用平面向量坐标表示向量共线条件PPT教学课件
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高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
新人教A版必修二 平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示 课件(16张)
课标要求:1.理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌 握平面向量的坐标运算,能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运 算法则进行有关的运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.会 根据平面向量的坐标判断向量是否共线.
自主学习
知识探究
1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直_____的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为 基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实 数x,y,使得a=x i+yj,我们把有序数对___(_x_,_y_)___叫做向量a的坐标,记作 a=__(_x_,_y_)____,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i= (1,0),j=(0,1),0=(0,0).
解:(1)设点 A(x,y),B(x0,y0),因为︱a︱=2,且∠AOx=45°,所以 x=2cos 45°= 2 ,且 y=2sin 45°= 2 .又︱b︱=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以 x0=
3cos 120°=- 3 ,y0=3sin 120°= 3 3 .故 a= OA =( 2 , 2 ),b= OB =
2
2
（- 3 , 3 3 ）. 22
(2)已知点 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 OA =a, OB =b, OC =c 且︱a︱=2,︱b︱=1,︱c︱=3.求向量 AB , BC 的坐标.
解: (2)如图所示,以点 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴的非负半轴,建立平面 直角坐标系.因为︱ OB ︱=1,∠AOB=150°,所以 B(cos 150°,sin 150°),
自主学习
知识探究
1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直_____的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为 基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实 数x,y,使得a=x i+yj,我们把有序数对___(_x_,_y_)___叫做向量a的坐标,记作 a=__(_x_,_y_)____,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i= (1,0),j=(0,1),0=(0,0).
解:(1)设点 A(x,y),B(x0,y0),因为︱a︱=2,且∠AOx=45°,所以 x=2cos 45°= 2 ,且 y=2sin 45°= 2 .又︱b︱=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以 x0=
3cos 120°=- 3 ,y0=3sin 120°= 3 3 .故 a= OA =( 2 , 2 ),b= OB =
2
2
（- 3 , 3 3 ）. 22
(2)已知点 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 OA =a, OB =b, OC =c 且︱a︱=2,︱b︱=1,︱c︱=3.求向量 AB , BC 的坐标.
解: (2)如图所示,以点 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴的非负半轴,建立平面 直角坐标系.因为︱ OB ︱=1,∠AOB=150°,所以 B(cos 150°,sin 150°),
平面向量共线的坐标表示课件(共33张PPT)
预习探究
[判断] (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 等价于xx21＝yy12.(
)
(2)向量 a＝(1，2)与向量 b＝(4，8)共线．( )
(3)向量 a＝(2，3)与向量 b＝(－4，－6)反向．( )
[答案](1)× (2)√ (3)√
备课素材
根据平面向量的坐标，判定向量共线．
果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这
种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的 坐标表示．
新课导入
[导入] (1)若 a＝(1，－1)，b＝(－1，1)，则 a＋b 等于( ) A．0 B．(0，0) C．2 D．－2 [答案] B [解析] a＋b＝(1－1，－1＋1)＝(0，0)．
[答案] 1
λ1＋2λ2＝3，
λ1＝－1，
[解析] λ1a＝(λ1，2λ1)，λ2b＝(2λ2，3λ2)，2λ1＋3λ2＝4，解得λ2＝2， ∴λ1＋λ2＝1.
(4)已知点 A(－1，2)，若向量A→B＝3a，a＝(1，3)，则点 B 的坐标为________．
[答案] (2，11) [解析] A→B＝3a＝(3，9)．又(－1，2)＋(3，9)＝(2，11)，∴B 点坐标为(2，11)．
考点类析
考点二
三点共线问题
[重点探究型]
[导入] 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则A→C与B→C____共线______，A→B与A→C
共线
0
________，所以(x2－x1)·(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝________．
课件9：2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
学习导航
1.了解向量共线条件的推导过程． 2.理解用坐标表示平面向量共线的条件． 3．掌握运用向量共线的条件解决有关向量共线、直线平行及点共线 等问题．
新知提炼
两个向量平行的坐标表示
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a∥b⇔__a_1b_2_－__a_2_b_1_1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)， 求证点 A，B，C 共线． (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为 何值时，A，B，C 三点共线．
【解】 (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B，即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
解析：选 C.因为 a∥b，所以(－1)×(－2)－3x＝0，所以 x＝23.
