大一高数上_PPT课件_第三章
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高数第三章第二节洛必达法则31页PPT
0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
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0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
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例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
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习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
《高等数学(上册)》 第三章
证明 设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ． 假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意 的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位 于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)
高数3_1微分中值定理.ppt
例4. 设
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
设
则
在 [0, 1] 上满足柯西中值
定理条件,
因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,
使
即
证明
例5. 试证至少存在一点
使
证:
法1 用柯西中值定理 .
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
令
因此
即
且
由介值定理知存在
使
即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
至少存在一点
但
矛盾,
故假设不真!
设
二、拉格朗日中值定理
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续
满足:
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
使
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使
满足 :
问题转化为证
构造辅助函数
证: 作辅助函数
且
使
即
由罗尔定理知, 至少存在一点
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
两个 不 一定相同
错!
上面两式相比即得结论.
柯西定理的几何意义:
注意:
弦的斜率
切线斜率
令
则
例2. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域 上成立.
自证:
经验:
高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
《高等数学第三章》ppt课件
中值定理与导数的应用
12
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
中值定理与导数的应用
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
中值定理与导数的应用
16
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
大一上学期同济版高数第三章习题课xgPPT课件
微分中值定理的主要应用有： (1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论 5
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
高等数学
第二十一讲
1
整体概述
概述一
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பைடு நூலகம்
概述二
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概述三
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2
习题课
第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
3
一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f(a)f(b) 拉格朗日中值定理
(n 1 1 )!f(n 1 )()x ( x0)n 1 4
2. 微分中值定理的主要应用 微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系
的公式。 这些公式对于利用某函数导数所具有的性质 去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。
微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。 有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。
xa
这表明左端点不取最小值：
同样 f b0, f b x l b im fx x b fb 0
由极限的保号性定理知，必存在 b2,b 使
fxfb0 则有 fxfb,
xb
12
这表明右端点也不取最小值：
fx C 1[a,b]必有最小值，且必有极小值 f ,
a,b. 由费马定理可知，f 0 a ,b .
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论 5
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
高等数学
第二十一讲
1
整体概述
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概述二
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习题课
第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
3
一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f(a)f(b) 拉格朗日中值定理
(n 1 1 )!f(n 1 )()x ( x0)n 1 4
2. 微分中值定理的主要应用 微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系
的公式。 这些公式对于利用某函数导数所具有的性质 去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。
微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。 有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。
xa
这表明左端点不取最小值：
同样 f b0, f b x l b im fx x b fb 0
由极限的保号性定理知，必存在 b2,b 使
fxfb0 则有 fxfb,
xb
12
这表明右端点也不取最小值：
fx C 1[a,b]必有最小值，且必有极小值 f ,
a,b. 由费马定理可知，f 0 a ,b .
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
大一高数第三章 导数与微分 课件
x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
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例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
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4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
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( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：
f
高数课件第三章
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec xsc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
第三节 初等函数
一、基本初等函数
1、 幂函数 y x
(是常数)
y x
(1,1)
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
2、指数函数
1 x y( ) a
y ax
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)
(0,1)
3、对数函数 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
高数课件第三章中值定理及导数的应用第四节：单调性凹凸性
设f ( x) x x 1 I [1, 0], 证明：
5
f ( 1) 1 0,
f (0) 1 0,
由零点定理, f (x) 在 (-1, 0) 内至少有一个实根,
f ( x ) 5 x 4 1 0,
因此 f (x) 在 (- , + ) 内单调增加，
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x . 3 7 令 y 0, 得 x1 , x2 . 4 4
f ( 3 ) 2 4
0,
f (
在[0,2 ]内曲线有拐点为 ( 3 ,0), ( 7 ,0).
方法2:
设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导
,
P154 15 且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 ,
那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点.
例10 求曲线 y sin x cos x ( [0,2 ] 内 ) 的拐点. 解
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
即 f ( x) 在 [ a , b ] 上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x) 单调减少 曲线 y f ( x) 是凸的.
