大一高数上_PPT课件_第三章
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精品课件
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f(x ) x ln x 2 () 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f(x) x lnx(2) x2
但却不易找到使 f(x)0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a 条 )f件 (b)中 .
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
精品课件
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
精品课件
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, yx,x [2,2];
精品课件
在 [2,2]上除 f(0)不存,在 满外 足罗尔定 一切条 , 但件 在内找不到一f点 (x)能 0使 .
又例如, f ( x ) 1 x ,x ( 0 , 1 ] f ( 0 , ) 0 ;
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
x
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Fra Baidu bibliotek
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证 明 ： 在 区 间 I 上 任 取 两 点 x1，x2(x1<x2)， 应
用拉格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即
1
2 b x
切线，在曲A线 上 B 弧 至少 C,在 有该 一点 点处
切线是 . 水平的
精品课件
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足
(3)
却在(-1y ,2x ) 内0 有2一xx 点 0 x0 =0 使
由 于 f ( 0 ) 0 ， f ( x ) 1 ， 因 此 上 式 即 为 1 x l 1 x ) x n 。 ( 1
又由0<x<x，有
x l 1 x ) x n 。 ( 1 x
精品课件
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
精品课件
例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判 断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]
上满足罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1
是
f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
精品课件
第二节 洛必达法则
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法法 0
二0、 ,,00,1,0型未定式解
精品课件
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精品课件
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上
满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f (x)(x0)，0<x<x。
是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别
精品课件
在区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精品课件
结构图
特例
推广
第三章 微分中值定理与导数的应用
精品课件
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在 (a,b)内至少存在 ,一 (a,b点 )使得函数 f(x)在该点的导数f为 ()零 0 ，即
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在(1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 品1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0.
几何解释:
y
C
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但 在 ( 0 , 1 ) 内 找 不 到 一 点 能 使 f ( x ) 0 .
再例如 f(x ) x ,x [0 ,1 ].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗 尔定理的一切条件但 , 也找f不 (x) 到 0的 使 .点 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f(x ) x ln x 2 () 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f(x) x lnx(2) x2
但却不易找到使 f(x)0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a 条 )f件 (b)中 .
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
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f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
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定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, yx,x [2,2];
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在 [2,2]上除 f(0)不存,在 满外 足罗尔定 一切条 , 但件 在内找不到一f点 (x)能 0使 .
又例如, f ( x ) 1 x ,x ( 0 , 1 ] f ( 0 , ) 0 ;
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
x
精品课件
Fra Baidu bibliotek
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证 明 ： 在 区 间 I 上 任 取 两 点 x1，x2(x1<x2)， 应
用拉格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即
1
2 b x
切线，在曲A线 上 B 弧 至少 C,在 有该 一点 点处
切线是 . 水平的
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注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足
(3)
却在(-1y ,2x ) 内0 有2一xx 点 0 x0 =0 使
由 于 f ( 0 ) 0 ， f ( x ) 1 ， 因 此 上 式 即 为 1 x l 1 x ) x n 。 ( 1
又由0<x<x，有
x l 1 x ) x n 。 ( 1 x
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
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例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判 断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]
上满足罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1
是
f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
精品课件
第二节 洛必达法则
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法法 0
二0、 ,,00,1,0型未定式解
精品课件
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精品课件
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上
满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f (x)(x0)，0<x<x。
是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别
精品课件
在区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
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结构图
特例
推广
第三章 微分中值定理与导数的应用
精品课件
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在 (a,b)内至少存在 ,一 (a,b点 )使得函数 f(x)在该点的导数f为 ()零 0 ，即
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在(1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 品1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0.
几何解释:
y
C
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但 在 ( 0 , 1 ) 内 找 不 到 一 点 能 使 f ( x ) 0 .
再例如 f(x ) x ,x [0 ,1 ].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗 尔定理的一切条件但 , 也找f不 (x) 到 0的 使 .点 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；