2．已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， 3)，若 a－2b 与 c 共线，则 k＝________. 解析：a－2b＝( 3，3)，根据 a－2b 与 c 共线，得 3k＝ 3× 3， 解得 k＝1. 答案：1
B(－5，2)，若 C 点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，因为A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
2．已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，
方法归纳 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路， 一是利用共线向量定理 a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向 量共线的坐标表达式 a1b2－a2b1＝0 直接求解．
高中数学人教B版必修四2.2.3《用平面向量坐标表示向量共线条件》ppt同步课件
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规律技巧 解题的关键是利用向量运算求出点 E、F 的坐 标．
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变式训练 3 如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标．
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规律技巧 考查向量共线坐标形式的应用，注意其中的转 化关系．
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变式训练 2 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
例 3 已知 A、B、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)， 并且A→E＝13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B.
剖析 要证E→F∥A→B，依据向量共线的条件，只需对相应的 坐标进行运算，因此需求出点 E、F 的坐标．
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例 1 已知 A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，判 断A→B与C→D是否共线，B→C与A→D是否共线．
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解析 解法 1：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时， 存在唯一实数 λ 使 ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴k2－k＋3＝2＝10－λ，4λ. 解得 k＝λ＝－13.
规律技巧 解题的关键是利用向量运算求出点 E、F 的坐 标．
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变式训练 3 如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标．
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规律技巧 考查向量共线坐标形式的应用，注意其中的转 化关系．
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变式训练 2 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
例 3 已知 A、B、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)， 并且A→E＝13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B.
剖析 要证E→F∥A→B，依据向量共线的条件，只需对相应的 坐标进行运算，因此需求出点 E、F 的坐标．
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典例剖析 例 1 已知 A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，判 断A→B与C→D是否共线，B→C与A→D是否共线．
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解析 解法 1：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时， 存在唯一实数 λ 使 ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴k2－k＋3＝2＝10－λ，4λ. 解得 k＝λ＝－13.
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
向量共线的条件与轴上向量坐标运算PPT教学课件
[解析] ∵e 为单位向量，∴|e|＝1， 又A→B＝4e，∴AB＝4，A→D＝A→B＋B→D＝4e＋(－3e)＝e， ∴AD＝1，|B→D|＝|－3e|＝3.
课堂典例讲练
•证明三点共线
已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1 ＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共 线．
[解析] (1)若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，
使 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)． ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
∵e1、e2 不共线，∴43＋－86λλ＝＝00 ，∴λ 不存在，
∴a 与 b 不共线．
(2)∵e1、e2 共线， ∴存在 λ∈R，使 e1＝λe2， ∴a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2. 当 λ≠43时，a＝36λλ＋－48b，a、b 共线．
• 已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－ 3、－1、4求AB、BD、DA的坐标和长度．
[解析] AB＝－3－2＝－5，BD＝4－(－3)＝7，
DA＝2－4＝－2，|A→B |＝5，|B→D|＝7，|D→A|＝2.
•共线向量定理的应用
•
已知非零向量e1和e2不共线，欲使
ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k值．
• [点评] 在解题过程中，利用了实数与向量的 积以及它们满足的交换律，结合律，再根据 两向量共线的充要条件，从而得证．
• (1)已知e1、e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2， b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
• (2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b ＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
课堂典例讲练
•证明三点共线
已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1 ＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共 线．
[解析] (1)若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，
使 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)． ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
∵e1、e2 不共线，∴43＋－86λλ＝＝00 ，∴λ 不存在，
∴a 与 b 不共线．
(2)∵e1、e2 共线， ∴存在 λ∈R，使 e1＝λe2， ∴a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2. 当 λ≠43时，a＝36λλ＋－48b，a、b 共线．
• 已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－ 3、－1、4求AB、BD、DA的坐标和长度．
[解析] AB＝－3－2＝－5，BD＝4－(－3)＝7，
DA＝2－4＝－2，|A→B |＝5，|B→D|＝7，|D→A|＝2.