大一上学期同济版高数第三章曲率
y
y
D( , )
CR
T
M (x, y)
(注意o y 与 y异号 ) x
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
14
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
对应切线转角为 ,
定义 弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
4
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
5
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
y
D( , )
CR
T
M (x, y)
(注意o y 与 y异号 ) x
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
14
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
对应切线转角为 ,
定义 弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
4
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
5
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
最新大一高数上_PPT课件_第三章
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
___________________________ _______________________
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
___________________________ _______________________
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
___________________________ _______________________
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
___________________________ _______________________
x e x x e x x 2 e x l n ! i 0 。 m x n e x ___________________________ _______________________
二0、 ,,00,1,0型未定式解
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
___________________________ _______________________
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
___________________________ _______________________
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
___________________________ _______________________
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
___________________________ _______________________
x e x x e x x 2 e x l n ! i 0 。 m x n e x ___________________________ _______________________
二0、 ,,00,1,0型未定式解
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
高数第三章微分中值定理
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
22
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ),
那末 在区间 I 上
如果函数 f (x) 满足
(2) 在开区间 (a, b)内可导;
则在 (a, b)内至少存在一点 ( a < < b), 使得
f (b) f (a ) f ' ( ). ba
19
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
使
f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
( x ) e x 2ax b 连续、可导 f 对 f ( x ) 在[1 , 2 ],[ 2 , 3 ] 用罗尔定理得
17
1 1 2 2 3 f (1 ) f (2 ) 0 ( x ) e x 2a 连续、可导 f 使
重点
微分中值定理 Taylor公式
L， Hospital法则
求函数的极值和最值
5
难点
中值定理 L， Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 x e , sin x , cos x , ln(1 x ), (1 x ) 的Taylor公式
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
22
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ),
那末 在区间 I 上
如果函数 f (x) 满足
(2) 在开区间 (a, b)内可导;
则在 (a, b)内至少存在一点 ( a < < b), 使得
f (b) f (a ) f ' ( ). ba
19
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
使
f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
( x ) e x 2ax b 连续、可导 f 对 f ( x ) 在[1 , 2 ],[ 2 , 3 ] 用罗尔定理得
17
1 1 2 2 3 f (1 ) f (2 ) 0 ( x ) e x 2a 连续、可导 f 使
重点
微分中值定理 Taylor公式
L， Hospital法则
求函数的极值和最值
5
难点
中值定理 L， Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 x e , sin x , cos x , ln(1 x ), (1 x ) 的Taylor公式
《高等数学》 课件 高等数学第三章
（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学 第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学 第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在， 所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学 第三章. 第二节
第 24 页
例11 求 lim x．x x0
大一上学期同济版高数第三章中值定理
x cos x
2
0 x . 2
中值定理条件, (0 x ) 因此应有 2 即
cos x 在 (0, ) 内单调减少。 0 cos x cos 1 2 x x x 2 2 cos cos x x 故 x tan x 0 x . 2 21 2 cos x
b a
f (b) f (a) f ( ) . ba
可以推出 f (b) f (a) f ( )(b a). 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
x0 x0 x x0 x (0 1)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 0,
再对f ( x)分别在[ x1, x2 ]、 2 , x3 ]上应用罗尔定理， [x 至少存在 1 ( x1, x2 )、 2 ( x2 , x3 )使得 f (1 ) f ( 2 ) 0,
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔中值定理 .
6
例1 求证罗尔定理对于函数 f x sin x 在区间
[0, 2 ] 上的正确性。
f f [ x f x ] x 0
证：设 F x x f x , 由题意知 F x x f x
F 在 [ 0, 1] 上连续, 在 0,1 ) 内可导， 1 0, F 0 0 （
人教A版高中数学必修一第三章：3.2 函数模型及其应用 课件
方案三 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22
0.4×2×2×2 0.4×2×2×2×2
=0.4×23
=0.4×24
设第x天的回报是y元， 则方案一可以用函数__y_=_4_0___(x_∈__N_*_)___进行描述； 方案二可以用函数__y_=_1_0_x___(_x_∈_N__*)____描述； 方案三可以用__y_=__0_.4_×__2_x_-1__(_x_∈_N__*)____描述。
②如何用函数描述这些数量关系？
③三个函数模型的增减性如何？
④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进 行分析，如何分析？
1
2
3
4
5
方案一 40
40
40
40
40
方案二 10
10+10 10+10+10 =10×2 =10×3
10+10+10+10 10+10+10+10+10
=10×4
=10×5
解:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元,
则日均销售量为 480 40(x 6)桶 720 40x y (720 40x)(x 5) 200
40x2 920x 3800 40(x 11.5)2 1490 而 x 5,且720 40x 0,即5 x 18
当x 11.5时，y 有最大值
2100
2000
0
12
3
4
5
t
例5：某桶装水销售部每天的房租、人员工 资等固定成本为200元，每桶水的进价是5 元，销售单价与日均销售量的关系如表所 示：
销售单 6 7 8 9 10 11 12
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第三章 微分中值定理与导数的应用
精品课件
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在 (a,b)内至少存在 ,一 (a,b点 )使得函数 f(x)在该点的导数f为 ()零 0 ，即
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在(1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 品1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0.
