高中数学沪教版(上海)高三第一学期1平面课件
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14.1 平 面
平面的概念
宁静的湖面，一望无垠的草原给你什么样的感 觉？如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以向四周 无限的延展，神通广大的孙悟空使尽浑身解数也难 以逃脱．
观察
请你从适合的角度和距离观察桌面,黑 板面或者窗户的表面,它们呈现出怎样的 形象？
1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、 海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面 是无限延展 的．
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
设
a
l A, b
, l B
ab
a, b可以确定一个平面
3．已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面． 证明：法一：
法二：∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β， 又l∩b＝B，∴B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与 β重合．故直线a，b，l共面．
高中数学沪教版（上海）高三第一学 期1平面 课件
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2．从集合角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线
的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元
素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
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思考
如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角形所在的平面与课桌所在 的平面是否只相交与一点B？为什么？
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B
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公理2：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线.
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集
合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．
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举例
例1：如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
B
A
β
b
α
a
l
(1)
(2)
解：在(1)中， l, a A, a B
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
[一点通] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1 和公理3，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线 都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、 线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
问题1：生活中的平面有大小之分吗，其“平”是相 对的还是绝对的？
提示：有大小之分．相对的． 问题2：几何中的“平面”是怎样的？ 提示：抽象的理想化，绝对平，无大小之分．
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1．几何里的平面有以下几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的； (4)平面是由空间点、线组成的无限集合； (5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
B
A
C
[例2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一 平面内．
[思路点拨] 先选取两条直线构造一个平面，然 后证明其他直线都在这个平面上．
[精解详析] 已知：如图所 示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝ C.
求证：直线l1、l2、l3在同一 平面内．
证法1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂ α，∴B∈α. 同理可证C∈α.
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平面的表示法
1、平面是无限延展的 2、画法： 常用平行四边形
3、记法： ①平面α 、平面β 、平面γ ②平面ABCD ③平面AC 或平面BD
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平面画法总结
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形 ，它的锐 角通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍 ． 如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立 体感，把被遮挡部分用 虚线 画出来．如图②.
练习1：
• 已知点A,B,C在平面α上，证明 ：△ABC的三条边所在直线都 在平面α上
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相交平面画法
画两个平面相交
β
时,当一个平面
β
的一部分被另一
α
个平面遮住时,
α
应把被遮住的部
分画成虚线或不
画.
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又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂ α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂ α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂ β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β 内．
在(2)中， l,a ,b ,a l P,b l P
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1．“平面 α 内有一条直线 a，则这条直线上的一点 A
必在这个平面内”用符号语言描述正确的是 ( )
A. aA⊂⊂αα⇒A⊂α
B. aA⊂∈αa⇒A∈α
C. aA∈⊂αα⇒A∈α
D. aA∈∈αα⇒A⊂α
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平面的基本性质
公理1 若一条直线的两点在一个平面内，则 这条直线上所有的点都在这个平面内
即:
来自百度文库
l
B
A
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即: P , P l, P l
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思考
过一点可以做几条直线？两点呢？
过空间中一点可以做几个平面？
两点,三点呢？
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公理3：经过不在同一条直线上的三 点,有且只有一个平面.
平面的概念
宁静的湖面，一望无垠的草原给你什么样的感 觉？如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以向四周 无限的延展，神通广大的孙悟空使尽浑身解数也难 以逃脱．
观察
请你从适合的角度和距离观察桌面,黑 板面或者窗户的表面,它们呈现出怎样的 形象？
1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、 海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面 是无限延展 的．
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
设
a
l A, b
, l B
ab
a, b可以确定一个平面
3．已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面． 证明：法一：
法二：∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β， 又l∩b＝B，∴B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与 β重合．故直线a，b，l共面．
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2．从集合角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线
的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元
素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
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思考
如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角形所在的平面与课桌所在 的平面是否只相交与一点B？为什么？
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B
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公理2：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线.
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集
合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．
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举例
例1：如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
B
A
β
b
α
a
l
(1)
(2)
解：在(1)中， l, a A, a B
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
[一点通] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1 和公理3，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线 都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、 线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
问题1：生活中的平面有大小之分吗，其“平”是相 对的还是绝对的？
提示：有大小之分．相对的． 问题2：几何中的“平面”是怎样的？ 提示：抽象的理想化，绝对平，无大小之分．
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1．几何里的平面有以下几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的； (4)平面是由空间点、线组成的无限集合； (5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
B
A
C
[例2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一 平面内．
[思路点拨] 先选取两条直线构造一个平面，然 后证明其他直线都在这个平面上．
[精解详析] 已知：如图所 示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝ C.
求证：直线l1、l2、l3在同一 平面内．
证法1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂ α，∴B∈α. 同理可证C∈α.
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平面的表示法
1、平面是无限延展的 2、画法： 常用平行四边形
3、记法： ①平面α 、平面β 、平面γ ②平面ABCD ③平面AC 或平面BD
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平面画法总结
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形 ，它的锐 角通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍 ． 如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立 体感，把被遮挡部分用 虚线 画出来．如图②.
练习1：
• 已知点A,B,C在平面α上，证明 ：△ABC的三条边所在直线都 在平面α上
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相交平面画法
画两个平面相交
β
时,当一个平面
β
的一部分被另一
α
个平面遮住时,
α
应把被遮住的部
分画成虚线或不
画.
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又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂ α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂ α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂ β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β 内．
在(2)中， l,a ,b ,a l P,b l P
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1．“平面 α 内有一条直线 a，则这条直线上的一点 A
必在这个平面内”用符号语言描述正确的是 ( )
A. aA⊂⊂αα⇒A⊂α
B. aA⊂∈αa⇒A∈α
C. aA∈⊂αα⇒A∈α
D. aA∈∈αα⇒A⊂α
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平面的基本性质
公理1 若一条直线的两点在一个平面内，则 这条直线上所有的点都在这个平面内
即:
来自百度文库
l
B
A
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即: P , P l, P l
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思考
过一点可以做几条直线？两点呢？
过空间中一点可以做几个平面？
两点,三点呢？
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公理3：经过不在同一条直线上的三 点,有且只有一个平面.