•共线向量定理的应用
•
已知非零向量e1和e2不共线，欲使
ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k值．
• [点评] 在解题过程中，利用了实数与向量的 积以及它们满足的交换律，结合律，再根据 两向量共线的充要条件，从而得证．
• (1)已知e1、e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2， b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
• (2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b ＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
《用平面向量坐标表示向量共线条件》例题PPT教学课件
解得 k＝－2 或 k＝11.
2020/12/12
5
考点三 向量共线问题及应用
向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表 现，也是几何问题代数化的具体表现． 例3 已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与 4b－2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是 同向还是反向？
2020/12/12
→ 解方程 → 答案
【解析】 由a∥b⇔x2＝－9无实数解，故①不对； 又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3 ＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对； 因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)， 由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0. 即x2＝－9无实数解，故③不对； 由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0， 即m(x2＋9)＝0，∴m＝0，x∈R，故④正确．
【思路点拨】 A、B、C 三点共线可转化成A→B、A→C共 线，直接利用向量共线的条件来解．
2020/12/12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
【解】 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝ O→C－O→A＝(10－k，k－12)． 又因为 A、B、C 三点共线， 所以A→B＝λA→C.
所以4－k＝λ10－k ， －7＝λk－12
2020/12/12
2
【答案】 ④ 【点评】 对于根据向量共线的条件求值的问题， 一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝ λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐 标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2020/12/12
3
例2 已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10， k)．当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
2020/12/12
5
考点三 向量共线问题及应用
向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表 现，也是几何问题代数化的具体表现． 例3 已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与 4b－2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是 同向还是反向？
2020/12/12
→ 解方程 → 答案
【解析】 由a∥b⇔x2＝－9无实数解，故①不对； 又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3 ＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对； 因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)， 由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0. 即x2＝－9无实数解，故③不对； 由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0， 即m(x2＋9)＝0，∴m＝0，x∈R，故④正确．
【思路点拨】 A、B、C 三点共线可转化成A→B、A→C共 线，直接利用向量共线的条件来解．
2020/12/12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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【解】 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝ O→C－O→A＝(10－k，k－12)． 又因为 A、B、C 三点共线， 所以A→B＝λA→C.
所以4－k＝λ10－k ， －7＝λk－12
2020/12/12
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【答案】 ④ 【点评】 对于根据向量共线的条件求值的问题， 一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝ λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐 标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2020/12/12
3
例2 已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10， k)．当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
高中数学2.2.3《用平面向量坐标表示向量共线条件》课件(人教B版必修4)
∴x－1×2＝0，即x＝2. 此时a＝(1,1)，b＝(2,2)＝2a， ∴a与b的方向相同． 【点评】 共线向量既刻画了几何位置(共线或平 行)，又建立了向量坐标之间的数量关系 (x1y2＝ x2y1)，有关共线向量的坐标表示问题，建立方程 或方程组求解是常用的解题方法．
变式训练 3 设点 A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n ＋1)，D(2,2n＋1)，若向量A→B与C→D共线且同向，求 n 的值．
若 n＝－2，此时A→B＝(－2,1)， C→D＝(4，－2)＝－2A→B， 故A→B与C→D反向，不合题意． 综上可知 n 的值为 2.
方法感悟
1．向量共线有两种表述形式 (1)b∥a(a≠0)⇔b＝λa，λ是唯一确定的实数； (2)b∥a(a≠0)⇔a1b2－a2b1＝0. 2．两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个 方面： (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平 面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直 线平行等几何问题．要注意区分向量的共线，平 行与几何中的共线、平行．
解：法一：∵A、B、C 三点共线，即A→B、B→C共线， ∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→C， 即 i－2j＝λ(i＋mj)．于是λλm＝＝1 －2 ， ∴m＝－2，即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
法二：依题意知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，则 A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， B→C＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 而A→B、B→C共线， ∴1×m－1×(－2)＝0， ∴m＝－2. 故当 m＝－2 时，A、B、C 三实数 λ，使得 a＝λb， 即 i－(2m－1)j＝λ(2i＋mj)，又 i，j 不共线， ∴2λ＝1，
λm＝－2m－1.