几何解释:
y
C
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
线平行于弦AB.ຫໍສະໝຸດ o a 1 x2 bx
精品课件
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证 明 ： 在 区 间 I 上 任 取 两 点 x1，x2(x1<x2)， 应
用拉格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, yx,x [2,2];
精品课件
在 [2,2]上除 f(0)不存,在 满外 足罗尔定 一切条 , 但件 在内找不到一f点 (x)能 0使 .
又例如, f ( x ) 1 x ,x ( 0 , 1 ] f ( 0 , ) 0 ;
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但 在 ( 0 , 1 ) 内 找 不 到 一 点 能 使 f ( x ) 0 .
再例如 f(x ) x ,x [0 ,1 ].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗 尔定理的一切条件但 , 也找f不 (x) 到 0的 使 .点 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
精品课件
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f(x ) x ln x 2 () 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f(x) x lnx(2) x2
但却不易找到使 f(x)0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a 条 )f件 (b)中 .
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
精品课件
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别
精品课件
在区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
精品课件
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
精品课件
第二节 洛必达法则
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法法 0
二0、 ,,00,1,0型未定式解
精品课件
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
由 于 f ( 0 ) 0 ， f ( x ) 1 ， 因 此 上 式 即 为 1 x l 1 x ) x n 。 ( 1
又由0<x<x，有
x l 1 x ) x n 。 ( 1 x
精品课件
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
精品课件
例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判 断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]
上满足罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1
是
f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精品课件
结构图
特例
推广
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精品课件
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上
满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f (x)(x0)，0<x<x。
1
2 b x
切线，在曲A线 上 B 弧 至少 C,在 有该 一点 点处
切线是 . 水平的
精品课件
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足
(3)
却在(-1y ,2x ) 内0 有2一xx 点 0 x0 =0 使
精品课件
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在 (a,b)内至少存在 ,一 (a,b点 )使得函数 f(x)在该点的导数f为 ()零 0 ，即
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在(1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 品1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0.
几何解释:
y
C
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
线平行于弦AB.ຫໍສະໝຸດ o a 1 x2 bx
精品课件
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证 明 ： 在 区 间 I 上 任 取 两 点 x1，x2(x1<x2)， 应
用拉格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, yx,x [2,2];
精品课件
在 [2,2]上除 f(0)不存,在 满外 足罗尔定 一切条 , 但件 在内找不到一f点 (x)能 0使 .
又例如, f ( x ) 1 x ,x ( 0 , 1 ] f ( 0 , ) 0 ;
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但 在 ( 0 , 1 ) 内 找 不 到 一 点 能 使 f ( x ) 0 .
再例如 f(x ) x ,x [0 ,1 ].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗 尔定理的一切条件但 , 也找f不 (x) 到 0的 使 .点 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
精品课件
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f(x ) x ln x 2 () 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f(x) x lnx(2) x2
但却不易找到使 f(x)0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a 条 )f件 (b)中 .
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
精品课件
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别
精品课件
在区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
精品课件
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
精品课件
第二节 洛必达法则
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法法 0
二0、 ,,00,1,0型未定式解
精品课件
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
由 于 f ( 0 ) 0 ， f ( x ) 1 ， 因 此 上 式 即 为 1 x l 1 x ) x n 。 ( 1
又由0<x<x，有
x l 1 x ) x n 。 ( 1 x
精品课件
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
精品课件
例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判 断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]
上满足罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1
是
f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精品课件
结构图
特例
推广
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精品课件
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上
满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f (x)(x0)，0<x<x。
1
2 b x
切线，在曲A线 上 B 弧 至少 C,在 有该 一点 点处
切线是 . 水平的
精品课件
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足
(3)
却在(-1y ,2x ) 内0 有2一xx 点 0 x0 =0 使