2015年全国大学生数学建模竞赛A题.

太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。

本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。

直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。

但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。

我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。

众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。

我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。

影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。

问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。

根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。

再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。

我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。

对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。

关键字：太阳影子轨迹Matlab 曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

针对问题一，地球的运动可以看成是在进行年复一年相同的转动，此问题中给出了确切的时间，假设在一天当中，地球不进行公转。

即太阳与地球的相对位置是确定，太阳直射点的纬度是已知条件。

同时题给出了确切的地点在天安门广场即已知经纬度，而且已知直杆的高度，在北京时间9:00-15:00之间求解太阳影子长度的变化。

针对问题二，只给出了测量的日期和随时间变化，要求解出，测量地点的经纬度，确定观测点。

针对上诉问题建立模型，在确定的日期，假设地球在一天内不存在公转，则在确定的日期内太阳直射点的纬度是已知的。

其他的角度就需要运用对数据的分析来求解。

针对问题三，要求格局直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

并根据附件2和附件3中的影子顶点坐标数据求出可能的观测地点和日期。

针对问题四，给出了一根直杆在太阳的影子变化的视频，并且已知杆的高度为2米，视频中给出了拍摄的日期要求建立数学模型，通过对视频的分析和处理求解出可能的拍摄地点。

之后还问到，如果拍摄日期未知求解拍摄地点和日期。

（三）模型的假设，符号说明1）模型的假设1.在一天当中，地球只存在自转，不会围绕太阳进行公转，即赤纬角角度保持不变。

2.直杆在测量过程中一直保持直立在坚硬的地面上。

3.测量过程中天气一直晴朗，不存在其他光的介入，从而导致影子的变化。

4.不考虑太阳光线在通过大气层的过程中的反射和折射。

5.太阳和地球的距离足够远，故假设照射到地球的太阳光为平行光2）符号说明Ф……………………………………所在地的地理纬度θ……………………………………所在地的地理经度Ο……………………………………直杆地球位置点Ｈ……………………………………直杆的高度Ω……………………………………时角（地球自转随时间变化的角度）δ……………………………………赤纬角（垂直照射光线和赤道投影线的夹角）ｈ……………………………………太阳高度角（太阳光入射方向和地平面间的夹角）Α……………………………………太阳方位角（太阳光在地面投影与当地经线夹角）Ｌ……………………………………太阳位置点（地心与日心连线和地球球面的交点）ω……………………………………地球自转的角速度t ……………………………………太阳某位置的方位时间n ……………………………………24h制的时间数T ……………………………………北京时间N ……………………………………日期序数（四）模型的建立在问题一的条件下进行建模一根直立的杆，其影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化。

不妨假设太阳的位置在确定的某一天某一时刻位置如图一所示，杆高为H，太阳的光线通过杆的顶点P，在地面上形成的影子点P’，影子的长度即为OP’，记为L，可以假设太阳的光线与地面的夹角∠PP，O=β则夹角应满足：L=cotβH地球的自转和围绕太阳公转引起地球上物体受到光照的方向不同，从而引起影子的变化，在24h当中地球自转一周360°，平均每小时旋转15°（其自转的角速度ω=15°/h）造成太阳的位置也随时间不断变化，所以杆的顶点P在地面上的影子P’在一天中会形成一条轨迹线。

太阳的位置点L在天体中相对地球的位置点O上某一点的相对位置，由该点的地理纬度、季节（月、日）和时间3个因素决定。

图2 各角度参数关系图问题一中给出了确切的地点坐标纬度为Φ，经度为Θ，由此可知在此经度上的时间（即地方是）应满足下列表达式：θ−120n−T=ω正午的时候，太阳直射地面，此时太阳在此位置的方位时间为t：t=n−12假设在确定的某一天中，地球只存在自转，不存在公转，那自转所转过的时角表达式为：Ω=ωt地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，称为赤纬角，又称太阳赤纬赤纬角是由于地球绕太阳运行造成的现象，它随时间而变，因为地轴方向不变，所以赤纬角随地球在运行轨道上的不同点具有不同的数值。

这个角度大部分是空间角度，为异面直线的夹角。

其计算公式为δ=23.45sin(2π(284+N)365)(度)（其中N代表日期序号。

）某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角，即太阳光入射方向和地平面间的夹角，也就是所说的太阳高度角h满足下列表达式：sinℎ=sinФ∙sinδ+cosФ∙cosδ∙cosΩ[1]太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。

sin A=cosδ∙sinΩcosℎ由此，就可以建立由太阳位置和直杆的高度与影子端点P’位置坐标的数学模型。

在问题二的条件下进行建模问题二中给出了确定的日期、北京时间和直杆端点影子的具体坐标，给出了确切的日期可以知道日期序数N，通过公式δ=23.45sin(2π(284+N)365)(度)可以解得此时的赤纬角δ的值，通过对于直杆影子端点坐标的数据拟合，对于纵坐标在一天当中应该是先减小再增大，而题目中给出的是增大的一部分。