∴m2 ＝－2m＋1，即 m＝25. ∴a＝i＋15j，b＝2i＋25j. 故 a＝(1，15)，b＝(2，25)．
2017_18学年高中数学第二章2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件课件
解法一 ∵A,B,C 三点共线,即������������, ������������ 共线,
∴存在实数 λ,使得������������=λ������������,即 i-2j=λ(i+mj).
������ = 1, 于是 ∴m=-2. ������������ = -2, 故当 m=-2 时,A,B,C 三点共线. 解法二 依题意,知 i=(1,0),j=(0,1), 则������������=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), ������������=(1,0)+m(0,1)=(1,m). 又易知������������, ������������ 共线, ∴1×m-1×(-2)=0.∴m=-2. 故当 m=-2 时,A,B,C 三点共线.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 已知 A(1,-1),B(5,-4),在直线 AB 上有一点 M,满 足|������������|=3|������������|,试求点 M 的坐标.
解: 设 M(x,y),则������������=(x-1,y+1),������������=(5-x,-4-y). 因为|������������|=3|������������|, 所以������������=3������������ 或������������=-3������������. 当������������=3������������时,有(x-1,y+1)=3(5-x,-4-y), 所以 x-1=15-3x,y+1=-12-3y, 解得 x=4,y=- 4 ,
【例2】 已知向量 ������������=i-2j,������������=i+mj,其中i,j分别是x轴、y轴正 方向上的单位向量,试确定实数m的值,使A,B,C三点共线. 分析解答本题可直接利用向量共线的条件来求解,也可根据单位 向量i,j,利用向量的坐标进行运算.
高中数学 用平面向量坐标表示向量共线条件 课件 苏教版必修4
7
小结：
若向量a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a / / b的充要条件是x1 y2 x2 y1 0
8
• 作业： • 105页练习B 1、2
9
•再见
10
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4
)
6
2、与a (12,5)平行的单位向量是（） 12 12 5 （A）（ ， 5）（B）（ ， ） 13 13 13 12 5 12 5 12 5 （C）（ ， ）或（ ， ）（D）（ ， ） 13 13 13 13 13 13
x2
y2
上式用语言可以表述为： 两个向量平行的条件是，相应坐标成比例
例1 已知a (4, 2), b (6, y), 且a / / b，求y.
4
例2、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
5
练习：
1、 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内 所有向量的基底，正确的是（ ）
. 2
பைடு நூலகம்
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
这是在假设b≠0的条件下推出的。事实上，如果 在讨论平行问题时，规定零向量可以与任意向量 平行，所以可以去掉b≠0的假设。
3
如果向量b不平行于坐标轴，即 y1 上式可以化为： x1
x 2 0, y2 0 ，
用平面向量坐标表示向量 共线条件
高一数学平面向量共线的坐标表示(PPT)5-4
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
rr a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
rr a b (x1 x2, y1 y2)
一点一点地吃掉，比喻逐步侵占：～政策。 【蚕丝】ī名蚕吐的丝，主要用来纺织绸缎，是我国的特产之一。也叫丝。 【蚕蚁】名刚孵化出来的幼蚕，身体 小，颜色黑，像蚂蚁，所以叫蚕蚁。也叫蚁蚕。 【蚕纸】名养蚕的人通常使蚕蛾在纸上产卵，带有蚕卵的纸叫蚕纸。 【蚕子】（～儿）名蚕蛾的卵。 【惭】 （慚、慙）惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【惭愧】形；2205不锈钢板 2205不锈钢板；因为自己有缺点、做错了事或未能尽到责任 而感到不安：深感～｜～万分。 【惭色】〈书〉名惭愧的神色：面有～。 【惭颜】〈书〉名羞愧的表情。 【惭怍】〈书〉形惭愧：自增～。 【惨】（慘） ①形悲惨；凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。