上海西延安中学数学全等三角形单元培优测试卷

上海西延安中学数学全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.

【详解】

（1）当点P在x轴正半轴上，

①如图，以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝45°，OA＝22，

当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，

当∠OAP为顶角时，AO=AP，

∴OPA=∠AOP=45°，

∴∠OAP=90°，

∴OP=2OA=4，

∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=45°，

∵AP=OP，

∴∠OAP=∠AOP=45°，

∴∠OPA=90°，

∴OP=2，

∴P点坐标为（2，0）.

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝22，

∴OA＝OP＝22，

∴P的坐标是（﹣22，0）．

综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．

2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140°

【解析】

【分析】

先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则

∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.

【详解】

解：∵设∠CBO=∠CAD=a ，∠ABO=b ，∠BAO=c ，∠CAO=d ，

则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，

∴b ﹣d=10°，

∴（60°﹣a ）﹣d=10°，

∴a+d=50°，

即∠DAO=50°，

分三种情况讨论：

①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ，

∴190°﹣α=50°，

∴α=140°；

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD 是等腰三角形，

故答案为：110°、125°、140°.

【点睛】

本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，

92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．

【答案】128︒

【解析】

【分析】

连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，

ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则

∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72

ABC EDC

∠=∠=︒=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在∆ACE与∆BCD中，

∵

CA CB

ACE BCD

CE CD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴∆ACE≅∆BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128︒．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

4．如图，将ABC

∆沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的

1

A处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为1h，还原纸片后，再将ADE

∆沿着过AD中点1D 的直线折叠，使点A落在DE边上的2A处，称为第2次操作，折痕11

D E到BC的距离记为2h，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019

D E到BC的距离记为2020

h，若

1

1

h=，则

2020

h的值为______．