求圆的方程

求圆的（标准）方程常见类型

一、已知圆心和半径─公式法

例1圆心C （-3,4），半径为5【参考答案5)4()3(22=-++y x 】

变式1：已知圆心和圆上一点

例2已知圆心C （8，-3），且经过点M （5,1） 解：525)13()58(22==--+-=r

∴所求圆的方程是25)3()8(22=++-y x

变式2：已知圆的一条直径的两个端点

例3已知A (－4，－5)、B (6，－1)，求以线段AB 为直径的圆的方程【参考

答案(x －1)2＋(y ＋3)2＝29】

总结归纳：圆的标准方程是)0()()(222>=-+-r r b y a x

二、已知圆上两点和半径

例4在轴上的截距为-1和9，且半径为13

解法1：由题意得，所求圆经过两个点A （-1,0）和B （9,0）

则弦AB 的中垂线方程为4=x ，所以设圆心坐标为C （4，b ） ∴13))1(4(22=+--=b AC 解得12±=b

∴所求方程为(x －4)2＋(y ±12)2＝169

解法2：（待定系数法）设圆的方程为169)()(22=-+-b y a x

因为圆经过两个点A （-1,0）和B （9,0）

⎩⎨⎧=-+-=-+--∴169

)0()9(169)0()1(2222b a b a 解得⎩⎨⎧==124b a 或⎩⎨⎧-==12

4b a ∴所求方程为(x －4)2＋(y ±12)2＝169

三、已知圆上两点且圆心在一条直线上

例5圆过点A (1，－2)，B (－1,4)， 圆心在直线2x －y －4＝0上，求圆的方

程。

解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .

即

x －3y ＋3＝0

由⎩⎨⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 得⎩⎨⎧

x ＝3，y ＝2.

即圆心坐标是C (3,2)．

r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5.

∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.

解法2：∵圆心在直线2x －y －4＝0上，故可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，

∵A ，B 在圆上，∴|CA |＝|CB |

2020))2(42()1(---+-x x =2020)442())1((--+--x x

解得30=x 所以C （3,2）20=r

∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.

解法3：待定系数法

设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.

则⎩⎨⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，

2a －b －4＝0.⇒⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2，r 2＝20.

∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.

归纳总结：当圆心在一条直线上时，可以用一个未知数设出圆心坐标，从而

减少未知数个数，简化计算。

四、已知三点

例6设P (0,0)、Q (5,0)、R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆方程

解：由题意知△PQR 是直角三角形．

又|QR |＝52＋122＝13，内切圆的半径是r 1＝5＋12－132

＝2，其圆心为C 1(2，－2)．

∴内切圆方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，

外接圆半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫52，－6. ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694. 已知三个点可采用待定系数法和与类型三相同的解法。