②形程度严重；厉害：～重｜冻～了｜敌人败得很～。③凶恶；狠度：～无人道。 【惨案】’名①指反 动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 【惨白】形状态词①（景色）暗淡 而发白：～的月光。②（面容）苍白：脸色～。 【惨败】动惨重失败：敌军～◇客队以比～。 【惨变】①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。②动（脸色） 改变得很厉害（多指变白）：吓得脸色～。 【惨不忍睹】悲惨得让人不忍心看下去，形容极其悲惨。 【惨怛】〈书〉形忧伤悲痛：～于心。 【惨淡】（惨 澹）形①暗淡无色：天色～｜～的灯光。②凄凉；萧条；不景气：秋风～｜神情～｜生意～。③形容苦费心力：～经营。 【惨度】形残忍狠度：手段～。 【惨祸】名惨重的灾祸。 【惨景】名凄惨的景象。 【惨境】名悲惨的境地：陷入～。 【惨剧】名指惨痛的事件。 【惨绝人寰】人世上还没有过的悲惨，形 容悲惨到了极点。 【惨苦】形凄惨痛苦。 【惨厉】形凄凉；凄惨：风声～｜～的叫喊声。 【惨烈】形①十分凄惨：～的景象。②极其壮烈：～牺牲。③猛 烈；厉害：为害～｜～的斗争。 【惨然】形形容内心悲惨：～落泪。 【惨杀】动残杀：～无辜｜横遭～。 【惨死】动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀下。 【惨痛】形悲惨痛苦：～的教训。 【惨无人道】残酷到了没有一点人性的地步，形容凶恶残暴到了极点。 【惨笑】动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【惨重】形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。 【惨状】名悲惨的情景、状况。 【?】（穇）［?子］（?）名①一年生草本植物，茎有很多分 枝，叶子狭长。子实椭圆形，可以吃。②这种植物的子实。 【??】（篸）〈方〉名一种簸箕。 【憯】〈书〉同“惨”。 【黪】（黲）〈书〉①浅
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
rr a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
rr a b (x1 x2, y1 y2)
一点一点地吃掉，比喻逐步侵占：～政策。 【蚕丝】ī名蚕吐的丝，主要用来纺织绸缎，是我国的特产之一。也叫丝。 【蚕蚁】名刚孵化出来的幼蚕，身体 小，颜色黑，像蚂蚁，所以叫蚕蚁。也叫蚁蚕。 【蚕纸】名养蚕的人通常使蚕蛾在纸上产卵，带有蚕卵的纸叫蚕纸。 【蚕子】（～儿）名蚕蛾的卵。 【惭】 （慚、慙）惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【惭愧】形；2205不锈钢板 2205不锈钢板；因为自己有缺点、做错了事或未能尽到责任 而感到不安：深感～｜～万分。 【惭色】〈书〉名惭愧的神色：面有～。 【惭颜】〈书〉名羞愧的表情。 【惭怍】〈书〉形惭愧：自增～。 【惨】（慘） ①形悲惨；凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。②形程度严重；厉害：～重｜冻～了｜敌人败得很～。③凶恶；狠度：～无人道。 【惨案】’名①指反 动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 【惨白】形状态词①（景色）暗淡 而发白：～的月光。②（面容）苍白：脸色～。 【惨败】动惨重失败：敌军～◇客队以比～。 【惨变】①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。②动（脸色） 改变得很厉害（多指变白）：吓得脸色～。 【惨不忍睹】悲惨得让人不忍心看下去，形容极其悲惨。 【惨怛】〈书〉形忧伤悲痛：～于心。 【惨淡】（惨 澹）形①暗淡无色：天色～｜～的灯光。②凄凉；萧条；不景气：秋风～｜神情～｜生意～。③形容苦费心力：～经营。 【惨度】形残忍狠度：手段～。 【惨祸】名惨重的灾祸。 【惨景】名凄惨的景象。 【惨境】名悲惨的境地：陷入～。 【惨剧】名指惨痛的事件。 【惨绝人寰】人世上还没有过的悲惨，形 容悲惨到了极点。 【惨苦】形凄惨痛苦。 【惨厉】形凄凉；凄惨：风声～｜～的叫喊声。 【惨烈】形①十分凄惨：～的景象。②极其壮烈：～牺牲。③猛 烈；厉害：为害～｜～的斗争。 【惨然】形形容内心悲惨：～落泪。 【惨杀】动残杀：～无辜｜横遭～。 【惨死】动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀下。 【惨痛】形悲惨痛苦：～的教训。 【惨无人道】残酷到了没有一点人性的地步，形容凶恶残暴到了极点。 【惨笑】动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【惨重】形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。 【惨状】名悲惨的情景、状况。 【?】（穇）［?子］（?）名①一年生草本植物，茎有很多分 枝，叶子狭长。子实椭圆形，可以吃。②这种植物的子实。 【??】（篸）〈方〉名一种簸箕。 【憯】〈书〉同“惨”。 【黪】（黲）〈书〉①浅
