0.5709−0.6522−0.4052−0.1559] 、[ 0.8748−0.0664−0.42190.22230.0533] 、[ −0.4065
0.1428−0.47270.64500.4182] 、[ 0.0895−0.50680.2989−0.12680.7935]
. 在Matlab 中输入N’*N 验证答案，得：
由结果可知答案正确.
上机作业（六）
I 、随机生成5阶矩阵 ，求其特征值及对应特征向量. 解：在Matlab 中输入A=rand(5,5); [X,B]=eig(A).
其中B 的对角线元素是特征值, X 的列是相应的特征向量.
II 、随机生成5维列向量x ，求矩阵XX′的特征值并观察结果，尝试得出一般性结论.
解：在Matlab 中输入syms a; syms b; syms c; syms d; syms e; x=[a;b;c;d;e]; y=x*x’; [X,B]=eig(y).
故当a,b,c,d,e 是实数时，矩阵XX′的特征值为(0,0,0,0,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2).
上机作业（七）
化简下列二次型，并判断正定性:
()222
1231122
233,,32f
x x x x x x x x x x =+-++()22
12312
1323,,44f
x x x x x x x x x =-+-
解：在Matlab中输入A=[1,1.5,0;1.5,-1,1;0,1,1];[P,D]=schur(A).
得：
P就是所求的正交矩阵,使得P’AP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g=−2.0616y12+ y22+2.0616y32.此二次型非正定非负定.
在Matlab中输入A=[1,0,2;0,-1,-2;2,-2,0] ;[P,D]=schur(A).
得：
P就是所求的正交矩阵,使得P’AP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g=−3y12+3y32.此二次型非正定非负定.
上机作业（八）
某城市共30万人从事农业、工业、商业工作，假定此人数不变，另外，社会调查表明：（1）在此30万人中，目前约15万人从事农业，9万人从事工业，6万人从事商业；（2）农业人员中，每年20%转为工业，10%转为商业；
（3）工业人员中，每年20%转为农业，10%转为商业；
（4）商业人员中，每年10%转为农业，10%转为工业；
预测一、二年后各行业人数，及若干年后各行业人数。

解：变换矩阵：农、工、商：
[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8]*[15;9;6].若设变换矩阵为A，则n年之后就是A n.
在Matlab中输入: A=[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8]; B=[15;9;6]; A*B; A*A*B.
得：
即一年后农业12.9万人,工业9.9万人,商业7.2万人；两年后农业11.73万人,工业10.23万人,商业8.04万人.特别的,无穷多年后,三个行业人数会趋于相同.
材料学院1401张说(201465004)。