对于横坐标来说，是一个一直在增大的值，因为太阳在一天当中东升西落，从而导致在正午的时候，影子只在Y轴有分量，横坐标为0.同时正午的时候，太阳的影子是最短的。

我们拟合的曲线在北京时间14：07的时候出现转折，由此可以推算测量地点与东经120°相差2小时7分钟。

由表达式：θ−120n−T=ω由此可以解得测量地点的经度为88.1682°.利用经度和给出的数据，在某一确定的时间，即可求出T，利用公式：Ω=ωtt=n−12可以解得时角Ω。

已知直杆的端点坐标（x0，y o）满足下列关系式，从而可以知道此时太阳的方位角A，y0=tan A∙x0可解得太阳的方位角A。

因为太阳的方位角A，赤纬角δ，太阳高度角h以及时角Ω满足下列等式sin A=cosδ∙sinΩcosℎ从上式中可以解得太阳高度角h,同时，太阳的高度角h，赤纬角δ，时角Ω满足下列关系式：sinℎ=sinФ∙sinδ+cosФ∙cosδ∙cosΩ从而解得Ф。

在问题三的条件下进行建模问题三中给出了在北京时间确定的直杆影子端点的坐标变化，与问题二的模型建立一致。

通过对于直杆影子端点坐标的数据拟合，对于纵坐标在一天当中应该是先减小再增大，而题目中给出的是增大的一部分。

对于横坐标来说，是一个一直在增大的值，因为太阳在一天当中东升西落，从而导致在正午的时候，影子只在Y轴有分量，横坐标为0.同时正午的时候，太阳的影子是最短的。

由表达式：θ−120n−T=ω由此可以解得测量地点的经度。

利用经度和给出的数据，在某一确定的时间，即可求出T ，利用公式：Ω=ωtt =n −12可以解得时角Ω。

已知直杆的端点坐标（x 0，y o ）满足下列关系式，从而可以知道此时太阳的方位角A ，y 0=tan A ∙x 0可解得太阳的方位角A 。

假设直杆的高度为H ，故可以根据公式：H ∙cot ℎ=√x 02+y 02求解出太阳高度角h 。

因为太阳的方位角A ，赤纬角δ，太阳高度角h 以及时角Ω满足下列等式sin A =cos δ∙sin Ωcos ℎ通过上式求解出赤纬角δ的值。

通过公式δ=23.45sin (2π(284+N )365)(度)可以解得此时的时间序数N ，即可解得日期。

从上式中可以解得赤纬角δ，同时，太阳高度角h,太阳的高度角h ，时角Ω满足下列关系式：sin ℎ=sin Ф∙sin δ+cos Ф∙cos δ∙cos Ω从而解得Ф。

在问题四的条件下进行建模需要获取同一场景中含有至少两个影子轨迹的自然图像序列或视频帧，每一幅图像运用技术找到阴影区域的二进制掩膜，并且得到主轴，进而可以计算出影子点，计算灭点，用随机采样一致性算法提出掉灭点异常点后还原出地平线，计算仿射纠正和投影纠正矩阵，还原出影子点经过度量纠正的世界坐标，拟合出影子轨迹的曲线，找到转折点求出经度，在利用前几问的模型求出纬度。

（五） 模型的求解问题一的求解假设影子的端点P’点（x 0，y 0），所以影子端点到原点O 的距离L 可用下列式子来表达，与上述表达式联立，则：{L =OP ′=√(x 0−0)2+(y 0−0)2L H =cot β(此时的β为太阳高度角h)H ∙cot ℎ=√x 02+y 02 求解上述方程可解得：x 0=±H ∙cot ℎ√1+(tan A )2同时太阳的方位角方程满足： y 0=tan A ∙x 0将上述方程综合可以得到P’点的坐标：x 0=H ∙cot(sin −1(sin Φ∙sin δ+cos Φ∙cos δ∙cos(15×(n −12))))√1+(tan (sin −1(cos δ∙sin(15×(n −12))cos(sin −1(sin Φ∙sin δ+cos Φ∙cos δ∙cos(15×(n −12)))))))2y 0=tan A ∙x 0将数值代入利用Matlab 软件即可画出图像，其中H=3m ，T 的变化范围在9:00-15:00，北纬（Ф）39度54分26秒,东经（θ）116度23分29秒，日期为2015年10月22日，即N=295。