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a1b2－ a2b1=0
⑴
2020/12/10
2
⑴式就是两个向量平行的条件
那么当向量b不平行于坐标轴时，即b1≠0，
b2≠0时，⑴式可化为：
a1 a2
⑵
b1 b2
⑵式用语言可表示为:两个向量平行的条件 是相应坐标成比例。
2020/12/10
3
向量平行的充要条件三种形式：
(1 )a /b /(b 0 ) a b
y=3
2.已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα), 且a//b,
求tanα.
tanα=4 /3
2020/12/10
8
3. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向 量ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是 反向.
解：ka－b=(k－2, －1),
∵a//b,
解：5秒种后，P点坐标为 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5).
2020/12/10
15
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
16
A．x =－1
B．x=3
C．x= 9
2
D．51
6.设a=(
3 2
, sinα)，b=(cosα,
角α为 ( )C
A．30o
B．60o
)1，且a// b，则锐
3
C．45o
D．75o
2020/12/10
11
7. △ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为(__23__, 43__) _
a b aБайду номын сангаас ( 2 )// a 1 b 2 a 2 b 1 0 , ( a 1 , a 2 ) , ( b 1 , b 2 )
ab a b （ 3 ） / / a b 1 1a b2 2, (a1,a2) ,(b 1,b2)
且 b 10,b20
2020/12/10
4
例1 已知向量 AB =（2，5）和向量a(1,y),并 且向量 AB ∥a，求a的纵坐标y。
8.已知向量a=(2x, 7), b=(6, x+4)，当x=_3_或__－__7_ 时，a//b．
2020/12/10
12
9.若|a|=2 3 ，b =(－1, 3)，且a//b，则a
=_____．
( 30,3 30), 55
(
30 , 3
30 )
5
5
2020/12/10
13
练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,
－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d
为
.
解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6).
2020/12/10
14
2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
v(4,3),设起始P(－10,10), 则5秒钟后点P 的坐标为( ).
2020/12/10
6
解：A B ( 0 , 1 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) A C ( 2 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 4 , 8 )
∵2×8－4 ×4=0， 所以 AB//AC 因此A，B，C三点共线.
2020/12/10
7
练习： 1.已知a=(4, 2)，b=(6, y)，且a//b，求y.
k 1 3
这两个向量是反向。
a+3b=(7, 3),
2020/12/10
9
4.已知A, B, C三点共线,且A (3, －6), B(－5, 2),
若点C横坐标为6, 则C点的纵坐标为 ( C )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
2020/12/10
10
5. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线， 则（ B ）
2.2.3用平面向量坐标表示 向量共线条件
2020/12/10
1
两个向量a, b平行的条件： a=λb，b≠0.
那么当向量a的坐标为(a1, a2), b的坐标为 (b1, b2)时，代入上式，得 (a1, a2)=λ(b1, b2) .
(a1,a2)=(λb1, λb2) 即 a1=λb1 ， a2=λb2
解：利用⑴式可求出y的值， 1×5－2×y=0
所以 y 5 2
2020/12/10
5
例2. 在直角坐标系xOy内，已知A(－2,－3)、 B(0,1)、C(2,5)，求证：A、B、C三点共线。
说明：利用向量的线性运算求出向量 AB, AC
的坐标，再利用向量平行的条件式 ，就可知A、 B、C三点共线。